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- 考点09 双曲线的15种常见考法归类-2023-2024学年高二数学专题高分突破(人教A版选择性必修第一册) 试卷 0 次下载
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考点10 双曲线的离心率10种常见考法归类-2023-2024学年高二数学专题高分突破(人教A版选择性必修第一册)
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这是一份考点10 双曲线的离心率10种常见考法归类-2023-2024学年高二数学专题高分突破(人教A版选择性必修第一册)，文件包含考点10双曲线的离心率10种常见考法归类原卷版docx、考点10双曲线的离心率10种常见考法归类解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共55页， 欢迎下载使用。
1、由双曲线的定义求离心率
圆锥曲线的离心率是用来描述其形状特征的量，它的基本定义式为，根据定义式可知求解离心率最基本的方法就是求出具体的参数，其比值也就是圆锥曲线离心率的大小.
2、利用双曲线中的三个重要三角形求离心率
双曲线C：中有三个重要的三角形，它们分别是：
焦点三角形，它满足：
①；②设，则
过双曲线的右焦点作渐近线的垂线，垂足为M，得到，它满足：
①；
②设则
（3）过双曲线的右顶点A作轴的垂线交渐近线于点B，得到 Rt△OAB，它满足：，且点
这三个三角形涉及到双曲线的定义、渐近线、三个参数a，b，c 的几何关系，它们对于解决双曲线的离心率问题起到很重要的作用.因此，对于双曲线的离心率问题，特别是与渐近线有关的离心率问题，我们可以分析题目中给出的条件，看看是否包含上述三个重要三角形，或者根据条件构造出这些重要的三角形，然后再利用其它几何关系，如对称关系，勾股定理，角度关系，面积关系等等去思考求解，这样往往比用代数法求解运算量小，简单方便！
3、共焦点椭圆与双曲线
椭圆与双曲线共焦点、，它们的交点对两公共焦点、的张角为，椭圆与双曲线的离心率分别为、，则
考点一 利用双曲线的定义求离心率
1．（2023秋·江苏淮安·高二统考期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的左支上，且，，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．3D．7
2．（2023秋·湖北武汉·高二武汉市第十七中学校联考期末）已知双曲线方程为，，两焦点分别为，，直线经过与双曲线交于两点，其中且，则此双曲线离心率为______.
3．（2023秋·江苏扬州·高三仪征中学校联考期末）已知是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线交于两点，且，，则双曲线的离心率为___________
4．（2023秋·广东广州·高二广州市天河中学校考期末）已知双曲线，、分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点，连接交双曲线左支于点，若是等边三角形，则双曲线的离心率为______.
5．（2023秋·天津河西·高二天津市第四十二中学校考期末）已知，分别是双曲线C：)的左、右焦点，过的直线与双曲线C的右支相交于P、Q两点，且PQ⊥．若，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
6．（2022秋·广东惠州·高三校考期末）已知分别是双曲线的左、右焦点，点P是双曲线C上在第一象限内的一点，若，则双曲线C的离心率的取值范围为__________．
考点二 利用几何关系求离心率
7．（2023秋·江西赣州·高三统考期末）直线与双曲线E：（，）交于M，N两点，若为直角三角形（其中O为坐标原点），则双曲线E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过双曲线C上一点P向y轴作垂线，垂足为，若且与垂直，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
9．（2022秋·上海浦东新·高二上海市建平中学校考阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，若在右支上存在一点，使得点到直线的距离为，则双曲线的离心率的取值范围是_____．
考点三 利用齐次方程求离心率
10．（2022秋·安徽芜湖·高三统考期末）已知双曲线：的左、右焦点为，，为双曲线渐近线上一点．满足，且直线，的斜率之和为，则双曲线的离心率为______．
11．（2022秋·全国·高二校联考阶段练习）已知，分别为双曲线：的左、右焦点，过点且斜率为的直线与双曲线的右支交于P，Q两点，若是等腰三角形，则双曲线的离心率为__________.
12．（2022·山东青岛·高二山东省莱西市第一中学校考学业考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为H，若的中点M在双曲线C上，则双曲线C的离心率为__________．
考点四 利用渐近线求离心率
13．（2022秋·江苏南通·高二统考期末）已知双曲线的焦点在轴上，渐近线方程为，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
14．（2023秋·北京·高二校考期末）已知直线：是双曲线：的一条渐近线，则___________；双曲线的离心率为___________.
15．（2022秋·四川巴中·高三南江中学校考阶段练习）已知双曲线C：的一条渐近线与直线l：垂直，则双曲线C的离心率为（ ）
A．2B．3C．4D．5
16．（2023秋·湖北十堰·高三统考阶段练习）已知直线与双曲线：相交，且有且仅有1个交点，则双曲线的离心率是（ ）
A．10B．C．D．
17．（2022秋·北京·高三校考阶段练习）若双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为___________.
18．（2021秋·陕西西安·高二高新一中校考期中）若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
考点五 利用双曲线中的三个重要三角形求离心率
19．（山西省晋中市2022届高三下学期5月模拟数学（文）试题）已知，是双曲线的左右焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为点，交另一条渐近线于点，且，则该双曲线的离心率为___________.
20．（四川省绵阳中学实验学校2022届高考模拟（一）文科数学试题）已知为双曲线的右焦点，过点作的渐近线的垂线，垂足为，且满足（为坐标原点），则双曲线的离心率为______
21．（2022山东）已知为双曲线的右焦点，过点向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为，且交另一条渐近线于点，若，则双曲线的离心率是_____________.
22．（2022四川）已知双曲线的左顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于、两点.若，则的离心率为______.
23．（2022河北）已知是双曲线的左、右焦点，若点关于直线的对称点也在双曲线上，则该双曲线的离心率为________．
24．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为____________．
25．（全国Ⅱ卷2022届高三高考数学（理）冲刺预测试题）已知双曲线的两条渐近线形成的对顶角中有一对对顶角均为60°，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．或2D．4或
26．（2022广东）已知分别是双曲线的左、右焦点，若关于渐近线的对称点恰落在以为圆心，为半径的圆上，则双曲线的离心率为
A．B．C．D．
考点六 双三角余弦定理型
27．（2022秋·湖南常德·高三统考期末）已知双曲线的左右焦点分别为、，过的直线与曲线的左右两支分别交于点，且，则曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
28．（2022·高二课时练习）设双曲线的左右焦点为，过的直线与双曲线右支交两点，设中点为，若，且，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
29．（2022·全国·高三专题练习）为双曲线两焦点（焦点在轴），直线经过且与双曲线左右两支交于点，求双曲线的离心率.
考点七 利用中点弦求离心率
30．（2023秋·浙江宁波·高二校联考期末）过双曲线内一点且斜率为的直线交双曲线于两点，弦恰好被平分，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
31．（2022秋·江苏徐州·高二统考期中）已知双曲线的右焦点为，虚轴的上端点为，点，为上两点，点为弦的中点，且，记双曲线的离心率为，则______．
32．（2021秋·河南·高二校联考阶段练习）已知斜率为的直线与双曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，AB的中点为P，若直线OP的斜率为，则双曲线C的离心率为___________.
33．（2022秋·全国·高二专题练习）已知双曲线（，）与直线相交于，两点，直线上存在一点满足，坐标原点为，直线的斜率为2，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．3
34．（2022秋·福建·高二福建师大附中校考期末）如图，已知斜率为的直线与双曲线的右支交于A，B两点，点A关于坐标原点O对称的点为C，且，则该双曲线的离心率为______.
考点八 双曲线与三角形四心
35．（2023秋·江苏·高三统考期末）已知双曲线的右焦点为，过点作一条渐近线的垂线，垂足为，若的重心在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
36．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线：的左、右焦点分别是，，是双曲线右支上一点，且，和分别是的内心和重心，若与轴平行，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．3D．4
37．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线()的左､右焦点分别为为双曲线上的一点，为的内心，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
38．（2022·全国·高三专题练习）设为双曲线的右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为，线段的中点为，的外心为，且满足，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
考点九 双曲线与圆
39．（2022秋·云南·高三校联考阶段练习）已知分别是双曲线的左、右焦点，直线经过且与左支交于两点，在以为直径的圆上，，则的离心率是（ ）
A．B．C．D．
40．（2022·浙江·模拟预测）双曲线 的左、右焦点，，若过点的直线与圆相切于点，且交双曲线的右支于点，若，则的离心率为______.
41．（2022秋·江西萍乡·高二统考期中）设双曲线：的左、右焦点分别为，，以为圆心的圆与的左支在第二象限交于点，与的右支在第一象限交于点，若，，三点共线，且，则双曲线的离心率为______．
42．【多选】（2022秋·福建福州·高二校考期中）已知、分别是双曲线的左、右焦点，直线是双曲线的一条渐近线，关于直线对称的点为，以为直径的圆与直线有公共点，则双曲线的离心率的取值可能为（ ）
A．B．C．D．2
43．（2022秋·山东济南·高二山东省济南市莱芜第一中学校考阶段练习）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过作圆：的切线，切点为，延长交双曲线的左支于点.若，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
44．（2022秋·四川成都·高二树德中学校考阶段练习）已知双曲线的右焦点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点．若，则的离心率的取值范围是__________．
45．（2022·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考二模）已知双曲线的左、右焦点分别为、，焦距为8，是双曲线右支上的一点，直线与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．3
考点十 共焦点的椭圆与双曲线
46．（2022·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）已知，分别为双曲线：的左，右焦点，点P为双曲线渐近线上一点，若，，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
47．（2022·全国·高三专题练习）设，分别为椭圆：与双曲线：的公共焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围为________________________．
48．（2022秋·上海杨浦·高二复旦附中校考期中）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别是F₁、F₂，这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF₁F₂是以PF₁为底边的等腰三角形，若|PF₁|=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e₁、e₂，则e₁e₂的取值范围是_____.
49．（2022秋·浙江金华·高二期末）已知中心在坐标原点的椭圆C1与双曲线C2有公共焦点，且左，右焦点分别为F1，F2，C1与C2在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若|PF1|＝10，C1与C2的离心率分别为e1，e2，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
50．（2022·全国·高三专题练习）设，分别为具有公共焦点与的椭圆和双曲线的离心率，为两曲线的一个公共点，且满足，则的最小值为（ ）
A．3B．C．4D．
51．（2022秋·四川成都·高二树德中学校考期中）已知是椭圆和双曲线的交点，，是，的公共焦点，，分别为，的离心率，若，则的取值范围为______．
52．（2022秋·江苏南京·高二南京外国语学校校考阶段练习）已知是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的值为（ ）
A．4B．3C．2D．1
53．（2022秋·河北沧州·高二统考期末）已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（ ）
A．8B．6C．4D．2
1、由双曲线的定义求离心率
圆锥曲线的离心率是用来描述其形状特征的量，它的基本定义式为，根据定义式可知求解离心率最基本的方法就是求出具体的参数，其比值也就是圆锥曲线离心率的大小.
2、利用双曲线中的三个重要三角形求离心率
双曲线C：中有三个重要的三角形，它们分别是：
焦点三角形，它满足：
①；②设，则
过双曲线的右焦点作渐近线的垂线，垂足为M，得到，它满足：
①；
②设则
（3）过双曲线的右顶点A作轴的垂线交渐近线于点B，得到 Rt△OAB，它满足：，且点
这三个三角形涉及到双曲线的定义、渐近线、三个参数a，b，c 的几何关系，它们对于解决双曲线的离心率问题起到很重要的作用.因此，对于双曲线的离心率问题，特别是与渐近线有关的离心率问题，我们可以分析题目中给出的条件，看看是否包含上述三个重要三角形，或者根据条件构造出这些重要的三角形，然后再利用其它几何关系，如对称关系，勾股定理，角度关系，面积关系等等去思考求解，这样往往比用代数法求解运算量小，简单方便！
3、共焦点椭圆与双曲线
椭圆与双曲线共焦点、，它们的交点对两公共焦点、的张角为，椭圆与双曲线的离心率分别为、，则
考点一 利用双曲线的定义求离心率
1．（2023秋·江苏淮安·高二统考期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的左支上，且，，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．3D．7
2．（2023秋·湖北武汉·高二武汉市第十七中学校联考期末）已知双曲线方程为，，两焦点分别为，，直线经过与双曲线交于两点，其中且，则此双曲线离心率为______.
3．（2023秋·江苏扬州·高三仪征中学校联考期末）已知是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线交于两点，且，，则双曲线的离心率为___________
4．（2023秋·广东广州·高二广州市天河中学校考期末）已知双曲线，、分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点，连接交双曲线左支于点，若是等边三角形，则双曲线的离心率为______.
5．（2023秋·天津河西·高二天津市第四十二中学校考期末）已知，分别是双曲线C：)的左、右焦点，过的直线与双曲线C的右支相交于P、Q两点，且PQ⊥．若，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
6．（2022秋·广东惠州·高三校考期末）已知分别是双曲线的左、右焦点，点P是双曲线C上在第一象限内的一点，若，则双曲线C的离心率的取值范围为__________．
考点二 利用几何关系求离心率
7．（2023秋·江西赣州·高三统考期末）直线与双曲线E：（，）交于M，N两点，若为直角三角形（其中O为坐标原点），则双曲线E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过双曲线C上一点P向y轴作垂线，垂足为，若且与垂直，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
9．（2022秋·上海浦东新·高二上海市建平中学校考阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，若在右支上存在一点，使得点到直线的距离为，则双曲线的离心率的取值范围是_____．
考点三 利用齐次方程求离心率
10．（2022秋·安徽芜湖·高三统考期末）已知双曲线：的左、右焦点为，，为双曲线渐近线上一点．满足，且直线，的斜率之和为，则双曲线的离心率为______．
11．（2022秋·全国·高二校联考阶段练习）已知，分别为双曲线：的左、右焦点，过点且斜率为的直线与双曲线的右支交于P，Q两点，若是等腰三角形，则双曲线的离心率为__________.
12．（2022·山东青岛·高二山东省莱西市第一中学校考学业考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为H，若的中点M在双曲线C上，则双曲线C的离心率为__________．
考点四 利用渐近线求离心率
13．（2022秋·江苏南通·高二统考期末）已知双曲线的焦点在轴上，渐近线方程为，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
14．（2023秋·北京·高二校考期末）已知直线：是双曲线：的一条渐近线，则___________；双曲线的离心率为___________.
15．（2022秋·四川巴中·高三南江中学校考阶段练习）已知双曲线C：的一条渐近线与直线l：垂直，则双曲线C的离心率为（ ）
A．2B．3C．4D．5
16．（2023秋·湖北十堰·高三统考阶段练习）已知直线与双曲线：相交，且有且仅有1个交点，则双曲线的离心率是（ ）
A．10B．C．D．
17．（2022秋·北京·高三校考阶段练习）若双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为___________.
18．（2021秋·陕西西安·高二高新一中校考期中）若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
考点五 利用双曲线中的三个重要三角形求离心率
19．（山西省晋中市2022届高三下学期5月模拟数学（文）试题）已知，是双曲线的左右焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为点，交另一条渐近线于点，且，则该双曲线的离心率为___________.
20．（四川省绵阳中学实验学校2022届高考模拟（一）文科数学试题）已知为双曲线的右焦点，过点作的渐近线的垂线，垂足为，且满足（为坐标原点），则双曲线的离心率为______
21．（2022山东）已知为双曲线的右焦点，过点向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为，且交另一条渐近线于点，若，则双曲线的离心率是_____________.
22．（2022四川）已知双曲线的左顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于、两点.若，则的离心率为______.
23．（2022河北）已知是双曲线的左、右焦点，若点关于直线的对称点也在双曲线上，则该双曲线的离心率为________．
24．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为____________．
25．（全国Ⅱ卷2022届高三高考数学（理）冲刺预测试题）已知双曲线的两条渐近线形成的对顶角中有一对对顶角均为60°，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．或2D．4或
26．（2022广东）已知分别是双曲线的左、右焦点，若关于渐近线的对称点恰落在以为圆心，为半径的圆上，则双曲线的离心率为
A．B．C．D．
考点六 双三角余弦定理型
27．（2022秋·湖南常德·高三统考期末）已知双曲线的左右焦点分别为、，过的直线与曲线的左右两支分别交于点，且，则曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
28．（2022·高二课时练习）设双曲线的左右焦点为，过的直线与双曲线右支交两点，设中点为，若，且，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
29．（2022·全国·高三专题练习）为双曲线两焦点（焦点在轴），直线经过且与双曲线左右两支交于点，求双曲线的离心率.
考点七 利用中点弦求离心率
30．（2023秋·浙江宁波·高二校联考期末）过双曲线内一点且斜率为的直线交双曲线于两点，弦恰好被平分，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
31．（2022秋·江苏徐州·高二统考期中）已知双曲线的右焦点为，虚轴的上端点为，点，为上两点，点为弦的中点，且，记双曲线的离心率为，则______．
32．（2021秋·河南·高二校联考阶段练习）已知斜率为的直线与双曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，AB的中点为P，若直线OP的斜率为，则双曲线C的离心率为___________.
33．（2022秋·全国·高二专题练习）已知双曲线（，）与直线相交于，两点，直线上存在一点满足，坐标原点为，直线的斜率为2，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．3
34．（2022秋·福建·高二福建师大附中校考期末）如图，已知斜率为的直线与双曲线的右支交于A，B两点，点A关于坐标原点O对称的点为C，且，则该双曲线的离心率为______.
考点八 双曲线与三角形四心
35．（2023秋·江苏·高三统考期末）已知双曲线的右焦点为，过点作一条渐近线的垂线，垂足为，若的重心在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
36．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线：的左、右焦点分别是，，是双曲线右支上一点，且，和分别是的内心和重心，若与轴平行，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．3D．4
37．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线()的左､右焦点分别为为双曲线上的一点，为的内心，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
38．（2022·全国·高三专题练习）设为双曲线的右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为，线段的中点为，的外心为，且满足，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
考点九 双曲线与圆
39．（2022秋·云南·高三校联考阶段练习）已知分别是双曲线的左、右焦点，直线经过且与左支交于两点，在以为直径的圆上，，则的离心率是（ ）
A．B．C．D．
40．（2022·浙江·模拟预测）双曲线 的左、右焦点，，若过点的直线与圆相切于点，且交双曲线的右支于点，若，则的离心率为______.
41．（2022秋·江西萍乡·高二统考期中）设双曲线：的左、右焦点分别为，，以为圆心的圆与的左支在第二象限交于点，与的右支在第一象限交于点，若，，三点共线，且，则双曲线的离心率为______．
42．【多选】（2022秋·福建福州·高二校考期中）已知、分别是双曲线的左、右焦点，直线是双曲线的一条渐近线，关于直线对称的点为，以为直径的圆与直线有公共点，则双曲线的离心率的取值可能为（ ）
A．B．C．D．2
43．（2022秋·山东济南·高二山东省济南市莱芜第一中学校考阶段练习）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过作圆：的切线，切点为，延长交双曲线的左支于点.若，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
44．（2022秋·四川成都·高二树德中学校考阶段练习）已知双曲线的右焦点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点．若，则的离心率的取值范围是__________．
45．（2022·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考二模）已知双曲线的左、右焦点分别为、，焦距为8，是双曲线右支上的一点，直线与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．3
考点十 共焦点的椭圆与双曲线
46．（2022·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）已知，分别为双曲线：的左，右焦点，点P为双曲线渐近线上一点，若，，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
47．（2022·全国·高三专题练习）设，分别为椭圆：与双曲线：的公共焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围为________________________．
48．（2022秋·上海杨浦·高二复旦附中校考期中）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别是F₁、F₂，这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF₁F₂是以PF₁为底边的等腰三角形，若|PF₁|=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e₁、e₂，则e₁e₂的取值范围是_____.
49．（2022秋·浙江金华·高二期末）已知中心在坐标原点的椭圆C1与双曲线C2有公共焦点，且左，右焦点分别为F1，F2，C1与C2在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若|PF1|＝10，C1与C2的离心率分别为e1，e2，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
50．（2022·全国·高三专题练习）设，分别为具有公共焦点与的椭圆和双曲线的离心率，为两曲线的一个公共点，且满足，则的最小值为（ ）
A．3B．C．4D．
51．（2022秋·四川成都·高二树德中学校考期中）已知是椭圆和双曲线的交点，，是，的公共焦点，，分别为，的离心率，若，则的取值范围为______．
52．（2022秋·江苏南京·高二南京外国语学校校考阶段练习）已知是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的值为（ ）
A．4B．3C．2D．1
53．（2022秋·河北沧州·高二统考期末）已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（ ）
A．8B．6C．4D．2
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