2024年高考数学重难点突破讲义：配套热练 第4讲　随机变量的分布列、期望与方差

这是一份2024年高考数学重难点突破讲义：配套热练 第4讲　随机变量的分布列、期望与方差，共7页。试卷主要包含了已知随机变量X的分布列为等内容，欢迎下载使用。

且Y＝aX＋3，若E(Y)＝－2，则 a等于( A )
A．－3B．－2
C．eq \f(5,3)D．3
【解析】 E(X)＝1×eq \f(1,2)＋2×eq \f(1,3)＋3×eq \f(1,6)＝eq \f(5,3)．因为Y＝aX＋3，所以E(Y)＝aE(X)＋3＝eq \f(5,3)a＋3＝－2，解得a＝－3．
2．设随机变量X的取值范围为{0,1,2}，若P(X＝0)＝eq \f(1,4)，E(X)＝1，则D(X)等于( C )
A．eq \f(1,4)B．eq \f(\r(,2),2)
C．eq \f(1,2)D．eq \f(3,4)
【解析】 设P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝q，由题意得，E(X)＝0×eq \f(1,4)＋p＋2q＝1，且eq \f(1,4)＋p＋q＝1，解得p＝eq \f(1,2)，q＝eq \f(1,4)，所以D(X)＝eq \f(1,4)×(0－1)2＋eq \f(1,2)×(1－1)2＋eq \f(1,4)×(2－1)2＝eq \f(1,2)．
3．已知甲、乙两名员工分别从家中赶往工作单位的时间互不影响，经统计，甲、乙一个月内从家中到工作单位所用时间在各个时间段内的频率如下：
某日工作单位接到一项任务，需要甲在30分钟内到达，乙在40分钟内到达，用X表示甲、乙两人在要求时间内从家中到达单位的人数，用频率估计概率，则X的数学期望和方差分别是( D )
A．E(X)＝1.5，D(X)＝0.36
B．E(X)＝1.4，D(X)＝0.36
C．E(X)＝1.5，D(X)＝0.34
D．E(X)＝1.4，D(X)＝0.34
【解析】 设事件A＝“甲在规定的时间内到达”，B＝“乙在规定的时间内到达”，P(A)＝0.5，P(B)＝0.9，A，B相互独立，所以P(X＝0)＝P(eq \x\t(A) eq \x\t(B))＝P(eq \x\t(A))P(eq \x\t(B))＝(1－0.5)×(1－0.9)＝0.05，P(X＝1)＝P(eq \x\t(A)B)＋P(Aeq \x\t(B))＝P(eq \x\t(A))P(B)＋P(A)P(eq \x\t(B))＝(1－0.5)×0.9＋0.5×(1－0.9)＝0.5，P(X＝2)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.5×0.9＝0.45，所以E(X)＝0×0.05＋1×0.5＋2×0.45＝1.4，D(X)＝E(X2)－E2(X)＝0.34．
4．若随机变量ξ的概率分布列为P(ξ＝k)＝eq \f(c,k2＋k)，k＝1,2,3，其中c是常数，则D(9ξ－3)的值为( C )
A．10B．117
C．38D．35
【解析】 因为P(ξ＝k)＝eq \f(c,k2＋k)，k＝1,2,3，所以eq \f(c,2)＋eq \f(c,6)＋eq \f(c,12)＝1，解得c＝eq \f(4,3)，所以E(ξ)＝1×eq \f(2,3)＋2×eq \f(2,9)＋3×eq \f(1,9)＝eq \f(13,9)，所以D(ξ)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(13,9)))2×eq \f(2,3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(13,9)))2×eq \f(2,9)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3－\f(13,9)))2×eq \f(1,9)＝eq \f(38,81)，所以D(9ξ－3)＝92D(ξ)＝81D(ξ)＝38．
5．一次抛掷两颗质地均匀的正方体骰子，若出现的点数是2倍关系，则称这次抛掷“漂亮”．规定一次抛掷“漂亮”得分为3，否则得分为－1．若抛掷30次，记累计得分为ξ，则( BCD )
A．抛掷一次，“漂亮”的概率为eq \f(1,12)
B．ξ＝2时，“漂亮”的次数必为8
C．E(ξ)＝－10
D．D(ξ)＝eq \f(200,3)
【解析】 由题可知一次抛掷两颗质地均匀的正方体骰子有36种等可能的结果，其中出现的点数是2倍关系的有6种等可能的结果，所以抛掷一次，“漂亮”的概率为p＝eq \f(6,36)＝eq \f(1,6)，故A错误；记抛掷30次抛掷“漂亮”的次数为X，则X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(30，\f(1,6)))，ξ＝3X－(30－X)＝4X－30，当ξ＝2时，4X－30＝2，即X＝8，故B正确；所以E(X)＝30×eq \f(1,6)＝5，D(X)＝30×eq \f(1,6)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,6)))＝eq \f(25,6)，所以E(ξ)＝4E(X)－30＝－10，D(ξ)＝42D(X)＝16×eq \f(25,6)＝eq \f(200,3)，故C，D正确．
6．(2023·郑州模拟)(多选)甲、乙、丙三人参加某赛事的志愿服务活动，共三个赛区，若每人只能选择一个赛区，且选择其中任何一个赛区是等可能的．记X为三人选中的赛区个数，Y为三人没有选中的赛区个数，则( BC )
A．E(X)＝E(Y)B．E(X)≠E(Y)
C．D(X)＝D(Y)D．D(X)≠D(Y)
【解析】 由题意得，随机变量X的所有可能取值为1,2,3，则P(X＝1)＝eq \f(C\\al(1,3),33)＝eq \f(1,9)，P(X＝2)＝eq \f(C\\al(2,3)A\\al(2,3),33)＝eq \f(2,3)，P(X＝3)＝eq \f(A\\al(3,3),33)＝eq \f(2,9)，所以E(X)＝1×eq \f(1,9)＋2×eq \f(2,3)＋3×eq \f(2,9)＝eq \f(19,9)，D(X)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(19,9)))2×eq \f(1,9)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(19,9)))2×eq \f(2,3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3－\f(19,9)))2×eq \f(2,9)＝eq \f(26,81)．随机变量Y的所有可能取值为0,1,2，则P(Y＝0)＝eq \f(A\\al(3,3),33)＝eq \f(2,9)，P(Y＝1)＝eq \f(C\\al(2,3)A\\al(2,3),33)＝eq \f(2,3)，P(Y＝2)＝eq \f(C\\al(1,3),33)＝eq \f(1,9)，所以E(Y)＝0×eq \f(2,9)＋1×eq \f(2,3)＋2×eq \f(1,9)＝eq \f(8,9)，D(Y)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0－\f(8,9)))2×eq \f(2,9)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(8,9)))2×eq \f(2,3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(8,9)))2×eq \f(1,9)＝eq \f(26,81)，故E(X)≠E(Y)，D(X)＝D(Y)．
7．(2023·杭州质检)(多选)已知随机变量ξ的分布列如下表所示：
则当a在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))内增大时( AC )
A．E(ξ)增大B．E(ξ)减小
C．D(ξ)先增大后减小D．D(ξ)先减小后增大
【解析】 由随机变量ξ的分布列得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0≤b－a≤1，,0≤b≤1，,0≤a≤1，,b－a＋b＋a＝1，))解得b＝0.5,0≤a≤0.5，所以E(ξ)＝0.5＋2a,0≤a≤0.5．故a在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))内增大时，E(ξ)增大．D(ξ)＝(－2a－0.5)2(0.5－a)＋(0.5－2a)2×0.5＋(1.5－2a)2a＝－4a2＋2a＋eq \f(1,4)＝－4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,4)))2＋eq \f(1,2)，所以当a∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,4)))时，D(ξ)单调递增，当a∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(1,2)))时，D(ξ)单调递减．
8．为了调查公司员工的健康状况，用分层随机抽样的方法抽取样本，若样本中有20名男员工，30名女员工，且男员工的平均体重为70 kg，标准差为4，女员工的平均体重为50kg，标准差为6，则所抽取样本的方差为__124__．
【解析】 由题意知，样本的平均数eq \x\t(x)＝eq \f(20×70＋30×50,20＋30)＝58，故样本的方差s2＝eq \f(20,20＋30)[42＋(70－58)2]＋eq \f(30,20＋30)[62＋(50－58)2]＝124．
9．袋中有形状大小相同的球5个，其中红色3个，黄色2个，现从中随机连续摸球，每次摸1个，当有两种颜色的球被摸到时停止摸球，记随机变量ξ为此时已摸球的次数，则E(ξ)＝__eq \f(5,2)__．
【解析】 由题意可得ξ＝2,3,4，若两次摸到两种颜色的球，则P(ξ＝2)＝eq \f(C\\al(1,2)C\\al(1,3)C\\al(1,2),C\\al(1,5)C\\al(1,4))＝eq \f(3,5)；若三次摸到两种颜色的球，则P(ξ＝3)＝eq \f(A\\al(2,2)C\\al(1,3)＋A\\al(2,3)C\\al(1,2),C\\al(1,5)C\\al(1,4)C\\al(1,3))＝eq \f(3,10)；若四次摸到两种颜色的球，则P(ξ＝4)＝eq \f(A\\al(3,3)C\\al(1,2),C\\al(1,5)C\\al(1,4)C\\al(1,3)C\\al(1,2))＝eq \f(1,10)，故E(ξ)＝2×eq \f(3,5)＋3×eq \f(3,10)＋4×eq \f(1,10)＝eq \f(5,2)．
10．已知离散型随机变量ξ的分布列如下表所示．
若随机变量ξ的均值E(ξ)＝eq \f(1,2)，则D(2ξ＋1)＝__11__．
【解析】 由表中数据得，E(ξ)＝－2a＋0×b＋2×eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)，解得a＝eq \f(1,4)，又a＋b＋eq \f(1,2)＝1，所以b＝eq \f(1,4)，所以D(ξ)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2－\f(1,2)))2×eq \f(1,4)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0－\f(1,2)))2×eq \f(1,4)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(1,2)))2×eq \f(1,2)＝eq \f(11,4)，所以D(2ξ＋1)＝22D(ξ)＝11．
11．(2023·莆田二检)互花米草是禾本科草本植物，其根系发达，具有极高的繁殖系数，对近海生态具有较大的危害．为尽快消除互花米草危害，2022年10月24日，市政府印发了《莆田市互花米草除治攻坚实施方案》，对全市除治攻坚行动做了具体部署．某研究小组为了解甲、乙两镇的互花米草根系分布深度情况，采用按比例分层随机抽样的方法抽取样本．已知甲镇的样本容量m＝12，样本平均数eq \x\t(x)＝18，样本方差seq \\al(2,1)＝19；乙镇的样本容量n＝18，样本平均数eq \x\t(y)＝36，样本方差seq \\al(2,2)＝70．
(1) 求由两镇样本组成的总样本的平均数eq \x\t(z)及其方差s2．
【解答】 根据题意，得eq \x\t(z)＝eq \f(12\x\t(x)＋18\x\t(y),12＋18)＝eq \f(2×18＋3×36,5)＝28.8，所以s2＝eq \f(1,30)[12seq \\al(2,1)＋12(eq \x\t(x)－eq \x\t(z))2＋18seq \\al(2,2)＋18(eq \x\t(y)－eq \x\t(z))2]＝eq \f(1,30)×(12×19＋12×10.82＋18×70＋18×7.22)＝127.36，所以总样本的平均数为eq \x\t(z)＝28.8，方差为s2＝127.36．
(2) 为营造“广泛发动、全民参与”的浓厚氛围，甲、乙两镇决定进行一次“互花米草除治大练兵”比赛，两镇各派一支代表队参加，经抽签确定第一场在甲镇举行．比赛规则：每场比赛直至分出胜负为止，胜方得1分，负方得0分，下一场在负方举行，先得2分的代表队获胜，比赛结束．当比赛在甲镇举行时，甲镇代表队获胜的概率为eq \f(3,5)，当比赛在乙镇举行时，甲镇代表队获胜的概率为eq \f(1,2)．假设每场比赛结果相互独立．甲镇代表队的最终得分记为X，求E(X)．
参考数据：12×182＝3 888,18×362＝2 3328,28.82＝829.44,12×10.82＝13 99.68,18×7.22＝933.12．
【解答】 依题意可知，X的所有可能取值为0,1,2, 设“第i场比赛在甲镇举行，甲镇代表队获胜”为事件Ai，“第i场比赛在乙镇举行，甲镇代表队获胜”为事件Bi，i＝1,2,3，则P(Ai)＝eq \f(3,5)，P(Bi)＝eq \f(1,2)，所以P(X＝0)＝P(eq \x\t(A1) eq \x\t(A2))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,5)))2＝eq \f(4,25)，P(X＝1)＝P(A1eq \x\t(B2) eq \x\t(A3)＋eq \x\t(A1)A2eq \x\t(B3))＝P(A1eq \x\t(B2) eq \x\t(A3))＋P(eq \x\t(A1)A2eq \x\t(B3))＝eq \f(3,5)×eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,5)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,5)))×eq \f(3,5)×eq \f(1,2)＝eq \f(6,25)，P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)＝eq \f(3,5)，所以E(X)＝0×eq \f(4,25)＋1×eq \f(6,25)＋2×eq \f(3,5)＝eq \f(36,25)．
12．甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军，已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8，各项目的比赛结果相互独立．
(1) 求甲学校获得冠军的概率；
【解答】 甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8，可以得到两个学校每场比赛获胜的概率如下表：
甲学校要获得冠军，需要在3场比赛中至少获胜2场，①甲学校3场全胜，概率为P1＝0.5×0.4×0.8＝0.16．②甲学校3场获胜2场败1场，概率为P2＝0.5×0.4×0.2＋0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.8＝0.44，所以甲学校获得冠军的概率为P＝P1＋P2＝0.6．
(2) 用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
【解答】 乙学校的总得分X的可能取值为0,10,20,30，其概率分别为P(X＝0)＝0.5×0.4×0.8＝0.16，P(X＝10)＝0.5×0.4×0.2＋0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.8＝0.44，P(X＝20)＝0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2＋0.5×0.6×0.2＝0.34，P(X＝30)＝0.5×0.6×0.2＝0.06，则X的分布列为：
X的期望E(X)＝0×0.16＋10×0.44＋20×0.34＋30×0.06＝13．
(3) 设用Y表示甲学校的总得分，比较D(X)和D(Y)的大小(直接写出结果)．
【解答】 甲学校的总得分Y的可能取值为0,10,20,30，其概率分别为P(Y＝0)＝0.5×0.6×0.2＝0.06，P(Y＝10)＝0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2＋0.5×0.6×0.2＝0.34，P(Y＝20)＝0.5×0.4×0.2＋0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.8＝0.44，P(Y＝30)＝0.5×0.4×0.8＝0.16，则Y的分布列为：
Y的期望E(Y)＝0×0.06＋10×0.34＋20×0.44＋30×0.16＝17，故D(Y)＝(0－17)2×0.06＋(10－17)2×0.34＋(20－17)2×0.44＋(30－17)2×0.16＝65，由(2)可得D(X)＝(0－13)2×0.16＋(10－13)2×0.44＋(20－13)2×0.34＋(30－13)2×0.06＝65，故D(X)＝D(Y)．
X
1
2
3
P
eq \f(1,2)
eq \f(1,3)
eq \f(1,6)
时间/分钟
10～20
20～30
30～40
40～50
甲的频率
0.1
0.4
0.2
0.3
乙的频率
0
0.3
0.6
0.1
ξ
0
1
2
P
b－a
b
a
ξ
－2
0
2
P
a
b
eq \f(1,2)
第一场比赛
第二场比赛
第三场比赛
甲学校获胜概率
0.5
0.4
0.8
乙学校获胜概率
0.5
0.6
0.2
X
0
10
20
30
P
0.16
0.44
0.34
0.06
Y
0
10
20
30
P
0.06
0.34
0.44
0.16