2023年四川省泸州市中考数学真题试卷(解析版)

这是一份2023年四川省泸州市中考数学真题试卷(解析版)，共26页。

1．答题前，请考生务必在答题卡上正确填写自己的姓名、准考证号和座位号．考试结束，将试卷和答题卡一并交回．
2．选择题每小题选出的答案须用2B铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦净后，再选涂其它答案．非选择题须用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上对应题号位置作答，在试卷上作答无效．
第Ⅰ卷（选择题 共36分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．
1. 下列各数中，最大的是（ ）
A. B. 0C. 2D.
【答案】C
【解析】
首先化简绝对值，然后把选项中的4个数按从小到大排列，即可得出最大的数．
∵，
∴，
∴最大的数是2．
故选：C．
【点拨】本题考查了有理数的大小比较，一般地，正数大于零，零大于负数，两个负数，绝对值大的反而小．
2. 泸州市2022年全市地区生产总值（）为2601.5亿元，将数据260150000000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
科学记数法的表示形式为，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数时，为正整数；当原数时，为负整数．
解：260150000000．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了科学记数法的表示形式，正确确定和的值是解题关键．
3. 如图，，若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
先根据两直线平行、同旁内角互补求得的度数，然后再根据对顶角的性质解答即可．
解：∵，，

∴，
∴．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了平行线的性质、对顶角的性质等知识点，运用平行线的性质求得是解答本题的关键．
4. 一个立体图形的三视图如图所示，则该立体图形是（ ）

A. 圆柱B. 圆锥C. 长方体D. 三棱柱
【答案】D
【解析】
根据三视图进行判断即可．
解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形形可判断出这个几何体应该是三棱柱．
故选：D．
【点拨】本题主要考查由三视图判断几何体，掌握基本立体图形的三视图是解题的关键．
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
根据运算法则，对每一个选项进行计算排除即可．
A.与不是同类项，不可以合并，故选项计算错误，不符合题意；
B.，故选项计算正确，符合题意；
C.与不是同类项，不可以合并，故选项计算错误，不符合题意；
D.，故选项计算错误，不符合题意；
故选：．
【点拨】本题主要考查单项式乘单项式，积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，解答的关键是熟练掌握相应的运算法则及其应用．
6. 从1，2，3，4，5，5六个数中随机选取一个数，这个数恰为该组数据的众数的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
由众数的概念可知六个数中众数为5，然后根据简单概率计算公式求解即可．
解：1，2，3，4，5，5六个数中，数字5出现了2次，出现的次数最多，
故这组数据的众数为5，
所以从六个数中随机选取一个数，这个数恰为该组数据的众数的概率为．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了求一组数据的众数以及简单概率计算，正确确定该组数据的众数是解题关键．
7. 如图，的对角线，相交于点，的平分线与边相交于点，是中点，若，，则的长为（ ）

A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
根据平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义以及等腰三角形的判定可得，进而可得，再根据三角形的中位线解答即可.
解：∵四边形平行四边形，，
∴，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是中点，
∴；
故选：A.
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定以及三角形的中位线定理等知识，熟练掌握相关图形的判定与性质是解题的关键.
8. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 没有实数根B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根D. 实数根的个数与实数的取值有关
【答案】C
【解析】
根据一元二次方程根的判别式求出，即可得出答案．
解：∵，
∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，故C正确．
故选：C．
【点拨】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
9. 《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数，，的计算公式：，，，其中，，是互质的奇数．下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是（ ）
A. 3，4，5B. 5，12，13C. 6，8，10D. 7，24，25
【答案】C
【解析】
首先证明出，得到a，b是直角三角形的直角边然后由，，是互质的奇数逐项求解即可．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴a，b是直角三角形的直角边，
∵，是互质的奇数，
∴A．，
∴当，时，，，，
∴3，4，5能由该勾股数计算公式直接得出；
B．，
∴当，时，，，，
∴5，12，13能由该勾股数计算公式直接得出；
C．，，
∵，是互质的奇数，
∴6，8，10不能由该勾股数计算公式直接得出；
D．，
∴当，时，，，，
∴7，24，25能由该勾股数计算公式直接得出．
故选：C．
【点拨】本题考查了勾股数的应用，通过，，是互质的奇数这两个条件去求得符合题意的t的值是解决本题的关键．
10. 若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
根据一元二次方程根与系数的关系，得到，根据菱形的面积得到，利用勾股定理以及完全平方公式计算可得答案．
解：设方程的两根分别为a，b，
∴，
∵a，b分别是一个菱形的两条对角线长，已知菱形的面积为11，
∴，即，
∵菱形对角线垂直且互相平分，
∴该菱形的边长为
，故C正确．
故选：C．
【点拨】本题考查了根与系数的关系以及菱形的性质，完全平方公式，利用根与系数的关系得出是解题的关键．
11. 如图，在中，，点在斜边上，以为直径半圆与相切于点，与相交于点，连接．若，，则的长是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
连接，，首先根据勾股定理求出，然后证明出，利用相似三角形的性质得到，，证明出，利用相似三角形的性质求出．
如图所示，连接，，

∵，，，
∴，
∵以为直径的半圆与相切于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴解得．
故选：B．
【点拨】此题考查了圆与三角形综合题，切线的性质定理，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
12. 已知二次函数（其中是自变量），当时对应的函数值均为正数，则的取值范围为（ ）
A. B. 或
C. 或D. 或
【答案】D
【解析】
首先根据题意求出对称轴，然后分两种情况：和，分别根据二次函数的性质求解即可．
∵二次函数，
∴对称轴，
当时，
∵当时对应的函数值均为正数，
∴此时抛物线与x轴没有交点，
∴，
∴解得；
当时，
∵当时对应的函数值均为正数，
∴当时，，
∴解得，
∴，
∴综上所述，
当时对应的函数值均为正数，则的取值范围为或．
故选：D．
【点拨】此题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是分两种情况讨论．
第Ⅱ卷（非选择题 共84分）
注意事项：用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上对应题号位置作答，在试卷上作答无效．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）．
13. 8的立方根为______．
【答案】2
【解析】
根据立方根的意义即可完成．
∵
∴8的立方根为2
故答案为：2
【点拨】本题考查了立方根的意义，掌握立方根的意义是关键．
14. 在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则的值是___________．
【答案】1
【解析】
根据关于原点对称的两个点，横、纵坐标互为相反数，进行解答即可．
解：∵点与点关于原点对称，
∴．
故答案为：1．
【点拨】本题主要考查了关于原点对称的两个点的坐标特点，解题的关键是熟练掌握关于原点对称的两个点，横、纵坐标互为相反数．
15. 关于，的二元一次方程组的解满足，写出的一个整数值___________．
【答案】7（答案不唯一）
【解析】
先解关于x、y的二元一次方程组的解集，再将代入，然后解关于a的不等式的解集即可得出答案．
将两个方程相减得，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的一个整数值可以是7．
故答案为：7（答案不唯一）．
【点拨】本题主要考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式，整体代入的思想方法是解答本题的亮点．
16. 如图，，是正方形的边的三等分点，是对角线上的动点，当取得最小值时，的值是___________．

【答案】
【解析】
作点F关于的对称点，连接交于点，此时取得最小值，过点作的垂线段，交于点K，根据题意可知点落在上，设正方形的边长为，求得的边长，证明，可得，即可解答．
解：作点F关于的对称点，连接交于点，过点作的垂线段，交于点K，

由题意得：此时落在上，且根据对称的性质，当P点与重合时取得最小值，
设正方形的边长为a，则，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当取得最小值时，的值是为，
故答案为：．
【点拨】本题考查了四边形的最值问题，轴对称的性质，相似三角形的证明与性质，正方形的性质，正确画出辅助线是解题的关键．
三、本大题共3个小题，每小题6分，共18分．
17. 计算：．
【答案】3
【解析】
根据负整数指数幂和零指数幂运算法则，特殊角的三角函数值，进行计算即可．
解：
．
【点拨】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握负整数指数幂和零指数幂运算法则，特殊角的三角函数值，准确计算．
18. 如图，点在线段上，，，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
首先根据平行线的性质得到，然后证明出，最后根据全等三角形的性质求解即可．
证明：∵，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴．
【点拨】本题考查的知识点是全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练的掌握全等三角形的判定．
19. 化简：．
【答案】
【解析】
先计算括号内的，通分后利用同分母的分式运算法则求解，然后将除法变成乘法，约分即可得到结果．
解：
．
【点拨】本题考查分式的化简求值，掌握相关运算法则和运算顺序是解决问题的关键．
四、本大题共2个小题，每小题7分，共14分．
20. 某校组织全校800名学生开展安全教育，为了解该校学生对安全知识的掌握程度，现随机抽取40名学生进行安全知识测试，并将测试成绩（百分制）作为样本数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
①将样本数据分成5组：，，，，，并制作了如图所示的不完整的频数分布直方图；
②在这一组的成绩分别是：80，81，83，83，84，85，86，86，86，87，88，89．

根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图；
（2）抽取的40名学生成绩的中位数是___________；
（3）如果测试成绩达到80分及以上为优秀，试估计该校800名学生中对安全知识掌握程度为优秀的学生约有多少人？
【答案】（1）见解析 （2）82
（3）估计该校800名学生中对安全知识掌握程度为优秀的学生约有人．
【解析】
（1）根据总人数减去其他组的人数求得的人数，即可补全直方图；
（2）根据中位数为第20、21个数据的平均数，结合直方图或分布表可得；
（3）用样本估计总体即可得．
（1）
解：(人)，
补全的频数分布直方图如下图所示，
；
（2）
解：∵，
∴第20、21个数为81.83；
∴抽取的40名学生成绩的中位数是；
故答案为：82；
（3）
解：由题意可得：（人），
答：估计该校800名学生中对安全知识掌握程度为优秀的学生约有人．
【点拨】本题考查频数分布直方图、中位数，用样本估计总体，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
21. 端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克．根据以上信息，解答下列问题：
（1）该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？
（2）如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）节后每千克A粽子的进价为10元
（2）节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润为3000元
【解析】
（1）设节后每千克A粽子的进价为x元，则每千克A粽子节前的进价为元，根据节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克，列出方程，解方程即可；
（2）设该商场节前购进m千克A粽子，则节后购进千克A粽子，获得的利润为w元，根据利润售价进价列出关系式，根据总费用不超过4600元，求出m的范围，根据一次函数函数增减性，求出最大利润即可．
（1）
解：设节后每千克A粽子的进价为x元，则每千克A粽子节前的进价为元，根据题意得：
，
解得：，，
经检验，都是原方程解，但不符合实际舍去，
答：节后每千克A粽子的进价为10元．
（2）
解：设该商场节前购进m千克A粽子，则节后购进千克A粽子，获得的利润为w元，根据题意得：
，
∵，
∴，
∵，
∴w随m的增大而增大，
∴当时，w取最大值，且最大值为：，
答：节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润为3000元．
【点拨】本题主要考查了分式方程和一次函数的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程和关系式．
五、本大题共2个小题，每小题8分，共16分．
22. 如图，某数学兴趣小组为了测量古树的高度，采用了如下的方法：先从与古树底端在同一水平线上的点A出发，沿斜面坡度为的斜坡前进到达点，再沿水平方向继续前进一段距离后到达点．在点处测得古树的顶端的俯角为，底部的俯角为，求古树的高度（参考数据：，，，计算结果用根号表示，不取近似值）．

【答案】古树的高度为
【解析】
延长，交于点G，过点B作于点F，根据斜面的坡度为，设，则，根据勾股定理得出，求出，证明四边形为矩形，得出，根据三角函数求出，，最后求出结果即可．
解：延长，交于点G，过点B作于点F，如图所示：

则，
∵斜面的坡度为，
∴设，则，
在中，根据勾股定理得：，
即，
解得：，负值舍去，
即，
∵为水平方向，为竖直方向，
∴，
∵，
∴四边形矩形，
∴，
∵，
∴在中，，
∵，
∴在中，，
∴．
答：古树的高度为．
【点拨】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是作出辅助线，数形结合，熟练掌握三角函数的定义．
23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与，轴分别相交于点A，B，与反比例函数的图象相交于点C，已知，点C的横坐标为2．
（1）求，的值；
（2）平行于轴的动直线与和反比例函数的图象分别交于点D，E，若以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，求点D的坐标．
【答案】（1），；
（2）点D的坐标为或
【解析】
（1）求得，利用待定系数法即可求得直线的式，再求得，据此即可求解；
（2）设点，则点，利用平行四边形的性质得到，解方程即可求解．
（1）
解：∵，
∴，
∵直线经过点，
∴，解得，，
∴直线的解析式为，
∵点C的横坐标为2，
∴，
∴，
∵反比例函数的图象经过点C，
∴；
（2）
解：由（1）得反比例函数的解析式为，
令，则，
∴点，
设点，则点，
∵以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，
∴，
∴，整理得或，
由得，
整理得，
解得，
∵，
∴，
∴点；
由得，
整理得，
解得，
∵，
∴，
∴点；
综上，点D的坐标为或．
【点拨】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质，解一元二次方程，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
六、本大题共2个小题，每小题12分，共24分．
24. 如图，是的直径，，的弦于点，．过点作的切线交的延长线于点，连接．

（1）求证：平分；
（2）为上一点，连接交于点，若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）．
【解析】
（1）利用切线的性质得到，利用圆周角定理得到，利用垂径定理推出，据此可证明，即可证明平分；
（2）连接，，作于点M，利用垂径定理求得，证明，求得，设，则，在中，利用勾股定理求得，据此求解即可．
（1）
解：连接，

∵是的切线，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵是的直径，且，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分；
（2）
解：连接，，过点G作于点M，

∵是的直径，且，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，，
在中，，即，
解得(负值已舍去)，
∴．
【点拨】本题考查圆的综合应用，熟练掌握同弧或等弧所对的圆周角相等，垂径定理定理，相似三角形的判定及性质，勾股定理，切线的性质是解题的关键．
25. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与坐标轴分别相交于点A，B，三点，其对称轴为．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）点是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线分别与轴，直线交于点，．
①当时，求的长；
②若，，的面积分别为，，，且满足，求点的坐标．
【答案】（1）
（2）①；②
【解析】
（1）根据抛物线对称轴为，可得，求得，再将代入抛物线，根据待定系数法求得，即可解答；
（2）①求出点，点的坐标，即可得到直线的解析式为，设，则，求得的解析式，列方程求出点的坐标，最后根据列方程，即可求出的长；
②过分别作的垂线段，交于点，过点D作的垂线段，交于点I，根据，可得，即，证明，设，得到直线的解析式，求出点D的坐标，即可得到点的坐标，将点E的坐标代入解方程，即可解答．
（1）
解：根据抛物线的对称轴为，
得，
解得，
将代入抛物线可得，
抛物线的解析式为；
（2）
解：当时，得，
解得，，
，，
设的解析式为，将，代入，
得，
解得，
的解析式为，
设，则，
设的解析式为，将，代入，
得，
解得，
的解析式为，
联立方程，
解得，
根据，得，
解得，，
经检验，，是方程的解，
点是该抛物线上位于第一象限的一个动点，
在轴正半轴，
，
即的长为；
②解：如图，过分别作的垂线段，交于点，过点D作的垂线段，交于点I，

，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，即点D的横坐标为，
，
设的解析式为，将，，
代入得，
解得，
的解析式为，
，即，
，
四边形是矩形，
，
，即，
将代入，
得，
解得，（舍去），
．
【点拨】本题为二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数和一次函数，二次函数与一元二次方程，两点之间的距离，相似三角形的判定与性质，正确的作出辅助线是解题的关键．