人教版七年级数学下册章节重难点举一反三 专题1.1 相交线与平行线全章知识典例详解

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一、直线的相交
1．两条直线的位置关系
在同一平面内，两条直线要么相交，要么平行．
【注】两条直线：①有且只有一个公共点，两直线相交；②无公共点，则两直线平行；③两个或两个以上公共点，则两直线重合，视为一条直线．
【典例1】如下图，在一张白纸上画1条直线，最多能把白纸分成2部分（如图（1）），画2条直线，最多能把白纸分成4部分（如图（2）），画3条直线，最多能把白纸分成7部分（如图（3）），，当在一张白纸上画20条直线，最多能把白纸分成（ ）
A．400部分B．221部分C．220部分D．211部分
【分析】首先根据题意总结出画n条直线，最多能把这张纸分成n+1⋅n2+1块，然后当n=20时，代入即可.
【详解】画1条直线，最多能把这张纸分成1+1=2块；
画2条直线，最多能把这张纸分成1+1+2=4块；
画3条直线，最多能把这张纸分成1+1+2+3=7块；
画n条直线，最多能把这张纸分成1+1+2+3+4+……+n=n+1⋅n2+1块；
则画20条直线，最多能把白纸分成20+1⋅202+1=211块；
故答案为D.
【典例2】已知6条直线中的任意两条直线都相交，若交点数最多为M个，最少为m个，则M−m=______．
【分析】由题意可得6条直线相交于一点时交点最少，任意两直线相交都产生一个交点时交点最多，由此可得出M，m的值，从而得出答案．
【详解】解：根据题意可得：6条直线相交于一点时交点最少，此时交点为1个，即m=1；
任意两直线相交都产生一个交点时交点最多，
∵任意三条直线不过同一点，∴此时点为：6×（6-1）÷2=15，即M=15；∴M-m=14．
故答案为：14．
2．直线的相交——两线四角
（1）邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，有一条公共边且另一边互为反向延长线的两个角，互为邻补角．
如图1，和，和，和，和互为邻补角．
图1
【注】互为邻补角的两个角一定互补，但两个角互补不一定互为邻补角．
（2）对顶角：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，则这两个角互为对顶角．
如图1，和，和，互为对顶角．
【注】互为对顶角的两个角一定相等，但两个角相等不一定互为对顶角．
【典例3】∠1与∠2是对顶角，∠2与∠3是邻补角，则∠1+∠3=________度．
【分析】根据对顶角相等，邻补角互补即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，∠1=∠2，∠2+∠3=180°，∴∠1+∠3=180°，
故答案为180．
【典例4】如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE．
(1)若∠AOC=76°，求∠BOF的度数；
(2)若∠BOF=36°，求∠AOC的度数；
【分析】（1）先根据对顶角相等求出∠BOD=76°，再由角平分线定义得∠DOE=∠BOE=38°，由邻补角得∠COE=142°，再根据角平分线定义得∠EOF=71°，从而可得结论．
（2）利用角平分的定义得出∠BOE=∠EOD，∠COF=∠FOE，进而表示出各角求出答案．
【详解】（1）∵∠AOC、∠BOD是对顶角，∴∠BOD=∠AOC=76°，
∵OE平分∠BOD，∴∠DOE=∠BOE=12∠BOD=38°，∴∠COE=142°，
∵OF平分∠COE．∴∠EOF=12∠COE=71°，又∠BOE+∠BOF=∠EOF，
∴∠BOF=∠EOF−∠BOE=71°−38°=33°，
（2）∵OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∴∠BOE=∠EOD，∠COF=∠FOE，
∴设∠BOE=x，则∠EOD=x，故∠COA=2x，∠EOF=∠COF=x+36°，
则∠AOC+∠COF+∠BOF=2x+x+36°+36°=180°，解得x=36°，
故∠AOC=72°．
二、垂直
1．垂直：一条直线与另一条直线相交成，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
如图2，，垂足为O，可记为“于点O”．
图2
2．性质：
（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
【注】直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
【典例5】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是（ ）
A．3B．2.5C．2.4D．2
【分析】当PC⊥AB时，PC的值最小，利用面积法求解即可．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，
∵当PC⊥AB时，PC的值最小，此时：△ABC的面积＝12•AB•PC＝12•AC•BC，
∴5PC＝3×4，∴PC＝2.4，
故选：C．
【典例6】如图，在三角形ABC中，∠ACB=90°．
(1)过点C画AB的垂线，交AB于点H；
(2)在（1）的条件下，点A到直线CH的距离是线段______的长度；
(3)在（1）的条件下，比较CH与AB的大小，并说明理由．
【分析】（1）根据垂线的做法，过C点往AB作垂线即可；
（2）根据点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，可知点A到直线CH的距离是线段AH的长度；
（3）根据垂线段最短，进行判定即可．
【详解】（1）解：如图所示
（2）∵AH⊥CH，∴点A到直线CH的距离是线段AH的长度，
故答案为：AH；
（3）AB>CH，理由如下：∵∠ACB=90°∴AB>BC，
∵AH⊥CH，∴∠BHC=90°∴BC >CH，∴AB>CH．
三、三线八角
1．同位角：两条直线被第三条直线所截，位置相同的一对角（即两个角分别在两条直线的同一侧，并且在第三条直线的同侧），叫做同位角．
图3
如图3，和，和，和，和都是同位角．
2．内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且位置交错的一对角（即两个角分别在第三条直线的两侧），叫做内错角．
如图3，和，和都是内错角．
3．同旁内角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线的同侧的一对角，叫做同旁内角．
如图3，和，和都是同旁内角．
【典例7】根据图形填空：
（1）若直线ED,BC被直线AB所截，则∠1和_____是同位角；
（2）若直线ED,BC被直线AF所截，则∠3和_____是内错角；
（3）∠1和∠3是直线AB,AF被直线______所截构成的内错角；
（4）∠2和∠4是直线AB，______被直线BC所截构成的_____角．
【分析】（1）根据图形及同位角的概念可直接进行求解；
（2）根据图形及内错角的概念可直接进行求解；
（3）根据图形及内错角的概念可直接进行求解；
（4）根据图形及同位角的概念可直接进行求解．
【详解】解：由图可得：
（1）若直线ED,BC被直线AB所截，则∠1和∠2是同位角；故答案为∠2；
（2）若直线ED,BC被直线AF所截，则∠3和∠4是内错角；故答案为∠4；
（3）∠1和∠3是直线AB,AF被直线ED所截构成的内错角；故答案为ED；
（4）∠2和∠4是直线AB，AF被直线BC所截构成的同位角；故答案为AF，同位．
【典例8】如图，已知直线a，b被直线c，d所截，直线a，c，d相交于点O，按要求完成下列各小题．
(1)在图中的∠1～∠9这9个角中，同位角共有多少对？请你全部写出来；
(2)∠4和∠5是什么位置关系的角？∠6和∠8之间的位置关系与∠4和∠5的相同吗？
【分析】根据同位角、内错角和同旁内角的特征（同位角形如“F”，内错角形如“Z”，同旁内角形如“U”）判断即可.
【详解】解：(1)如题图所示：同位角共有5对：
分别是∠1和∠5，∠2和∠3，∠3和∠7，∠4和∠6，∠4和∠9；
(2)由三线八角的判断方法∠4和∠5是由c，b，d三线组成，并且构成“U”形图案，所以∠4和∠5是同旁内角，同理可得：∠6和∠8也是同旁内角，故∠6和∠8之间的位置关系与∠4和∠5的相同．
故答案是：（1）同位角共有5对：分别是∠1和∠5，∠2和∠3，∠3和∠7，∠4和∠6，∠4和∠9；∠4和∠5是同旁内角；（2）∠6和∠8之间的位置关系与∠4和∠5的相同.
一、平行线
1．平行线：在同一平面内，永不相交的两条直线称为平行线．用“//”表示．
2．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
如图1，过直线a外一点A作b//a，c//a，则b与c重合．
图1
3．平行公理推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
简记为：平行于同一条直线的两条直线平行．
如图2，若b//a，c//a，则b//c．
图2
【典例9】已知直线a，b，c是同一平面内的三条不同直线，下面四个结论：
①若a//b,b//c,则a//c；②若a//b,a⊥c,则b⊥c；③若a⊥b,b⊥c,则a⊥c；④若a⊥c且c与b相交，则a与b相交，其中，结论正确的是（ ）
A．①②B．③④C．①②③D．②③④
【分析】根据平行公理及其推论：在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行进行分析即可求解．
【详解】①根据“同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”判定：若a//b,b//c,则a//c；故说法正确；
②若a//b,a⊥c,则b⊥c，故说法正确；
③根据“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”判定：若a⊥b,b⊥c,则a⊥c；说法错误；
④若a⊥c且c与b相交，则a与b不一定相交，故说法错误
故正确的有：①②
故选：A
二、平行线的判定
图3
（1）同位角相等，两直线平行．如图3，若，则a//b．
（2）内错角相等，两直线平行．如图3，若，则a//b．
（3）同旁内角互补，两直线平行．如图3，若，则a//b．
【典例10】如图，下列能判定AC∥DF的条件有（ ）
①∠1+∠DEC=180°；②∠C=∠2；③∠4=∠FEC；④∠DEF=∠5；⑤∠3=∠4．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据平行线的判定条件逐一判断即可．
【详解】解：①由∠1+∠DEC=180°可由同旁内角互补，两直线平行得到AC∥DF，符合题意；
②由∠C=∠2可由同位角相等，两直线平行得到AC∥DF，符合题意；
③由∠4=∠FEC可由内错角相等，两直线平行得到AC∥DF，符合题意；
④由∠DEF=∠5可由内错角相等，两直线平行得到BC∥DE，不能得到AC∥DF，不符合题意；
⑤由∠3=∠4可由内错角相等，两直线平行得到AB∥EF，不能得到AC∥DF，不符合题意；
故选C．
【典例11】如图，填空：
∵∠ABD=∠BDC（已知），∴_________∥_________（ ）；
∵∠A=∠CBE（已知），∴_________∥_________（ ）；
∵∠CBE=∠DCB（已知），∴_________∥_________（ ）；
∵∠A+∠ADC=180°（已知），∴_________∥_________（ ）．
【分析】根据平行线的判定定理即可求解．
【详解】解：∵∠ABD=∠BDC（已知），∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；
∵∠A=∠CBE（已知），∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）；
∵∠CBE=∠DCB（已知），∴CD∥BE（内错角相等，两直线平行）；
∵∠A+∠ADC=180°（已知），∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：AB，CD，内错角相等，两直线平行；AD，BC，同位角相等，两直线平行；CD，BE，内错角相等，两直线平行；AB，CD，同旁内角互补，两直线平行．
一、平行线的性质
（1）两直线平行，同位角相等．如图3，若a//b，则．
（2）两直线平行，内错角相等．如图3，若a//b，则．
（3）两直线平行，同旁内角互补．如图3，若a//b，则．
推论1 平行线间的距离处处相等
推论2 如果两个角的两边分别平行那么这两个角相等或互补
【典例12】完成下面的证明：如图，点B在AG上，AG∥CD，连接BC，CF平分∠BCD，∠ABE=∠FCB，BE⊥AF于点E．求证：∠F=90°．

证明：∵AG∥CD，∴∠ABC=∠BCD（_____________________）．
∵∠ABE=∠FCB，∴∠ABC−∠ABE=∠BCD−∠FCB，即∠EBC=∠FCD．
∵CF平分∠BCD，∴∠FCB=______（__________________）．
∴∠EBC=∠FCB，∴BE∥CF（________________________）
∴__________________=∠F（________________________）．
∵BE⊥AF，∴∠BEF=______°（______________________）．
∴∠F=90°．
【分析】根据平行线性质与判定、角平分线定义、垂直的定义填空即可．
【详解】证明：∵AG∥CD，∴∠ABC=∠BCD（两直线平行，内错角相等）．
∵∠ABE=∠FCB，∴∠ABC−∠ABE=∠BCD−∠FCB，即∠EBC=∠FCD．
∵CF平分∠BCD，∴∠FCB=∠FCD（角平分线的定义）．
∴∠EBC=∠FCB，∴BE∥CF（内错角相等，两直线平行）．
∴∠BEF=∠F（两直线平行，内错角相等）．
∵BE⊥AF，∴∠BEF=90°（垂直的定义）．
∴∠F=90°．
故答案为：两直线平行，内错角相等；∠FCD；角平分线的定义；内错角相等，两直线平行；∠BEF；两直线平行，内错角相等；90；垂直的定义．
【典例13】如图，∠1=∠2，∠A=∠D．
求证：∠B=∠C．（请把下面证明过程补充完整）
证明：∵1=∠2（已知）又∵∠1=∠3（____________）∴∠2=∠3（____________）
∴AE∥FD（_____________）∴∠A=∠_____（______________）
∵∠A=∠D（已知）∴∠D=∠BFD（等量代换）
∴_____∥CD（__________________）
∴∠B=∠C（____________）
【分析】先利用对顶角的性质证明∠2=∠3，再证明AE∥FD，可证明∠A=∠BFD，可得∠D=∠BFD，再证明AB∥CD，从而可得答案．
【详解】证明：∵1=∠2（已知）又∵∠1=∠3（对顶角相等）∴∠2=∠3（等量代换）
∴AE∥FD（内错角相等，两直线平行）∴∠A=∠BFD（两直线平行，内错角相等）
∵∠A=∠D（已知）∴∠D=∠BFD（等量代换）
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
∴∠B=∠C（两直线平行，内错角相等）
【典例14】如图，l1//l2，点A、E在直线l1上，点B、C、D在直线l2上，如果BD=2CD，△ABC的面积为30，那么△BDE的面积是______．
【分析】由BD:CD=2:1，可得出BDBC=23．根据l1∥l2，即可知△ABC与△BDE的高相等，从而可得出S△BDES△ABC=BDBC=23，即可求出结果．
【详解】∵BD:CD=2:1，∴BDBC=23，
∵l1∥l2，∴△ABC与△BDE的高相等，∴S△BDES△ABC=BDBC=23，
∵S△ABC=30，∴S△BDE=20，
故答案为：20．
二、命题、定理、证明
1. 命题：①命题的概念：判断一件事情的语句叫做命题；
②命题的形式：命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.通常可以写成“如果……那么……”的形式.“如果”后面的部分是题设，“那么”后面的部分是结论.
2. 命题包括两种：①如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题称为真命题；
②题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题称为假命题.
逆命题：将一个命题的题设与结论互换位置之后，形成新的命题，就叫原命题的逆命题.
注：原命题是真命题，其逆命题不一定仍为真命题；原命题为假命题，其逆命题也不一定为假命题.
3. 定理：经过推理证实的真命题叫做真理，它可以作为继续推理的依据.
4. 证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明.
【典例15】下列四个命题：①同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行；④从直线外一点作这条直线的垂线段叫点到直线的距离．其中是真命题的是_____．
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各个条件是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【详解】①过同一平面内一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原命题是真命题，符合题意；
②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
③两条平行的直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行，正确，是真命题，符合题意；
④从直线外一点作这条直线的垂线段的长度叫点到直线的距离，故原命题是假命题，不符合题意；
真命题是①③，
故答案为：①③．
【典例16】把“同角的余角相等”改成“如果…，那么…”：_____________．
【分析】找到命题的条件和结论进行改写即可．
【详解】根据命题的特点，可以改写为：“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”
故答案为：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．
1. 平移的定义：把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同
2. 平移的性质：①平移是延直线移动；
②平移后的图形与原图形的形状和大小完全相同；
③新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点，连接各组对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等.
【典例17】如图，将直角△ABC沿CB边向右平移得到△DFE，DE交AB于点G．AB=9cm，BF=3cm，AG=5cm，则图中阴影部分的面积为______．
【分析】∠F是直角，BF是梯形的高，根据AB的长度求出BG的长度，利用梯形的面积公式求出．
【详解】解：∵AB=DF，AB=9，
∴DF=9，BG=AB−AG=9−5=4，
又∵BF是梯形的高，
阴影部分的面积为：12BG+DF×BF=12×4+9×3=392cm2．
故答案是：392cm2．
【典例18】如图，将周长为8cm的△ABC沿BC方向平移1cm得到△DEF，则四边形ABFD的周长为________cm．
【分析】根据平移的基本性质，得出四边形ABFD的周长为AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC即可得出答案．
【详解】解：根据题意，将周长为8cm的△ABC沿BC向右平移1cm得到△DEF，
∴AD=1cm，BF=BC+CF=BC+1cm，DF=AC；
又∵AB+BC+AC=8cm，
∴四边形ABFD的周长为AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=10cm．
故答案为：10．