山西省临汾市洪洞县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含解析）

这是一份山西省临汾市洪洞县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含解析），共24页。

1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将区县、学校、姓名、考试号、座号填写在答题卡和试卷规定位置，并核对条形码．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔涂黑答题卡对应题目的答案标号；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，字体工整、笔迹清晰，写在答题卡各题目指定区域内如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案，严禁使用涂改液、胶带纸、修正带修改，不允许使用计算器．
4．保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记．
5．评分以答题卡上的答案为依据，不按以上要求作答的答案无效．
第Ⅰ卷 选择题（共30分）
一、选择题（共10个小题，每小题3分，共30分．）
1．化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
2．在数学史上，有很多著名的几何图形用来验证数学知识的产生过程．如图所示的图案，是由一连串公共顶点为O的直角三角形拼接而成，若，则图中直角三角形之间存在的变换关系是（ ）
A．图形的平移B．图形的旋转C．图形的全等D．图形的相似
3．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．如图，直线，直线和被直线、、所截，，，，则的长为（ ）
A．14B．C．15D．
5．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．没有实数根
6．跷跷板是在狭长的木杆中间装上轴，然后架在支柱上，两人对坐两端，轮流用脚蹬地，使一端跷起，图1是两个小朋友玩跷跷板实物图；图2是其示意图，支柱垂直于地面，点M是的中点，，那么小朋友在游戏中，点B离地面的最大高度是（ ）
A．B．C．D．
7．生活垃圾无害化处理可以降低垃圾及其衍生物对环境的影响．据统计，2017年全国生活垃圾无害化处理能力约为2.5亿吨，随着设施的增加和技术的发展，2019年提升到约3.2亿吨．如果设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为，那么根据题意可以列方程为（ ）
A．B．
C．D．
8．《第41批向全国中小学生推荐优秀影片片目》涵盖了动画片、纪录片等多种类型，旨在通过不同的故事和视角，帮助中小学生更好地理解和感受中国的历史、文化和价值观．某年级两个班分别从如图所示的三部影片中随机选择一部组织本班学生观看，则这两个班选择的影片相同的概率为（ ）
A．B．C．D．
9．弹琴、弈棋、书法、绘画是中国古代文人修身所必须掌握的技能，它是中国古典文化的代表，合称“琴棋书画”．如图1，是一块宣传“新时代公民个人素养”的扇面展板，该展板的内部部分示意图如图2所示，是以O为圆心，，的长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则扇面内部阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
10．中条山隧道位于山西省运城市盐湖区，这一隧道的建设开创了全省普通公路特长隧道工程建设的先河，也是全国单洞里程最长的隧道工程．如图1是中条山隧道，其截面近似为抛物线型，如图2为截面示意图，线段表示水平的路面，以O为坐标原点所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．经测量，抛物线的顶点P到的距离为，则抛物线的函数表达式为（ ）
A．B．C．D．
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．一元二次方程的解是 ．
12．秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思绪，所以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花．”如图是两片形状相同的枫叶图案，则x的值为 ．

13．小薇为了了解自家草莓的质量，随机从种植园中抽取适量草莓进行检测，发现在多次重复的抽取检测中，“优质草莓”出现的频率逐渐稳定在，小薇家今年的草莓总产量约为，由此估计小薇家今年的“优质草莓”产量约为 ．
14．图1是某幼儿园的一个滑梯，图2是其示意图，滑梯的高为，坡角为，由于滑梯坡角过大存在安全隐患，幼儿园决定对滑梯进行整改，要在高度不变的前提下，通过加长滑梯的水平距离，使得坡角变为，则加长的距离是 ．（计算结果保留根号）
15．如图所示，和为等腰直角三角形，B、C、E三点在同一条直线上，，且，连接，点M，N分别是，的中点，连接，则 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（1）计算：；
（2）计算：．
17．下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解：
二次项系数化为1，得 第一步
移项，得 第二步
配方，得，即 第三步
由此，可得 第四步
所， 第五步
任务一：填空：
①上述小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，此过程所体现的数学思想是______，其中，“配方法”所依据的数学公式是______；
②“第二步”变形的数学依据是______；
③小明同学解题过程中，从第步______开始出现错误，请直接写出正确的结果______；
任务二：请你运用“配方法”解一元二次方程：．
18．如图，在中，，D为上的一点，以为直径的半圆与交于点F，且与相切于点E．连接，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
19．如图1，是一幅美丽的风景画，如图2，为彩色打印该风景画，需要在打印之前，设置纸张大小和页边距（纸张的边线到打印区域的距离），即风景画周围白色区域的宽度．若使用纸张长为，宽为，考虑到画的整体美观性，要求各页边距相等并使打印出的风景画面积占纸张面积的，请你求出所需设置的页边距宽度．
20．项目化学习
项目主题：测量树的高度．
分析探究：树的高度不能直接测量，需要借助一些工具，比如小镜子，标杆，皮尺，小木棒，自制的直角三角形硬纸板……确定方案后，还要画出测量示意图，并实地进行测量，得到具体数据，从而计算出树的高度．
成果展示：下面是某小组进行交流展示时的部分测量方案及测量数据：
请同学们继续完善上述成果展示：
任务一：根据测量数据，求出树的高度；
任务二：写出求树的高度时所利用的数学知识______．（写出一个即可）
21．2023年4月，第三届中国国际消费品博览会暨全球消费论坛开幕式在海南国际会展中心举行，展馆内3000多件消费精品集中亮相，首发首秀新品大幅增加，其中山西展区分为Q．“酿造山西”、W．“品味山西”、R．“工艺山西”、X．“智造山西”四大板块．“智造山西”板块内一款“自动焊接机器人”的介绍引起大家的格外关注，随着科学技术不断的发展，自动机器人用于生产、生活的技术已日益成熟．
(1)在山西展区的四个板块中，君君和娜娜两位同学计划各选一个板块进行了解参观，请用树状图或者列表来分析她们两人选到同一个板块的概率；
(2)如图1，是展馆内一款自动焊接机器人，主要从事焊接、切割或热喷涂等工作．如图2，是该自动焊接机器人工作状态下的示意图，底座与地面垂直且可根据需要进行移动，，为机械臂，，，，，．求机械臂端点C离地面的距离．（结果精确到，参考数据：，，，）
22．综合与实践
问题情境：
如图，在中，，，现取一块透明等腰直角三角尺（，），将角的顶点D放在斜边的任意一点处，并将三角尺绕点D顺时针方向旋转，三角尺的两边、分别交，于点M、N．
观察猜想：
（1）如图1情形，与有怎样的关系？______；（填写“全等”、“相似”或“不相似”）
类比推理：
（2）将三角板绕点D旋转到图2情形时，三角板的两边分别交的延长线、边于点M、N，（1）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明，若不成立，请说明理由；
深入探究：
（3）如图3，在（2）的条件下，若点D为的中点，三角尺绕点D继续旋转的过程中，，连接，求的长．
23．综合与探究
如图，已知抛物线与x轴相交于，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点，连接．
(1)求该抛物线的解析式及对称轴；
(2)若过点B的直线与抛物线相交于另一点D，当时，求直线的解析式；
(3)在（2）的条件下，当点D在x轴下方时，连接，此时在y轴左侧的抛物线上存在点P，使，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．
参考答案与解析
1．C
【分析】本题考查了分母有理化，根据二次根式分母有理化的方法，分子、分母同时乘即可．
【详解】解：，
故选：C．
2．D
【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题关键是熟练运用两个角相等证明三角形相似．
【详解】解：∵，
，
∴图中的直角三角形都相似，
故选：D．
3．A
【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解；A、，原式计算正确，符合题意；
B、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：A．
4．B
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到，据此代值计算即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴，
故选：B．
5．C
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可．
【详解】解：由题意得，，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
6．C
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，解题关键是证明，再列比例式求解即可．
【详解】解:作垂直于地面，垂足为C，
∵垂直于地面，
∴，
∴，
∴，
∵M是的中点，，
∴，
∴，
故选：C．
7．C
【分析】设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为，根据等量关系，列出方程即可．
【详解】解：设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为，
由题意得：，
故选C．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，掌握增长率模型，是解题的关键．
8．B
【分析】本题考查了画树状图法求概率，解题关键是根据题意画出树状图，熟练运用概率公式求解即可．
【详解】解：把三部影片分别记为、、，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，这两个班选择的影片相同的结果有3种，
这两个班选择的影片相同的概率为，
故选：．
9．D
【分析】本题主要考查了求扇形面积，根据扇形面积公式，求出大扇形和小扇形的面积，最后根据即可求解．解题的关键是掌握扇形面积公式．
【详解】解：根据题意可得：
∵，，，
∴，，
∴，
故选：D．
10．D
【分析】根据题意得出，，设抛物线的表达式为，把代入得，再把代入求出a的值，即可得出抛物线表达式．本题主要考查了求抛物线的表达式，解题的关键是掌握用待定系数法求函数表达式的方法和步骤，以及二次函数的顶点式．
【详解】解：∵，抛物线的顶点P到的距离为，
∴，，
设抛物线的表达式为，
把代入得：，
把代入得：，
解得：，
∴抛物线表达式为，
故选：D．
11．
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，把方程左边利用十字相乘法分解因式得到，据此解方程即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴或，
解得，
故答案为：．
12．6
【分析】此题考查的是相似多边形的性质，即两个多边形相似，其对应边、对角线的比等于相似比．
根据两个枫叶图案的形状相同，可知两个图形相似，再根据相似多边形的对应边的比等于相似比可得结果．
【详解】解：由两个枫叶图案相似，
可得，
解得，
即的值为6．
故答案为：6．
13．1600
【分析】本题考查了用频率估计概率，根据实验得出的频率进行计算即可．
【详解】解：因为多次重复的抽取检测中，“优质草莓”出现的频率逐渐稳定在，
估计小薇家今年的“优质草莓”产量约为，
故答案为：1600．
14．
【分析】本题考查解直角三角形的应用，延长到点D，连接，使得，分别求出和的长，进而得出答案．理解坡角的意义是解决问题的关键．
【详解】解：如图，延长到点D，连接，使得，
在，，
∴，
当坡角为时，有，
∴，
∴加长的距离是，
故答案为：．
15．
【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，等腰直角三角形的性质等等，过点A作于O，以点O为原点，所在的直线分别为x轴，y轴建立坐标系，根据等腰直角三角形的性质求出，，再由点M，N分别是，的中点，，，据此利用两点距离计算公式求解即可．
【详解】解：如图所示，过点A作于O，以点O为原点，所在的直线分别为x轴，y轴建立坐标系，
∵和为等腰直角三角形，，，
∴
∴，
同理可得，
∵点M，N分别是，的中点，
∴，，
∴，
故答案为：．
16．（1）5；（2）
【分析】本题考查了实数的运算，解题关键是熟记三角函数值，然后准确进行二次根式及立方根运算即可．
【详解】解：（1）
=
=
=5
（2）
=
=
=．
17．任务一：①转化；完全平方公式；②等式的基本性质；③三；，；任务二：，
【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键；
任务一：①根据转化思想，完全平方公式解答；
②根据移项的依据是等式的性质解答；
③由完全平方公式判断即可解答；
任务二： 根据配方法的基本步骤，由完全平方公式进行计算．
【详解】解：任务一：①由题意得，此过程所体现的数学思想是转化：其中，“配方法”所依据的数学公式是完全平方公式；
故答案为；转化；完全平方公式；
②“第二步”变形的数学依据是等式的基本性质（或等式两边同时加上（或减去）同一个整式，所得结果仍是等式）；
故答案网诶；等式的基本性质
③观察可知，小明是在第三步配方的时候出错，
配方，得，即，
由此，可得，
，，
故答案为：三；，；
任务二：
解：
，
，
，
，
，
或，
，。
18．(1)见解析
(2)3
【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了含30度角的直角三角形三边的关系．
（1）连接，，如图，先根据切线的性质得到，则可判断，根据平行线的性质得到，，则可证明，然后根据圆心角、弧、弦的关系得到结论；
（2）设的半径为，则，在中利用含30度角的直角三角形三边的关系得到，解得，再求出，即可．
【详解】（1）证明：连接，，如图，
切于点，
，
，
，
，
，，
，
，
，
∴；
（2）解：设的半径为，则，
在中，，
，
，
，
解得，
∴，
，，
，
∴，
．
19．需设置页边距为
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设页边距为，根据打印区域的面积占纸张面积的，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【详解】解：设页边距为，
由题意得：，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去），
答：需设置页边距为．
20．任务一；树的高度为；任务二：见解析
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，平行线的性质：
任务一：如图，过点作于点，交于点，则四边形与四边形是矩形，求出，，，，证明，，即，求出，则；
任务二：根据任务一的求解过程即可得到答案．
【详解】解：任务一：如图，过点作于点，交于点，则四边形与四边形是矩形，
∴，，，
∴，
由题意得，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
答：树的高度为．
任务二：求树的高度时所利用的数学知识有相似三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，平行线的性质等等．
21．(1)
(2)
【分析】本题考查了概率和解直角三角形，解题关键熟练利用列举法求概率，构建直角三角形求解；
（1）列出所有可能结果，再根据概率公式求解即可；
（2）过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】（1）解：画树状图如图：
一共有16种等可能结果，她们两人选到同一个板块的有4种，她们两人选到同一个板块的概率为；
（2）解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为，
由题意得：，，，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
机械臂端点到地面的距离约为．
22．（1）相似，（2）见解析，（3）
【分析】本题考查了相似三角形的判定和勾股定理，解题关键是熟练运用相关知识进行证明和求解；
（1）利用相似三角形判定定理两个角相等的两个三角形相似证明即可；
（2）利用相似三角形判定定理两个角相等的两个三角形相似证明即可；
（3）过点D作于G，根据勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）相似；
在中，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
故答案为：相似；
（2）成立，理由如下：
在中，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
（3）过点D作于G，
在中，，，
∴，
∵点D为的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
．
23．(1)，对称轴为直线
(2)或；
(3)或
【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，求二次函数解析式等等：
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）分两种情况，当点在轴上方时，先判断出，进而得出点在直线上，再求出点的坐标，最后用待定系数法求出直线的解析式，当点在轴下方时，判断出，可设直线的解析式为，把代入中得，解得，由此即可得到答案；
（3）先求出点的坐标，进而求出的面积，得出的面积，设，过作轴的平行线交直线于，得出，进而表示出，最后用面积建立方程求解，即可得出结论．
【详解】（1）解：把、代入中得：，
解得，
∴抛物线解析式为，
∴对称轴为直线；
（2）解：当点在轴上方时，如图1所示，
设与的交点为点，
，
，
直线垂直平分，
点在直线上，
点，，
设直线的解析式是，
将点A代入得：，
解得：，
直线的解析式为，
当时，，
，
点点关于对称，
，，
设直线的解析式为，
将点，代入得：，
解得：，
直线的解析式为，
∴满足题意的直线解析式为；
当点在轴下方时，如图2，
，
，
∵直线的解析式为，
可设直线的解析式为，
把代入中得，解得
∴符合题意的直线解析式为；
综上所述，符合题意的直线解析式为或；
（3）由（2）知，直线的解析式为，
联立解得或，
，
，
，
，
点在轴左侧的抛物线上，
设，过作轴的平行线交直线于，
，
，
，
∴，
∴或
∴或，
解得或（舍去）或或（舍去），
∵抛物线解析式为，
∴当时，；
当时，
∴点P的坐标为或。
测量工具
标杆，皮尺
测量方案
选一名同学作为观测者，在观测者与树之间的地面直立一根标杆，使树的顶端、标杆的顶端与观测者的眼睛恰好在一条直线上．这时再测出观测者的脚到树底端的距离，以及观测者的脚到标杆底端的距离，然后测出标杆的高．
测量示意图
测量数据
线段表示树，标杆，观测者的眼睛到地面的距离，观测者的脚到树底端的距离，观测者的脚到标杆底端的距离．
……