第9章 第3讲　带电粒子在复合场中的运动—2024高考物理科学复习解决方案（讲义）

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知识点 带电粒子在复合场中的运动 Ⅱ
1．组合场与叠加场
(1)组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，电场、磁场分时间段交替出现。
(2)叠加场：电场、eq \x(\s\up1(01))磁场、重力场在同一区域共存，或其中某两场在同一区域共存。
2．三种场的比较
3．带电粒子在复合场中的运动分类
(1)静止或匀速直线运动
当带电粒子在复合场中所受合外力为零时，将处于静止状态或做eq \x(\s\up1(15))匀速直线运动。
(2)匀速圆周运动
当带电粒子所受的重力与电场力大小eq \x(\s\up1(16))相等，方向eq \x(\s\up1(17))相反时，带电粒子在洛伦兹力的作用下，在垂直于匀强磁场的平面内做eq \x(\s\up1(18))匀速圆周运动。
(3)较复杂的曲线运动
当带电粒子所受合外力的大小和方向均变化，且与初速度方向不在同一条直线上时，粒子做eq \x(\s\up1(19))非匀变速曲线运动，这时粒子运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线。
(4)分阶段运动
带电粒子可能依次通过几个情况不同的复合场区域，其运动情况随区域发生变化，其运动过程由几种不同的运动阶段组成。
知识点 带电粒子在复合场中运动的应用实例 Ⅰ
(一)电场、磁场分区域应用实例
1．质谱仪
(1)构造：如图甲所示，由粒子源、加速电场、偏转磁场和照相底片等构成。
(2)原理：粒子由静止被加速电场加速，根据动能定理可得关系式qU＝eq \f(1,2)mv2。
粒子在磁场中受洛伦兹力作用而偏转，做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律得关系式qvB＝meq \f(v2,r)。
由两式可得出需要研究的物理量，如粒子轨道半径、粒子质量、比荷。
r＝eq \x(\s\up1(01))eq \f(1,B) eq \r(\f(2mU,q))，m＝eq \x(\s\up1(02))eq \f(qr2B2,2U)，eq \f(q,m)＝eq \x(\s\up1(03))eq \f(2U,B2r2)。
2．回旋加速器
(1)构造：如图乙所示，D1、D2是半圆形金属盒，D形盒的缝隙处接交流电源，D形盒处于匀强磁场中。
(2)原理：交流电的周期和粒子做圆周运动的周期相等，粒子在圆周运动的过程中一次一次地经过D形盒缝隙，两盒间的电势差一次一次地反向，粒子就会被一次一次地加速。由qvB＝eq \f(mv2,r)，得Ekm＝eq \x(\s\up1(04))eq \f(q2B2r2,2m)，可见粒子获得的最大动能由磁感应强度B和D形盒半径r决定，与加速电压无关。
(二)电场、磁场同区域并存的实例
一 堵点疏通
1．带电粒子在复合场中做匀速圆周运动，必有mg＝Eq，洛伦兹力做向心力。( )
2．粒子速度选择器只选择速度大小，不选择速度方向。( )
3．回旋加速器中粒子获得的最大动能与加速电压有关。( )
4．带电粒子在重力、电场力(恒力)、洛伦兹力三个力作用下可以做变速直线运动。( )
5．质谱仪可以测带电粒子比荷。( )
6．有的时候，题目中没明确说明时，带电粒子是否考虑重力，要结合运动状态进行判定。( )
答案 1.√ 2.× 3.× 4.× 5.√ 6.√
二 对点激活
1．(多选)如图所示，一带电小球在一正交电场、磁场区域里做匀速圆周运动，电场方向竖直向下，磁场方向垂直纸面向里，则下列说法正确的是( )
A．小球一定带正电
B．小球一定带负电
C．小球的绕行方向为顺时针
D．改变小球的速度大小，小球将不做圆周运动
答案 BC
解析 小球做匀速圆周运动，重力必与电场力平衡，则电场力方向竖直向上，结合电场方向可知小球一定带负电，A错误，B正确；洛伦兹力充当向心力，由曲线运动轨迹的弯曲方向结合左手定则可得，绕行方向为顺时针方向，C正确；改变小球的速度大小，重力仍与电场力平衡，小球仍在洛伦兹力作用下做圆周运动，D错误。
2.(人教版选修3－1·P98·T4改编)(多选)磁流体发电是一项新兴技术，如图是它的示意图。平行金属板A、B之间有一个很强的磁场，磁感应强度为B。将一束等离子体(即高温下电离的气体，含有大量正、负带电粒子)喷入磁场，A、B两板间便产生电压。如果把A、B和用电器连接，A、B就是一个直流电源的两个电极。A、B两板间距为d，等离子体以速度v沿垂直于磁场方向射入A、B两板之间，所带电荷量为q，则下列说法正确的是( )
A．A板是电源的正极 B．B板是电源的正极
C．电源的电动势为Bdv D．电源的电动势为qvB
答案 BC
解析 根据左手定则，带正电粒子向下偏转，所以B板带正电，为电源正极，A错误，B正确；最终带电粒子在电场力和洛伦兹力作用下处于平衡，有qvB＝qeq \f(E,d)，解得E＝Bdv，D错误，C正确。
3．(人教版选修3－1·P100·例题改编)一个质量为m、电荷量为q的粒子，从容器A下方的小孔S1飘入电势差为U的加速电场，其初速度几乎为0，然后经过S3沿着与磁场垂直的方向进入磁感应强度为B的匀强磁场中，最后打到照相底片D上。
(1)求粒子进入磁场时的速率；
(2)求粒子打在照相底片D上的点到S3的距离。
答案 (1) eq \r(\f(2qU,m)) (2)eq \f(2,B) eq \r(\f(2mU,q))
解析 (1)粒子被加速电场加速有qU＝eq \f(1,2)mv2
得v＝ eq \r(\f(2qU,m))
(2)带电粒子进入磁场做匀速圆周运动qvB＝eq \f(mv2,r)
把v代入得r＝eq \f(1,B) eq \r(\f(2mU,q))。
粒子打在照相底片D上的点到S3的距离为2r＝eq \f(2,B) eq \r(\f(2mU,q))。
考点细研 悟法培优
考点1 带电粒子在组合场中的运动
这类问题的特点是电场、磁场或重力场依次出现，包含空间上先后出现和时间上先后出现，常见的有磁场、电场与无场区交替出现相组合的场等。其运动形式包含匀速直线运动、匀变速直线运动、类平抛运动、圆周运动等，涉及牛顿运动定律、功能关系等知识的应用。
1．解题思路
(1)划分过程：将粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对不同的阶段选用不同的规律处理。
(2)找关键点：确定带电粒子在场区边界的速度(包括大小和方向)是解决该类问题的关键。
(3)画运动轨迹：根据受力分析和运动分析，大致画出粒子的运动轨迹图，有利于形象、直观地解决问题。
(4)选择合适的物理规律，列方程：对于类平抛运动，一般分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向的匀加速直线运动；对粒子在磁场中做匀速圆周运动的情况，一般都是洛伦兹力提供向心力。
2．常见的基本运动形式
例1 如图所示，在直角坐标系xOy平面内，x≤0的区域存在平行于y轴的匀强电场(图中未画出)，电场强度的大小为E，方向沿y轴负方向；在x≥0的区域有一个半径为L的圆形区域，圆心O′坐标为(L,0)，圆内有方向垂直于xOy平面向里的匀强磁场。一带正电的粒子从Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－L，\f(\r(3),2)L))点以初速度v0沿x轴正方向运动，恰好经O点进入磁场，之后以平行x轴正方向的速度射出磁场。不计粒子的重力，求：
(1)粒子的比荷及粒子通过O点时的速度；
(2)磁感应强度的大小；
(3)粒子在磁场中运动的时间。
(1)带电粒子在电场中做类平抛运动，水平位移和竖直位移分别为多少？
提示：水平位移为L，竖直位移为eq \f(\r(3),2)L。
(2)带电粒子从磁场中穿出时速度平行x轴正方向，说明在磁场中的速度偏转角与在电场中的速度偏转角有什么关系？
提示：相等。
尝试解答 (1)eq \f(q,m)＝eq \f(\r(3)v\\al(2,0),EL) 2v0，方向斜向下与x轴正方向夹角为60° (2)eq \f(2E,3v0) (3)eq \f(\r(3)πL,6v0)
(1)带电粒子在电场中做类平抛运动，有
水平方向：L＝v0t1，
竖直方向：eq \f(\r(3),2)L＝eq \f(1,2)ateq \\al(2,1)，a＝eq \f(Eq,m)，v1＝eq \r(v\\al(2,0)＋at12)，
由上式解得eq \f(q,m)＝eq \f(\r(3)v\\al(2,0),EL)，v1＝2v0，
设带电粒子进入磁场时速度方向与x轴正方向夹角为θ，则有csθ＝eq \f(v0,v1)＝eq \f(1,2)，则粒子通过O点时速度v1＝2v0，方向斜向下与x轴正方向夹角为θ＝60°。
(2)粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，有qv1B＝meq \f(v\\al(2,1),R)，R＝eq \f(mv1,qB)，结合图中几何关系解得R＝eq \r(3)L，故B＝eq \f(2E,3v0)。
(3)设带电粒子在磁场中的运动时间为t2，由几何关系知粒子在磁场中偏转角为60°，通过的弧长：s＝eq \f(π,3)R＝v1t2，解得t2＝eq \f(\r(3)πL,6v0)。
带电粒子在组合场中运动的处理方法
(1)解决带电粒子在组合场中运动的思路
(2)常用物理规律
①带电粒子经过电场区域时利用动能定理或类平抛的知识分析；
②带电粒子经过磁场区域时利用圆周运动规律结合几何关系来处理。
(3)解题关键：从一种场进入另一种场时衔接速度不变。
[变式1] 如图所示为平面直角坐标系xOy，在第二象限内存在沿x轴负方向的匀强电场；在第一象限内某区域存在方向垂直于坐标平面向里的有界圆形匀强磁场(图中未画出)。一粒子源固定在x轴上坐标为(－L,0)的A点，粒子源沿y轴正方向释放出速度大小为v的电子，电子恰好能通过y轴上坐标为(0,2L)的C点，电子继续前进距离L后进入磁场区域，再次回到x轴时速度方向与x轴正方向成45°角。已知电子的质量为m，电荷量为e，有界圆形匀强磁场的磁感应强度B＝eq \f(mv,eL)，不考虑粒子的重力和粒子之间的相互作用，求：
(1)匀强电场的电场强度E的大小；
(2)圆形磁场的最小面积Smin；
(3)电子从进入电场到再次回到x轴所用的总时间t总。
答案 (1)E＝eq \f(mv2,2eL) (2)Smin＝πL2
(3)t总＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4＋\r(2)＋\f(π,2)))eq \f(L,v)
解析 (1)电子在从A点运动到C点的过程中，做类平抛运动，在x轴方向上，L＝eq \f(eE,2m)t2
在y轴方向上，2L＝vt
联立解得E＝eq \f(mv2,2eL)。
(2)电子离开电场时的速度的反向延长线过y轴方向位移的中点，故tanθ＝1，θ＝45°
电子进入磁场后仅受洛伦兹力作用，在磁场中做匀速圆周运动
由牛顿第二定律有，evCB＝meq \f(v\\al(2,C),r)
根据几何关系可知vC＝eq \f(v,cs45°)
根据题意作出电子的运动轨迹示意图如图所示，
由图中几何关系可知，电子在磁场中偏转90°后射出
当图中弧PQ对应的弦为圆形磁场的直径时其半径最小，即Rmin＝rsin45°
联立解得Smin＝πReq \\al(2,min)＝πL2。
(3)运动过程经历的总时间为
t总＝eq \f(2L,v)＋eq \f(πm,2eB)＋eq \f(2\r(2)＋1L,\r(2)v)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4＋\r(2)＋\f(π,2)))eq \f(L,v)。
考点2 带电粒子(带电体)在叠加场中的运动
1．带电粒子(带电体)在叠加场中无约束情况下的运动
(1)电场力、重力并存
电场力与重力的合力为恒力，粒子一般做匀速直线运动或匀变速直线(或曲线)运动，比较简单。
(2)磁场力、重力并存
①若重力和洛伦兹力平衡，则带电体做匀速直线运动。
②若重力和洛伦兹力不平衡，则带电体将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，故机械能守恒，由此可求解问题。
(3)电场力、磁场力并存(不计重力的微观粒子)
①若电场力和洛伦兹力平衡，则带电粒子做匀速直线运动。
②若电场力和洛伦兹力不平衡，则带电粒子将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用动能定理求解问题。
(4)电场力、磁场力、重力并存
①若三力平衡，一定做匀速直线运动。
②若重力与电场力平衡，一定做匀速圆周运动。
③若合力不为零且与速度方向不垂直，将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用能量守恒定律或动能定理求解问题。
2．带电体在叠加场中有约束情况下的运动
带电体在复合场中受轻杆、轻绳、圆环、轨道等约束的情况下，常见的运动形式有直线运动和圆周运动，此时解题要通过受力分析明确变力、恒力做功情况，并注意洛伦兹力不做功的特点，运用动能定理、能量守恒定律结合牛顿运动定律求出结果。
特别提醒：是否考虑重力的判断
①对于微观粒子，如电子、质子、离子等，若无特殊说明，一般不考虑重力；对于宏观带电小物体，如带电小球、尘埃、油滴、液滴等，若无特殊说明，一般需要考虑重力。
②题目中已明确说明则需要考虑重力。
③不能直接判断是否需要考虑重力的，在进行受力分析和运动分析时，由分析结果确定是否考虑重力。
例2 如图所示，坐标系xOy在竖直平面内，y轴沿竖直方向，第二、三和四象限有沿水平方向，垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B。第四象限的空间内有沿x轴正方向的匀强电场，场强为E，一个带正电荷的小球从图中x轴上的M点，沿着与水平方向成θ＝30°角斜向下的直线匀速运动。经过y轴上的N点进入x