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第6章 第1讲 动量 动量定理—2024高考物理科学复习解决方案（讲义）
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这是一份第6章 第1讲 动量 动量定理—2024高考物理科学复习解决方案（讲义），共23页。学案主要包含了堵点疏通，对点激活等内容，欢迎下载使用。
主干梳理 对点激活
知识点 动量 Ⅱ
1．定义：运动物体的质量和eq \x(\s\up1(01))速度的乘积叫做物体的动量，通常用p来表示。
2．表达式：p＝eq \x(\s\up1(02))mv。
3．单位：eq \x(\s\up1(03))kg·m/s。
4．标矢性：动量是矢量，其方向和eq \x(\s\up1(04))速度方向相同。
知识点 动量定理 Ⅱ
1．冲量
(1)定义：力与力的eq \x(\s\up1(01))作用时间的乘积叫做这个力的冲量，公式：eq \x(\s\up1(02))I＝Ft。
(2)单位：冲量的单位是eq \x(\s\up1(03))牛·秒，符号是eq \x(\s\up1(04))N·s。
(3)标矢性：冲量是矢量，恒力冲量的方向与力的方向eq \x(\s\up1(05))相同。
2．动量定理
(1)内容：物体在一个过程始末的eq \x(\s\up1(06))动量变化量等于它在这个过程中所受力的eq \x(\s\up1(07))冲量。
(2)表达式：Ft＝Δp＝p′－p。
(3)矢量性：动量变化量的方向与eq \x(\s\up1(08))合外力的方向相同，也可以在某一方向上用动量定理。
一 堵点疏通
1．两物体的动量相等，动能也一定相等。( )
2．动量变化的大小，不可能等于初、末态动量大小之和。( )
3．物体的动量变化等于某个力的冲量。( )
4．物体沿水平面运动，重力不做功，重力的冲量也等于零。( )
5．物体的动量越大，则物体的惯性就越大。( )
答案 1.× 2.× 3.× 4.× 5.×
二 对点激活
1．下列说法正确的是( )
A．速度大的物体，它的动量一定也大
B．动量大的物体，它的速度一定也大
C．只要物体的运动速度大小不变，物体的动量就保持不变
D．物体的动量变化越大，则该物体的速度变化一定越大
答案 D
解析 动量p＝mv，由质量和速度共同决定，所以A、B错误；动量是矢量，速度方向改变，动量也会改变，故C错误；由Δp＝mΔv知，D正确。
2．(沪科版选修3－5·P10·T3改编)质量为5 kg的小球以5 m/s的速度竖直落到地板上，随后以3 m/s的速度反向弹回，若取竖直向下的方向为正方向，则小球动量的变化为( )
A．10 kg·m/s B．－10 kg·m/s
C．40 kg·m/s D．－40 kg·m/s
答案 D
解析 动量的变化是末动量减去初动量，规定了竖直向下为正方向，则小球的初动量p1＝mv1＝25 kg·m/s，末动量p2＝mv2＝－15 kg·m/s，所以动量的变化Δp＝p2－p1＝－40 kg·m/s，D正确。
3．(人教版选修3－5·P11·T2改编)(多选)在光滑水平面上，原来静止的物体在水平恒力F的作用下，经过时间t，通过位移l后，动量变为p，动能变为Ek，以下说法正确的是( )
A．在F作用下，这个物体若经过位移2l，其动量将等于2p
B．在F作用下，这个物体若经过时间2t，其动量将等于2p
C．在F作用下，这个物体若经过时间4t，其动能将等于2Ek
D．在F作用下，这个物体若经过位移2l，其动能将等于2Ek
答案 BD
解析 由动量定理Ft＝Δp知，A错误，B正确；由动能定理Fl＝ΔEk和l＝eq \f(1,2)at2知，C错误，D正确。
4．(人教版选修3－5·P12·T5改编)体操运动员在落地时总要屈腿，这样做可以( )
A．减小地面对人的冲量 B．减小地面对人的撞击力
C．减小人的动量变化量 D．减小人的动能变化量
答案 B
解析 体操运动员落地时屈腿可以延长地面对人撞击力的作用时间，取人落地时速度方向为正方向，根据动量定理得：－Ft＋mgt＝0－mv，得：F＝eq \f(mv,t)＋mg，当t增加时F减小，而冲量和动量、动能的变化量都不变，所以B正确。
考点细研 悟法培优
考点1 动量、冲量的理解及计算
1.对动量的理解
(1)动量的两性
①瞬时性：动量是描述物体运动状态的物理量，是针对某一时刻或位置而言的。
②相对性：动量的大小与参考系的选取有关，通常情况是指相对地面的动量。
(2)动量与动能的比较
2．对冲量的理解
(1)冲量的两性
①时间性：冲量不仅由力决定，还由力的作用时间决定，恒力的冲量等于该力与该力的作用时间的乘积。
②矢量性：对于方向恒定的力来说，冲量的方向与力的方向一致。
(2)作用力和反作用力的冲量：一定等大、反向，但作用力和反作用力做的功之间并无必然联系。
(3)冲量与功的比较
例1 如图所示，质量为m的小滑块沿倾角为θ的斜面向上滑动，经过时间t1，速度为零并又开始下滑，经过时间t2回到斜面底端，滑块在运动过程中受到的摩擦力大小始终为Ff。在整个运动过程中，下列说法正确的是( )
A．重力对滑块的总冲量为mg(t1＋t2)sinθ
B．支持力对滑块的总冲量为mg(t1＋t2)csθ
C．合外力的冲量为0
D．摩擦力的总冲量为Ff(t1＋t2)
(1)上滑过程与下滑过程摩擦力方向相同吗？
提示：不相同。
(2)整个过程中小滑块的动量是否发生了改变？
提示：发生了改变。
尝试解答 选B。
重力对滑块的总冲量为mg(t1＋t2)，故A错误；支持力对滑块的总冲量为mg(t1＋t2)csθ，故B正确；整个过程中小滑块的动量发生了改变，故合力的总冲量不为0，C错误；上滑过程和下滑过程摩擦力的方向相反，故若以沿斜面向上为正方向，摩擦力的总冲量为Ff(t2－t1)，故D错误。
冲量的四种计算方法
[变式1－1] (多选)一细绳系着小球，在光滑水平面上做圆周运动，小球质量为m，速度大小为v，做圆周运动的周期为T，则以下说法中正确的是( )
A．经过时间t＝eq \f(T,2)，小球的动量的变化量为零
B．经过时间t＝eq \f(T,4)，小球的动量的变化量大小为eq \r(2)mv
C．经过时间t＝eq \f(T,2)，细绳的拉力对小球的冲量大小为2mv
D．经过时间t＝eq \f(T,4)，重力对小球的冲量大小为eq \f(mgT,4)
答案 BCD
解析 经过时间t＝eq \f(T,2)，小球转过了180°，速度方向正好与开始计时的时刻的速度方向相反，若规定开始计时的时刻的速度方向为正方向，则小球的动量的变化量Δp＝－mv－mv＝－2mv，细绳的拉力对小球的冲量I＝Δp＝－2mv，冲量大小为2mv，A错误，C正确；经过时间t＝eq \f(T,4)，小球转过了90°，根据矢量合成法可得，小球的动量的变化量大小为Δp′＝mΔv＝eq \r(2)mv，重力对小球的冲量大小IG＝mgt＝eq \f(mgT,4)，B、D正确。
[变式1－2] (2019·湖北宜昌模拟)(多选)一质量为m的运动员托着质量为M的重物从下蹲状态(图甲)缓慢运动到站立状态(图乙)，该过程重物和人的肩部相对位置不变，运动员保持图乙状态站立Δt时间后再将重物缓慢向上举，至双臂伸直(图丙)。甲到乙、乙到丙过程重物上升的高度分别为h1、h2，经历的时间分别为t1、t2，则( )
A．地面对运动员的冲量大小为(M＋m)g(t1＋t2＋Δt)，地面对运动员做的功为0
B．地面对运动员的冲量大小为(M＋m)g(t1＋t2)，地面对运动员做的功为(M＋m)g(h1＋h2)
C．运动员对重物的冲量大小为Mg(t1＋t2＋Δt)，运动员对重物做的功为Mg(h1＋h2)
D．运动员对重物的冲量大小为Mg(t1＋t2)，运动员对重物做的功为0
答案 AC
解析 因甲到乙、乙到丙均为缓慢运动过程，则可认为运动员和重物整体一直处于平衡状态，地面对运动员的支持力大小为(M＋m)g，整个过程的时间为(t1＋t2＋Δt)，根据I＝Ft可知地面对运动员的冲量大小为(M＋m)·g(t1＋t2＋Δt)；因地面对运动员的支持力的作用点不动，可知地面对运动员做的功为0，A正确，B错误。运动员对重物的作用力大小为Mg，作用时间为(t1＋t2＋Δt)，根据I＝Ft可知运动员对重物的冲量大小为Mg(t1＋t2＋Δt)，重物的位移为(h1＋h2)，根据W＝Fs可知运动员对重物做的功为Mg(h1＋h2)，C正确，D错误。
考点2 动量定理的理解及应用
1.动量定理的理解
(1)动量定理反映了力的冲量与动量变化之间的因果关系，即合外力的冲量是原因，物体的动量变化是结果。
(2)动量定理中的冲量是所受合外力的冲量，既是各力冲量的矢量和，也是合外力在不同阶段冲量的矢量和。
(3)动量定理的表达式是矢量式，等号包含了大小相等、方向相同两方面的含义。
(4)由Ft＝p′－p，得F＝eq \f(p′－p,t)＝eq \f(Δp,t)，即物体所受的合外力等于物体的动量对时间的变化率。
2．用动量定理解释生活现象
(1)Δp一定时，F的作用时间越短，力越大；时间越长，力越小。
(2)F一定时，力的作用时间越长，Δp越大；时间越短，Δp越小。
分析问题时，要明确哪个量一定，哪个量变化。
3．用动量定理解题的基本思路
(1)确定研究对象。在中学阶段用动量定理讨论的问题，其研究对象一般仅限于单个物体。
(2)对物体进行受力分析，求合冲量。可先求每个力的冲量，再求各力冲量的矢量和；或先求合力，再求其冲量。
(3)抓住过程的初、末状态，选好正方向，确定各动量和冲量的正负号。
(4)根据动量定理列方程，如有必要还需要补充其他方程，最后代入数据求解。
对过程较复杂的运动，可分段用动量定理，也可对整个过程用动量定理。
例2 如图所示，一高空作业的工人重为600 N，系一条长为L＝5 m的安全带，若工人不慎跌落时安全带的缓冲时间t＝1 s，则安全带受的平均拉力是多少？(g取10 m/s2)
(1)从开始到最终静止，人的动量是否发生了变化？
提示：没有。
(2)人在整个过程中受哪些力的作用？
提示：重力和安全带对人的拉力。
尝试解答 1200_N，方向竖直向下
设工人刚要拉紧安全带时的速度为v，v2＝2gL，
得v＝eq \r(2gL)
经缓冲时间t＝1 s后速度变为0，取向下为正方向，工人受两个力作用，即拉力F和重力mg(如图)，对工人由动量定理知，
(mg－F)t＝0－mv，F＝eq \f(mgt＋mv,t)
其中m＝eq \f(G,g)，将数值代入得F＝1200 N。
由牛顿第三定律，工人给安全带的平均拉力F′为1200 N，方向竖直向下。
应用动量定理解题的注意事项
在应用动量定理解题时，一定要对物体认真进行受力分析，不可有力的遗漏；建立方程时要事先选定正方向，确定力与速度的符号。如例2规定向下为正，则mg和v取正，F取负，列出关系式。对于变力的冲量，往往通过动量定理来计算，只有当相互作用时间Δt极短时，且相互作用力远大于重力时，才可舍去重力。
[变式2－1] 如图所示，在光滑水平面上静止放着两个相互接触的木块A、B，质量分别为m1和m2，今有一子弹水平穿过两木块，设子弹穿过木块A、B的时间分别为t1和t2，木块对子弹的阻力恒为f，则子弹穿过两木块后，木块A、B的速度大小分别是( )
A.eq \f(ft1,m1) eq \f(ft1,m1＋m2) B.eq \f(ft1,m1＋m2) eq \f(ft1,m1＋m2)＋eq \f(ft2,m2)
C.eq \f(ft1,m1) eq \f(ft1＋t2,m1＋m2) D.eq \f(ft1＋t2,m1) eq \f(ft1＋t2,m1＋m2)
答案 B
解析 子弹在A中穿过时，以AB为研究对象，规定向右为正方向，由动量定理得：ft1＝(m1＋m2)v1，所以v1＝eq \f(ft1,m1＋m2)。之后A的速度保持v1不变，子弹进入B木块，以B为研究对象，由动量定理得：ft2＝m2v2－m2v1。联立得：v2＝eq \f(ft2,m2)＋eq \f(ft1,m1＋m2)，故B正确，A、C、D错误。
[变式2－2] 下列解释中正确的是( )
A．跳高时，在落地处垫海绵是为了减小冲量
B．在码头上装橡皮轮胎，是为了减小渡船靠岸过程受到的冲量
C．动量相同的两个物体受相同的制动力作用，质量小的先停下来
D．人从越高的地方跳下，落地时越危险，是因为落地时人受到的冲量越大
答案 D
解析 跳高时，在落地处垫海绵是为了延长作用时间减小冲力，不是减小冲量，故A错误；在码头上装橡皮轮胎，也是为了延长作用时间，从而减小冲力，不是减小冲量，故B错误；动量相同的两个物体受相同的制动力作用，根据动量定理Ft＝m·Δv，则知运动时间相等，故C错误；从越高的地方跳下，落地时速度越大，动量越大，则受到地的冲量越大，故D正确。
启智微专题 建模提能3 应用动量定理分析变质量问题的技巧
对“连续”质点系发生持续作用时，物体动量(或其他量)连续发生变化。这类问题的处理思路是：正确选取研究对象，即选取很短时间Δt内动量(或其他量)发生变化的那部分物体作为研究对象，建立如下的“柱状”模型：在时间Δt内所选取的研究对象均分布在以S为截面积、长为vΔt的柱体内，这部分质点的质量为Δm＝ρSvΔt，以这部分质量为研究对象，研究它在Δt时间内动量(或其他量)的变化情况，再根据动量定理(或其他规律)求出有关的物理量。
1．流体类问题
通常液体流、气体流等被广义地视为“流体”，质量具有连续性，通常已知密度ρ。
【典题例证1】
(2016·全国卷Ⅰ)某游乐园入口旁有一喷泉，喷出的水柱将一质量为M的卡通玩具稳定地悬停在空中。为计算方便起见，假设水柱从横截面积为S的喷口持续以速度v0竖直向上喷出；玩具底部为平板(面积略大于S)；水柱冲击到玩具底板后，在竖直方向水的速度变为零，在水平方向朝四周均匀散开。忽略空气阻力。已知水的密度为ρ，重力加速度大小为g。求：
(1)喷泉单位时间内喷出的水的质量；
(2)玩具在空中悬停时，其底面相对于喷口的高度。
[解析] (1)设Δt时间内，从喷口喷出的水的体积为ΔV，质量为Δm，则：
Δm＝ρΔV①
ΔV＝v0SΔt②
由①②式得，单位时间内从喷口喷出的水的质量为eq \f(Δm,Δt)＝ρv0S③
(2)设玩具悬停时其底面相对于喷口的高度为h，水从喷口喷出后到达玩具底面时的速度大小为v。对于Δt时间内喷出的水，由能量守恒得eq \f(1,2)(Δm)v2＋(Δm)gh＝eq \f(1,2)(Δm)veq \\al(2,0)④
在h高度处，Δt时间内喷射到玩具底面的水沿竖直方向的动量变化量的大小为Δp＝(Δm)v⑤
设水对玩具的作用力的大小为F，根据动量定理有
FΔt＋ΔmgΔt＝Δp⑥
因为ΔmgΔt＝ρv0SgΔt2含Δt的二次项，所以与FΔt相比，ΔmgΔt可忽略。
由于玩具在空中悬停，由力的平衡条件和牛顿第三定律得
F＝Mg⑦
联立③④⑤⑥⑦式得h＝eq \f(v\\al(2,0),2g)－eq \f(M2g,2ρ2v\\al(2,0)S2)。
[答案] (1)ρv0S (2)eq \f(v\\al(2,0),2g)－eq \f(M2g,2ρ2v\\al(2,0)S2)
名师点睛 流体类问题分析步骤
(1)建立“柱状”模型，沿流速v的方向选取一段柱形流体，其横截面积为S。
(2)微元研究，作用时间Δt内的一段柱形流体的长度为Δl，对应的质量为Δm＝ρSvΔt。
(3)建立方程，应用动量定理研究这段柱状流体。
2．微粒类问题
通常电子流、光子流、尘埃等被广义地视为“微粒”，质量具有独立性，通常给出单位体积内的粒子数n。
【典题例证2】
有一宇宙飞船，它的正面面积S＝2 m2，以v＝3×103 m/s的相对速度飞入一宇宙微粒尘区。此微粒尘区1 m3空间中有一个微粒，每一个微粒的平均质量为m＝2×10－7 kg。假设微粒与飞船外壳碰撞后附着于飞船上，要使飞船速度不变，飞船的牵引力应增加( )
A．3.6×103 N B．3.6 N
C．1.2×10－3 N D．1.2 N
[解析] 设在t时间内与飞船碰撞并附着于飞船上的微粒总质量为M，则M＝vtSm，设飞船对微粒的作用力大小为F，由动量定理知，Ft＝Mv，联立解得F＝v2Sm，代入相关数据得F＝3.6 N。根据牛顿第三定律，微粒对飞船的作用力大小为3.6 N。要使飞船速度不变，根据平衡条件，飞船的牵引力应增加3.6 N，B正确。
[答案] B
名师点睛 微粒类问题分析步骤
(1)建立“柱体”模型，沿速度v0的方向选取一段微元，其横截面积为S。
(2)微元研究，作用时间Δt内一段微元的长度为Δl，对应的体积为ΔV＝Sv0Δt，则微元内的粒子数N＝nv0SΔt。
(3)先应用动量定理研究单个粒子，建立方程，再乘以N求解。
【针对训练】
1．国产水刀——超高压数控万能水切割机以其神奇的切割性能在北京国际展览中心举行的第五届国际机床展览会上引起轰动，它能切割40 mm厚的钢板，50 mm厚的大理石等其他材料。
水刀就是将普通的水加压，使其从口径为0.2 mm的喷嘴中以800～1000 m/s速度射击出水射流。我们知道，任何材料，承受的压强都有一定限度，下表列出了一些材料所能承受的压强限度。
设想有一水刀的水射流横截面积为S，垂直入射的速度v＝800 m/s，水射流与材料接触后速度为零，且不附着在材料上，水的密度ρ＝1×103 kg/m3，则此水刀不能切割上述材料中的________。
答案 CD
解析 以射到材料上的水量Δm为研究对象，以其运动方向为正方向，由动量定理得－pSΔt＝0－ρSvΔt·v，p＝ρv2＝6.4×108 Pa，由表中数据可知，不能切割CD。
2．正方体密闭容器中有大量运动粒子，每个粒子质量为m，单位体积内粒子数量n为恒量。为简化问题，我们假定：粒子大小可以忽略；其速率均为v，且与器壁各面碰撞的机会均等；与器壁碰撞前后瞬间，粒子速度方向都与器壁垂直，且速率不变。利用所学力学知识，导出器壁单位面积所受粒子压力f与m、n和v的关系。
答案 见解析
解析 一个粒子每与器壁碰撞一次给器壁的冲量是：
I＝2mv，
在Δt时间内能到达面积为S的容器壁上的粒子所占据的体积为：
V＝SvΔt，
由于粒子有均等的概率与容器各面相碰，即可能达到目标区域的粒子数为：N＝eq \f(1,6)nV＝eq \f(1,6)n·SvΔt，
根据动量定理得：F·Δt＝N·I，
则得面积为S的器壁受到的粒子的压力为：
F＝eq \f(NI,Δt)＝eq \f(\f(1,6)nSvΔt·2mv,Δt)＝eq \f(1,3)nSmv2；
所以器壁单位面积所受粒子压力为：f＝eq \f(F,S)＝eq \f(1,3)nmv2。
3．按照近代光的粒子说，光由光子组成，飞船在太空中张开太阳帆，使太阳光垂直射到太阳帆上，太阳帆的面积为S，太阳帆对光的反射率为100%，设太阳帆上每单位面积每秒到达n个光子，每个光子的动量为p，如果飞船的总质量为m，求飞船加速度的表达式。如果太阳帆面对阳光的一面是黑色的，情况又如何？
答案 eq \f(2pnS,m) eq \f(pnS,m)
解析 时间t内有nSt个光子入射到太阳帆上，这些光子的动量变化量的大小为2pnSt，设太阳帆对这些光子的作用力大小为F，由动量定理得：Ft＝2pnSt，解得：F＝2pnS
由牛顿第二定律可得太阳帆的加速度a＝eq \f(F′,m)＝eq \f(F,m)＝eq \f(2pnS,m)。
如果太阳帆面对太阳光的一面是黑色的，即光子照射后被完全吸收，时间t内光子的动量变化量的大小为pnSt
同理可得太阳帆的加速度为a′＝eq \f(pnS,m)。
高考模拟 随堂集训
1．(2019·全国卷Ⅰ)最近，我国为“长征九号”研制的大推力新型火箭发动机联试成功，这标志着我国重型运载火箭的研发取得突破性进展。若某次实验中该发动机向后喷射的气体速度约为3 km/s，产生的推力约为4.8×106 N，则它在1 s时间内喷射的气体质量约为( )
A．1.6×102 kg B．1.6×103 kg
C．1.6×105 kg D．1.6×106 kg
答案 B
解析 设1 s内喷出气体的质量为m，喷出的气体与该发动机的相互作用力为F，由动量定理知Ft＝mv，m＝eq \f(Ft,v)＝eq \f(4.8×106×1,3×103) kg＝1.6×103 kg，B正确。
2．(2018·全国卷Ⅱ)高空坠物极易对行人造成伤害。若一个50 g的鸡蛋从一居民楼的25层坠下，与地面的撞击时间约为2 ms，则该鸡蛋对地面产生的冲击力约为( )
A．10 N B．102 N
C．103 N D．104 N
答案 C
解析 设鸡蛋落地瞬间的速度为v，每层楼的高度大约是3 m，由动能定理可知：mgh＝eq \f(1,2)mv2，解得：v＝eq \r(2gh)＝eq \r(2×10×3×25) m/s＝10eq \r(15) m/s。落地时受到自身的重力和地面的支持力，规定向上为正方向，由动量定理可知：(N－mg)t＝0－(－mv)，解得：N≈1×103 N，根据牛顿第三定律可知鸡蛋对地面产生的冲击力约为103 N，故C正确。
3.(2017·全国卷Ⅲ)(多选)一质量为2 kg的物块在合外力F的作用下从静止开始沿直线运动。F随时间t变化的图线如图所示，则( )
A．t＝1 s时物块的速率为1 m/s
B．t＝2 s时物块的动量大小为4 kg·m/s
C．t＝3 s时物块的动量大小为5 kg·m/s
D．t＝4 s时物块的速度为零
答案 AB
解析 前2 s内物块做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a1＝eq \f(F1,m)＝eq \f(2,2) m/s2＝1 m/s2，t＝1 s时物块的速率v1＝a1t1＝1 m/s，A正确；t＝2 s时物块的速率v2＝a1t2＝2 m/s，动量大小为p2＝mv2＝4 kg·m/s，B正确；物块在2～4 s内做匀减速直线运动，加速度的大小a2＝eq \f(F2,m)＝0.5 m/s2，t＝3 s时物块的速率v3＝v2－a2t3＝(2－0.5×1) m/s＝1.5 m/s，动量大小p3＝mv3＝3 kg·m/s，C错误；t＝4 s时物块的速度v4＝v2－a2t4＝(2－0.5×2) m/s＝1 m/s，D错误。
4.(2019·广西钦州三模)“飞针穿玻璃”是一项高难度的绝技表演，曾一度引起质疑。为了研究该问题，以下测量能够得出飞针在穿越玻璃的时间内，对玻璃平均冲击力大小的是( )
A．测出玻璃厚度和飞针穿越玻璃前后的速度
B．测出玻璃厚度和飞针穿越玻璃所用的时间
C．测出飞针质量、玻璃厚度和飞针穿越玻璃所用的时间
D．测出飞针质量、飞针穿越玻璃所用时间和穿越玻璃前后的速度
答案 D
解析 在“飞针穿玻璃”的过程中，对飞针，由动量定理得：－Ft＝mv2－mv1，故测出飞针质量、飞针穿越玻璃所用时间和穿越玻璃前后的速度，就能得出飞针对玻璃的平均冲击力大小，故D正确；A项中，由2ax＝veq \\al(2,2)－veq \\al(2,1)可得飞针穿越玻璃时的加速度，但飞针质量未知，故不能得出飞针对玻璃的平均冲击力大小，A错误；B项中，由x＝v1t＋eq \f(1,2)at2，飞针穿越玻璃前的速度v1未知，故不能求出飞针的加速度，由A项分析可知，B错误；结合A、B项的分析，可知C错误。
5．(2019·山东青岛高三一模)雨打芭蕉是我国古代文学中重要的抒情意象。为估算雨天院中芭蕉叶面上单位面积所承受的力，小玲同学将一圆柱形水杯置于院中，测得10分钟内杯中雨水上升了15 mm，查询得知，当时雨滴落地速度约为10 m/s，设雨滴撞击芭蕉叶面后无反弹，不计雨滴重力，雨水的密度为1×103 kg/m3，据此估算芭蕉叶面单位面积上的平均受力约为( )
A．0.25 N B．0.5 N
C．1.5 N D．2.5 N
答案 A
解析 设雨滴受到支持面的平均作用力为F，水杯中在Δt时间内有质量为Δm的雨水速度由v＝10 m/s减为零。不计雨滴的重力，以向上为正方向，对这部分雨水应用动量定理：FΔt＝0－(－Δmv)＝Δmv，解得：F＝eq \f(Δmv,Δt)。设水杯横截面积为S，水杯里的雨水在Δt时间内水面上升Δh，则有：Δm＝ρSΔh，故F＝ρSveq \f(Δh,Δt)，eq \f(F,S)＝ρveq \f(Δh,Δt)＝1×103×10×eq \f(15×10－3,10×60) N/m2＝0.25 N/m2，故芭蕉叶面单位面积上的平均受力约为0.25 N，A正确，B、C、D错误。
6．(2018·江苏高考)如图所示，悬挂于竖直弹簧下端的小球质量为m，运动速度的大小为v，方向向下。经过时间t，小球的速度大小为v，方向变为向上。忽略空气阻力，重力加速度为g，求该运动过程中，小球所受弹簧弹力冲量的大小。
答案 2mv＋mgt
解析 取向上为正方向，由动量定理mv－(－mv)＝I
且小球所受总的冲量I＝I弹－mgt，
解得小球所受弹簧弹力的冲量I弹＝2mv＋mgt。
7．(2018·北京高考)2022年将在我国举办第二十四届冬奥会，跳台滑雪是其中最具观赏性的项目之一。某滑道示意图如图，长直助滑道AB与弯曲滑道BC平滑衔接，滑道BC高h＝10 m，C是半径R＝20 m圆弧的最低点，质量m＝60 kg的运动员从A处由静止开始匀加速下滑，加速度a＝4.5 m/s2，到达B点时速度vB＝30 m/s。取重力加速度g＝10 m/s2。
(1)求长直助滑道AB的长度L；
(2)求运动员在AB段所受合外力的冲量的I大小；
(3)若不计BC段的阻力，画出运动员经过C点时的受力图，并求其所受支持力FN的大小。
答案 (1)100 m (2)1800 N·s
(3)受力图见解析 3900 N
解析 (1)已知AB段的初末速度，则利用运动学公式可以求解AB的长度，即veq \\al(2,B)－veq \\al(2,0)＝2aL，
可解得L＝eq \f(v\\al(2,B)－v\\al(2,0),2a)＝eq \f(302－0,2×4.5) m＝100 m。
(2)根据动量定理可知合外力的冲量等于动量的变化量，
所以I＝mvB－mv0＝(60×30－0) N·s＝1800 N·s。
(3)运动员经过C点时的受力如图所示。
由牛顿第二定律可得
FN－mg＝meq \f(v\\al(2,C),R)，①
从B运动到C由动能定理可知
mgh＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,C)－eq \f(1,2)mveq \\al(2,B)，②
由①②式并代入数据解得FN＝3900 N。
课时作业
时间：45分钟 满分：100分
一、选择题(本题共10小题，每小题7分，共70分。其中1～7题为单选，8～10题为多选)
1．下面关于物体动量和冲量的说法错误的是( )
A．物体所受合外力的冲量越大，它的动量也越大
B．物体所受合外力的冲量不为零，它的动量一定要改变
C．物体动量增量的方向，就是它所受冲量的方向
D．物体所受合外力越大，它的动量变化就越快
答案 A
解析 Ft越大，Δp越大，但动量不一定越大，它还与初态的动量有关，故A错误；Ft＝Δp，Ft不为零，Δp一定不为零，B正确；冲量不仅与Δp大小相等，而且方向相同，C正确；物体所受合外力越大，速度变化越快，即动量变化越快，D正确。本题选说法错误的，故选A。
2．将质量为0.5 kg的小球以20 m/s的初速度竖直向上抛出，不计空气阻力，g取10 m/s2，以下判断正确的是( )
A．小球从抛出至最高点受到的冲量大小为10 N·s
B．小球从抛出至落回出发点动量的增量大小为0
C．小球从抛出至落回出发点受到的冲量大小为0
D．小球从抛出至落回出发点受到的冲量大小为10 N·s
答案 A
解析 小球在最高点速度为零，取向下为正方向，小球从抛出至最高点受到的冲量：I＝0－(－mv0)＝10 N·s，A正确；因不计空气阻力，所以小球落回出发点的速度大小仍等于20 m/s，但其方向变为竖直向下，由动量定理知，小球从抛出至落回出发点受到的冲量为：I′＝Δp＝mv0－(－mv0)＝20 N·s，则冲量大小为20 N·s，B、C、D错误。
3．(2019·四川自贡高三一诊)校运会跳远比赛时在沙坑里填沙，这样做的目的是可以减小( )
A．人的触地时间 B．人的动量变化率
C．人的动量变化量 D．人受到的冲量
答案 B
解析 跳远比赛时，运动员从与沙坑接触到静止，动量的变化量Δp一定，由动量定理可知，人受到的合力的冲量I＝Δp是一定的，在沙坑中填沙延长了人与沙坑的接触时间，即t变大，由动量定理：Δp＝Ft，可得eq \f(Δp,t)＝F，Δp一定，t越大，动量变化率越小，人受到的合外力越小，人越安全，B正确。
4．(2020·安徽A10联盟高三摸底)鸟撞飞机是导致空难的重要因素之一。假设在某次空难中，鸟的质量为0.6 kg，飞行的速度为3 m/s，迎面撞上速度为720 km/h的飞机，对飞机的撞击力达到1.6×106 N，则鸟撞飞机的作用时间大约为( )
A．7.6×10－6 s B．7.6×10－5 s
C．1.5×10－5 s D．1.5×10－4 s
答案 B
解析 由于飞机质量远大于鸟质量，碰撞后飞机速度几乎不变，碰撞后鸟和飞机以共同的速度前进。以飞机的运动方向为正方向，设碰撞过程鸟撞击飞机的作用时间为t，则根据动量定理：Ft＝mv机－(－mv鸟)，整理可得：t＝eq \f(mv机＋v鸟,F)＝eq \f(0.6×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(720,3.6)＋3)),1.6×106) s≈7.6×10－5 s，B正确。
5．(2019·山西濮阳模拟)太空中的尘埃对飞船的碰撞会阻碍飞船的飞行，质量为M的飞船飞入太空尘埃密集区域时，需要开动引擎提供大小为F的平均推力才能维持飞船以恒定速度v匀速飞行。已知尘埃与飞船碰撞后将完全黏附在飞船上，则在太空尘埃密集区域单位时间内黏附在飞船上尘埃的质量为( )
A．M＋eq \f(F,v) B.eq \f(F,v)－M
C．M－eq \f(F,v) D.eq \f(F,v)
答案 D
解析 设单位时间内黏附在飞船上尘埃的质量为m，以单位时间内黏附在飞船上的尘埃为研究对象，根据动量定理有：Ft＝mv－0，其中t＝1 s，可得m＝eq \f(F,v)，D正确。
6.如图所示，竖直平面内有一半圆槽，A、C等高，B为圆槽最低点，小球从A点正上方O点静止释放，从A点切入圆槽，刚好能运动至C点。空气阻力忽略不计。设球在AB段和BC段运动过程中，运动时间分别为t1、t2，合外力的冲量大小为I1、I2，则( )
A．t1>t2 B．t1＝t2
C．I1>I2 D．I1＝I2
答案 C
解析 由vC＝0可知在小球从A点到C点的运动过程中，有阻力做功，所以在同一高度处，在AB弧上的速率大于在BC弧上的速率，所以AB段平均速率大于BC段平均速率，两段路程相等，所以t1|Δp2|，则I1>I2，故C正确，D错误。
7．跑酷是时下流行的一种极限运动，在某次练习中，假设质量为50 kg的跑酷运动员在一堵墙前面以与水平方向成37°角、大小为6 m/s的速度跳起，再用脚蹬墙面一次，使身体水平反抛回来，落到了距离墙2.16 m处。如果用脚蹬墙时跑酷运动员的速度方向恰好沿水平方向，不考虑空气阻力，g取10 m/s2，则墙对跑酷运动员做的功和墙对跑酷运动员的冲量大小分别为(sin37°＝0.6，cs37°＝0.8)( )
A．0,540 kg·m/s B．324 J,60 kg·m/s
C．546 J,300 kg·m/s D．900 J,540 kg·m/s
答案 A
解析 把运动员的初速度看成平抛运动的末速度，将该速度沿水平方向和竖直方向分解，水平分速度vx＝v0cs37°＝4.8 m/s，竖直分速度vy＝v0sin37°＝3.6 m/s，则跑酷运动员用脚蹬墙前瞬间的速度大小v1＝vx＝4.8 m/s，在空中时间为t＝eq \f(vy,g)＝0.36 s，则跑酷运动员用脚蹬墙面后，身体水平反抛回来时在空中的时间为t＝0.36 s，所以跑酷运动员用脚蹬墙后瞬间的速度大小v2＝eq \f(x,t)＝eq \f(2.16 m,0.36 s)＝6 m/s，取跑酷运动员用脚蹬墙后返回的速度方向为正方向，于是墙对跑酷运动员的冲量大小为I＝mv2－(－mv1)＝540 kg·m/s。由于墙面对跑酷运动员作用力的作用点在脚上，且位移为零，所以墙对跑酷运动员不做功，A正确。
8．某人身系弹性绳自高空P点自由下落，a点是弹性绳的原长位置，c是人所能到达的最低点，b是人静止悬挂时的平衡位置。若把由P点到a点称为过程Ⅰ，由a点到c点称为过程Ⅱ，不计空气阻力，下列说法正确的是( )
A．过程Ⅰ中人的动量的改变量等于重力的冲量
B．过程Ⅱ中人的动量的减少量等于过程Ⅰ中重力的冲量的大小
C．过程Ⅱ中人的动能逐渐减小到零
D．过程Ⅱ中人的机械能的减少量等于过程Ⅰ中重力做功的大小
答案 AB
解析 根据动量定理可知过程Ⅰ中人的动量的改变量等于重力的冲量，A正确；人在P、C两点时的动量均为零，则过程Ⅱ中动量的减少量等于过程Ⅰ中重力的冲量的大小，B正确。从a到b的过程中，人的重力大于绳的弹力，从b到c的过程中，人的重力小于绳的弹力，故过程Ⅱ中人的动能先增大再减小，C错误；过程Ⅱ中人的机械能的减少量等于过程Ⅰ和过程Ⅱ中重力做功的大小，D错误。
9．质量为m的物体以初速度v0做平抛运动，经过时间t，下落的高度为h，速度大小为v，不计空气阻力，在这段时间内，该物体的动量的变化量大小为( )
A．mv－mv0 B．mgt
C．meq \r(v2－v\\al(2,0)) D．meq \r(2gh)
答案 BCD
解析 根据动量定理得，物体所受合力的冲量等于它的动量的变化量，所以Δp＝mgt，故B正确；由题可知，物体末位置的动量为mv，初位置的动量为mv0，根据矢量三角形定则知，该物体的动量的变化量Δp＝mvy＝meq \r(v2－v\\al(2,0))＝meq \r(2gh)，故C、D正确，A错误。
10．如图甲所示，一物块在t＝0时刻，以初速度v0从足够长的粗糙斜面底端向上滑行，物块速度随时间变化的图象如图乙所示，t0时刻物块到达最高点，3t0时刻物块又返回底端。由此可以确定( )
A．物块冲上斜面的最大位移
B．物块返回底端时的速度
C．物块所受摩擦力的大小
D．斜面倾角θ
答案 ABD
解析 根据图线的“面积”可以求出物体冲上斜面的最大位移为：x＝eq \f(v0t0,2)，A正确；设物块返回底端时的速度大小为v，则有：eq \f(v0t0,2)＝eq \f(v·2t0,2)，解得：v＝eq \f(v0,2)，B正确；根据动量定理得上滑过程：－(mgsinθ＋μmgcsθ)t0＝0－mv0，下滑过程：(mgsinθ－μmgcsθ)·2t0＝mv，联立解得：sinθ＝eq \f(5v0,8gt0)，f＝μmgcsθ＝eq \f(3mv0,8t0)，由于质量m未知，则无法求出f，可以求出斜面倾角θ，D正确，C错误。
二、非选择题(本题共2小题，共30分)
11．(12分)在水平力F＝30 N的作用下，质量m＝5 kg的物体由静止开始沿水平面运动。已知物体与水平面间的动摩擦因数μ＝0.2，若F作用6 s后撤去，撤去F后物体还能向前运动多长时间才停止？(g取10 m/s2)
答案 12 s
解析 选物体为研究对象，研究整个过程，取水平力F的方向为正方向，根据动量定理得Ft1－μmg(t1＋t2)＝0，解得t2＝12 s。
12．(18分)一辆轿车强行超车时，与另一辆迎面驶来的轿车相撞，两车相撞后，两车车身因相互挤压，皆缩短了0.5 m，据测算两车相撞前速度约为30 m/s。
(1)试求车祸中车内质量约60 kg的人受到的平均冲力；
(2)若此人系有安全带，安全带在车祸过程中与人体的作用时间是1 s，求这时人体受到的平均冲力。
答案 (1)5.4×104 N (2)1.8×103 N
解析 (1)两车相撞时可认为人与车一起做匀减速运动直到停止，位移为0.5 m。
设运动的时间为t，根据x＝eq \f(v0,2)t，得t＝eq \f(2x,v0)＝eq \f(1,30) s，
规定其中一辆轿车运动方向为正方向，
以这辆轿车内的人为研究对象，根据动量定理得：
－Ft＝0－mv0
解得F＝eq \f(mv0,t)＝5.4×104 N。
(2)若人系有安全带，则－F′t′＝0－mv0
解得F′＝eq \f(mv0,t′)＝1.8×103 N。
高考地位
高考对本章的考查主要是以碰撞为模型对动量守恒定律进行考查，而且注意与生活中的具体事例相联系，题型主要以选择题、计算题为主，计算题往往与其他知识综合。
考纲下载
1.动量、动量定理(Ⅱ)
2．动量守恒定律及其应用(Ⅱ)
3．弹性碰撞和非弹性碰撞(Ⅰ)
实验七：验证动量守恒定律
说明：只限于一维两个物体的碰撞问题。
考纲解读
1.理解动量、动量的变化量、冲量等概念，掌握动量定理、动量守恒定律，并能用动量守恒定律解决相关问题。
2．掌握弹性碰撞和非弹性碰撞的概念，记住两个物体碰撞的几个基本公式，能运用动量守恒定律并结合能量关系解决简单的碰撞问题。
3．高考中对本专题的考查方式主要有两种：(1)以碰撞为模型考查动量守恒定律的应用；(2)以生活中的实例为背景，考查规律的灵活运用。
动量
动能
物理意义
描述机械运动状态的物理量
定义式
p＝mv
Ek＝eq \f(1,2)mv2
标矢量
矢量
标量
变化因素
物体所受冲量
外力所做的功
大小关系
p＝eq \r(2mEk)
Ek＝eq \f(p2,2m)
联系
(1)都是相对量，与参考系的选取有关，通常选取地面为参考系
(2)若物体的动能发生变化，则动量一定也发生变化；但动量发生变化时动能不一定发生变化
(3)都是状态量，与某一时刻或某一位置相对应
冲量
功
定义
作用在物体上的力和力的作用时间的乘积
作用在物体上的力和物体在力的方向上的位移的乘积
单位
N·s
J
公式
I＝Ft(F为恒力)
W＝Flcsα(F为恒力)
标矢量
矢量
标量
意义
①表示力对时间的累积
②是动量变化的量度
①表示力对空间的累积
②是能量变化的量度
联系
①都是过程量，都与力的作用过程相互联系
②冲量不为零时，功可能为零；功不为零时，冲量一定不为零
公式法
利用定义式I＝Ft计算冲量，此方法仅适用于恒力的冲量，无需考虑物体的运动状态
图象法
利用F－t图象计算，F－t图象与时间轴围成的面积表示冲量，此法既可以计算恒力的冲量，也可以计算变力的冲量
动量
定理法
如果物体受到大小或方向变化的力的作用，则不能直接用I＝Ft求变力的冲量，可以求出该力作用下物体动量的变化量，由I＝Δp求变力的冲量
平均
力法
如果力随时间是均匀变化的，则eq \x\t(F)＝eq \f(1,2)(F0＋Ft)，该变力的冲量为I＝eq \f(1,2)(F0＋Ft)t
A
橡胶
5×107 Pa
B
花岗石
1.2×108～2.6×108 Pa
C
铸铁
8.8×108 Pa
D
工具钢
6.7×108 Pa
主干梳理 对点激活
知识点 动量 Ⅱ
1．定义：运动物体的质量和eq \x(\s\up1(01))速度的乘积叫做物体的动量，通常用p来表示。
2．表达式：p＝eq \x(\s\up1(02))mv。
3．单位：eq \x(\s\up1(03))kg·m/s。
4．标矢性：动量是矢量，其方向和eq \x(\s\up1(04))速度方向相同。
知识点 动量定理 Ⅱ
1．冲量
(1)定义：力与力的eq \x(\s\up1(01))作用时间的乘积叫做这个力的冲量，公式：eq \x(\s\up1(02))I＝Ft。
(2)单位：冲量的单位是eq \x(\s\up1(03))牛·秒，符号是eq \x(\s\up1(04))N·s。
(3)标矢性：冲量是矢量，恒力冲量的方向与力的方向eq \x(\s\up1(05))相同。
2．动量定理
(1)内容：物体在一个过程始末的eq \x(\s\up1(06))动量变化量等于它在这个过程中所受力的eq \x(\s\up1(07))冲量。
(2)表达式：Ft＝Δp＝p′－p。
(3)矢量性：动量变化量的方向与eq \x(\s\up1(08))合外力的方向相同，也可以在某一方向上用动量定理。
一 堵点疏通
1．两物体的动量相等，动能也一定相等。( )
2．动量变化的大小，不可能等于初、末态动量大小之和。( )
3．物体的动量变化等于某个力的冲量。( )
4．物体沿水平面运动，重力不做功，重力的冲量也等于零。( )
5．物体的动量越大，则物体的惯性就越大。( )
答案 1.× 2.× 3.× 4.× 5.×
二 对点激活
1．下列说法正确的是( )
A．速度大的物体，它的动量一定也大
B．动量大的物体，它的速度一定也大
C．只要物体的运动速度大小不变，物体的动量就保持不变
D．物体的动量变化越大，则该物体的速度变化一定越大
答案 D
解析 动量p＝mv，由质量和速度共同决定，所以A、B错误；动量是矢量，速度方向改变，动量也会改变，故C错误；由Δp＝mΔv知，D正确。
2．(沪科版选修3－5·P10·T3改编)质量为5 kg的小球以5 m/s的速度竖直落到地板上，随后以3 m/s的速度反向弹回，若取竖直向下的方向为正方向，则小球动量的变化为( )
A．10 kg·m/s B．－10 kg·m/s
C．40 kg·m/s D．－40 kg·m/s
答案 D
解析 动量的变化是末动量减去初动量，规定了竖直向下为正方向，则小球的初动量p1＝mv1＝25 kg·m/s，末动量p2＝mv2＝－15 kg·m/s，所以动量的变化Δp＝p2－p1＝－40 kg·m/s，D正确。
3．(人教版选修3－5·P11·T2改编)(多选)在光滑水平面上，原来静止的物体在水平恒力F的作用下，经过时间t，通过位移l后，动量变为p，动能变为Ek，以下说法正确的是( )
A．在F作用下，这个物体若经过位移2l，其动量将等于2p
B．在F作用下，这个物体若经过时间2t，其动量将等于2p
C．在F作用下，这个物体若经过时间4t，其动能将等于2Ek
D．在F作用下，这个物体若经过位移2l，其动能将等于2Ek
答案 BD
解析 由动量定理Ft＝Δp知，A错误，B正确；由动能定理Fl＝ΔEk和l＝eq \f(1,2)at2知，C错误，D正确。
4．(人教版选修3－5·P12·T5改编)体操运动员在落地时总要屈腿，这样做可以( )
A．减小地面对人的冲量 B．减小地面对人的撞击力
C．减小人的动量变化量 D．减小人的动能变化量
答案 B
解析 体操运动员落地时屈腿可以延长地面对人撞击力的作用时间，取人落地时速度方向为正方向，根据动量定理得：－Ft＋mgt＝0－mv，得：F＝eq \f(mv,t)＋mg，当t增加时F减小，而冲量和动量、动能的变化量都不变，所以B正确。
考点细研 悟法培优
考点1 动量、冲量的理解及计算
1.对动量的理解
(1)动量的两性
①瞬时性：动量是描述物体运动状态的物理量，是针对某一时刻或位置而言的。
②相对性：动量的大小与参考系的选取有关，通常情况是指相对地面的动量。
(2)动量与动能的比较
2．对冲量的理解
(1)冲量的两性
①时间性：冲量不仅由力决定，还由力的作用时间决定，恒力的冲量等于该力与该力的作用时间的乘积。
②矢量性：对于方向恒定的力来说，冲量的方向与力的方向一致。
(2)作用力和反作用力的冲量：一定等大、反向，但作用力和反作用力做的功之间并无必然联系。
(3)冲量与功的比较
例1 如图所示，质量为m的小滑块沿倾角为θ的斜面向上滑动，经过时间t1，速度为零并又开始下滑，经过时间t2回到斜面底端，滑块在运动过程中受到的摩擦力大小始终为Ff。在整个运动过程中，下列说法正确的是( )
A．重力对滑块的总冲量为mg(t1＋t2)sinθ
B．支持力对滑块的总冲量为mg(t1＋t2)csθ
C．合外力的冲量为0
D．摩擦力的总冲量为Ff(t1＋t2)
(1)上滑过程与下滑过程摩擦力方向相同吗？
提示：不相同。
(2)整个过程中小滑块的动量是否发生了改变？
提示：发生了改变。
尝试解答 选B。
重力对滑块的总冲量为mg(t1＋t2)，故A错误；支持力对滑块的总冲量为mg(t1＋t2)csθ，故B正确；整个过程中小滑块的动量发生了改变，故合力的总冲量不为0，C错误；上滑过程和下滑过程摩擦力的方向相反，故若以沿斜面向上为正方向，摩擦力的总冲量为Ff(t2－t1)，故D错误。
冲量的四种计算方法
[变式1－1] (多选)一细绳系着小球，在光滑水平面上做圆周运动，小球质量为m，速度大小为v，做圆周运动的周期为T，则以下说法中正确的是( )
A．经过时间t＝eq \f(T,2)，小球的动量的变化量为零
B．经过时间t＝eq \f(T,4)，小球的动量的变化量大小为eq \r(2)mv
C．经过时间t＝eq \f(T,2)，细绳的拉力对小球的冲量大小为2mv
D．经过时间t＝eq \f(T,4)，重力对小球的冲量大小为eq \f(mgT,4)
答案 BCD
解析 经过时间t＝eq \f(T,2)，小球转过了180°，速度方向正好与开始计时的时刻的速度方向相反，若规定开始计时的时刻的速度方向为正方向，则小球的动量的变化量Δp＝－mv－mv＝－2mv，细绳的拉力对小球的冲量I＝Δp＝－2mv，冲量大小为2mv，A错误，C正确；经过时间t＝eq \f(T,4)，小球转过了90°，根据矢量合成法可得，小球的动量的变化量大小为Δp′＝mΔv＝eq \r(2)mv，重力对小球的冲量大小IG＝mgt＝eq \f(mgT,4)，B、D正确。
[变式1－2] (2019·湖北宜昌模拟)(多选)一质量为m的运动员托着质量为M的重物从下蹲状态(图甲)缓慢运动到站立状态(图乙)，该过程重物和人的肩部相对位置不变，运动员保持图乙状态站立Δt时间后再将重物缓慢向上举，至双臂伸直(图丙)。甲到乙、乙到丙过程重物上升的高度分别为h1、h2，经历的时间分别为t1、t2，则( )
A．地面对运动员的冲量大小为(M＋m)g(t1＋t2＋Δt)，地面对运动员做的功为0
B．地面对运动员的冲量大小为(M＋m)g(t1＋t2)，地面对运动员做的功为(M＋m)g(h1＋h2)
C．运动员对重物的冲量大小为Mg(t1＋t2＋Δt)，运动员对重物做的功为Mg(h1＋h2)
D．运动员对重物的冲量大小为Mg(t1＋t2)，运动员对重物做的功为0
答案 AC
解析 因甲到乙、乙到丙均为缓慢运动过程，则可认为运动员和重物整体一直处于平衡状态，地面对运动员的支持力大小为(M＋m)g，整个过程的时间为(t1＋t2＋Δt)，根据I＝Ft可知地面对运动员的冲量大小为(M＋m)·g(t1＋t2＋Δt)；因地面对运动员的支持力的作用点不动，可知地面对运动员做的功为0，A正确，B错误。运动员对重物的作用力大小为Mg，作用时间为(t1＋t2＋Δt)，根据I＝Ft可知运动员对重物的冲量大小为Mg(t1＋t2＋Δt)，重物的位移为(h1＋h2)，根据W＝Fs可知运动员对重物做的功为Mg(h1＋h2)，C正确，D错误。
考点2 动量定理的理解及应用
1.动量定理的理解
(1)动量定理反映了力的冲量与动量变化之间的因果关系，即合外力的冲量是原因，物体的动量变化是结果。
(2)动量定理中的冲量是所受合外力的冲量，既是各力冲量的矢量和，也是合外力在不同阶段冲量的矢量和。
(3)动量定理的表达式是矢量式，等号包含了大小相等、方向相同两方面的含义。
(4)由Ft＝p′－p，得F＝eq \f(p′－p,t)＝eq \f(Δp,t)，即物体所受的合外力等于物体的动量对时间的变化率。
2．用动量定理解释生活现象
(1)Δp一定时，F的作用时间越短，力越大；时间越长，力越小。
(2)F一定时，力的作用时间越长，Δp越大；时间越短，Δp越小。
分析问题时，要明确哪个量一定，哪个量变化。
3．用动量定理解题的基本思路
(1)确定研究对象。在中学阶段用动量定理讨论的问题，其研究对象一般仅限于单个物体。
(2)对物体进行受力分析，求合冲量。可先求每个力的冲量，再求各力冲量的矢量和；或先求合力，再求其冲量。
(3)抓住过程的初、末状态，选好正方向，确定各动量和冲量的正负号。
(4)根据动量定理列方程，如有必要还需要补充其他方程，最后代入数据求解。
对过程较复杂的运动，可分段用动量定理，也可对整个过程用动量定理。
例2 如图所示，一高空作业的工人重为600 N，系一条长为L＝5 m的安全带，若工人不慎跌落时安全带的缓冲时间t＝1 s，则安全带受的平均拉力是多少？(g取10 m/s2)
(1)从开始到最终静止，人的动量是否发生了变化？
提示：没有。
(2)人在整个过程中受哪些力的作用？
提示：重力和安全带对人的拉力。
尝试解答 1200_N，方向竖直向下
设工人刚要拉紧安全带时的速度为v，v2＝2gL，
得v＝eq \r(2gL)
经缓冲时间t＝1 s后速度变为0，取向下为正方向，工人受两个力作用，即拉力F和重力mg(如图)，对工人由动量定理知，
(mg－F)t＝0－mv，F＝eq \f(mgt＋mv,t)
其中m＝eq \f(G,g)，将数值代入得F＝1200 N。
由牛顿第三定律，工人给安全带的平均拉力F′为1200 N，方向竖直向下。
应用动量定理解题的注意事项
在应用动量定理解题时，一定要对物体认真进行受力分析，不可有力的遗漏；建立方程时要事先选定正方向，确定力与速度的符号。如例2规定向下为正，则mg和v取正，F取负，列出关系式。对于变力的冲量，往往通过动量定理来计算，只有当相互作用时间Δt极短时，且相互作用力远大于重力时，才可舍去重力。
[变式2－1] 如图所示，在光滑水平面上静止放着两个相互接触的木块A、B，质量分别为m1和m2，今有一子弹水平穿过两木块，设子弹穿过木块A、B的时间分别为t1和t2，木块对子弹的阻力恒为f，则子弹穿过两木块后，木块A、B的速度大小分别是( )
A.eq \f(ft1,m1) eq \f(ft1,m1＋m2) B.eq \f(ft1,m1＋m2) eq \f(ft1,m1＋m2)＋eq \f(ft2,m2)
C.eq \f(ft1,m1) eq \f(ft1＋t2,m1＋m2) D.eq \f(ft1＋t2,m1) eq \f(ft1＋t2,m1＋m2)
答案 B
解析 子弹在A中穿过时，以AB为研究对象，规定向右为正方向，由动量定理得：ft1＝(m1＋m2)v1，所以v1＝eq \f(ft1,m1＋m2)。之后A的速度保持v1不变，子弹进入B木块，以B为研究对象，由动量定理得：ft2＝m2v2－m2v1。联立得：v2＝eq \f(ft2,m2)＋eq \f(ft1,m1＋m2)，故B正确，A、C、D错误。
[变式2－2] 下列解释中正确的是( )
A．跳高时，在落地处垫海绵是为了减小冲量
B．在码头上装橡皮轮胎，是为了减小渡船靠岸过程受到的冲量
C．动量相同的两个物体受相同的制动力作用，质量小的先停下来
D．人从越高的地方跳下，落地时越危险，是因为落地时人受到的冲量越大
答案 D
解析 跳高时，在落地处垫海绵是为了延长作用时间减小冲力，不是减小冲量，故A错误；在码头上装橡皮轮胎，也是为了延长作用时间，从而减小冲力，不是减小冲量，故B错误；动量相同的两个物体受相同的制动力作用，根据动量定理Ft＝m·Δv，则知运动时间相等，故C错误；从越高的地方跳下，落地时速度越大，动量越大，则受到地的冲量越大，故D正确。
启智微专题 建模提能3 应用动量定理分析变质量问题的技巧
对“连续”质点系发生持续作用时，物体动量(或其他量)连续发生变化。这类问题的处理思路是：正确选取研究对象，即选取很短时间Δt内动量(或其他量)发生变化的那部分物体作为研究对象，建立如下的“柱状”模型：在时间Δt内所选取的研究对象均分布在以S为截面积、长为vΔt的柱体内，这部分质点的质量为Δm＝ρSvΔt，以这部分质量为研究对象，研究它在Δt时间内动量(或其他量)的变化情况，再根据动量定理(或其他规律)求出有关的物理量。
1．流体类问题
通常液体流、气体流等被广义地视为“流体”，质量具有连续性，通常已知密度ρ。
【典题例证1】
(2016·全国卷Ⅰ)某游乐园入口旁有一喷泉，喷出的水柱将一质量为M的卡通玩具稳定地悬停在空中。为计算方便起见，假设水柱从横截面积为S的喷口持续以速度v0竖直向上喷出；玩具底部为平板(面积略大于S)；水柱冲击到玩具底板后，在竖直方向水的速度变为零，在水平方向朝四周均匀散开。忽略空气阻力。已知水的密度为ρ，重力加速度大小为g。求：
(1)喷泉单位时间内喷出的水的质量；
(2)玩具在空中悬停时，其底面相对于喷口的高度。
[解析] (1)设Δt时间内，从喷口喷出的水的体积为ΔV，质量为Δm，则：
Δm＝ρΔV①
ΔV＝v0SΔt②
由①②式得，单位时间内从喷口喷出的水的质量为eq \f(Δm,Δt)＝ρv0S③
(2)设玩具悬停时其底面相对于喷口的高度为h，水从喷口喷出后到达玩具底面时的速度大小为v。对于Δt时间内喷出的水，由能量守恒得eq \f(1,2)(Δm)v2＋(Δm)gh＝eq \f(1,2)(Δm)veq \\al(2,0)④
在h高度处，Δt时间内喷射到玩具底面的水沿竖直方向的动量变化量的大小为Δp＝(Δm)v⑤
设水对玩具的作用力的大小为F，根据动量定理有
FΔt＋ΔmgΔt＝Δp⑥
因为ΔmgΔt＝ρv0SgΔt2含Δt的二次项，所以与FΔt相比，ΔmgΔt可忽略。
由于玩具在空中悬停，由力的平衡条件和牛顿第三定律得
F＝Mg⑦
联立③④⑤⑥⑦式得h＝eq \f(v\\al(2,0),2g)－eq \f(M2g,2ρ2v\\al(2,0)S2)。
[答案] (1)ρv0S (2)eq \f(v\\al(2,0),2g)－eq \f(M2g,2ρ2v\\al(2,0)S2)
名师点睛 流体类问题分析步骤
(1)建立“柱状”模型，沿流速v的方向选取一段柱形流体，其横截面积为S。
(2)微元研究，作用时间Δt内的一段柱形流体的长度为Δl，对应的质量为Δm＝ρSvΔt。
(3)建立方程，应用动量定理研究这段柱状流体。
2．微粒类问题
通常电子流、光子流、尘埃等被广义地视为“微粒”，质量具有独立性，通常给出单位体积内的粒子数n。
【典题例证2】
有一宇宙飞船，它的正面面积S＝2 m2，以v＝3×103 m/s的相对速度飞入一宇宙微粒尘区。此微粒尘区1 m3空间中有一个微粒，每一个微粒的平均质量为m＝2×10－7 kg。假设微粒与飞船外壳碰撞后附着于飞船上，要使飞船速度不变，飞船的牵引力应增加( )
A．3.6×103 N B．3.6 N
C．1.2×10－3 N D．1.2 N
[解析] 设在t时间内与飞船碰撞并附着于飞船上的微粒总质量为M，则M＝vtSm，设飞船对微粒的作用力大小为F，由动量定理知，Ft＝Mv，联立解得F＝v2Sm，代入相关数据得F＝3.6 N。根据牛顿第三定律，微粒对飞船的作用力大小为3.6 N。要使飞船速度不变，根据平衡条件，飞船的牵引力应增加3.6 N，B正确。
[答案] B
名师点睛 微粒类问题分析步骤
(1)建立“柱体”模型，沿速度v0的方向选取一段微元，其横截面积为S。
(2)微元研究，作用时间Δt内一段微元的长度为Δl，对应的体积为ΔV＝Sv0Δt，则微元内的粒子数N＝nv0SΔt。
(3)先应用动量定理研究单个粒子，建立方程，再乘以N求解。
【针对训练】
1．国产水刀——超高压数控万能水切割机以其神奇的切割性能在北京国际展览中心举行的第五届国际机床展览会上引起轰动，它能切割40 mm厚的钢板，50 mm厚的大理石等其他材料。
水刀就是将普通的水加压，使其从口径为0.2 mm的喷嘴中以800～1000 m/s速度射击出水射流。我们知道，任何材料，承受的压强都有一定限度，下表列出了一些材料所能承受的压强限度。
设想有一水刀的水射流横截面积为S，垂直入射的速度v＝800 m/s，水射流与材料接触后速度为零，且不附着在材料上，水的密度ρ＝1×103 kg/m3，则此水刀不能切割上述材料中的________。
答案 CD
解析 以射到材料上的水量Δm为研究对象，以其运动方向为正方向，由动量定理得－pSΔt＝0－ρSvΔt·v，p＝ρv2＝6.4×108 Pa，由表中数据可知，不能切割CD。
2．正方体密闭容器中有大量运动粒子，每个粒子质量为m，单位体积内粒子数量n为恒量。为简化问题，我们假定：粒子大小可以忽略；其速率均为v，且与器壁各面碰撞的机会均等；与器壁碰撞前后瞬间，粒子速度方向都与器壁垂直，且速率不变。利用所学力学知识，导出器壁单位面积所受粒子压力f与m、n和v的关系。
答案 见解析
解析 一个粒子每与器壁碰撞一次给器壁的冲量是：
I＝2mv，
在Δt时间内能到达面积为S的容器壁上的粒子所占据的体积为：
V＝SvΔt，
由于粒子有均等的概率与容器各面相碰，即可能达到目标区域的粒子数为：N＝eq \f(1,6)nV＝eq \f(1,6)n·SvΔt，
根据动量定理得：F·Δt＝N·I，
则得面积为S的器壁受到的粒子的压力为：
F＝eq \f(NI,Δt)＝eq \f(\f(1,6)nSvΔt·2mv,Δt)＝eq \f(1,3)nSmv2；
所以器壁单位面积所受粒子压力为：f＝eq \f(F,S)＝eq \f(1,3)nmv2。
3．按照近代光的粒子说，光由光子组成，飞船在太空中张开太阳帆，使太阳光垂直射到太阳帆上，太阳帆的面积为S，太阳帆对光的反射率为100%，设太阳帆上每单位面积每秒到达n个光子，每个光子的动量为p，如果飞船的总质量为m，求飞船加速度的表达式。如果太阳帆面对阳光的一面是黑色的，情况又如何？
答案 eq \f(2pnS,m) eq \f(pnS,m)
解析 时间t内有nSt个光子入射到太阳帆上，这些光子的动量变化量的大小为2pnSt，设太阳帆对这些光子的作用力大小为F，由动量定理得：Ft＝2pnSt，解得：F＝2pnS
由牛顿第二定律可得太阳帆的加速度a＝eq \f(F′,m)＝eq \f(F,m)＝eq \f(2pnS,m)。
如果太阳帆面对太阳光的一面是黑色的，即光子照射后被完全吸收，时间t内光子的动量变化量的大小为pnSt
同理可得太阳帆的加速度为a′＝eq \f(pnS,m)。
高考模拟 随堂集训
1．(2019·全国卷Ⅰ)最近，我国为“长征九号”研制的大推力新型火箭发动机联试成功，这标志着我国重型运载火箭的研发取得突破性进展。若某次实验中该发动机向后喷射的气体速度约为3 km/s，产生的推力约为4.8×106 N，则它在1 s时间内喷射的气体质量约为( )
A．1.6×102 kg B．1.6×103 kg
C．1.6×105 kg D．1.6×106 kg
答案 B
解析 设1 s内喷出气体的质量为m，喷出的气体与该发动机的相互作用力为F，由动量定理知Ft＝mv，m＝eq \f(Ft,v)＝eq \f(4.8×106×1,3×103) kg＝1.6×103 kg，B正确。
2．(2018·全国卷Ⅱ)高空坠物极易对行人造成伤害。若一个50 g的鸡蛋从一居民楼的25层坠下，与地面的撞击时间约为2 ms，则该鸡蛋对地面产生的冲击力约为( )
A．10 N B．102 N
C．103 N D．104 N
答案 C
解析 设鸡蛋落地瞬间的速度为v，每层楼的高度大约是3 m，由动能定理可知：mgh＝eq \f(1,2)mv2，解得：v＝eq \r(2gh)＝eq \r(2×10×3×25) m/s＝10eq \r(15) m/s。落地时受到自身的重力和地面的支持力，规定向上为正方向，由动量定理可知：(N－mg)t＝0－(－mv)，解得：N≈1×103 N，根据牛顿第三定律可知鸡蛋对地面产生的冲击力约为103 N，故C正确。
3.(2017·全国卷Ⅲ)(多选)一质量为2 kg的物块在合外力F的作用下从静止开始沿直线运动。F随时间t变化的图线如图所示，则( )
A．t＝1 s时物块的速率为1 m/s
B．t＝2 s时物块的动量大小为4 kg·m/s
C．t＝3 s时物块的动量大小为5 kg·m/s
D．t＝4 s时物块的速度为零
答案 AB
解析 前2 s内物块做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a1＝eq \f(F1,m)＝eq \f(2,2) m/s2＝1 m/s2，t＝1 s时物块的速率v1＝a1t1＝1 m/s，A正确；t＝2 s时物块的速率v2＝a1t2＝2 m/s，动量大小为p2＝mv2＝4 kg·m/s，B正确；物块在2～4 s内做匀减速直线运动，加速度的大小a2＝eq \f(F2,m)＝0.5 m/s2，t＝3 s时物块的速率v3＝v2－a2t3＝(2－0.5×1) m/s＝1.5 m/s，动量大小p3＝mv3＝3 kg·m/s，C错误；t＝4 s时物块的速度v4＝v2－a2t4＝(2－0.5×2) m/s＝1 m/s，D错误。
4.(2019·广西钦州三模)“飞针穿玻璃”是一项高难度的绝技表演，曾一度引起质疑。为了研究该问题，以下测量能够得出飞针在穿越玻璃的时间内，对玻璃平均冲击力大小的是( )
A．测出玻璃厚度和飞针穿越玻璃前后的速度
B．测出玻璃厚度和飞针穿越玻璃所用的时间
C．测出飞针质量、玻璃厚度和飞针穿越玻璃所用的时间
D．测出飞针质量、飞针穿越玻璃所用时间和穿越玻璃前后的速度
答案 D
解析 在“飞针穿玻璃”的过程中，对飞针，由动量定理得：－Ft＝mv2－mv1，故测出飞针质量、飞针穿越玻璃所用时间和穿越玻璃前后的速度，就能得出飞针对玻璃的平均冲击力大小，故D正确；A项中，由2ax＝veq \\al(2,2)－veq \\al(2,1)可得飞针穿越玻璃时的加速度，但飞针质量未知，故不能得出飞针对玻璃的平均冲击力大小，A错误；B项中，由x＝v1t＋eq \f(1,2)at2，飞针穿越玻璃前的速度v1未知，故不能求出飞针的加速度，由A项分析可知，B错误；结合A、B项的分析，可知C错误。
5．(2019·山东青岛高三一模)雨打芭蕉是我国古代文学中重要的抒情意象。为估算雨天院中芭蕉叶面上单位面积所承受的力，小玲同学将一圆柱形水杯置于院中，测得10分钟内杯中雨水上升了15 mm，查询得知，当时雨滴落地速度约为10 m/s，设雨滴撞击芭蕉叶面后无反弹，不计雨滴重力，雨水的密度为1×103 kg/m3，据此估算芭蕉叶面单位面积上的平均受力约为( )
A．0.25 N B．0.5 N
C．1.5 N D．2.5 N
答案 A
解析 设雨滴受到支持面的平均作用力为F，水杯中在Δt时间内有质量为Δm的雨水速度由v＝10 m/s减为零。不计雨滴的重力，以向上为正方向，对这部分雨水应用动量定理：FΔt＝0－(－Δmv)＝Δmv，解得：F＝eq \f(Δmv,Δt)。设水杯横截面积为S，水杯里的雨水在Δt时间内水面上升Δh，则有：Δm＝ρSΔh，故F＝ρSveq \f(Δh,Δt)，eq \f(F,S)＝ρveq \f(Δh,Δt)＝1×103×10×eq \f(15×10－3,10×60) N/m2＝0.25 N/m2，故芭蕉叶面单位面积上的平均受力约为0.25 N，A正确，B、C、D错误。
6．(2018·江苏高考)如图所示，悬挂于竖直弹簧下端的小球质量为m，运动速度的大小为v，方向向下。经过时间t，小球的速度大小为v，方向变为向上。忽略空气阻力，重力加速度为g，求该运动过程中，小球所受弹簧弹力冲量的大小。
答案 2mv＋mgt
解析 取向上为正方向，由动量定理mv－(－mv)＝I
且小球所受总的冲量I＝I弹－mgt，
解得小球所受弹簧弹力的冲量I弹＝2mv＋mgt。
7．(2018·北京高考)2022年将在我国举办第二十四届冬奥会，跳台滑雪是其中最具观赏性的项目之一。某滑道示意图如图，长直助滑道AB与弯曲滑道BC平滑衔接，滑道BC高h＝10 m，C是半径R＝20 m圆弧的最低点，质量m＝60 kg的运动员从A处由静止开始匀加速下滑，加速度a＝4.5 m/s2，到达B点时速度vB＝30 m/s。取重力加速度g＝10 m/s2。
(1)求长直助滑道AB的长度L；
(2)求运动员在AB段所受合外力的冲量的I大小；
(3)若不计BC段的阻力，画出运动员经过C点时的受力图，并求其所受支持力FN的大小。
答案 (1)100 m (2)1800 N·s
(3)受力图见解析 3900 N
解析 (1)已知AB段的初末速度，则利用运动学公式可以求解AB的长度，即veq \\al(2,B)－veq \\al(2,0)＝2aL，
可解得L＝eq \f(v\\al(2,B)－v\\al(2,0),2a)＝eq \f(302－0,2×4.5) m＝100 m。
(2)根据动量定理可知合外力的冲量等于动量的变化量，
所以I＝mvB－mv0＝(60×30－0) N·s＝1800 N·s。
(3)运动员经过C点时的受力如图所示。
由牛顿第二定律可得
FN－mg＝meq \f(v\\al(2,C),R)，①
从B运动到C由动能定理可知
mgh＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,C)－eq \f(1,2)mveq \\al(2,B)，②
由①②式并代入数据解得FN＝3900 N。
课时作业
时间：45分钟 满分：100分
一、选择题(本题共10小题，每小题7分，共70分。其中1～7题为单选，8～10题为多选)
1．下面关于物体动量和冲量的说法错误的是( )
A．物体所受合外力的冲量越大，它的动量也越大
B．物体所受合外力的冲量不为零，它的动量一定要改变
C．物体动量增量的方向，就是它所受冲量的方向
D．物体所受合外力越大，它的动量变化就越快
答案 A
解析 Ft越大，Δp越大，但动量不一定越大，它还与初态的动量有关，故A错误；Ft＝Δp，Ft不为零，Δp一定不为零，B正确；冲量不仅与Δp大小相等，而且方向相同，C正确；物体所受合外力越大，速度变化越快，即动量变化越快，D正确。本题选说法错误的，故选A。
2．将质量为0.5 kg的小球以20 m/s的初速度竖直向上抛出，不计空气阻力，g取10 m/s2，以下判断正确的是( )
A．小球从抛出至最高点受到的冲量大小为10 N·s
B．小球从抛出至落回出发点动量的增量大小为0
C．小球从抛出至落回出发点受到的冲量大小为0
D．小球从抛出至落回出发点受到的冲量大小为10 N·s
答案 A
解析 小球在最高点速度为零，取向下为正方向，小球从抛出至最高点受到的冲量：I＝0－(－mv0)＝10 N·s，A正确；因不计空气阻力，所以小球落回出发点的速度大小仍等于20 m/s，但其方向变为竖直向下，由动量定理知，小球从抛出至落回出发点受到的冲量为：I′＝Δp＝mv0－(－mv0)＝20 N·s，则冲量大小为20 N·s，B、C、D错误。
3．(2019·四川自贡高三一诊)校运会跳远比赛时在沙坑里填沙，这样做的目的是可以减小( )
A．人的触地时间 B．人的动量变化率
C．人的动量变化量 D．人受到的冲量
答案 B
解析 跳远比赛时，运动员从与沙坑接触到静止，动量的变化量Δp一定，由动量定理可知，人受到的合力的冲量I＝Δp是一定的，在沙坑中填沙延长了人与沙坑的接触时间，即t变大，由动量定理：Δp＝Ft，可得eq \f(Δp,t)＝F，Δp一定，t越大，动量变化率越小，人受到的合外力越小，人越安全，B正确。
4．(2020·安徽A10联盟高三摸底)鸟撞飞机是导致空难的重要因素之一。假设在某次空难中，鸟的质量为0.6 kg，飞行的速度为3 m/s，迎面撞上速度为720 km/h的飞机，对飞机的撞击力达到1.6×106 N，则鸟撞飞机的作用时间大约为( )
A．7.6×10－6 s B．7.6×10－5 s
C．1.5×10－5 s D．1.5×10－4 s
答案 B
解析 由于飞机质量远大于鸟质量，碰撞后飞机速度几乎不变，碰撞后鸟和飞机以共同的速度前进。以飞机的运动方向为正方向，设碰撞过程鸟撞击飞机的作用时间为t，则根据动量定理：Ft＝mv机－(－mv鸟)，整理可得：t＝eq \f(mv机＋v鸟,F)＝eq \f(0.6×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(720,3.6)＋3)),1.6×106) s≈7.6×10－5 s，B正确。
5．(2019·山西濮阳模拟)太空中的尘埃对飞船的碰撞会阻碍飞船的飞行，质量为M的飞船飞入太空尘埃密集区域时，需要开动引擎提供大小为F的平均推力才能维持飞船以恒定速度v匀速飞行。已知尘埃与飞船碰撞后将完全黏附在飞船上，则在太空尘埃密集区域单位时间内黏附在飞船上尘埃的质量为( )
A．M＋eq \f(F,v) B.eq \f(F,v)－M
C．M－eq \f(F,v) D.eq \f(F,v)
答案 D
解析 设单位时间内黏附在飞船上尘埃的质量为m，以单位时间内黏附在飞船上的尘埃为研究对象，根据动量定理有：Ft＝mv－0，其中t＝1 s，可得m＝eq \f(F,v)，D正确。
6.如图所示，竖直平面内有一半圆槽，A、C等高，B为圆槽最低点，小球从A点正上方O点静止释放，从A点切入圆槽，刚好能运动至C点。空气阻力忽略不计。设球在AB段和BC段运动过程中，运动时间分别为t1、t2，合外力的冲量大小为I1、I2，则( )
A．t1>t2 B．t1＝t2
C．I1>I2 D．I1＝I2
答案 C
解析 由vC＝0可知在小球从A点到C点的运动过程中，有阻力做功，所以在同一高度处，在AB弧上的速率大于在BC弧上的速率，所以AB段平均速率大于BC段平均速率，两段路程相等，所以t1
7．跑酷是时下流行的一种极限运动，在某次练习中，假设质量为50 kg的跑酷运动员在一堵墙前面以与水平方向成37°角、大小为6 m/s的速度跳起，再用脚蹬墙面一次，使身体水平反抛回来，落到了距离墙2.16 m处。如果用脚蹬墙时跑酷运动员的速度方向恰好沿水平方向，不考虑空气阻力，g取10 m/s2，则墙对跑酷运动员做的功和墙对跑酷运动员的冲量大小分别为(sin37°＝0.6，cs37°＝0.8)( )
A．0,540 kg·m/s B．324 J,60 kg·m/s
C．546 J,300 kg·m/s D．900 J,540 kg·m/s
答案 A
解析 把运动员的初速度看成平抛运动的末速度，将该速度沿水平方向和竖直方向分解，水平分速度vx＝v0cs37°＝4.8 m/s，竖直分速度vy＝v0sin37°＝3.6 m/s，则跑酷运动员用脚蹬墙前瞬间的速度大小v1＝vx＝4.8 m/s，在空中时间为t＝eq \f(vy,g)＝0.36 s，则跑酷运动员用脚蹬墙面后，身体水平反抛回来时在空中的时间为t＝0.36 s，所以跑酷运动员用脚蹬墙后瞬间的速度大小v2＝eq \f(x,t)＝eq \f(2.16 m,0.36 s)＝6 m/s，取跑酷运动员用脚蹬墙后返回的速度方向为正方向，于是墙对跑酷运动员的冲量大小为I＝mv2－(－mv1)＝540 kg·m/s。由于墙面对跑酷运动员作用力的作用点在脚上，且位移为零，所以墙对跑酷运动员不做功，A正确。
8．某人身系弹性绳自高空P点自由下落，a点是弹性绳的原长位置，c是人所能到达的最低点，b是人静止悬挂时的平衡位置。若把由P点到a点称为过程Ⅰ，由a点到c点称为过程Ⅱ，不计空气阻力，下列说法正确的是( )
A．过程Ⅰ中人的动量的改变量等于重力的冲量
B．过程Ⅱ中人的动量的减少量等于过程Ⅰ中重力的冲量的大小
C．过程Ⅱ中人的动能逐渐减小到零
D．过程Ⅱ中人的机械能的减少量等于过程Ⅰ中重力做功的大小
答案 AB
解析 根据动量定理可知过程Ⅰ中人的动量的改变量等于重力的冲量，A正确；人在P、C两点时的动量均为零，则过程Ⅱ中动量的减少量等于过程Ⅰ中重力的冲量的大小，B正确。从a到b的过程中，人的重力大于绳的弹力，从b到c的过程中，人的重力小于绳的弹力，故过程Ⅱ中人的动能先增大再减小，C错误；过程Ⅱ中人的机械能的减少量等于过程Ⅰ和过程Ⅱ中重力做功的大小，D错误。
9．质量为m的物体以初速度v0做平抛运动，经过时间t，下落的高度为h，速度大小为v，不计空气阻力，在这段时间内，该物体的动量的变化量大小为( )
A．mv－mv0 B．mgt
C．meq \r(v2－v\\al(2,0)) D．meq \r(2gh)
答案 BCD
解析 根据动量定理得，物体所受合力的冲量等于它的动量的变化量，所以Δp＝mgt，故B正确；由题可知，物体末位置的动量为mv，初位置的动量为mv0，根据矢量三角形定则知，该物体的动量的变化量Δp＝mvy＝meq \r(v2－v\\al(2,0))＝meq \r(2gh)，故C、D正确，A错误。
10．如图甲所示，一物块在t＝0时刻，以初速度v0从足够长的粗糙斜面底端向上滑行，物块速度随时间变化的图象如图乙所示，t0时刻物块到达最高点，3t0时刻物块又返回底端。由此可以确定( )
A．物块冲上斜面的最大位移
B．物块返回底端时的速度
C．物块所受摩擦力的大小
D．斜面倾角θ
答案 ABD
解析 根据图线的“面积”可以求出物体冲上斜面的最大位移为：x＝eq \f(v0t0,2)，A正确；设物块返回底端时的速度大小为v，则有：eq \f(v0t0,2)＝eq \f(v·2t0,2)，解得：v＝eq \f(v0,2)，B正确；根据动量定理得上滑过程：－(mgsinθ＋μmgcsθ)t0＝0－mv0，下滑过程：(mgsinθ－μmgcsθ)·2t0＝mv，联立解得：sinθ＝eq \f(5v0,8gt0)，f＝μmgcsθ＝eq \f(3mv0,8t0)，由于质量m未知，则无法求出f，可以求出斜面倾角θ，D正确，C错误。
二、非选择题(本题共2小题，共30分)
11．(12分)在水平力F＝30 N的作用下，质量m＝5 kg的物体由静止开始沿水平面运动。已知物体与水平面间的动摩擦因数μ＝0.2，若F作用6 s后撤去，撤去F后物体还能向前运动多长时间才停止？(g取10 m/s2)
答案 12 s
解析 选物体为研究对象，研究整个过程，取水平力F的方向为正方向，根据动量定理得Ft1－μmg(t1＋t2)＝0，解得t2＝12 s。
12．(18分)一辆轿车强行超车时，与另一辆迎面驶来的轿车相撞，两车相撞后，两车车身因相互挤压，皆缩短了0.5 m，据测算两车相撞前速度约为30 m/s。
(1)试求车祸中车内质量约60 kg的人受到的平均冲力；
(2)若此人系有安全带，安全带在车祸过程中与人体的作用时间是1 s，求这时人体受到的平均冲力。
答案 (1)5.4×104 N (2)1.8×103 N
解析 (1)两车相撞时可认为人与车一起做匀减速运动直到停止，位移为0.5 m。
设运动的时间为t，根据x＝eq \f(v0,2)t，得t＝eq \f(2x,v0)＝eq \f(1,30) s，
规定其中一辆轿车运动方向为正方向，
以这辆轿车内的人为研究对象，根据动量定理得：
－Ft＝0－mv0
解得F＝eq \f(mv0,t)＝5.4×104 N。
(2)若人系有安全带，则－F′t′＝0－mv0
解得F′＝eq \f(mv0,t′)＝1.8×103 N。
高考地位
高考对本章的考查主要是以碰撞为模型对动量守恒定律进行考查，而且注意与生活中的具体事例相联系，题型主要以选择题、计算题为主，计算题往往与其他知识综合。
考纲下载
1.动量、动量定理(Ⅱ)
2．动量守恒定律及其应用(Ⅱ)
3．弹性碰撞和非弹性碰撞(Ⅰ)
实验七：验证动量守恒定律
说明：只限于一维两个物体的碰撞问题。
考纲解读
1.理解动量、动量的变化量、冲量等概念，掌握动量定理、动量守恒定律，并能用动量守恒定律解决相关问题。
2．掌握弹性碰撞和非弹性碰撞的概念，记住两个物体碰撞的几个基本公式，能运用动量守恒定律并结合能量关系解决简单的碰撞问题。
3．高考中对本专题的考查方式主要有两种：(1)以碰撞为模型考查动量守恒定律的应用；(2)以生活中的实例为背景，考查规律的灵活运用。
动量
动能
物理意义
描述机械运动状态的物理量
定义式
p＝mv
Ek＝eq \f(1,2)mv2
标矢量
矢量
标量
变化因素
物体所受冲量
外力所做的功
大小关系
p＝eq \r(2mEk)
Ek＝eq \f(p2,2m)
联系
(1)都是相对量，与参考系的选取有关，通常选取地面为参考系
(2)若物体的动能发生变化，则动量一定也发生变化；但动量发生变化时动能不一定发生变化
(3)都是状态量，与某一时刻或某一位置相对应
冲量
功
定义
作用在物体上的力和力的作用时间的乘积
作用在物体上的力和物体在力的方向上的位移的乘积
单位
N·s
J
公式
I＝Ft(F为恒力)
W＝Flcsα(F为恒力)
标矢量
矢量
标量
意义
①表示力对时间的累积
②是动量变化的量度
①表示力对空间的累积
②是能量变化的量度
联系
①都是过程量，都与力的作用过程相互联系
②冲量不为零时，功可能为零；功不为零时，冲量一定不为零
公式法
利用定义式I＝Ft计算冲量，此方法仅适用于恒力的冲量，无需考虑物体的运动状态
图象法
利用F－t图象计算，F－t图象与时间轴围成的面积表示冲量，此法既可以计算恒力的冲量，也可以计算变力的冲量
动量
定理法
如果物体受到大小或方向变化的力的作用，则不能直接用I＝Ft求变力的冲量，可以求出该力作用下物体动量的变化量，由I＝Δp求变力的冲量
平均
力法
如果力随时间是均匀变化的，则eq \x\t(F)＝eq \f(1,2)(F0＋Ft)，该变力的冲量为I＝eq \f(1,2)(F0＋Ft)t
A
橡胶
5×107 Pa
B
花岗石
1.2×108～2.6×108 Pa
C
铸铁
8.8×108 Pa
D
工具钢
6.7×108 Pa
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