2024台州高一上学期1月期末考试数学含答案

这是一份2024台州高一上学期1月期末考试数学含答案，共6页。试卷主要包含了…………12分等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若幂函数fx=xx的图象过点4,2，则f3的值为
A．19B．33C．32D．3
2．函数fx=lgx−1的定义域是
A．1,+∞B．[1,+∞)C．−∞,1∪1,+∞D．R
3．下列函数在其定义域上单调递增的是
A．fx=−1xB．fx=12xC．fx=lg2xD．fx=tanx
4．若a>0，b>0,，a+b=1，则
A．1a+1b≤1B．4ab≤1C．a2+b2≥1D．a+b≤1
5．下列四组函数中，表示同一函数的是
A．y=x,u=v2B．y=lnx2,s=2lnt
C．y=x2−1x−1,m=n+1D．y=sinx+π2,y=−csx
6．已知tanα+β=−2,tanα−β=7，则tan2α=
A．13B．−13C．913D．−913
7．已知lg2≈0.3010，若 2nn∈N是10位数，则 n的最小值是
A．29B．30C．31D．32
8．已知函数 fix=1mi2πe−x−ni22mi2mi,ni∈R,i∈{1,2,3}部分图象如图所示，则
A．m1=m2,n1>n2B．m1>m2,n1=n2C．m3>m1,n3>n1D．m3>m2,n3>n2
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知a>b>c>0，则
A．a+c>b+cB．ac>bcC．aa+c>bb+cD．ax10．已知函fx=sinx+π4csx+π4+sinxcsx,则
A．函数 fx的最小正周期为2πB．点−π8,0是函数fx图象的一个对称中心
C．函数 fx在区[π8,5π8]单调递减D．函数fx的最大值为1
11．定义域均为R的奇函数fx和偶函数gx，满足 fx+gx=2x+csx，则
A．∃x0∈R，使得fx0=m,m∈RB．∃x0∈R，使得 gx0=0
C．∀x∈R，都有fx−gx<1D．∀x∈R，都有fxgx+f−xg−x=0
12．设 n是正整数，集合 A={α∣α=x1,x2,⋯,xn,xi∈{−1,1},i=1,2,⋯,n}. 对于集合A中任意元素β=y1,y2,⋯,yn和 γ=z1,z2,⋯,zn，记 Pβ,γ=y1z1+y2z2+⋯+ynzn,
Mβ,γ=12y1+z1+y1−z1+y2+z2+y2−z2+⋯+yn+zn+yn−zn. 则
A．当n=3时，若β=1,1,γ=1,−1,−1，则 Mβ,γ=2
B．当n=3时，Pβ,r的最小值为 1−3
C．当n=6时， Mβ,γ≥Pβ,γ恒成立
D．当n=6时，若集合B⊆A，任取 B中2个不同的元素β,γ,Pβ,γ≥2，则集合 B中元素至多7个
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．120∘角是第 象限角.
14．已知函数fx=ax+1（a>0，且a≠1）的图象过定点，则该定点的坐标是 .
15．已知tanα=3, sinπ−α+sinπ2−αcsπ+αcsπ2+α的值为 .
16．若函数fx=x2−2x+x−aa>0在 [0,2]上的最小值为1，则正实数a的值为 .
四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）计算：
（1）3π−33+823−23×213；
（2）lg4+lg25−lg23×lg34.
18．（12分）已知A={x∣x−1x−3<0}，B={x∣x>m}.
（1）若 m=2，求 A∩B;
（2）若 x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数m的取值范围.
19．（12分）已知函数 fx=32sinx+cs2x2+m的最大值为2.
（1）求常数m的值：
（2）先将函数fx的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再将所得图象向右平移π6个单位长度，得到函数gx的图象，求gx在区间[0,π2]的取值范围.
20．（12分）从①flg32=−13;②函数fx为奇函数；③fx的值域是−1,1这三个条件中选一个条件补充在下面问题中，并解答下面的问题。
问题：已知函数fx=a3x+1−1,a∈R,且 .
（1）求函数fx的解析式；
（2）若fa⋅3x+2+f9x+m≤0对任意x∈R恒成立，求实数m的最小值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
21．（12分）如图是一种升降装置结构图，支柱OP垂直水平地面，半径为1的圆形轨道固定在支柱OP上，轨道最低点D，PD=2，OD=12.液压杆OA、OB，牵引杆CA、CB，水平横杆AB均可根据长度自由伸缩，且牵引杆CA、CB分别与液压杆OA、OB垂直.当液压杆OA、OB同步伸缩时，铰点A、B在圆形轨道上滑动，铰点C、E在支柱OP上滑动，水平横杆AB作升降运动（铰点指机械设备中铰链或者装置臂的连接位置，通常用一根销轴将相邻零件连接起来，使零件之间可围绕铰点转动）.
（1）设劣弧AD⌢的长为x，求水平横杆AB的长和AB离水平地面的高度OE（用x表示）；
（2）在升降过程中，求铰点C、E距离的最大值.
22．（12分）已知函数fx=−12x+12+5,x<1,x2+2x,x≥1.
（1）用单调性定义证明：fx在[1,+∞)上单调递增；
（2）若函数y=fx−mm∈R有3个零点x1,x2,x3，满足x1①求证：x3+12=20−4m;
②求[10x3]的值（[x]表示不超过x的最大整数）.
【参考答案】
台州市2023学年第一学期高一年级期末质量评估试卷
数学2024.1
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D 2．A 3．C 4．B 5．A 6．A 7．B 8．C
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．ABC 10．BC 11．ACD 12．BD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．二
14．0,2
15．2
16．134
四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）
解：3π−33+823−213×2−3
=π−3+4−1…………3分
=π…………5分
（2）
lg4+lg25−lg23×lg34
=2−2…………9分
=0…………10分
18．（1）
解：若m=2，则A={x∈R∣12},
所以A∩B={x∈R∣2（2）
若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A⊊B,…………9分
得m≤1，故m的取值范围是(−∞,1].…………12分
19．（1）
解：化简fx=sinx+π6+12+m.…………4分
因为fx的最大值为2，所以1+12+m=2,
故m=12.…………6分
（2）
gx=1+sin2x−π6,……………8分
由0≤x≤π2，得−π6≤2x−π6≤5π6，
所以−12≤sin2x−π6≤1,12≤1+sin2x−π6≤2,
故gx在区间[0,π2]上的取值范围是[12,2].……………12分
20．（1）
解： 若填①：3lg32=2…………2分
代入flg32=a2+1−1=−13得a=2.…………4分
注：若填②：函数fx为奇函数，故f0=1.…………2分
若填③：y=a3x+1−1，得y+1=a3x+1
因为3x=ay+1−1=a−y−1y+1>0，所以y−a−1y+1<0.…………2分
由fx的值域是−1,1得a−1=1,故a=2.…………4分
（2）
∀x1,x2∈R，且x10，
所以函数fx=23x+1−1在R上单调递减，…………5分
又因为fx=23x+1−1=1−3x1+3x，满足f−x=1−3−x1+3−x=3x−13x+1=−fx,
所以fx为奇函数.…………7分
因此，fa⋅3x+2+f9x+m≤0，可得f2⋅3x+2≤f−9x−m,
结合单调性，知2⋅3x+2≥−9x−m，所以m≥−9x−2⋅3x−2.…………10分
令3x=t>0，记y=−9x−2⋅3x−2=−t2−2t−2，故y∈−∞,−2.
所以m≥−2，故m的最小值为−2.…………12分
21．（1）
解：记轨道圆心为T，则AT=1,
设劣弧AD⌢的长为x，则∠ATD=x,
得AB=2AE=2sinx,…………3分
OE=OT−csx=32−csx.…………6分
（2）
由条件易知△AEC∼△OEA，则CE=AE2OE=sin2x32−csx=1−cs2x32−csx，…………9分
令32−csx=t.则CE=3t−t2−54t=3−t+54t,t∈12,52,…………10分
因为t+54t≥5，当且仅当t=52时，取到等号，…………11分
所以CE的最大值为3−5.…………12分
22．（1）
解：∀x1,x2∈[1,+∞)，且x1有fx1−fx2=x12−x22+2x1−2x2=x1−x2[x1+x2x1x2−2]x1x2，…………2分
由x1,x2∈[1,+∞)，得x1+x2>2,，x1⋅x2>1,
所以x1+x2x1x2>2，得x1+x2x1x2−2>0,…………3分
又由x1即fx1（2） ①
要使y=fx−m有3个零点，由（1）知，函数y=fx−m在[1,+∞)
上存在一个零点x3，在(−∞,1]上存在两个零点x1,x2，且x1=−2−x2,…………6分
代入x3−x2x2−x1=2−12，得x3−x2x2+1=2−11，于是x3+1x2+1=2，
因为−12x2+12+5=m，所以x3+12=20−4m⋅∗…………8分
②
由x32+2x3=m，代入∗式，得5x33+2x32−19x3+8=0,…………9分
令gx=5x3+2x2−19x+8，x∈[1,+∞)，∀x1,x2∈[1,+∞)，且x1有gx1−gx2=x1−x2[5x12+5x1x2+5x22+2x1+x2−19]<0，
故函数gx在[1,+∞)上单调递增，
又因为g2=12−92<0，g32=78>0，…………11分
所以x3∈2,32，得[10x3]=14.…………12分