第8章 平面向量-高一数学下学期核心考点+重难点讲练与测试（沪教版必修二）

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1．本试卷含三个大题，共21题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤．
一、填空题
1．已知、满足，，则______．
【答案】10
【分析】将两个等式平方联立直接计算即可.
【详解】由题意有，作差可得．
故答案为：
2．已知满足,则为_____．
【答案】
【解析】将两边平方得: ,结合向量的数量积公式的逆应用,可得出的大小.
【详解】解: 两边平方得:
,
所以
所以.
故答案为:
【点睛】本题考查向量夹角的运算,考查向量的数量积公式的逆应用,属于基础题.
3．已知与互相垂直，与互相垂直，则与的夹角为______．
【答案】0
【分析】由得，由得；由此组成方程组求出与、的关系，再求向量与的夹角即可．
【详解】，
，
①，
又，
，
②；
由①②组成方程组，
解得，，
向量与的夹角的余弦值为．
所以向量与的夹角为0
故答案为：0
4．已知点，，，则的面积为______．
【答案】
【分析】先计算出三角形的边长，再用余弦定理计算出，进而得到，再套用三角形面积公式即可求解.
【详解】点，，
，，,
故答案为：
5．已知，点在直线上，且满足，则点的坐标为_______.
【答案】，
【分析】由题意可得点分成的比为，由定比分点坐标公式求出点的坐标．
【详解】由题意可得点分成的比为，由定比分点坐标公式可得
，，故点的坐标为，．
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查线段的定比分点分有向线段成的比的定义，线段的定比分点坐标公式的应用，属于基础题．
6．已知，向量在向量上的投影向量为，则＝____________.
【答案】18
【解析】由题意向量在向量上的投影向量为，分析可得，代入公式，即可得答案.
【详解】因为向量在向量上的投影向量为，则可得，
所以，
故答案为：18.
【点睛】本题考查向量投影的应用，考查分析理解的能力，属基础题.
7．设，，是同向的单位向量，则的坐标是__________．
【答案】
【分析】先求出的坐标，再利用公式可求与同向的单位向量的坐标.
【详解】，故，故，
故答案为：.
【点睛】本题考查向量的减法、向量的模及单位向量，注意表示与共线同向的单位向量，此问题属于基础题.
8．如图，在梯形中，，，，点是边上一动点，则的最大值为_____________．
【答案】
【详解】如图，过N,C作AB的垂线，垂足分别为M,E.
由平面向量数量积知识得:
,
当N与C重合时取等号，的最大值为8，
故答案为：8.
考点：1.平面向量数量积的概念.
9．已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为______．
【答案】
【分析】先利用题意算出，再利用平面向量夹角为锐角的充要条件，列出不等式求解作答
【详解】解：因为，，所以，
因为与的夹角为锐角，所以，且与不共线，
所以且，
解得且，所以的取值范围为，
故答案为：
10．在中，G为重心，E，F，D分别是AB、BC、AC边的中点，则______．
【答案】.
【分析】先根据中点关系化简原式，然后根据重心的特点进行向量运算，由此求解出结果.
【详解】因为，
又因为为重心，所以，
所以，
故答案为：.
11．已知、、、、五个点，满足（），（），则的最小值为________
【答案】
【解析】设根据条件（），求得，，.又由，可考虑以为坐标原点，在轴上，建立平面直角坐标系，分别写出各点的坐标，由此可得
【详解】，
设，
则，，，
设，建立如图所示坐标系
则，，，，

，
当且仅当，即时等号成立，
.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：条件转化为向量垂直关系，进而建立直角坐标系，用坐标法解决问题是该题的关键.
12．对个向量，如果存在不全为零的实数，使得，则称线性相关，若已知，，是线性相关的，则__________．
【答案】
【分析】令，利用向量的坐标运算可得.
【详解】因为线性相关，故存在不全为零的使得，
即，整理得到：
，，
故.
故答案为：.
【点睛】本题以新定义为背景考查向量的坐标运算，注意根据给出的线性相关的定义进行运算，此问题属于基础题.
二、单选题
13．、是两个非零向量，则是的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
【答案】C
【分析】根据充分必要条件的定义及向量垂直的数量积运算判断．
【详解】，必要性成立，
，充分性成立．
故选：C．
14．若平面四边形满足，在方向上的数量投影是0，则该四边形一定是（ ）
A．直角梯形B．矩形C．菱形D．正方形
【答案】C
【分析】首先根据向量相等判断四边形为平行四边形，再根据投影为零得到对角线互相垂直，即可判断；
【详解】解：因为，所以，所以平面四边形为平行四边形，
又，在方向上的数量投影是0，即，即，所以平行四边形为菱形；
故选：C
15．如图所示，四个边长为1的正方形拼成一个大正方形，是其中一个小正方形的一条边，是小正方形其余的顶点，则集合中元素的个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【解析】根据向量的数量积运算，即可容易判断.
【详解】根据数量积的定义，元素的个数取决于在向量方向的投影的结果的个数.
结合已知条件，由图可知：
与，与，与在向量方向的投影相同，
故集合中有3个元素.
故选：A.
【点睛】本题考查数量积的定义，属基础题.
16．若，则、应满足（ ）
A．、都是零向量
B．、是平行向量
C．、中有一个是零向量或、是平行向量
D．是零向量或、是反向向量且满足
【答案】D
【分析】分和两种情况分析判断即可
【详解】由，得，
当时，满足等式，
当时，因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以方向相反，
综上，应满足是零向量或、是反向向量且满足，
故选：D
三、解答题
17．平面上有四个点、、、，存在实数，满足，求证：、、三点共线.
【答案】证明见解析
【分析】由向量的线性运算可得，又有公共点，即可得证.
【详解】解：因为，，
又有公共点，
故、、三点共线.
【点睛】本题考查了利用向量共线证明三点共线，重点考查了向量的线性运算，属基础题.
18．已知，．
(1)当k为何值时，与垂直？
(2)当k为何值时，与平行？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示可得，即可求出k的值；（2）根据平行向量的定义可知需满足即可得出k的值.
【详解】（1），．
若可得，
即，得，
即时，与垂直
（2）因为，不平行，由平行向量的定义可知，
需满足时，
即 时，与平行
19．如图，在中，，，为线段的垂直平分线，与交与点为上异于的任意一点.
求的值；
判断的值是否为一个常数，并说明理由．
【答案】14；是.
【分析】法一：由题意及图形，可把向量用两个向量的表示出来，再利用数量积的公式求出数量积；
将向量用与表示出来，再由向量的数量积公式求数量积，根据其值的情况确定是否是一个常数；
法二：由题意可以以BC所在直线为x轴，DE所在直线为y轴建立坐标系，得出各点的坐标，由向量坐标的定义式求出的坐标表示，由向量的数量积公式求数量积；
设E点坐标为，表示出向量的坐标再由向量的数量积坐标表示公式求数量积即可.
【详解】法1：由已知可得，，
,
的值为一个常数为线段BC的垂直平分线，L与BC交与点D，E为L上异于D的任意一点，
，
故：
解法2：以D点为原点，BC所在直线为x轴，L所在直线为 y轴建立直角坐标系，可求，
此时，，
设E点坐标为，
，
常数．
【点睛】本题考查向量在几何中的应用，本题采用了二种解法，一是基向量法，一是向量的坐标表示，解题的关键是建立坐标系与设定其向量.
20．已知点，点为直线上的一个动点.
（Ⅰ）求证：恒为锐角；
（Ⅱ）若四边形为菱形，求的值.
【答案】（Ⅰ）证明见解析;（Ⅱ）2.
【详解】试题分析：（1）已知一个角的两边的向量,可以求出这个角的大小,由题,可以求出向量PA,PB,由向量内积公式可求得角的范围;（2）菱形的对边平行且四边相等,向量相等,横纵坐标相等,由题,向量AP=BP,可以求得x=1,由向量PQ=BA,可以求得Q点坐标,即可求出向量的内积.
试题解析：（1）∵点在直线上，
∴点,
∴，
∴ ,
∴,
若三点在一条直线上，则，
得到，方程无解，
∴,
∴恒为锐角.
（2）∵四边形为菱形，
∴，即
化简得到，
∴，
∴ ,
设，∵，
∴，
∴,
∴.
考点：1.用向量的内积求角;2.菱形.
21．在平面直角坐标系中，令，，动点P从出发，沿着与向量相同的方向做匀速直线运动，速度大小为；另一动点Q从出发，沿着与向量相同的方向做匀速直线运动，速度大小为．设P、Q在时刻时分别在、处．
(1)动点P和Q的运动速度大小分别是多少？
(2)当t的值为多少时，？
【答案】(1)P、Q的速度大小分别为和
(2)
【分析】（1）分别求出、可得答案；
（2）求出、的坐标，由可得答案．
【详解】（1）由题意，，，则，，
∴P、Q的速度大小分别为和；
（2）在t时刻P、Q的坐标为：，，
∴，
∵，∴，，
解得，
即当时，.