所属成套资源：备战2024年高考数学二轮专题考前演练

成套系列资料，整套一键下载

浏览整套资料 (共30份)

备战2024年高考数学二轮专题考前演练之函数的单调性与最值 (解析)

展开

这是一份备战2024年高考数学二轮专题考前演练之函数的单调性与最值 (解析)，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知函数f(x)=4x1+|x|，则不等式−3A．(−1，2)B．(−2，1)
C．(−∞，−1)∪(2，+∞)D．(−∞，−2)∪(1，+∞)
【答案】B
【解析】【解答】因为f(x)=4x1+|x|的定义域为R，
且f(−x)=4−x1+|−x|=−4x1+x=−fx，所以函数f(x)为定义在R上的奇函数，
当x>0时，则fx=4x1+x=41x+1，
因为y=1x+1在0，+∞上单调递减，则fx=41x+1在0，+∞上单调增，
可得fx在−∞，0上单调减，且函数f(x)为定义在R上连续不断，
所以f(x)为定义在R上的增函数，且f3=3，f−3=−3，
则−3可得−3<2x+1<3，解得−2所以不等式−3故答案为：B.
【分析】根据题意分析可得f(x)为定义在R上的增函数，且为奇函数，进而根据函数性质解不等式.
2．已知函数f(x)=lg2x−3x+1，则不等式f(x)>0的解集是（）
A．(−1，2)B．(0，2)
C．(2，+∞)D．(−∞，−1)∪(−1，2)
【答案】C
【解析】【解答】解：由题意可得函数f(x)的定义域为(0，+∞)，
因为y=lg2x与y=−3x+1在(0，+∞)均为单调递增函数，
所以f(x)=lg2x−3x+1在(0，+∞)为单调递增函数，
因为f(2)=lg22−32+1=1−1=0，
所以f(x)>0的解集为(2，+∞).
故答案为：C.
【分析】求出函数的定义域，判断出函数在定义域上为单调递增函数，求出函数的零点，即可得答案.
3．已知奇函数f(x)的定义域为R，且f(x)在[0，1]上单调递增，在(1，+∞)上单调递减．若f(2)=0，则f(x)≥0的解集为（）
A．[−2，2]
B．(−∞，−2]∪[0，2]
C．[−2，0]∪[2，+∞)
D．(−∞，−2]∪{0}∪[2，+∞)
【答案】B
【解析】【解答】奇函数f(x)的定义域为R，f(0)＝0，f(−2)=0且f(x)在[−1，0]上单调递增，在(−∞，−1)上单调递减，可作出f(x)的大致图象：
由图象可知f(x)≥0解集为(−∞，−2]∪[0，2]．
故答案为：B
【分析】作出图象，从图象上观察f(x)≥0的解集.
4．下列函数在其定义域上单调递增的是（）
A．y=2x−2−xB．y=x−3C．y=tanxD．y=lg12x
【答案】A
【解析】【解答】对于A选项，因为函数y=2x、y=−2−x在R上均为增函数，
故函数y=2x−2−x在R上为增函数，A选项满足要求；
对于B选项，函数y=x−3在(0，+∞)上为减函数，B选项不满足要求；
对于C选项，函数y=tanx在其定义域上不单调，C选项不满足要求；
对于D选项，函数y=lg12x在其定义域上为减函数，D选项不满足要求.
故答案为：A.
【分析】根据题意由函数单调性的定义，结合指数函数、对数函数、幂函数以及正切函数的单调性由此对选项逐一判断即可得出答案。
5．函数y=x2−4x+3的单调递减区间为（）
A．(3，+∞)B．(−∞，1)
C．(−∞，1)和(3，+∞)D．(0，+∞)
【答案】B
【解析】【解答】解：令x2−4x+3≥0，解得x≥3或x≤1，即函数y=x2−4x+3的定义域为（−∞，1]∪[3，+∞)，
因为y=u在定义域内单调递增，y=x2−4x+3在−∞，1上单调递减，在3，+∞上单调递增，
则函数y=x2−4x+3 在−∞，1上单调递减，在3，+∞上单调递增，
所以函数y=x2−4x+3的单调递减区间为−∞，1.
故答案为：B.
【分析】先求函数的定义域，进而根据复合函数的定义域分析判断.
6．已知函数f(x)=lg12(x2−ax+3a)在[2，+∞)上单调递减，则a的取值范围（）
A．(−∞，4]B．(−4，4]C．[−4，4]D．(−4，+∞)
【答案】B
【解析】【解答】解：因为函数f(x)=lg12(x2−ax+3a)在[2，+∞)上单调递减，则函数y=x2−ax+3a在[2，+∞)上单调递增且y>0恒成立.
即a2≤222−2a+3a>0解得−4故答案为：B
【分析】先利用复合函数的单调性判断出y=x2−ax+3a在[2，+∞)上单调递增且y>0恒成立，根据二次函数的性质列出不等关系组即可求解.
7．已知f(x)=ax+a−x，且f(3)>f(1)，则下列各式一定成立的是（）
A．f(3)>f(−2)B．f(0)>f(3)
C．f(−1)>f(−3)D．f(0)>f(−1)
【答案】A
【解析】【解答】解：∵ f(−x)=a−x+ax=f(x)，∴fx为偶函数，
令t=ax，则t>0，又y=t+1t，在01单调递增，
∴当0 当a>1时，y=ax是增函数，在x∈0，+∞上，有ax>1，∴fx在x∈0，+∞单调递增，
∴fx在x∈[0，+∞）上单调递增，
A、 f(3)>f(2)=f(−2) ，A正确；
B、 f(0) C、 f(1)=f(−1) D、 f(0)故答案为：A.
【分析】先判断fx的奇偶性，再根据 f(3)>f(1) 判断fx的单调性，进而判断选项.
8．若函数f(x)=lg(x2−4x−5)在(t，t+1)上单调，则实数t的取值范围是（）
A．[−1，1]∪[2，4]B．(−1，1]∪[2，4)
C．(−∞，1]∪[2，+∞)D．(−∞，−2]∪[5，+∞)
【答案】D
【解析】【解答】由题意可得x2−4x−5>0解得x<-1或x>5，
令μ= x2-4x- 5，函数μ= x2-4x- 5在(-∞，-1)上单调递减，(5，+∞)上单调递增，
由函数y=lgμ是其定义域内单调递增函数，
故要使函数f(x)=lg(x2−4x−5)在(t，t+1)上单调，
即t+1≤-1或t≥5，
解得t≤-2或t≥5，
即实数t的取值范围是 (−∞，−2]∪[5，+∞)
故选：D.
【分析】由对数函数的真数大于0可得x<-1或x>5，再根据复合函数的单调性可得t+1≤-1或t≥5，进而求解可得出实数t的取值范围 .
9．函数y=x+4x−1在(0，+∞)上的最小值是（）
A．−2B．1C．2D．3
【答案】D
【解析】【解答】解：因为x>0，所以x+4x≥2x×4x=4，
所以y=x+4x−1≥3，即y=x+4x−1在0，+∞上的最小值是3，
故选D.
【分析】利用基本不等式求解.
10．下列函数中，在定义域上单调递增的是（）
A．f(x)=1xB．f(x)=(12)xC．f(x)=−2x+1D．f(x)=lg2x
【答案】D
【解析】【解答】解：A、fx=1x，由反比例函数的性质可得：在−∞，0、0，+∞上f(x)单调递减，故不选A；
B、 f(x)=(12)x ，0<12<1，由指数函数的性质可得：f(x)在R上单调递减，故不选B；
C、f(x)=-2x+1，由一次函数的性质可得：f(x)在R上单调递减，故不选C；
D、fx=lg2x，2>1，由对数函数的性质可得：f(x)在0，+∞上单调递增；故选D；
故答案是：D.
【分析】利用反比例函数、指数函数、一次函数、对数函数的性质分别判断A、B、C、D四个选项.
11．下列函数中，在区间(0，+∞)上单调递增的是（）
A．f(x)=−lnxB．f(x)=12xC．f(x)=−1xD．f(x)=3|x−1|
【答案】C
【解析】【解答】A、∵y=lnx在区间(0，+∞)上单调递增，∴ f(x)=−lnx在区间(0，+∞)上单调递减，A不符合题意；
B、∵y=2x在区间(0，+∞)上单调递增，∴ f(x)=12x在区间(0，+∞)上单调递减，B不符合题意；
C、∵y=1x在区间(0，+∞)上单调递减，∴ f(x)=−1x在区间(0，+∞)上单调递增，C符合题意；
D、∵ f(12)=3|12−1|=3， f(1)=30=1，∴f(12)>f(1)，∴ fx在区间(0，+∞)上不单调递增，D不符合题意。
故答案为：C
【分析】利用函数单调性判断选项.
12．下列函数在区间(0，2)上单调递增的是（）
A．y=(x−2)2B．y=1x−2C．y=sin(x−2)D．y=cs(x−2)
【答案】D
【解析】【解答】对于A选项：y=(x−2)2开口向上，对称轴x=2，所以在(−∞，2)上单调递减，故不符合题意.
对于B选项：y=1x−2是y=1x向右平移了两个单位长度，所以在在(−∞，2)上单调递减，故不符合题意.
对于C选项：y=sin(x−2)是y=sinx向右平移了两个单位长度，
所以y=sin(x−2)在(−3π2+2，−π2+2)上单调递减，在(−π2+2，π2+2)上单调递增，
因为0<−π2+2<2，所以不符合题意.
对于D选项：y=cs(x−2)是y=csx向右平移了两个单位长度，
所以y=cs(x−2)在(−π+2，2)上单调递增，则在(0，2)上单调递增，符合题意.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合增函数的定义，进而找出在区间(0，2)上单调递增的函数。
二、填空题
13．函数y=lg12|x−3|的单调递减区间是．
【答案】(3，+∞)
【解析】【解答】解：令m（x）=|x- 3|，则在(-∞，3)上m（x）为减函数，在(3，+∞)上m（x）为增函数，
又由y=lg12mx是减函数，
可得在区间(3，+∞)上y=lg12mx为减函数.
故答案为： (3，+∞) .
【分析】将原函数分解成两个简单函数，即m（x）=|x- 3|，y=lg12mx，再根据复合函数单调性进行判断，可得答案.
14．若偶函数f(x)在[0，+∞)上单调递减，且f(1)=0，则不等式f(x2−3x+3)≥0的解集是。
【答案】[1，2]
【解析】【解答】解：由已知条件f（1）=0可得f(x2−3x+3)≥f1，因为偶函数f(x)在[0，+∞)上单调递减，所以x2−3x+3≤1，
解得1≤x≤2
故答案为：[1，2]
【分析】利用函数的单调性和奇偶性转化成x2−3x+3≤1，，解不等式即可求解.
15．已知函数f(x)=x+lnx−1，则不等式f(x)<0的解集是 .
【答案】（0，1）
【解析】【解答】函数f(x)=x+lnx−1的定义域为(0，+∞).
因为y=x−1在(0，+∞)上为增函数，y=lnx在(0，+∞)上为增函数，
所以f(x)=x+lnx−1在(0，+∞)上为增函数，
又f(1)=1+ln1−1=0，所以不等式f(x)<0的解集为（0，1）.
故答案为：（0，1）
【分析】利用已知条件结合函数的单调性，进而得出不等式 f(x)<0的解集。
16．已知f(x)=lg13(2x2−2ax+5a)在区间(2，3)上是减函数，则实数a的取值范围是．
【答案】[−8，4]
【解析】【解答】解：令g(x)=2x2−2ax+5a，因为y=lg13x在定义域上单调递减，
又f(x)=lg13(2x2−2ax+5a)在区间(2，3)上是减函数，
所以g(x)=2x2−2ax+5a在(2，3)上单调递增且恒大于零，
所以a2≤2g(2)=8−4a+5a≥0，解得−8≤a≤4，所以实数a的取值范围是[−8，4].
故答案为：[−8，4]
【分析】由题意利用二次函数、对数函数的性质可得a2≤2g(2)=8−4a+5a≥0，由此求得实数a的取值范围.
三、解答题
17．设m为实数，已知函数f(x)=1−m2x−1是奇函数.
（1）求m的值；
（2）证明：f(x)在区间(0，+∞)上单调递减：
（3）当x∈(0，+∞)时，求函数f(x)的取值范围.
【答案】（1）∵ 函数f(x)=1−m2x−1是奇函数，∴ f(−x)+fx=1−m2−x−1+1−m2x−1=2+m2x−12x−1=m+22x−12x−1=0对任意x∈−∞，0∪0，+∞恒成立，∴m=−2；
（2）由(1)知f(x)=1+22x−1=2x+12x−1，对任意x1，x2∈0，+∞，设00，2x1−1>0，2x2−1>0，∴fx1−fx2=22x2−2x12x1−12x2−1>0，即fx1>fx2，∴ f(x)在区间(0，+∞)上单调递减；
（3）由(2)知 f(x)在区间(0，+∞)上单调递减，当x→+∞，有22x−1→0且22x−1>0，∴f(x)=1+22x−1>1，当x→0，有22x−1→+∞，
∴x∈(0，+∞)，函数f(x)的取值范围是1，+∞.
【解析】【分析】(1)由奇函数的定义得f(−x)+fx=0化简求解；
(2)利用单调性的定义证明；
(3)利用（2）的单调性结合指数函数的性质求其范围.
18．已知函数f(x)=lnx+ax+1−a2，其中a∈R．
（1）求函数f(x)的单调区间；
（2）讨论函数f(x)的零点的个数．
【答案】（1）解：函数f(x)的定义域为(0，+∞)，f′(x)=1x−a(x+1)2=x2+(2−a)x+1x(x+1)2，
在一元二次方程x2+(2−a)x+1=0中，Δ=(2−a)2−4=a2−4a=a(a−4)，
①当a<0时，f′(x)≥0恒成立，此时函数f(x)单调递增，增区间为(0，+∞)，没有减区间；
②当0≤a≤4时，f′(x)≥0恒成立，此时函数f(x)单调递增，增区间为(0，+∞)，没有减区间；
③当a>4时，一元二次方程x2+(2−a)x+1=0有两个不相等的根，
分别记为x1，x2(x2>x1)，有x1+x2=a−2，x1x2=1>0，可得x2>x1>0，
有x1=a−2−a2−4a2，x2=a−2+a2−4a2，
可得此时函数f(x)的增区间为(0，x1)，(x2，+∞)，减区间为(x1，x2)，
综上可知，当a≤4时，函数f(x)的增区间为(0，+∞)，没有减区间；
当a>4时，函数f(x)的增区间为(0，a−2−a2−4a2)，(a−2+a2−4a2，+∞)，
减区间为(a−2−a2−4a2，a−2+a2−4a2)；
（2）解：由（1）可知：
①当a≤4时，函数f(x)单调递增，又由f(1)=0，可得此时函数只有一个零点为x=1；
②当a>4时，由x1x2=1>0，x2>x1，可得0又由f(1)=0，由函数的单调性可知f(x1)>f(1)=0，f(x2)当0可得f(x)当x>ea2时，f(x)>lnx−a2>lnea2−a2=a2−a2=0
可知此时函数f(x)有且仅有3个零点，
由上知，当a≤4时，函数f(x)有且仅有一个零点；
当a>4时，函数f(x)有且仅有3个零点．
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合分类讨论的方法，从而结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数f(x)的单调区间。
（2）利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，再结合函数的单调性和零点存在性定理，进而讨论出函数的零点的个数。