人教版七年级数学下册章节重难点举一反三 专题11.3 期中期末专项复习之平面直角坐标系十六大必考点（原卷版+解析）

这是一份人教版七年级数学下册章节重难点举一反三 专题11.3 期中期末专项复习之平面直角坐标系十六大必考点（原卷版+解析），共76页。


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\l "_Tc15148" 【考点1 有序数对表示位置或线路】 PAGEREF _Tc15148 \h 1
\l "_Tc32521" 【考点2 求坐标系中点的坐标】 PAGEREF _Tc32521 \h 2
\l "_Tc31078" 【考点3 判断点所在的象限】 PAGEREF _Tc31078 \h 2
\l "_Tc32288" 【考点4 求点到坐标轴的距离】 PAGEREF _Tc32288 \h 3
\l "_Tc885" 【考点5 坐标系中描点求值】 PAGEREF _Tc885 \h 3
\l "_Tc11293" 【考点6 确定坐标系求坐标】 PAGEREF _Tc11293 \h 5
\l "_Tc28320" 【考点7 坐标系中的对称】 PAGEREF _Tc28320 \h 6
\l "_Tc32341" 【考点8 坐标系中的新定义】 PAGEREF _Tc32341 \h 7
\l "_Tc25452" 【考点9 点的坐标与规律探究】 PAGEREF _Tc25452 \h 8
\l "_Tc27058" 【考点10 坐标系的实际应用】 PAGEREF _Tc27058 \h 10
\l "_Tc8110" 【考点11 用方位角与距离确定位置】 PAGEREF _Tc8110 \h 11
\l "_Tc9986" 【考点12 根据平移方式确定坐标】 PAGEREF _Tc9986 \h 12
\l "_Tc18974" 【考点13 根据平移前后的坐标确定平移方式】 PAGEREF _Tc18974 \h 13
\l "_Tc22197" 【考点14 已知图形的平移求点的坐标】 PAGEREF _Tc22197 \h 14
\l "_Tc11163" 【考点15 平移作图及求坐标系中的图形面积】 PAGEREF _Tc11163 \h 15
\l "_Tc26520" 【考点16 坐标与图形】 PAGEREF _Tc26520 \h 17
【考点1 有序数对表示位置或线路】
【例1】（2022·山西阳泉·七年级期中）定义：平面内的直线l1与l2相交于点O，对于该平面内任意一点M，点M到直线l1、l2的距离分别为a、b，则称有序非负实数对a,b是点M的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”为2,1的点的个数有（ ）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式1-1】（2022·湖北恩施·七年级期中）如图，已知∠AOC=30°，∠BOC=150°，OD平分∠BOA，若点A可表示为（2，30°），点B可表示为（3，150°），则点D可表示为（ ）
A．（4，75°）B．（75°，4）C．（4，90°）D．（4，60°）
【变式1-2】（2022·福建·厦门一中七年级期末）小明从学校出发往东走300m，再往南走200m即可到家，如果以学校位置为原点，以正北、正东为正方向，那么小明家的位置用有序数对表示为（ ）
A．(−300,−200)B．(300,200)C．(300,−200)D．(−300,200)
【变式1-3】（2022·全国·七年级课时练习）在数轴上，用有序数对表示点的平移，若(2,1)得到的数为1，(1,−2)得到的数为3，则(3,5)得到的数为（ ）．
A．8B．−2C．2D．−8
【考点2 求坐标系中点的坐标】
【例2】（2022·重庆·巴川初级中学校七年级期中）若点P是第二象限内的点，且点P到x轴的距离是4，到y轴的距离是3，则点P的坐标是 （ ）
A．（－4，3）B．（4，－3）C．（－3，4）D．（3，－4）
【变式2-1】（2022·广东·八年级单元测试）如果点P(2a−1,2a)在坐标轴上，则P点的坐标是________．
【变式2-2】（2022·广东·东莞外国语学校七年级期中）已知点M(3,−2)与点N在同一条平行于x轴的直线上，且点N到y轴的距离是4，则点N的坐标为( )
A．(4,−2)B．(3,−4)
C．(3,4)或(3,−4)D．(4,−2)或(−4,−2)
【变式2-3】（2022·河南漯河·七年级期末）已知点A（3a＋6，a＋4），B（﹣3，2），AB∥x轴，点P为直线AB上一点，且PA＝2PB，则点P的坐标为_____________．
【答案】−6,2或−2,2##−2,2或−6,2
【考点3 判断点所在的象限】
【例3】（2022·河南·信阳文华寄宿学校七年级期末）若点Aab,1在第一象限，则点Bab,−a2在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【变式3-1】（2022·山东滨州·七年级期末）已知点A(a+1,4),B(3,2a+2),P(b,0)，若直线AB∥x轴，点P在x轴的负半轴上，则点M(b−a,a−2)在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【变式3-2】（2022·河北保定·七年级期末）已知点Р的坐标为a,b，其中a，b均为实数，若a，b满足3a=2b+5，则称点Р为“和谐点”，若点Mm−1,3m+2是“和谐点”，则点M所在的象限是（ ）
A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限
【变式3-3】（2022·全国·八年级课时练习）如图，已知直线l1⊥l2，且在某平面直角坐标系中， x轴∥l1，y轴∥l2，若点A的坐标为(-1，2)，点B的坐标为(2，-1)，则点C在( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【考点4 求点到坐标轴的距离】
【例4】（2022·河南·信阳文华寄宿学校七年级期末）以方程组3x−2y=115x+6y=9的解为坐标的点到x轴的距离是（ ）
A．3B．-3C．1D．-1
【变式4-1】（2022·重庆实验外国语学校七年级阶段练习）若点Ma+3,2a−4到y轴的距离是到x轴距离的2倍，则a的值为（ ）
A．113或1B．113C．52D．52或113
【变式4-2】（2022·广西·钦州市第四中学七年级阶段练习）已知点P2−x,3x−4到两坐标轴的距离相等，则x的值为__________．
【变式4-3】（2022·河南周口·七年级期末）点Pa,1−3a是第二象限内的一个点，且点P到两坐标轴的距离之和为5，则点P的坐标是_______．
【考点5 坐标系中描点求值】
【例5】（2022·河南新乡·八年级期中）现给出如下各点：A0,4，B−4,1，C−2,−3，D2,−3，E4,1．
(1)请你在给出的平面直角坐标系中描出上述各点，然后依次连接AB，BC，CD，DE，EA．
(2)观察（1）中得到的图形：
①直接写出点C到x轴的距离；
②是否存在经过上述点中的任意两点的直线与直线CD平行？请说明理由．
【变式5-1】（2022·广东·惠州市惠城区博文学校七年级期末）（1）在如图所示的平面直角坐标系中表示下面各点：A−4,0，B1,−3，C3,−4，D−3,−4，E−3,4，F4,−2，G2,1．
（2）A点到原点О的距离是______；
（3）将点C向x轴的负方向平移6个单位，它与点______重合；
（4）连接AE，BG，直接写出AE与BG的关系是_______；
（5）点F到x轴的距离为_______、到y轴的距离为_______．
【变式5-2】（2022·福建·厦门市湖里中学七年级期中）已知二元一次方程x+y=3，通过列举将方程的解写成下列表格的形式，
如果将二元一次方程的解所包含的未知数x的值对应直角坐标系中一个点的横坐标，未知数y的值对应这个点的纵坐标，这样每一个二元一次方程的解，就可以对应直角坐标系中的一个点，例如：解x=2y=1的对应点是2,1．
(1)①表格中的m=______，n=______；
②根据以上确定对应点坐标的方法，在所给的直角坐标系中画出表格中给出的三个解的对应点；
(2)若点Pb,a−3，G−a,b+3恰好都落在x+y=3的解对应的点组成的图象上，求a，b的值．
【变式5-3】（2022·浙江丽水·八年级期末）一个零件四边形ABCD如图所示，通过实际测算得到AE＝170mm，EG＝150mm，GH＝110mm，DF＝150mm，CG＝110mm，BH＝150mm．
(1)选取适当的比例为 ，建立适当的直角坐标系；
(2)在坐标系中作出这个四边形，并标出各顶点的坐标．
【考点6 确定坐标系求坐标】
【例6】（2022·安徽合肥·八年级阶段练习）如图，某棋盘每小格边长为单位“1”，建立平面直角坐标系后，使“将”的坐标为（0，-2），则“炮”所在位置的坐标是（ ）
A．（-3，2）B．（3，-2）C．（2，-3）D．（2，-2）
【变式6-1】（2022·河北·广平县第二中学八年级阶段练习）已知甲、乙、丙三人所处位置不同．甲说：“以我为坐标原点，乙的位置是（2，3）．” 丙说：“以我为坐标原点，乙的位置是（-3，-2）．”若以乙为坐标原点（三人建立平面直角坐标系时，x轴、y轴正方向分别相同），甲、丙的坐标分别是（ ）
A．（-3，-2），（2，-3）B．（-3，2），（3，2）
C．（-2，-3），（3，2）D．（-2，-3），（-3，-2）
【变式6-2】（2022·浙江台州·一模）如图，网格格点上三点A、B、C在某平面直角坐标系中的坐标分别为a,b、c,d、a+c,b+d，则下列判断错误的是（ ）
A．a<0B．b=2dC．a+c=b+dD．a+b+d=c
【变式6-3】（2022·福建·福州现代中学七年级期中）在一次寻宝游戏中，寻宝人已经找到了A（3，2）和B点的坐标分别为（﹣3，2），则宝藏的坐标P（5，5）在哪里？请利用刻度尺在图中标出．（作图过程要保留痕迹，允许存在合理误差）
【考点7 坐标系中的对称】
【例7】（2022·全国·八年级课时练习）点A（3，﹣2）关于x轴的对称点A'的坐标是 _____，点B（5，1）关于y轴的对称点B'的坐标是 _____．
【变式7-1】（2022·福建泉州·八年级期末）如果点A(−3,a)和点B(b,2)关于y轴对称，则a+b的值是 __．
【变式7-2】（2022·四川·泸县太伏镇太伏初级中学校七年级阶段练习）已知点A(3x−6,4y+15)，点B(5y,x)关于x轴对称，则x=_______，y=___________．
【变式7-3】（2022·江西·赣州市章贡中学七年级期中）已知点A（a－2，－2），B（－2，b＋1），根据以下要求确定a、b的值．
（1）点A在y轴上，点B关于x轴对称的点为（－2，3）
（2）A、B两点在第一、三象限的角平分线上
【考点8 坐标系中的新定义】
【例8】（2022·山东济宁·七年级期末）在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到x，y轴的距离中的最大值等于点Q到x，y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”． 例如P(1，3)，Q(3，2)两点即为“等距点”．若T1(－1，－k－3)，T2(4，4k－3)两点为“等距点”，则k的值为______．
【变式8-1】（2022·山东·昌乐县教学研究室七年级期末）定义：在平面直角坐标系xOy中，已知点P1a,b，P2c,b，P3c,d，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点P1，P2，P3的“最佳间距”．例如：如图，点P1−1,2，P21,2，P31,3的“最佳间距”是1．
(1)理解：点Q12,1，Q25,1，Q35,5的“最佳间距”是______；
(2)探究：已知点O0,0，A−4,0，B−4,yy≠0．
①若点O，A，B的“最佳间距”是2，则y的值为______；
②点O，A，B的“最佳间距”最大是多少？请说明理由；
(3)迁移：当点O0,0，Em,0，Pm,−2m+1的“最佳间距”取到最大值时，点P的坐标是______．
【变式8-2】（2022·福建龙岩·七年级期中）在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到x轴、y轴的距离之差的绝对值等于点Q到x轴、y轴的距离之差的绝对值，则称P，Q两点互为“等差点”．例如，点P(1，2)与点Q(−2，3)到x轴、y轴的距离之差的绝对值都等于1，它们互为“等差点”．
(1)已知点A的坐标为3，−6，在点B(−4，1)．C−3，7．D2，−5中，与点A互为等差点的是_________________．
(2)若点M−2，4与点N1，n+1互为“等差点”，求点N的坐标．
【变式8-3】（2022·北京大兴·七年级期中）在平面直角坐标系xOy中，对于任意一点P(x,y)，定义点P的“MAX轴距”Z(P)为： Z(P)=|x|,当|x|≥|y|时|y|,当|x|<|y|时．例如，点A(3,5)，因为|5|>|3|，所以点A的“MAX轴距”Z(A)=|5|=5．
(1)点B12,12的“MAX轴距”Z(B)=_____________；点C(−3,2)的“MAX轴距”Z(C)=_____________；
(2)已知直线l经过点(0,1)，且垂直于y轴，点D在直线l上．
①若点D的“MAX轴距”Z(D)=2，求点D的坐标；
②请你找到一点D，使得点D的“MAX轴距”Z(D)=1，则D点的坐标可以是_____________（写出一个即可）；
(3)已知线段EF,E(−3,2),F(−4,0)，将线段EF向右平移a(a>0)个单位长度得到线段E′F′，若线段E′F′上恰好有两个点的“MAX轴距”为2，请你写出满足条件的a的两个取值．
【考点9 点的坐标与规律探究】
【例9】（2022·山东·乐陵市阜昌中学七年级阶段练习）如下图，动点 P 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第 1 次从原点运动到点（1，1），第 2 次接着运动到点（2，0），第 3 次接着运动到点（3，2），…， 按这样的运动规律，经过第 2019 次运动后，动点 P 的坐标是（ ）
A．（2022，1）B．（2022，0）C．（2022，2）D．（2022，0）
【变式9-1】（2022·广东广雅中学花都校区七年级期中）一个粒子在第一象限内及x轴、y轴上运动，第一分钟内从原点运动到（1，0），第二分钟从（1，0）运动到（1，1），而后它接着按图中箭头所示的与x轴、y轴垂直的方向来回运动，且每分钟移动1个单位长度． 在第2021分钟时，这个粒子所在位置的坐标是（ ）
A．（44，3）B．（45，3）C．（44，4）D．（4，45）
【变式9-2】（2022·广东·东莞市翰林实验学校七年级期中）如图，矩形ABCD的两边BC、CD分别在x轴、y轴上，点C与原点重合，点A−1,2，将矩形ABCD沿x轴向右翻滚，经过一次翻滚点A对应点记为A1，经过第二次翻滚点A对应点记为A2…依此类推，A2的坐标______，经过2022次翻滚后点A对应点A2022的坐标为______．
【变式9-3】（2022·广东韶关实验中学七年级期中）如图，在平面直角坐标系中，一巡查机器人接到指令，从原点O出发，沿O→A1→A2→A3→A4→A5→A6→A7→A8……的路线移动，每次移动1个单位长度，依次得到点A1(0,1)，A2(1,1)，A3(1,0)，A4(2,0)，A5(2,−1)，A6(3,−1)，A7(3,0)，A8(4,0)，……，则点A2022的坐标是__________．
【考点10 坐标系的实际应用】
【例10】（2022·吉林·大安市乐胜乡中学校七年级期中）遗爱湖公园的亲水平台修建了许多台阶（如图所示），春季湖水上涨后有一部分在水下． 如果点C的坐标为−1，1，点D的坐标为0，2．（点C，D分别在第3，4级）
(1)请建立适当的直角坐标系，并写出点A，B，E，F的坐标；
(2)某一公司准备在湖边开展“母子亲水”活动，为防止滑倒要将8级台阶全铺上2米宽的防滑地毯经测量每级台阶宽高都为0.3米．你能帮该公司算一下地毯要多少平方米吗?
【变式10-1】（2022·河北·武邑武罗学校七年级期末）已知嘉淇家的正西方向100米处为车站，家的正北方向200米处为学校，且从学校往正东方向走100米，再往正南方向走400米可到达公园．若嘉淇将家、车站、学校分别标示在如图所示的平面直角坐标系上的(2，0)，(0，0)，(2，4)三点，则公园的坐标为（ ）
A．(4，﹣4)B．(4，﹣8)C．(2，﹣4)D．(2，﹣2)
【变式10-2】（2022·湖北鄂州·七年级期中）同学们玩过五子棋吗？它的比赛规则是：只要同色5子先成一条直线就算胜．如图，是两人玩的一盘棋，若白①的位置是0,1，黑②的位置是1,2，现轮到黑棋走，你认为黑棋放在_________位置就一定能胜．
【变式10-3】（2022·全国·七年级单元测试）张超设计的广告模板草图如图所示(单位：m)，张超想通过电话征求李强的意见．假如你是张超，你如何把这个草图告诉李强呢？(提示：建立平面直角坐标系)
【考点11 用方位角与距离确定位置】
【例11】（2022·全国·八年级课时练习）如图，在一次活动中，位于A处的1班准备前往相距5km的B处与2班会合，那么用方向和距离描述2班相对于1班的位置是（ ）
A．南偏西50°，距离5km
B．南偏西40°，距离5km
C．北偏东40°，距离5km
D．北偏东50°，距离5km
【变式11-1】（2022·河北承德·八年级期末）点A的位置如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．点A在点O的30°方向，距点O 10.5km处
B．点A在点O北偏东30°方向，距点O 10.5km处
C．点O在点A北偏东60°方向，距点A 10.5km处
D．点A在点O北偏东60°方向，距点O 10.5km处
【变式11-2】（2022·全国·七年级专题练习）一个探险家在日记上记录了宝藏的位置，从海岛的一块大圆石O出发，向东1000m，向北1000m，向西500m，再向南750m，到达点P，即为宝藏的位置．
（1）画出坐标系确定宝藏的位置；
（2）确定点P的坐标．
【变式11-3】（2022·河南·洛阳市偃师区实验中学七年级阶段练习）如图所示，A，B，C三点分别代表学校、书店、车站中的某一处，已知书店、车站都在学校的北偏西方向，车站在书店的北偏东方向，则下列说法中，正确的是( )
A．A为学校，B为书店，C为车站
B．B为学校，C为书店，A为车站
C．C为学校，B为书店，A为车站
D．C为学校，A为书店，B为车站
【考点12 根据平移方式确定坐标】
【例12】（2022·全国·八年级单元测试）在平面直角坐标系中，将点A(−2,3)先向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到B点的坐标是（ ）
A．(0,5)B．(−4,5)C．(−4,1)D．(0,1)
【变式12-1】（2022·云南昆明·七年级期中）在平面直角坐标系中，将点Ax,y向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度后与点B−2,2重合，则点A的坐标是_______．
【变式12-2】（2022·山东临沂·七年级期末）将点A先向下平移3个单位，再向右平移2个单位后得B（﹣1，5），则A点坐标为（ ）
A．（﹣4，11）B．（﹣2，6）C．（﹣4，8）D．（﹣3，8）
【变式12-3】（2022·新疆·乌鲁木齐市第九中学七年级阶段练习）已知△ABC内任意一点P（a，b）经过平移后对应点P1（a＋2，b－6），如果点A在经过此次平移后对应点A1（4，－3），则A点坐标为（ ）
A．（6，－9）B．（2，－6）C．（－9.6）D．（2.3）
【考点13 根据平移前后的坐标确定平移方式】
【例13】（2022·云南·景谷傣族彝族自治县教育体育局教研室七年级期末）三角形ABC与三角形A′B′C′在平面直角坐标系中的位置如图所示：
(1)分别写出下列各点的坐标：A______，A′______；
(2)若点Px,y是三角形ABC内部一点，则三角形A′B′C′内部的对应点P′的坐标______．
(3)三角形A′B′C′是由三角形ABC经过怎样的平移得到的？
【变式13-1】（2022·福建·武平县实验中学七年级期中）（1）将A，B，C三点的横坐标增加2，纵坐标减小3，写出对应的点A1，B1，C1，的坐标，并说出是如何平移的；
（2）画出△A1B1C1，并求出△A1B1C1的面积．
【变式13-2】（2022·广西·梧州市第十中学八年级阶段练习）若将平面直角坐标系中的三角形的三个顶点的横坐标都减去2，纵坐标不变，则所得的新三角形与原三角形的关系是（ ）
A．将原三角形向右平移两个单位长度B．将原三角形向下平移两个单位长度
C．将原三角形向左平移两个单位长度D．将原三角形向上平移两个单位长度
【变式13-3】（2022·山东德州·七年级期末）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别是A2,4，B1,1，C3,2．
(1)在平面直角坐标系中画出△ABC；
(2)平移△ABC，使点A与点O重合，写出点B、点C平移后的所得点的坐标，并描述这个平移过程．
(3)求△ABC的面积
【考点14 已知图形的平移求点的坐标】
【例14】（2022·陕西师大附中八年级期中）在平面直角坐标系中，点P(m−4,n)，Q(m,n−2)均在第一象限，将线段PQ平移，使得平移后的点P、Q分别落在x轴与y轴上，则点P平移后的对应点的坐标是（ ）
A．(−4,0)B．(4,0)C．(0,2)D．(0,−2)
【变式14-1】（2022·广西·柳州市柳江区穿山中学七年级阶段练习）如图，点A、B的坐标分别是为（-3，1），（-1，-2），若将线段AB平移至A1B1的位置，A1与B1坐标分别是（m，4）和（3，n），则线段AB在平移过程中扫过的图形面积为（ ）
A．18B．20C．28D．36
【变式14-2】（2022·宁夏·石嘴山市第九中学七年级期中）线段MN是由线段EF经过平移得到的，若点E（﹣1，3）的对应点为M（2，5）则点F（﹣3，2）的对应点N坐标为 _____．
【变式14-3】（2022·山东·滨州市沾化区古城镇中学七年级期中）平面直角坐标系中，A（2，1），B（4，1），将线段AB平移，使得AB的中点落在对应点（−1,−2）的位置，则点A的对应点的坐标为______．
【考点15 平移作图及求坐标系中的图形面积】
【例15】（2022·新疆吐鲁番·七年级阶段练习）把三角形ABC向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后得到三角形A1B1C1
(1)请画出三角形A1B1C1，并写出点A1、B1、C1的坐标．
(2)求三角形A1B1C1的面积．
【变式15-1】（2022·黑龙江·海林市朝鲜族中学七年级期中）已知在平面直角坐标系中有三点A−2,1，B3,1，C2,3请回答如下问题：
(1)在坐标系内描出点A，B，C的位置；
(2)求出以A，B，C三点为顶点的三角形的面积；
(3)在y轴上是否存在点P，使得以A，B，P三点为顶点的三角形的面积为10？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式15-2】（2022·河北·武邑武罗学校七年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A(﹣3，0)，B(0，﹣3)，C(4，0)，D(0，4)．
(1)在图中描出上述各点；
(2)有一直线l通过点P(﹣3，4)且与y轴垂直，则l也会通过点 （填“A”“B”“C”或“D”）；
(3)连接AB，将线段AB平移得到A′B′，若点A′(﹣1，3)，在图中画出A′B′，并写出点B′的坐标；
(4)若Q(﹣5，﹣2)，求三角形ACQ的面积．
【变式15-3】（2022·湖北荆门·七年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知三角形ABC的三个顶点的坐标分别是A−2,1，B−3,−2，C1,−2．
(1)在图中画出三角形ABC；
(2)先将三角形ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到三角形A1B1C1．分别写出A1，B1，C1的坐标；
(3)若y轴有一点P，满足三角形PBC是三角形ABC的2倍，请直接写出P点的坐标．
【考点16 坐标与图形】
【例16】（2022·陕西商洛·七年级期末）如图，在长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为a,0，点C的坐标为0,b，且a、b满足a−4+b−6=0，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O→A→B→C→O的线路移动．
(1)求点B的坐标；
(2)当点P移动4秒时，请求出点P的坐标；
(3)当点P移动到距离x轴5个单位长度时，求点P移动的时间．
【变式16-1】（2022·山东临沂·七年级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知A(a，0)，B(b，0)，其中a，b满足b−3+(a+1)2=0，点M为第三象限内一点．
(1)请直接写出A、B两点的坐标：A( ，0)，B( ，0)；
(2)若M为(−2，m)，请用含m的式子表示△ABM的面积；
(3)若M(2−m，2m−10)到坐标轴的距离相等，MN∥AB且NM=AB，求N点坐标．
【变式16-2】（2022·山西临汾·七年级期末）如图，四边形ABDC放置在平面直角坐标系中，AB∥CD，AB=CD，点A，B，C的坐标分别为（5，8），（5，0），（-2，5）．
(1)AB与y轴的位置关系是______（填“平行”或“相交”），点D的坐标为______；
(2)E是线段AB上一动点，则CE距离的最小值d=______，CE距离最小时，点E的坐标是______；
(3)M，N分别是线段AB，CD上的动点，M从A出发向点B运动，速度为每秒2个单位长度，N从D出发向点C运动，速度为每秒3个单位长度，若两点同时出发，几秒后M、N两点距离恰好为d？
【变式16-3】（2022·湖北·沙洋县纪山中学七年级期中）将长方形OABC的顶点O放在直角坐标系中，点C，A分别在x轴，y轴上，点B（a，b），且a，b满足|a−2b|+(b−4)2=0．
(1)求B点的坐标
(2)若过O点的直线OD交长方形的边于点D，且直线OD把长方形的周长分为2：3两部分，求点D的坐标；
(3)若点P从点C出发，以2单位／秒的速度向O点运动（不超过O点），同时点Q从O点出发以1单位／秒的速度向A点运动（不超过A点），试探究四边形BQOP的面积在运动中是否会发生变化？若不变，求其值；若变化，求变化范围．x
－3
－1
n
y
6
m
－2
专题11.3 平面直角坐标系十六大必考点
【人教版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc15148" 【考点1 有序数对表示位置或线路】 PAGEREF _Tc15148 \h 1
\l "_Tc32521" 【考点2 求坐标系中点的坐标】 PAGEREF _Tc32521 \h 4
\l "_Tc31078" 【考点3 判断点所在的象限】 PAGEREF _Tc31078 \h 6
\l "_Tc32288" 【考点4 求点到坐标轴的距离】 PAGEREF _Tc32288 \h 8
\l "_Tc885" 【考点5 坐标系中描点求值】 PAGEREF _Tc885 \h 10
\l "_Tc11293" 【考点6 确定坐标系求坐标】 PAGEREF _Tc11293 \h 16
\l "_Tc28320" 【考点7 坐标系中的对称】 PAGEREF _Tc28320 \h 18
\l "_Tc32341" 【考点8 坐标系中的新定义】 PAGEREF _Tc32341 \h 20
\l "_Tc25452" 【考点9 点的坐标与规律探究】 PAGEREF _Tc25452 \h 26
\l "_Tc27058" 【考点10 坐标系的实际应用】 PAGEREF _Tc27058 \h 30
\l "_Tc8110" 【考点11 用方位角与距离确定位置】 PAGEREF _Tc8110 \h 33
\l "_Tc9986" 【考点12 根据平移方式确定坐标】 PAGEREF _Tc9986 \h 36
\l "_Tc18974" 【考点13 根据平移前后的坐标确定平移方式】 PAGEREF _Tc18974 \h 37
\l "_Tc22197" 【考点14 已知图形的平移求点的坐标】 PAGEREF _Tc22197 \h 42
\l "_Tc11163" 【考点15 平移作图及求坐标系中的图形面积】 PAGEREF _Tc11163 \h 44
\l "_Tc26520" 【考点16 坐标与图形】 PAGEREF _Tc26520 \h 52
【考点1 有序数对表示位置或线路】
【例1】（2022·山西阳泉·七年级期中）定义：平面内的直线l1与l2相交于点O，对于该平面内任意一点M，点M到直线l1、l2的距离分别为a、b，则称有序非负实数对a,b是点M的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”为2,1的点的个数有（ ）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】首先根据题意，可得距离坐标为（2，1）的点是到l1的距离为2，到l2的距离为1的点；然后根据到l1的距离为2的点是两条平行直线，到l2的距离为1的点也是两条平行直线，可得所求的点是以上两组直线的交点，一共有4个，据此解答即可．
【详解】解：如图1，
，
到l1的距离为2的点是两条平行于l1的直线l3、l4，到l2的距离为1的点是两条平行于l2直线l5、l6，
∵两组直线的交点一共有4个：A、B、C、D，
∴距离坐标为（2，1）的点的个数有4个．
故选D．
【点睛】此题主要考查了点的坐标，以及对“距离坐标”的含义的理解和掌握，解答此题的关键是要明确：到l1的距离为2的点是两条平行直线，到l2的距离为1的点也是两条平行直线．
【变式1-1】（2022·湖北恩施·七年级期中）如图，已知∠AOC=30°，∠BOC=150°，OD平分∠BOA，若点A可表示为（2，30°），点B可表示为（3，150°），则点D可表示为（ ）
A．（4，75°）B．（75°，4）C．（4，90°）D．（4，60°）
【答案】C
【分析】根据角平分线的性质得出∠AOD=∠BOD=60°，进而得出∠DOC的度数，利用A，B两点坐标得出2，4代表圆环上数字，角度是与CO边的夹角，根据∠DOC的度数，以及所在圆环位置即可得出答案．
【详解】解：∵∠BOC=150°，∠AOC=30°，
∴∠AOB=120°，
∵OD为∠BOA的平分线，
∴∠AOD=∠BOD=60°，
∴∠DOC=∠AOD+∠AOC=60°+30°=90°，
∵A点可表示为（2，30°），B点可表示为（3，150°），
∴D点可表示为：（4，90°）．
故选：C
【点睛】此题主要考查了点的坐标性质以及角平分线的性质，根据已知得出A点，B点所表示的意义是解决问题的关键．
【变式1-2】（2022·福建·厦门一中七年级期末）小明从学校出发往东走300m，再往南走200m即可到家，如果以学校位置为原点，以正北、正东为正方向，那么小明家的位置用有序数对表示为（ ）
A．(−300,−200)B．(300,200)C．(300,−200)D．(−300,200)
【答案】C
【分析】根据题意建立平面直角坐标系，再确定位置即可．
【详解】解：学校大门所在的位置为原点，分别以正东、正北方向为x，y轴正方向建立平面直角坐标系，
所以学校大门的坐标是(0，0)，小明家的坐标是(300，-200)，
故选：C．
【点睛】主要考查了直角坐标系的建立和运用，解决此类问题需要先确定原点的位置，再求未知点的位置．
【变式1-3】（2022·全国·七年级课时练习）在数轴上，用有序数对表示点的平移，若(2,1)得到的数为1，(1,−2)得到的数为3，则(3,5)得到的数为（ ）．
A．8B．−2C．2D．−8
【答案】B
【分析】由用有序数对表示点的平移，(2,1)得到的数为1，(1,−2)得到的数为3，可得平移的方向：后一个数为正数表示向左平移，为负数表示向右平移，而平移的距离是后一个数的绝对值，从而可得答案.
【详解】解：∵ 用有序数对表示点的平移，(2,1)得到的数为1，(1,−2)得到的数为3，
∴ 数轴上的数2向左边平移1个单位得到的数为1,
数轴上的数1向右边平移2个单位得到的数为3,
∴ (3,5)可表示数轴上的数3向左边平移5个单位得到的数是3−5=−2.
故选：B.
【点睛】本题考查的是有序实数对表示平移，正确的理解平移的方向与平移的距离是解题的关键.
【考点2 求坐标系中点的坐标】
【例2】（2022·重庆·巴川初级中学校七年级期中）若点P是第二象限内的点，且点P到x轴的距离是4，到y轴的距离是3，则点P的坐标是 （ ）
A．（－4，3）B．（4，－3）C．（－3，4）D．（3，－4）
【答案】C
【分析】根据直角坐标系内的坐标特点即可求解．
【详解】∵点P到x轴的距离是4，
∴纵坐标为±4，
∵点P到y轴的距离是3，
∴横坐标为±3，
∵P是第二象限内的点
∴P(−3,4),
故选C．
【点睛】此题主要考查直角坐标系的坐标特点，解题的关键是熟知直角坐标系的点的坐标特点．
【变式2-1】（2022·广东·八年级单元测试）如果点P(2a−1,2a)在坐标轴上，则P点的坐标是________．
【答案】(0,1)或(−1,0)
【分析】根据点P在坐标轴上，即点在x轴和y轴两种情况，分别求出a的值，即可得出答案．
【详解】解：∵点P(2a−1,2a)在坐标轴上，
∴当点P在x轴上时，2a=0，
解得：a=0，
故2a−1=−1，此时P点坐标为：(−1,0)；
当点P在y轴上时，2a−1=0，
解得：a=12，
故2a=1，此时P点坐标为：(0,1)；
综上所述：P点坐标为：(0,1)或(−1,0)．
故答案为：(0,1)或(−1,0)．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中坐标轴上的点，掌握点在不同坐标轴上的坐标特征是解题的关键．
【变式2-2】（2022·广东·东莞外国语学校七年级期中）已知点M(3,−2)与点N在同一条平行于x轴的直线上，且点N到y轴的距离是4，则点N的坐标为( )
A．(4,−2)B．(3,−4)
C．(3,4)或(3,−4)D．(4,−2)或(−4,−2)
【答案】D
【分析】根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等求出b，再根据点到y轴的距离等于横坐标的绝对值求出a，然后写出点N的坐标即可．
【详解】解：∵点M3,−2与点Na,b在同一条平行于x轴的直线上，
∴b=−2，
∵N到y轴的距离等于4，
∴a=±4，
∴点N的坐标为4,−2或−4,−2，
故选：D．
【点睛】本题考查了点的坐标，主要利用了平行于x轴的直线上点的坐标特征，点到y轴的距离等于横坐标的绝对值．
【变式2-3】（2022·河南漯河·七年级期末）已知点A（3a＋6，a＋4），B（﹣3，2），AB∥x轴，点P为直线AB上一点，且PA＝2PB，则点P的坐标为_____________．
【答案】−6,2或−2,2##−2,2或−6,2
【分析】根据AB∥x轴，则A,B的纵坐标相等，求得a的值，进而确定A的坐标，根据PA=2PB即可求解．
【详解】解：∵A（3a＋6，a＋4），B（﹣3，2），AB∥x轴，
∴a+4=2，
解得a=−2，
∴3a+6=0，
∴A0,2，
设Pm,2，
①当P在AB的延长线上时，PA=2PB，
0−m=2−3−m，
解得m=−6，
∴P−6,2，
②当P在线段AB上时，PA=2PB，
0−m=2m+3，
解得m=−2，
∴P−2,2，
③当P在BA的延长线上时，PA综上所述，点P的坐标为P−6,2或P−2,2，
故答案为：−6,2或−2,2．
【点睛】本题考查了坐标与图形，数形结合求得B点的坐标是解题的关键．
【考点3 判断点所在的象限】
【例3】（2022·河南·信阳文华寄宿学校七年级期末）若点Aab,1在第一象限，则点Bab,−a2在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】直接利用点Aab,1在第一象限得出ab＞0，a≠0，即可得出点B所在象限．
【详解】解：∵点Aab,1在第一象限，
∴ab＞0，
∴ab＞0，a≠0，
∴-a2＜0，
则点Bab,−a2在第四象限．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了点的坐标，正确得出横纵坐标的符号是解题关键．
【变式3-1】（2022·山东滨州·七年级期末）已知点A(a+1,4),B(3,2a+2),P(b,0)，若直线AB∥x轴，点P在x轴的负半轴上，则点M(b−a,a−2)在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【分析】根据直线AB∥x轴可得点A、B的纵坐标相等可求出a的值，根据点P在x轴的负半轴上，得到b<0，然后判断点M的横坐标与纵坐标的正负即可解答．
【详解】解：∵直线AB∥x轴，
∴2a+2=4，解得：a=1，
∵点P在x轴的负半轴上，
∴b<0，
∴b-a=b-1<0，a-2=1-2=-1<0，
.点M在第三象限．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形性质，根据直线AB∥x轴可得点A，B的纵坐标相等是解答本题的关键．
【变式3-2】（2022·河北保定·七年级期末）已知点Р的坐标为a,b，其中a，b均为实数，若a，b满足3a=2b+5，则称点Р为“和谐点”，若点Mm−1,3m+2是“和谐点”，则点M所在的象限是（ ）
A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限
【答案】B
【分析】根据“和谐点”的定义列出关于m的方程，然后求得m的值，进而确定Ｍ的坐标，最后确定其所在的象限即可．
【详解】解：∵点Mm−1,3m+2是“和谐点”
∴3（m-1）=2（3m+2）+5，解得m=-4
∴M−5,−10
∴点M在第三象限．
故选B．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程、点所在的象限等知识点，根据“和谐点”的定义列出关于m的方程是解答本题的关键．
【变式3-3】（2022·全国·八年级课时练习）如图，已知直线l1⊥l2，且在某平面直角坐标系中， x轴∥l1，y轴∥l2，若点A的坐标为(-1，2)，点B的坐标为(2，-1)，则点C在( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【分析】根据题意作出平面直角坐标系，根据图象可以直接得到答案．
【详解】解：∵点A的坐标为(−1,2)，点B的坐标为(2,−1)，
如图，依题意可画出直角坐标系，
∴点A位于第四象限，点B位于第二象限，
∴点C位于第三象限．
故选：C．
【点睛】考查了坐标与图形性质，解题时，利用了“数形结合”的数学思想，比较直观，应用“数形结合”的数学思想是解题的关键．
【考点4 求点到坐标轴的距离】
【例4】（2022·河南·信阳文华寄宿学校七年级期末）以方程组3x−2y=115x+6y=9的解为坐标的点到x轴的距离是（ ）
A．3B．-3C．1D．-1
【答案】C
【分析】先利用加减消元法求出x、y的值，再根据点到x轴的距离为纵坐标的绝对值求解即可．
【详解】解：3x−2y=11①5x+6y=9②
用①×3+②得：14x=42，解得x=3，
把x=3代入到①得：9−2y=11，解得y=−1，
∴点（3，-1）到x轴的距离为−1=1，
故选C．
【点睛】本题主要考查了点到坐标轴的距离，解二元一次方程组，正确求出二元一次方程组的解是解题的关键．
【变式4-1】（2022·重庆实验外国语学校七年级阶段练习）若点Ma+3,2a−4到y轴的距离是到x轴距离的2倍，则a的值为（ ）
A．113或1B．113C．52D．52或113
【答案】A
【分析】根据点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为横坐标的绝对值求解．
【详解】解：由题意得|a+3|=2|2a-4|，
∴a+3=2（2a-4）或a+3=2（4-2a），
解得a=113或a=1，
故选：A．
【点睛】本题考查点的坐标，解题关键是根据点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为横坐标的绝对值列等式．
【变式4-2】（2022·广西·钦州市第四中学七年级阶段练习）已知点P2−x,3x−4到两坐标轴的距离相等，则x的值为__________．
【答案】1或32
【分析】根据到两坐标轴的距离相等，可得方程，解方程即可得出答案．
【详解】解：∵点P2−x,3x−4到两坐标轴的距离相等，
∴点P的横、纵坐标可能相等也可能互为相反数，
∴2−x=3x−4或2−x+3x−4=0，
解得：x=32或x=1，
故答案为：1或32．
【点睛】本题考查了点的坐标，利用到两坐标轴的距离相等得出方程是解题的关键．
【变式4-3】（2022·河南周口·七年级期末）点Pa,1−3a是第二象限内的一个点，且点P到两坐标轴的距离之和为5，则点P的坐标是_______．
【答案】(−1，4)
【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的相反数，列方程求出a的值，再求解即可．
【详解】解：∵点Pa,1−3a是第二象限内的一个点，点P到两坐标轴的距离之和为5，
∴−a+1−3a=5，
解得a=−1，
∴1−3a=1−3×(−1)=1+3=4，
所以点P的坐标为(−1，4)．
故答案为(−1，4)．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征．
【考点5 坐标系中描点求值】
【例5】（2022·河南新乡·八年级期中）现给出如下各点：A0,4，B−4,1，C−2,−3，D2,−3，E4,1．
(1)请你在给出的平面直角坐标系中描出上述各点，然后依次连接AB，BC，CD，DE，EA．
(2)观察（1）中得到的图形：
①直接写出点C到x轴的距离；
②是否存在经过上述点中的任意两点的直线与直线CD平行？请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)①3；②存在BE与CD平行，见解析
【分析】（1）根据平面直角坐标系找出各点的位置即可；
（2）①根据点C的坐标即可得出点C到x轴的距离；②根据C,D的坐标可知直线CD是一条平行于x轴的直线，由此可得结果．
（1）
解：描点，连接如图所示
；
（2）
①点C到x轴的距离为3．
②存在经过B，E两点的直线与直线CD平行．理由如下：
∵B，E两点的纵坐标相等，C，D两点的纵坐标相等，直线BE，CD都平行于x轴，∴BE∥CD．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，能够准确在平面直角坐标系中找出点的位置是解本题的关键．
【变式5-1】（2022·广东·惠州市惠城区博文学校七年级期末）（1）在如图所示的平面直角坐标系中表示下面各点：A−4,0，B1,−3，C3,−4，D−3,−4，E−3,4，F4,−2，G2,1．
（2）A点到原点О的距离是______；
（3）将点C向x轴的负方向平移6个单位，它与点______重合；
（4）连接AE，BG，直接写出AE与BG的关系是_______；
（5）点F到x轴的距离为_______、到y轴的距离为_______．
【答案】（1）见解析；（2）4；（3）D；（4）AE//BG且AE=BG；（5）2，4
【分析】（1）根据点的坐标特点即可描出各点；
（2）根据点A的坐标直接得到答案；
（3）根据平移的性质求出点平移后的坐标，即可得到答案；
（4）根据点的坐标特点确定平移的规律，由此得到答案；
（5）根据点到x轴的距离是点纵坐标的绝对值，点到y轴的距离是点横坐标的绝对值解答
【详解】解：（1）（如图）
（2）∵A−4,0，
∴A点到原点О的距离是4，
故答案为：4；
（3）∵C3,−4，
∴将点C向x轴的负方向平移6个单位后的点坐标为（-3，-4），
∴点C与点D重合，
故答案为：D；
（4）∵A−4,0，B1,−3，
∴将点A向右平移5个单位，再向下平移3个单位后与点B重合，
∵E−3,4，G2,1．
∴将点E向右平移5个单位，再向下平移3个单位后与点G重合，
∴AE//BG且AE=BG
（5）∵F4,−2，
∴点F到x轴的距离为2、到y轴的距离为4，
故答案为：2；4
【点睛】此题考查平面直角坐标系中点的坐标特点，根据坐标正确描出点，点的平移，点到坐标轴的距离，综合掌握本章知识是解题的关键．
【变式5-2】（2022·福建·厦门市湖里中学七年级期中）已知二元一次方程x+y=3，通过列举将方程的解写成下列表格的形式，
如果将二元一次方程的解所包含的未知数x的值对应直角坐标系中一个点的横坐标，未知数y的值对应这个点的纵坐标，这样每一个二元一次方程的解，就可以对应直角坐标系中的一个点，例如：解x=2y=1的对应点是2,1．
(1)①表格中的m=______，n=______；
②根据以上确定对应点坐标的方法，在所给的直角坐标系中画出表格中给出的三个解的对应点；
(2)若点Pb,a−3，G−a,b+3恰好都落在x+y=3的解对应的点组成的图象上，求a，b的值．
【答案】(1)①4，5；②图见解析
(2)a=3,b=3
【分析】（1）①将x=−1代入方程可得m的值，将y=−2代入方程可得n的值；
②先确定三个解的对应点的坐标，再在所给的平面直角坐标系中画出即可得；
（2）将点Pb,a−3，G−a,b+3代入方程可得一个关于a,b二元一次方程组，解方程组即可得．
（1）解：①将x=−1代入方程x+y=3得：−1+y=3，解得y=4，即m=4，将y=−2代入方程x+y=3得：x−2=3，解得x=5，即n=5，故答案为：4，5；②由题意，三个解的对应点的坐标分别为−3,6，−1,4，5,−2，在所给的平面直角坐标系中画出如图所示：
（2）解：由题意，将Pb,a−3,G−a,b+3代入x+y=3得：b+a−3=3−a+b+3=3，整理得：a+b=6−a+b=0，解得a=3b=3．
【点睛】本题考查了二元一次方程（组）、平面直角坐标系等知识点，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题关键．
【变式5-3】（2022·浙江丽水·八年级期末）一个零件四边形ABCD如图所示，通过实际测算得到AE＝170mm，EG＝150mm，GH＝110mm，DF＝150mm，CG＝110mm，BH＝150mm．
(1)选取适当的比例为 ，建立适当的直角坐标系；
(2)在坐标系中作出这个四边形，并标出各顶点的坐标．
【答案】(1)1:10，图形见解析
(2)A(−1.7,0)，B(2.6,−1.5)，C(1.5,1.1)，D(0,2.6)，E(0,0)，F(0,1.1)，G(1.5,0)，H(2.6,0)
【分析】（1）根据题意可以选取适当的比例，建立适当的直角坐标系（答案不唯一）；
（2）结合（1）即可在坐标系中作出这个四边形，进而可以标出各顶点的坐标．
(1)
解：选取适当的比例为：1:10，其中一个单位代表1厘米，如图建立直角坐标系（答案不唯一）；
故答案为：1:10；
(2)
解：如图，四边形ABCD，
可得A(−1.7,0)，B(2.6,−1.5)，
C(1.5,1.1)，D(0,2.6)，E(0,0)，
F(0,1.1)，G(1.5,0)，H(2.6,0)．
【点睛】本题考查了作图−复杂作图，坐标与图形性质，勾股定理的应用，解题的关键是掌握基本作图方法．
【考点6 确定坐标系求坐标】
【例6】（2022·安徽合肥·八年级阶段练习）如图，某棋盘每小格边长为单位“1”，建立平面直角坐标系后，使“将”的坐标为（0，-2），则“炮”所在位置的坐标是（ ）
A．（-3，2）B．（3，-2）C．（2，-3）D．（2，-2）
【答案】A
【分析】直接利用“将”的坐标建立平面直角坐标系，进而得出“炮”所在位置的坐标．
【详解】如图所示，“将”的坐标为（0，-2），可建立如图所示的坐标系，则“炮”所在位置的坐标是（-3，2），
故选：A．
【点睛】此题主要考查了坐标确定位置，正确建立平面直角坐标系是解题关键．
【变式6-1】（2022·河北·广平县第二中学八年级阶段练习）已知甲、乙、丙三人所处位置不同．甲说：“以我为坐标原点，乙的位置是（2，3）．” 丙说：“以我为坐标原点，乙的位置是（-3，-2）．”若以乙为坐标原点（三人建立平面直角坐标系时，x轴、y轴正方向分别相同），甲、丙的坐标分别是（ ）
A．（-3，-2），（2，-3）B．（-3，2），（3，2）
C．（-2，-3），（3，2）D．（-2，-3），（-3，-2）
【答案】C
【分析】由于已知三人建立坐标系时，x轴y轴正方向相同，则以甲为坐标原点，乙的位置是（2，3），则以乙为坐标原点，甲的位置是（-2，-3）；同样得到以丙为坐标原点，乙的位置是（-3，-2），则以乙为坐标原点，丙的位置是（3，2）．
【详解】解：以甲为坐标原点，乙的位置是（2，3），则以乙为坐标原点，甲的位置是（-2，-3）；
以丙为坐标原点，乙的位置是（-3，-2），则以乙为坐标原点，丙的位置是（3，2）．
故选：C．
【点睛】本题考查了坐标确定位置：直角坐标平面内点的位置由有序实数对确定，有序实数对与点一一对应．
【变式6-2】（2022·浙江台州·一模）如图，网格格点上三点A、B、C在某平面直角坐标系中的坐标分别为a,b、c,d、a+c,b+d，则下列判断错误的是（ ）
A．a<0B．b=2dC．a+c=b+dD．a+b+d=c
【答案】C
【分析】先根据A、C两点在网格中的位置，求出c=2,d=1，即可得B点坐标，再据此建立坐标系，表示出A点坐标，据此分别对各项进行判断即可．
【详解】∵A、B、C在某平面直角坐标系中的坐标分别为a,b、c,d、a+c,b+d
由图可知，c=2,d=1
∴B(2,1)
据此建立坐标系，可得A(−1,2),C(1,3)
∴a=−1,b=2
∴ a<0，b=2d，a+b+d=c
所以，A、B、D正确，C错误
故选：C．
【点睛】本题考查了点与坐标，平面直角坐标系，熟练掌握知识点并能够运用数形结合的思想是解题的关键．
【变式6-3】（2022·福建·福州现代中学七年级期中）在一次寻宝游戏中，寻宝人已经找到了A（3，2）和B点的坐标分别为（﹣3，2），则宝藏的坐标P（5，5）在哪里？请利用刻度尺在图中标出．（作图过程要保留痕迹，允许存在合理误差）
【答案】见解析
【分析】先利用点A和点B的坐标画出直角坐标系，然后描出坐标为（5，5）的点即可．
【详解】解：如图，宝藏的坐标5，5）在点P处．
【点睛】此题考查了坐标确定位置，平面内的点与有序数对一一对应，记住直角坐标系中特殊位置点的坐标特征是解题的关键．
【考点7 坐标系中的对称】
【例7】（2022·全国·八年级课时练习）点A（3，﹣2）关于x轴的对称点A'的坐标是 _____，点B（5，1）关于y轴的对称点B'的坐标是 _____．
【答案】 （3，2） （﹣5，1）
【分析】根据关于x轴、y轴对称的点的坐标特征，即可解答．
【详解】点A（3，﹣2）关于x轴的对称点A'的坐标是（3，2），点B（5，1）关于y轴的对称点B'的坐标是（﹣5，1），
故答案为：（3，2）；（﹣5，1）．
【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟练掌握关于x轴、y轴对称的点的坐标特征是解题的关键．
【变式7-1】（2022·福建泉州·八年级期末）如果点A(−3,a)和点B(b,2)关于y轴对称，则a+b的值是 __．
【答案】5
【分析】先根据关于y轴对称的点坐标特征求出a、b的值，然后代入计算即可．
【详解】解：∵点A(−3,a)和点B(b,2)关于y轴对称，
∴a=2，b=3，
∴a+b=5．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了点与坐标，掌握关于y轴对称的点横坐标互为相反数、纵坐标相等成为解答本题的关键．
【变式7-2】（2022·四川·泸县太伏镇太伏初级中学校七年级阶段练习）已知点A(3x−6,4y+15)，点B(5y,x)关于x轴对称，则x=_______，y=___________．
【答案】 −3 −3
【分析】直接利用关于x轴对称的点的坐标特征“横坐标相等，纵坐标互为相反数”得出关于x，y的方程组，进而得出答案．
【详解】解：∵点A(3x−6,4y+15)，点B(5y,x)关于x轴对称，
∴ {3x−6=5y4y+15+x=0，
解得：{x=−3y=−3，
故答案为：−3，−3．
【点睛】此题主要考查了关于x轴对称的点的性质，解题的关键是掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解题关键．
【变式7-3】（2022·江西·赣州市章贡中学七年级期中）已知点A（a－2，－2），B（－2，b＋1），根据以下要求确定a、b的值．
（1）点A在y轴上，点B关于x轴对称的点为（－2，3）
（2）A、B两点在第一、三象限的角平分线上
【答案】（1）a=2,b=−4；（2）a=0,b=−3
【分析】（1）根据y轴上的点的坐标特征分析可求得a的值，根据关于x轴对称的点的特征，可求得b的值；y轴上的点的坐标特征：横坐标等于0，关于x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数．
（2）根据象限平分线上的点的坐标特征，横纵坐标相等，可求得a,b的值．
【详解】解：（1）点A在y轴上，
∴a－2=0，
解得a=2，
∵点B关于x轴对称的点为（－2，3），
∴ B(−2,−3)，
∴b＋1+3=0，
解得：b=－4，
∴a=2,b=−4
（2）第一、三象限的角平分线上的点的坐标特征是：横坐标等于纵坐标
∴a－2=－2
∴a=0
b＋1=－2
∴b=－3
∴ a=0,b=−3
【点睛】本题考查了平面直角坐标系的定义，熟记平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征及象限角平分线上的点的坐标特征是解决本题的关键．
【考点8 坐标系中的新定义】
【例8】（2022·山东济宁·七年级期末）在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到x，y轴的距离中的最大值等于点Q到x，y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”． 例如P(1，3)，Q(3，2)两点即为“等距点”．若T1(－1，－k－3)，T2(4，4k－3)两点为“等距点”，则k的值为______．
【答案】1或2##2或1
【分析】由等距点的定义对4k-3分类讨论，求出不同情况下的k值即可．
【详解】∵T2(4，4k-3)到x轴的距离为4k−3，到y轴的距离为4，
若4k−3≤4，即−14≤k≤74，
则有−k−3=4
解得k=-7或k=1，
∵k=-7不合题意，舍去，
∴k=1，
若4k−3>4，即k<−14或k>74，
则−k−3=4k−3，
解得：k=0，或k=2，
∵k=0不合题意，舍去，
∴k=2，
综上，k的值为1或2，
故答案为：1或2．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系的知识，属于阅读理解类型题目，关键是要读懂题目里定义的“等距点”．
【变式8-1】（2022·山东·昌乐县教学研究室七年级期末）定义：在平面直角坐标系xOy中，已知点P1a,b，P2c,b，P3c,d，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点P1，P2，P3的“最佳间距”．例如：如图，点P1−1,2，P21,2，P31,3的“最佳间距”是1．
(1)理解：点Q12,1，Q25,1，Q35,5的“最佳间距”是______；
(2)探究：已知点O0,0，A−4,0，B−4,yy≠0．
①若点O，A，B的“最佳间距”是2，则y的值为______；
②点O，A，B的“最佳间距”最大是多少？请说明理由；
(3)迁移：当点O0,0，Em,0，Pm,−2m+1的“最佳间距”取到最大值时，点P的坐标是______．
【答案】(1)3
(2)①±2 ②4；理由见解析
(3)1,−1或13,13
【分析】（1）分别计算出Q1Q2=3,Q2Q3=4，再由点到直线，垂线段最短，可得Q1Q3>3，即可求解；
（2）①分别计算出OA，AB的长度，由于斜边大于直角边，故OB>OA，OB>AB，所以“最佳间距”为OA或者AB的长度，由于“最佳间距”为2，而OA=4，故OB=2，即可求解y的值；②△OAB是以点A为直角顶点的直角三角形，由①可得，“最佳间距”为OA或AB的长度，即4或y，分当OA>AB时、当OA=AB时、当OA（3）同（2）②得，当OE=PE时，点O（0，0），E（m，0），P（m，-2m+1）的“最佳间距”取到最大值，即可求解．
（1）
解：∵点Q12,1，Q25,1，Q35,5，
∴Q1Q2=3,Q2Q3=4，Q1Q2∥x轴， Q2Q3∥y轴，
∴Q1Q2⊥Q2Q3，
∵点到直线，垂线段最短，
∴Q1Q3>3，
∴点Q12,1，Q25,1，Q35,5的“最佳间距”是3；
故答案为∶3
（2）
解：①∵点O（0，0），A（-4，0），B（-4，y），
∴AB∥y轴，
∴OA=4，
∵垂线段最短，
∴OB>OA，
∵点O，A，B的“最佳间距”是2，
∴AB=2，
∴y=±2；
故答案为：±2；
②点O，A，B的“最佳间距”最大是4；理由如下：
∵点O0,0，A−4,0是x轴上两点，
∴OA=4；
∵点A−4,0，B−4,y，
∴AB⊥x轴，且AB=y；
∴△OAB是以点A为直角顶点的直角三角形，
所以“最佳间距”等于OA或AB的长度，即4或y．
当OA>AB时，“最佳间距”等于y，此时y<4；
当OA=AB时，“最佳间距”等于4；
当OA所以点O，A，B的“最佳间距”最大是4．
（3）
解：同（2）②得，当OE=PE时，点O（0，0），E（m，0），P（m，-2m+1）的“最佳间距”取到最大值，
∵OE=m,PE=−2m+1，
∴m=-2m+1或m=2m-1．
∴m=13或m=1，
∴点P的坐标为1,−1或13,13．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形性质，提炼出新定义的规则，根据规则，分类讨论是解决问题的关键，（2）中OA与AB的长度大小不确定时，需要分类讨论，是解决此题的突破口．
【变式8-2】（2022·福建龙岩·七年级期中）在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到x轴、y轴的距离之差的绝对值等于点Q到x轴、y轴的距离之差的绝对值，则称P，Q两点互为“等差点”．例如，点P(1，2)与点Q(−2，3)到x轴、y轴的距离之差的绝对值都等于1，它们互为“等差点”．
(1)已知点A的坐标为3，−6，在点B(−4，1)．C−3，7．D2，−5中，与点A互为等差点的是_________________．
(2)若点M−2，4与点N1，n+1互为“等差点”，求点N的坐标．
【答案】(1)B(−4,1),D(2,−5)
(2)(1,3)和(1,−3)．
【分析】（1）利用“等差点”的定义，找出到x轴、y轴的距离之差的绝对值都等于3的点即可；
（2）利用“等差点”的定义列方程解答即可．
（1）
解：∵点A（3，-6）到x轴、y轴的距离之差的绝对值等于3，
点B（-4，1）到x轴、y轴的距离之差的绝对值等于3，
点C（-3，7）到x轴、y轴的距离之差的绝对值等于4，
点D（2，-5）到x轴、y轴的距离之差的绝对值等于3，
∴与点A互为等差点的是B与D；
故答案为：B(−4,1),D(2,−5)
（2）
∵ 点M−2，4与点N1，n+1互为“等差点”，点M到x轴、y轴的距离之差的绝对值为2，
∴ 1−n+1=2
当1−n+1=2时，n+1=−1，不合题意，舍去
当n+1−1=2，n+1=3，解得n=2或n=-4
∴ 点N的坐标为(1,3)和(1,−3)．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形性质，此题属于阅读理解类型题目，首先读懂“等差点”的定义，而后根据概念解决问题，难度较大，需要有扎实的基础，培养了阅读理解、迁移运用的能力．
【变式8-3】（2022·北京大兴·七年级期中）在平面直角坐标系xOy中，对于任意一点P(x,y)，定义点P的“MAX轴距”Z(P)为： Z(P)=|x|,当|x|≥|y|时|y|,当|x|<|y|时．例如，点A(3,5)，因为|5|>|3|，所以点A的“MAX轴距”Z(A)=|5|=5．
(1)点B12,12的“MAX轴距”Z(B)=_____________；点C(−3,2)的“MAX轴距”Z(C)=_____________；
(2)已知直线l经过点(0,1)，且垂直于y轴，点D在直线l上．
①若点D的“MAX轴距”Z(D)=2，求点D的坐标；
②请你找到一点D，使得点D的“MAX轴距”Z(D)=1，则D点的坐标可以是_____________（写出一个即可）；
(3)已知线段EF,E(−3,2),F(−4,0)，将线段EF向右平移a(a>0)个单位长度得到线段E′F′，若线段E′F′上恰好有两个点的“MAX轴距”为2，请你写出满足条件的a的两个取值．
【答案】(1)12，3
(2)①D−2,1或2,1；②D1,1（答案不唯一）
(3)a=1.5或2
【分析】（1）根据点P的“MAX轴距”Z（P）的定义求解即可；
（2）①如图1中，设D（x，1）．构建方程求解即可；
②根据点D的“MAX轴距”Z（D）=1，求解（答案不唯一）；
（3）利用图像法，画出图形可得结论．
(1)
点B12,12的“MAX轴距”Z(B)= 12；点C(−3,2)的“MAX轴距”Z(C)= 3
故答案为：12，3
(2)
①如图1中，设D（x，1）．
由题意|x|=2，
∴x=±2，
∴D（-2，1）或（2，1）；
②由题意D（1，1）（答案不唯一）；
故答案为：（1，1）；
(3)
如图2中，
当a=1.5时，线段E′F′上有两个点（-2，1）和（-1.5，2）的“MAX轴距”为2，
当a=2时，线段E′F′上有两个点（-2，0）和（-1，2）的“MAX轴距”为2，
综上所述，a的值为1.5或2．
【点睛】本题考查了坐标新定义，点到坐标轴的距离，掌握定义中的“MAX轴距”，数形结合是解题的关键．
【考点9 点的坐标与规律探究】
【例9】（2022·山东·乐陵市阜昌中学七年级阶段练习）如下图，动点 P 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第 1 次从原点运动到点（1，1），第 2 次接着运动到点（2，0），第 3 次接着运动到点（3，2），…， 按这样的运动规律，经过第 2019 次运动后，动点 P 的坐标是（ ）
A．（2022，1）B．（2022，0）C．（2022，2）D．（2022，0）
【答案】C
【分析】根据已知提供的数据从横纵坐标分别分析得出横坐标为运动次数，纵坐标为1，0，2，0，每4次一轮这一规律，进而求出即可．
【详解】根据动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1,1)，
第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2)，
∴第4次运动到点(4，0)，第5次接着运动到点(5，1)，…，
∴横坐标为运动次数，经过第2019次运动后，动点P的横坐标为2019，
纵坐标为1，0，2，0，每4次一轮，
∴经过第2019次运动后，动点P的纵坐标为：2019÷4=504余3，
故纵坐标为四个数中第三个，即为2，
∴经过第2019次运动后，动点P的坐标是：(2019，2)，
故选：C．
【点睛】此题主要考查坐标的变化，解题的关键是熟知坐标变化的规律．
【变式9-1】（2022·广东广雅中学花都校区七年级期中）一个粒子在第一象限内及x轴、y轴上运动，第一分钟内从原点运动到（1，0），第二分钟从（1，0）运动到（1，1），而后它接着按图中箭头所示的与x轴、y轴垂直的方向来回运动，且每分钟移动1个单位长度． 在第2021分钟时，这个粒子所在位置的坐标是（ ）
A．（44，3）B．（45，3）C．（44，4）D．（4，45）
【答案】A
【分析】根据现有点(1，1)、(2，2)、(3，3)、(4，4)分析点的运动时间和运动方向，可以得出一般结论，然后利用这个结论算出第2020分钟时点的坐标．
【详解】粒子所在位置与运动的时间的情况如下：
位置：(1，1)运动了2=1×2分钟，方向向左，
位置：(2，2)运动了6=2×3分钟，方向向下，
位置：(3，3)运动了12=3×4分钟，方向向左，
位置：(4，4)运动了20=4×5分钟，方向向下；
…
总结规律发现，设点(n，n)，
当n为奇数时，运动了n(n+1)分钟，方向向左；
当n为偶数时，运动了n(n+1)分钟，方向向下；
∵44×45=1980，45×46=2070
∴到(44，44)处，粒子运动了44×45=1980分钟，方向向下，
故到2021分钟，须由(44，44)再向下运动2021−1980=41，
44−41=3，到达(44，3)．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了点的坐标规律，解答此题的关键是总结规律首先确定点所在的大致位置，然后就可以进一步推得点的坐标．
【变式9-2】（2022·广东·东莞市翰林实验学校七年级期中）如图，矩形ABCD的两边BC、CD分别在x轴、y轴上，点C与原点重合，点A−1,2，将矩形ABCD沿x轴向右翻滚，经过一次翻滚点A对应点记为A1，经过第二次翻滚点A对应点记为A2…依此类推，A2的坐标______，经过2022次翻滚后点A对应点A2022的坐标为______．
【答案】 3,0 3033,0
【分析】先根据题意可以画出相应的图形，然后观察图形可得经过4次翻滚后点A对应点一循环，然后据此解答即可．
【详解】解：如图所示：

A2的坐标为3,0，
观察图形可得经过4次翻滚后点A对应点一循环，
2022÷4=505⋅⋅⋅⋅⋅2，
∵点A−1,2，长方形的周长为：21+2=6，
∴经过505次翻滚后点A对应点A2022的坐标为6×505+4−1,0，即3033,0．
故答案为：3033,0．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、平面直角坐标系中点的翻折变化等知识点，解题的关键是画出相应的图形，找出一般的规律．
【变式9-3】（2022·广东韶关实验中学七年级期中）如图，在平面直角坐标系中，一巡查机器人接到指令，从原点O出发，沿O→A1→A2→A3→A4→A5→A6→A7→A8……的路线移动，每次移动1个单位长度，依次得到点A1(0,1)，A2(1,1)，A3(1,0)，A4(2,0)，A5(2,−1)，A6(3,−1)，A7(3,0)，A8(4,0)，……，则点A2022的坐标是__________．
【答案】1011,−1
【分析】根据坐标点的变化规律可知每8个点的位置一循环，由此先确定点A2022与A6位置类似，再由类似位置点的坐标变化规律确定点A2022的坐标即可.
【详解】解：∵A1(0,1)，A2(1,1)，A3(1,0)，A4(2,0)，A5(2,−1)，A6(3,−1)，A7(3,0)，A8(4,0)，A9(4,1)，
2022÷8=，
即点A2022循环了252次后又移动了6个单位，所以其与A6位置类似，
与A6位置类似的一系列点的坐标分别为A6 3,−1，A147,−1 ，A2211,−，
可推断出与A6位置类似的一系列点为A8n+6，其坐标为 (4n+3,−1)，
∴A2022=A8×252+6，其坐标为4×252+3,−1即1011,−1．
故答案为：1011,−1．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中动点的规律探索，由点的移动确定其位置及坐标的变化规律是解题的关键．
【考点10 坐标系的实际应用】
【例10】（2022·吉林·大安市乐胜乡中学校七年级期中）遗爱湖公园的亲水平台修建了许多台阶（如图所示），春季湖水上涨后有一部分在水下． 如果点C的坐标为−1，1，点D的坐标为0，2．（点C，D分别在第3，4级）
(1)请建立适当的直角坐标系，并写出点A，B，E，F的坐标；
(2)某一公司准备在湖边开展“母子亲水”活动，为防止滑倒要将8级台阶全铺上2米宽的防滑地毯经测量每级台阶宽高都为0.3米．你能帮该公司算一下地毯要多少平方米吗?
【答案】(1)图见解析，点A−3，−1，点B−2，0，点E1，3，点F2，4
(2)9平方米
【分析】（1）根据题意：点C的坐标为−1，1，点D的坐标为0，2，即可建立平面直角坐标系，然后根据建立的平面直角坐标系写出各个点的坐标；
（2）将铺地毯的区域转化为宽为2米的长方形，求出面积即可．
（1）
解：根据题意，得平面直角坐标系为：
坐标为：点A−3，−1，点B−2，0，点E1，3，点F2，4；
（2）
解：0.3×8+7×2=9（平方米）．
答：地毯要9平方米．
【点睛】本题考查了建立平面直角坐标系、点的坐标、长方形的面积公式，解本题的关键在充分利用数形结合思想．
【变式10-1】（2022·河北·武邑武罗学校七年级期末）已知嘉淇家的正西方向100米处为车站，家的正北方向200米处为学校，且从学校往正东方向走100米，再往正南方向走400米可到达公园．若嘉淇将家、车站、学校分别标示在如图所示的平面直角坐标系上的(2，0)，(0，0)，(2，4)三点，则公园的坐标为（ ）
A．(4，﹣4)B．(4，﹣8)C．(2，﹣4)D．(2，﹣2)
【答案】A
【分析】根据题意可知每50米作为1个单位长度，再根据公园的位置可得坐标．
【详解】解：由题意知，每50米作为1个单位长度，
∴公园坐标为（4，﹣4），
故选：A．
【点睛】本题主要考查了坐标确定位置，明确每50米作为1个单位长度是解题的关键．
【变式10-2】（2022·湖北鄂州·七年级期中）同学们玩过五子棋吗？它的比赛规则是：只要同色5子先成一条直线就算胜．如图，是两人玩的一盘棋，若白①的位置是0,1，黑②的位置是1,2，现轮到黑棋走，你认为黑棋放在_________位置就一定能胜．
【答案】2,5或6,1
【分析】根据题意得出原点位置进而得出答案黑棋应该放的位置．
【详解】解：如图所示建立直角坐标系，黑棋放在图中黑点A或B位置，就能获胜．
∵白①的位置是：(0，1)，黑②的位置是：(1，2)，
∴O点的位置为：(0，0)，
∴黑棋放在A(2，5)或B(6，1)位置就能获胜．
故答案为(2，5)或 (6，1)．
【点睛】本题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．
【变式10-3】（2022·全国·七年级单元测试）张超设计的广告模板草图如图所示(单位：m)，张超想通过电话征求李强的意见．假如你是张超，你如何把这个草图告诉李强呢？(提示：建立平面直角坐标系)
【答案】见解析
【分析】确定原点，建立合适的直角坐标系，把各个关键点用坐标的形式表示出来，可清晰的说明该图的形状．
【详解】解：如图，建立平面直角坐标系，标出点(0，0)，(0，5)，(3，5)，(3，3)，(7，3)，(7，0)，再把各点依次连接，所得图案即为张超设计的草图．
【点睛】本题考查了坐标确定位置，解题的关键是根据题意建立平面直角坐标系.
【考点11 用方位角与距离确定位置】
【例11】（2022·全国·八年级课时练习）如图，在一次活动中，位于A处的1班准备前往相距5km的B处与2班会合，那么用方向和距离描述2班相对于1班的位置是（ ）
A．南偏西50°，距离5km
B．南偏西40°，距离5km
C．北偏东40°，距离5km
D．北偏东50°，距离5km
【答案】B
【分析】根据方位角的意义描述即可．
【详解】解：根据图示，得到2班相对于1班的位置是南偏西40°，距离5km，
故A，C，D都不符合题意，B符合题意，
故选B．
【点睛】本题考查了方位角和距离描述位置，正确理解方位角的意义是解题的关键．
【变式11-1】（2022·河北承德·八年级期末）点A的位置如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．点A在点O的30°方向，距点O 10.5km处
B．点A在点O北偏东30°方向，距点O 10.5km处
C．点O在点A北偏东60°方向，距点A 10.5km处
D．点A在点O北偏东60°方向，距点O 10.5km处
【答案】D
【分析】根据方向角的定义，即可解答．
【详解】解：由题意得：
90°-30°=60°，
2.1×5=10.5（km），
∴点A在点O北偏东60°方向，距点O10.5km处，
故选：D．
【点睛】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的定义是解题的关键．
【变式11-2】（2022·全国·七年级专题练习）一个探险家在日记上记录了宝藏的位置，从海岛的一块大圆石O出发，向东1000m，向北1000m，向西500m，再向南750m，到达点P，即为宝藏的位置．
（1）画出坐标系确定宝藏的位置；
（2）确定点P的坐标．
【答案】（1）见解析；（2）点P的坐标是（500，250）．
【分析】（1）建立合适的平面直角坐标系，按照所走路径，即可求得P点位置；
（2）根据（1）中的平面直角坐标系，不难求出P点的坐标．
【详解】解：根据数据的特点，选择250作为单位长度，以大圆石O为原点，建立平面直角坐标系．
（1）如图，中心带有箭头的线是行动路线，点P的位置如图所示．
（2）通过图像观察出点P到x、y轴的距离分别为250,500
因此P点坐标是(500，250) ．
【点睛】此题考查了平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，熟练掌握平面直角坐标系的画法以及点坐标的求法是解题的关键．
【变式11-3】（2022·河南·洛阳市偃师区实验中学七年级阶段练习）如图所示，A，B，C三点分别代表学校、书店、车站中的某一处，已知书店、车站都在学校的北偏西方向，车站在书店的北偏东方向，则下列说法中，正确的是( )
A．A为学校，B为书店，C为车站
B．B为学校，C为书店，A为车站
C．C为学校，B为书店，A为车站
D．C为学校，A为书店，B为车站
【答案】C
【分析】结合图和已知条件可直接判断出A、B、C三点．
【详解】解：由书店、车站都在学校的北偏西方向，可知C为学校，
由车站在书店的北偏东方向，可知A为车站，B为书店，
故选：C．
【点睛】本题考查了方位的概念以及在生活中的应用，属于基础题．
【考点12 根据平移方式确定坐标】
【例12】（2022·全国·八年级单元测试）在平面直角坐标系中，将点A(−2,3)先向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到B点的坐标是（ ）
A．(0,5)B．(−4,5)C．(−4,1)D．(0,1)
【答案】D
【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案．
【详解】解：将点A(−2,3)先向上平移2个单位，再向左平移2个单位，
得到B点的坐标是(−2+2,3−2)，
即(0,1)，
故选：D．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移：向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒ P′ （x+a，y）；向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒ P′（x-a，y）；向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒ P′（x，y+b）；向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒ P′（x，y-b）．
【变式12-1】（2022·云南昆明·七年级期中）在平面直角坐标系中，将点Ax,y向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度后与点B−2,2重合，则点A的坐标是_______．
【答案】（3，-1）
【分析】根据向左平移，横坐标减，向上平移纵坐标加列方程求出x、y，然后写出即可．
【详解】解：∵点A（x，y）向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度后与点B（-2，2）重合，
∴x-5=-2，y+3=2，
解得x=3，y=-1，
所以，点A的坐标是（3，-1）．
故答案为：（3，-1）．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
【变式12-2】（2022·山东临沂·七年级期末）将点A先向下平移3个单位，再向右平移2个单位后得B（﹣1，5），则A点坐标为（ ）
A．（﹣4，11）B．（﹣2，6）C．（﹣4，8）D．（﹣3，8）
【答案】D
【分析】让点B先向上平移3个单位，再向左平移2个单位即可得到点A的坐标，让点B的横坐标减2，纵坐标加3即可得到点A的坐标．
【详解】解：∵将点A先向下平移3个单位，再向右平移2个单位后得B（﹣1，5），
∴点A的横坐标为﹣1﹣2＝﹣3，纵坐标为5+3＝8，
∴A点坐标为（﹣3，8）．
故选D．
【点睛】在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同，本题需注意的是已知新点的坐标，求原来点的坐标，注意平移的顺序的反过来的运用．解决本题的关键是得到由点B到点A的平移过程．
【变式12-3】（2022·新疆·乌鲁木齐市第九中学七年级阶段练习）已知△ABC内任意一点P（a，b）经过平移后对应点P1（a＋2，b－6），如果点A在经过此次平移后对应点A1（4，－3），则A点坐标为（ ）
A．（6，－9）B．（2，－6）C．（－9.6）D．（2.3）
【答案】D
【分析】点A向右平移2个单位，向下平移6个单位得到A1（4，3），由此可得结论．
【详解】解：由题意，点A向右平移2个单位，向下平移6个单位得到A1（4，3），
∴点A坐标（4−2，−3＋6），即（2，3），
故选：D．
【点睛】本题考查的是坐标与图形变化——平移，牢记平面直角坐标系内点的平移规律：上加下减、右加左减是解题的关键．
【考点13 根据平移前后的坐标确定平移方式】
【例13】（2022·云南·景谷傣族彝族自治县教育体育局教研室七年级期末）三角形ABC与三角形A′B′C′在平面直角坐标系中的位置如图所示：
(1)分别写出下列各点的坐标：A______，A′______；
(2)若点Px,y是三角形ABC内部一点，则三角形A′B′C′内部的对应点P′的坐标______．
(3)三角形A′B′C′是由三角形ABC经过怎样的平移得到的？
【答案】(1)(1，3)，(-3， 1) ；
(2)(x-4，y-2) ；
(3)△ABC向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到△A′B′C′．
【分析】（1）根据点的位置写出坐标即可；
（2）利用平移变换的规律解决问题即可；
（3）根据平移变换的性质解决问题．
（1）
解：由△ABC和△A′B′C′在坐标系中的位置可得 A(1，3)，A′(−3，1) ，
故答案为：( 1，3)，(-3，1) ；
（2）
解：∵A(1，3)，A′(−3，1) ，
∴-3-1=-4，1-3=-2，
∴△ABC向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到△A′B′C′，
∴P (x，y)的对应点P′ (x-4，y-2)，
故答案为：(x-4，y-2) ；
（3）
解：∵A(1，3)，A′(−3，1) ，
∴-3-1=-4，1-3=-2，
∴△ABC向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到△A′B′C′，
【点睛】本题考查坐标与图形变化-平移，解题的关键是掌握平移变换的性质．
【变式13-1】（2022·福建·武平县实验中学七年级期中）（1）将A，B，C三点的横坐标增加2，纵坐标减小3，写出对应的点A1，B1，C1，的坐标，并说出是如何平移的；
（2）画出△A1B1C1，并求出△A1B1C1的面积．
【答案】（1）A10,2，B1−3,−5，C15,0，先向右平移两个单位，再向下平移三个单位；
（2）图见解析，△A1B1C1的面积为：20.5．
【分析】（1）由图可得A，B，C三点的坐标，然后将这些坐标的横坐标增加2，纵坐标减小3即可求出A1，B1，C1的坐标，根据平面直角坐标系中点平移的特点可知是如何平移的；
（2）利用割补法即可求出求出△A1B1C1的面积．
【详解】（1）由图知A−2,5，B−5,−2，C3,3，将它们的横坐标增加2，纵坐标减小3，得：A10,2，B1−3,−5，C15,0，根据平面直角坐标系中点平移的特点求得图象先向右平移两个单位，再向下平移三个单位；
（2）△A1B1C1如图所示：
△A1B1C1的面积为：7×8−12×7×3−12×5×2−12×5×8=20.5．
【点睛】本题考查了图形的平移、写出点的坐标、运用割补法求三角形的面积，数形结合是解题的关键．
【变式13-2】（2022·广西·梧州市第十中学八年级阶段练习）若将平面直角坐标系中的三角形的三个顶点的横坐标都减去2，纵坐标不变，则所得的新三角形与原三角形的关系是（ ）
A．将原三角形向右平移两个单位长度B．将原三角形向下平移两个单位长度
C．将原三角形向左平移两个单位长度D．将原三角形向上平移两个单位长度
【答案】C
【分析】根据平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，可得答案．
【详解】解：将三角形各点的横坐标都减去2，纵坐标保持不变，所得图形与原图形相比向左平移了2个单位．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了坐标与图形变化−−平移，关键是掌握点的平移变化规律．
【变式13-3】（2022·山东德州·七年级期末）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别是A2,4，B1,1，C3,2．
(1)在平面直角坐标系中画出△ABC；
(2)平移△ABC，使点A与点O重合，写出点B、点C平移后的所得点的坐标，并描述这个平移过程．
(3)求△ABC的面积
【答案】(1)见解析
(2)−1,−3；1,−2；将△ABC向下平移4个单位，再向左平移2个单位得到新的三角形（答案不唯一）
(3)52
【分析】（1）根据坐标A2,4，B1,1，C3,2描点，连接即可得△ABC；
（2）根据点A的平移方式确定△ABC的平移方式，从而得到点B、点C平移后的所得点的坐标和平移过程的描述；
（3）用长方形面积减去小三角形的面积即可得到△ABC的面积．
（1）
如图，△ABC即为所求；
（2）
由图可知，
点B平移后对应的B′坐标为：−1,−3；点C平移后对应的C′坐标为：1,−2；
平移方式：将△ABC向下平移4个单位，再向左平移2个单位得到新的三角形（或将△ABC向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到新的三角形；或将△ABC沿AO方向平移25个单位长度得到新的三角形；答案不唯一）；
（3）
S△ABC=2×3−12×2×1−12×3×1−12×2×1=52．
【点睛】本题考查了坐标与图形中的描点、平移、求三角形的面积，熟练掌握点平移的坐标特征是本题的关键．
【考点14 已知图形的平移求点的坐标】
【例14】（2022·陕西师大附中八年级期中）在平面直角坐标系中，点P(m−4,n)，Q(m,n−2)均在第一象限，将线段PQ平移，使得平移后的点P、Q分别落在x轴与y轴上，则点P平移后的对应点的坐标是（ ）
A．(−4,0)B．(4,0)C．(0,2)D．(0,−2)
【答案】A
【分析】根据平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减解答即可．
【详解】解：设平移后点P、Q的对应点分别是P′、Q′．
∵P′在x轴上，Q′在y轴上，
则P′纵坐标为0，Q′横坐标为0，
∵0-m=-m,
∴m-4-m=-4，
∴点P平移后的对应点的坐标是（-4，0）；
故选：A．
【点睛】此题主要考查图形的平移及平移特征．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移规律相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
【变式14-1】（2022·广西·柳州市柳江区穿山中学七年级阶段练习）如图，点A、B的坐标分别是为（-3，1），（-1，-2），若将线段AB平移至A1B1的位置，A1与B1坐标分别是（m，4）和（3，n），则线段AB在平移过程中扫过的图形面积为（ ）
A．18B．20C．28D．36
【答案】A
【分析】直接利用平移中点的变化规律求出m，n的值，再根据线段AB在平移过程中扫过的图形面积=四边形ABB1A1的面积=2△ABB1的面积求解即可．
【详解】解：∵点A、B的坐标分别是为（-3，1），（-1，-2），若将线段AB平移至A1B1的位置，A1与B1坐标分别是（m，4）和（3，n），
∴可知将线段AB向右平移4个单位，向上平移3个单位得到A1B1的位置，
∴m=1，n=1，
∴A1与B1坐标分别是（1，4）和（3，1），
∴线段AB在平移过程中扫过的图形面积=四边形ABB1A1的面积=2△ABB1的面积=2×12×6×3=18，
故选：A．
【点睛】本题主要考查坐标系中线段的平移规律．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
【变式14-2】（2022·宁夏·石嘴山市第九中学七年级期中）线段MN是由线段EF经过平移得到的，若点E（﹣1，3）的对应点为M（2，5）则点F（﹣3，2）的对应点N坐标为 _____．
【答案】（0，4）
【分析】首先根据E点的对应点为M可得点的坐标的变化规律，则点F的坐标的变化规律与E点的坐标的变化规律相同即可．
【详解】解：∵点E（-1，3）的对应点为M（2，5），
∴E点是横坐标+3，纵坐标+2得到的，
∴点F（-3，2）的对应点N坐标为（-3+3，2+2），
即（0，4）．
故答案为：（0，4）．
【点睛】此题主要考查了坐标与图形变化-平移，关键是掌握把一个图形平移后，个点的变化规律都相同．
【变式14-3】（2022·山东·滨州市沾化区古城镇中学七年级期中）平面直角坐标系中，A（2，1），B（4，1），将线段AB平移，使得AB的中点落在对应点（−1,−2）的位置，则点A的对应点的坐标为______．
【答案】（-2，-2）
【分析】先求出AB的中点坐标，再由AB的中点落在对应点（−1,−2）的位置可得平移的方式，再求出点A的对应点的坐标．
【详解】解：∵A（2，1），B（4，1），
∴线段AB平行于x轴，
∴线段AB的中点坐标为（3，1），
∵将线段AB平移，使得AB的中点落在对应点（−1,−2）的位置，
∴平移方式是：先向左平移4个单位，再向下平移3个单位，
∴点A的对应点的坐标为（-2，-2），
故答案为：（-2，-2）
【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移，确定出平移规律是解题的关键．
【考点15 平移作图及求坐标系中的图形面积】
【例15】（2022·新疆吐鲁番·七年级阶段练习）把三角形ABC向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后得到三角形A1B1C1
(1)请画出三角形A1B1C1，并写出点A1、B1、C1的坐标．
(2)求三角形A1B1C1的面积．
【答案】(1)作图见解析，A1（0，0），B1（﹣1，﹣2），C1（﹣3，1）；
(2)72
【分析】（1）根据平移方式找到点的对应坐标，顺次连接即可，再根据平移之后的位置可直接写出点的坐标；
（2）根据割补法求解即可．
（1）
解：△A1B1C1如下图，
A1（0，0），B1（﹣1，﹣2），C1（﹣3，1），
（2）
解：三角形A1B1C1的面积为：3×3−12×2×3−12×1×2−12×1×3=72．
【点睛】本题考查图形的平移和割补法求三角形的面积，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
【变式15-1】（2022·黑龙江·海林市朝鲜族中学七年级期中）已知在平面直角坐标系中有三点A−2,1，B3,1，C2,3请回答如下问题：
(1)在坐标系内描出点A，B，C的位置；
(2)求出以A，B，C三点为顶点的三角形的面积；
(3)在y轴上是否存在点P，使得以A，B，P三点为顶点的三角形的面积为10？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)5
(3)P0,5或0,−3
【分析】（1）根据题意描出各点，即可求解；
（2）根据三角形的面积公式计算，即可求解；
（3）分两种情况讨论，即可求解．
（1）
解：如图所示
（2）
解：S△ABC=12×2×5=5
（3）
解：设点P（0，m），则OP=m，
∵点A−2,1，B3,1，
∴AB=5，
∵以A，B，P三点为顶点的三角形的面积为10，
当点P在AB的上方时，
12m−1×AB=10，解得：m=5；
当点P在AB的上方时，
121−m×AB=10，解得：m=-3；
∴点P的坐标为0,5或0,−3．
【点睛】本题考查了点的坐标的表示方法，能根据点的坐标表示三角形的底和高并求三角形的面积是解题的关键．
【变式15-2】（2022·河北·武邑武罗学校七年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A(﹣3，0)，B(0，﹣3)，C(4，0)，D(0，4)．
(1)在图中描出上述各点；
(2)有一直线l通过点P(﹣3，4)且与y轴垂直，则l也会通过点 （填“A”“B”“C”或“D”）；
(3)连接AB，将线段AB平移得到A′B′，若点A′(﹣1，3)，在图中画出A′B′，并写出点B′的坐标；
(4)若Q(﹣5，﹣2)，求三角形ACQ的面积．
【答案】(1)见解析
(2)D
(3)见解析，(2，0)
(4)7
【分析】（1）根据平面直角坐标系即可描出各点A（﹣3，0），B（0，﹣3），C（4，0），D（0，4）；
（2）根据直线l通过点P（﹣3，4）且与y轴垂直，进而可以解决问题；
（3）根据平移的性质即可将线段AB平移得到A'B'，进而可以写出点B'的坐标；
（4）根据Q（﹣5，﹣2），即可求三角形ACQ的面积．
（1）
解：如图所示，点A，B，C，D即为所求；
（2）
解：如图，直线l即为所求，则l会通过点D；
故答案为：D；
（3）
解：如图，A'B'即为所求，B'的坐标为（2，0）；
（4）
解：∵Q（﹣5，﹣2），
∴三角形ACQ的面积＝12×7×2=7．
【点睛】本题考查了作图﹣平移变换，解决本题的关键是掌握平移的性质．
【变式15-3】（2022·湖北荆门·七年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知三角形ABC的三个顶点的坐标分别是A−2,1，B−3,−2，C1,−2．
(1)在图中画出三角形ABC；
(2)先将三角形ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到三角形A1B1C1．分别写出A1，B1，C1的坐标；
(3)若y轴有一点P，满足三角形PBC是三角形ABC的2倍，请直接写出P点的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)画图见解析，A1（0，4）、B1（-1，1）、C1 (3，1)；
(3)P（0，4）或(0，-8)
【分析】（1）根据平面直角坐标系以及A,B,C的坐标，描点，顺次连接A,B,C，则△ABC即为所求；
（2）将三角形ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到三角形A1B1C1．根据坐标系写出点的坐标即可；
（3）设P0,y，根据三角形面积公式建立方程，解方程即可求解．
(1)
如图所示：
(2)
如图所示：
由图可得：A1（0，4）、B1（-1，1）、C1 (3，1)；
(3)
∵S△ABC=12BC×3=12×4×3=6，
∴△PBC是△ABC面积的2倍，
设P0,y，
∴12×4×y+2=12
解得y=0或y=−8
则P（0，4）或(0，-8)．
【点睛】本题考查了坐标与图形，平移作图，数形结合是解题的关键．
【考点16 坐标与图形】
【例16】（2022·陕西商洛·七年级期末）如图，在长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为a,0，点C的坐标为0,b，且a、b满足a−4+b−6=0，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O→A→B→C→O的线路移动．
(1)求点B的坐标；
(2)当点P移动4秒时，请求出点P的坐标；
(3)当点P移动到距离x轴5个单位长度时，求点P移动的时间．
【答案】(1)（4，6）
(2)4,4
(3)4.5秒或7.5秒
【分析】（1）根据非负数的性质式求得a,b的值，从而求得A,C的坐标，进而求得B点的坐标；
（2）根据题意求得P点路程，进而求得坐标；
（3）分类讨论，第一种情况：当点P在OC上时，第二种情况：当点P在BA上时，分别计算出时间．
（1）
解：∵a−4+b−6=0，a−4≥0，b−6≥0，
∴a−4=0，b−6=0，
∴a=4，b=6，
∴点A的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，6），
∴OA=4，OC=6，
∴BC=OA=4，BA=OC=6，
∴点B的坐标为（4，6）；
（2）
解：∵点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O→A→B→C→O的线路移动，运动时间为4秒，
∴点P的运动路程为2×4=8．
∵OA=4，OC=6，
∴当点P移动4秒时，在线段AB上，离点A的距离是8−4=4，
∴点P的坐标是4,4．
（3）
解：由题意可得在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，存在两种情况．
第一种情况：当点P在OC上时，点P移动的时间是4+6+4+6−5÷2=7.5（秒）．
第二种情况：当点P在BA上时，点P移动的时间是4+5÷2=4.5（秒）．
所以在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，点P移动的时间是4.5秒或7.5秒．
【点睛】本题考查了坐标与图形，点到坐标轴的距离，非负数的性质，熟练掌握坐标与图形的性质是解题的关键．
【变式16-1】（2022·山东临沂·七年级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知A(a，0)，B(b，0)，其中a，b满足b−3+(a+1)2=0，点M为第三象限内一点．
(1)请直接写出A、B两点的坐标：A( ，0)，B( ，0)；
(2)若M为(−2，m)，请用含m的式子表示△ABM的面积；
(3)若M(2−m，2m−10)到坐标轴的距离相等，MN∥AB且NM=AB，求N点坐标．
【答案】(1)﹣1，3
(2)−2m
(3)N(-6，-2)或(2，-2)
【分析】（1）根据非负数的性质可求出答案；
（2）根据三角形面积公式求出答案即可；
（3）由题意可求出m＝4或8，求出M的坐标，则可得出答案．
（1）
∵b−3+（a+1）2＝0，
∴b−3=0，（a+1）2＝0，
∴b﹣3＝0，a+1＝0，
∴b＝3，a＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
故答案为：﹣1，3；
（2）
如图，
∵M为（﹣2，m），且M在第三象限内，
∴m＜0，
∴△ABM的面积=12×4×(−m)=−2m；
（3）
∵M（2﹣m，2m﹣10）到坐标轴的距离相等，
∴2﹣m＝2m﹣10或2﹣m＝﹣（2m﹣10），
∴m＝4或8，
∵M为第三象限内一点，
∴M（﹣2，﹣2），
∵A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB＝4，
∵MN∥AB，NM＝AB，
∴N（﹣6，﹣2）或（2，﹣2）．
【点睛】本题考查了二次根式的性质、偶次方的非负性、三角形的面积、坐标与图形的性质等知识点，难度适中，能准确求三角形的面积和掌握图形与坐标的性质是关键．
【变式16-2】（2022·山西临汾·七年级期末）如图，四边形ABDC放置在平面直角坐标系中，AB∥CD，AB=CD，点A，B，C的坐标分别为（5，8），（5，0），（-2，5）．
(1)AB与y轴的位置关系是______（填“平行”或“相交”），点D的坐标为______；
(2)E是线段AB上一动点，则CE距离的最小值d=______，CE距离最小时，点E的坐标是______；
(3)M，N分别是线段AB，CD上的动点，M从A出发向点B运动，速度为每秒2个单位长度，N从D出发向点C运动，速度为每秒3个单位长度，若两点同时出发，几秒后M、N两点距离恰好为d？
【答案】(1)平行,（-2，-3）
(2)7，（5，-5）
(3)经过115秒时，M，N两点的距离为d
【分析】（1）由A，B两点横坐标相同可判断AB∥y轴，根据CD=AB=8，从而求得点D坐标；
（2）当CE⊥AB时，CE之间的距离最小，进一步求得结果；
（3）当点M，N两点的纵坐标相同时，MN=d，进一步求得结果．
（1）
解：∵A(5,8),B(5,0)，
∴A，B两点的横坐标相同，
∴AB⊥x轴，
∵y轴⊥x轴，
∴AB∥y轴，
∵AB∥CD，AB=CD，AB=8，
∴CD=8，
∴5−8=−3，
∴点D(−2,−3)，
故答案为：平行，−2，−3；
（2）
当CE⊥AB时，d最小，此时d=5−(−2)=7，
此时E点的横坐标和点A的横坐标相同，纵坐标与点C的纵坐标相同，
∴E(5,−5)，
故答案为7，(5,−5)；
（3）
当M，N之间距离等于7时，M点和N点的纵坐标相同，
∴8−2t=−3+3t，
∴t=115，
∴经过115秒时，M，N两点的距离为d．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特点与线段的位置之间关系等知识，解决问题的关键是根据点的坐标来确定线段之间的关系．
【变式16-3】（2022·湖北·沙洋县纪山中学七年级期中）将长方形OABC的顶点O放在直角坐标系中，点C，A分别在x轴，y轴上，点B（a，b），且a，b满足|a−2b|+(b−4)2=0．
(1)求B点的坐标
(2)若过O点的直线OD交长方形的边于点D，且直线OD把长方形的周长分为2：3两部分，求点D的坐标；
(3)若点P从点C出发，以2单位／秒的速度向O点运动（不超过O点），同时点Q从O点出发以1单位／秒的速度向A点运动（不超过A点），试探究四边形BQOP的面积在运动中是否会发生变化？若不变，求其值；若变化，求变化范围．
【答案】(1)B点坐标为（8，4）；
(2)D点坐标为（5.6，4）或（8，1.6）；
(3)四边形BQOP的面积在运动中不会发生变化．面积为16．
【分析】（1）根据非负数的性质列式求出得到a-2b=0，b-4=0，然后解方程求出a与b的值，再写出B点坐标；
（2）分类讨论：当点D在AB上，和点D在BC上，根据题意列方程，解方程即可得到D点坐标；
（3）设运动的时间为t，则CP=2t，OQ=t（0≤t≤4），则可根据三角形面积公式和S四边形BQOP=S长方形ABCO−SΔABQ−SΔCPB计算得到S四边形BQOP=16，即四边形BQOP的面积在运动中不发生变化．
（1）
解：∵|a−2b|+(b−4)2=0，
∴a-2b=0，b-4=0，
∴a=8，b=4，
∴B点坐标为（8，4）；
（2）
解：当点D在AB上，如图，
设D（m，4），则AD=m，BD=8-m，
∵直线OD把长方形的周长分为2：3两部分，
∴（4+m）：（8-m+4+8）=2：3，
解得m=5.6，
∴D点坐标为（5.6，4）；
当点D在BC上，如图，
设D（8，n），则CD=n，BD=4-n，
∵直线OD把长方形的周长分为2：3两部分，
∴（8+n）：（4-n+4+8）=2：3，
解得m=1.6，
∴D点坐标为（8，1.6），
综上所述，D点坐标为（5.6，4）或（8，1.6）；
（3）
解：四边形BQOP的面积在运动中不会发生变化．
如图，设运动的时间为t，则CP=2t，OQ=t（0≤t≤4），
S四边形BQOP=S长方形ABCO−SΔABQ−SΔCPB
=4×8-12×8×（4-t）-12×8×t
=16；
∴四边形BQOP的面积在运动中不会发生变化．面积为16．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标特征计算线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系．也考查了三角形的面积公式．x
－3
－1
n
y
6
m
－2