河南省三门峡市2022-2023学年高三上学期11月阶段性考试数学试题（理）试题（Word版附解析）

这是一份河南省三门峡市2022-2023学年高三上学期11月阶段性考试数学试题（理）试题（Word版附解析），共16页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回， 在中，已知，则的形状是， 函数在上的图像为， 中，点为上的点，且，若 ，则等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.
3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.
4.考试结束后，将答题卡交回.
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 集合，则集合（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据集合之间的交并补运算，即可求解.
【详解】因为，而
所以，
故选:C.
2. “”是“函数与x轴只有一个交点”的（ ）
A. 充要条件B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数与x轴的交点转换为方程得实根，从而可分类得的值，故可判断两个条件之间的关系.
【详解】解：若函数与x轴只有一个交点，即方程只有一个实根
则或，所以或，
因此“”是“函数与x轴只有一个交点”的充分不必要条件.
故选：C
3. 设函数，若，则（ ）
A. 3B. 4C. 32D. 33
【答案】D
【解析】
【分析】分两种情况，代入相应的函数进行求解.
【详解】当时，，解得：，符合要求，当时，，故不可能等于5，综上：
故选：D
4. 已知正项等比数列首项为1，且成等差数列，则前6项和为（ ）
A. 31B. C. D. 63
【答案】C
【解析】
【分析】利用等差数列的通项公式及等比数列的前项和公式即可求解.
【详解】∵成等差数列，
∴，
∴，即，解得 或 ，
又∵，∴，
∴，
故选：C.
5. 已知向量，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由与的夹角为钝角得，且不共线，再按照向量的坐标运算求解即可.
【详解】因为向量，，且与夹角为钝角，
由上述条件得，，且，不反向，
由得，，.
当，共线时有，，.此时，反向，
因此实数的取值范围.
故选:D.
6. 在中，已知，则的形状是（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形
C. 等边三角形D. 等腰或直角三角形
【答案】D
【解析】
【分析】由余弦定理化角为边，然后通过代数式的变形可得．
【详解】因为，所以，
，，
所以或，
所以为等腰三角形或直角三角形．
故选：D．
7. 函数在上的图像为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设函数，由奇函数的定义可得为奇函数，由为偶函数，可判断为奇函数，排除C，D，由时，，排除A，从而可得答案.
【详解】设函数，
则，
则为奇函数，因为为偶函数，所以为奇函数，
当时，，
故选：A．
8. 数列中，，且对任意都有，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意，令，则，由此得到是一个等比数列，由等比数列的性质知 是等比数列，用等比数列的求和公式计算即可.
【详解】由任意都有，所以令，则，且，所以是一个等比数列，且公比为，则
所以，
故选：D.
9. 中，点为上的点，且，若 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】选定基向量，根据向量的加减法，用基底表示出向量，结合条件即可求得，可得答案.
【详解】由题意可得
,
又，故，
故，
故选:B
10. 已知点在角的终边上，点在角的终边上，则实数a的值为（ ）
A. B. 6C. 6或D. 或1
【答案】B
【解析】
【分析】易得，再根据三角函数定义结合两角差的正切公式即可得解.
【详解】若，则，
角终边位于轴的正半轴，角的终边位于轴的正半轴，
而，矛盾，所以，
则，
即，解得或，
当时，位于第四象限，位于第二象限，不符题意；
当时，都位于第一象限，符合题意，
所以.
故选：B.
11. 锐角中，若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件及余弦定理，再利用正弦定理、三角形内角和定理及两角和的正弦公式，结合三角形的为锐角三角形得出角的范围即可求解
【详解】由，得，
由余弦定理得，所以，
即，由正弦定理得,
因为,
所以,
即.
因为为锐角三角形，
所以或，解得或（舍），
因为为锐角三角形，.
所以.
故选：B.
12. 已知函数及其导函数的定义域均为R，若，均为偶函数，对于以下结论①，②，③，④.
其中正确的结论个数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】根据偶函数的性质和导数的运算性质逐一判断即可.
【详解】因为是偶函数，
所以有，
故③正确；
因为是偶函数，
所以，
由
，因此②正确，
由，因此④正确，
由等式不能确定的值，
故选：D
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用偶函数的性质以及对由偶函数性质得到的等式进行求导.
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13. 若“”是“”的必要条件，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意解得：，得出，由此可得出实数取值范围.
【详解】根据题意解得：，
由于“”是“”的必要条件，则，.
因此，实数的取值范围是：.
故答案为：.
14. 设等差数列的公差不为0，，若是与的等比中项，则k等于______.
【答案】5
【解析】
【分析】根据题意得到，即，再解方程即可.
【详解】因为是与的等比中项，
所以，即，
所以.
因为，所以，即，
解得或（舍去）.
故答案为：5
15. 窗的运用是中式园林设计的重要组成部分，在表现方式上常常运用象征、隐喻、借景等手法，将民族文化与哲理融入其中，营造出广阔的审美意境．从窗的外形看，常见的有圆形、菱形、正六边形、正八边形等．已知圆是某窗的平面图，为圆心，点在圆的圆周上，点是圆内部一点，若，且，则的最小值是______．
【答案】3
【解析】
【分析】利用向量的线性运算，结合数量积，可求得，确定其取值范围,再根据平方后的式子，即得.
【详解】因为，
所以，
所以，即，则．
因为点是圆内部一点，
所以，所以，
则，
当且仅当时，等号成立，
故的最小值是3．
故答案为：3.
16. 若函数在内单调递增，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】求出函数的导数，由给定条件可得恒成立，再分类讨论作答.
【详解】因函数在内单调递增，则，，
即，整理得，
当时，则成立，，
当时，，而，
当且仅当，即时取“=”，则有，
当时，，而，
当且仅当，即时取“=”，则有，
综上得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
【点睛】思路点睛：涉及函数不等式恒成立问题，可以探讨函数的最值，借助函数最值转化解决问题.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知函数．
（1）求函数的最大值；
（2）把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求函数的单调递减区间
【答案】（1）4； （2），.
【解析】
【分析】（1）根据降幂公式，结合余弦函数的最值性质进行求解即可；
（2）根据余弦型函数图象的变换性质，结合余弦型函数的单调性进行求解即可.
【小问1详解】
∴当时取得最大值4；
【小问2详解】
因为把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，
所以，
令，可得函数的单调递减区间为，．
18. 设是等比数列，其前项的和为，且，.
（1）求的通项公式；
（2）若，求的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）由题意易得，根据等比数列的定义，可求出的公比为，由此即可求出的通项公式；
（2）由（1）可求，进而求出的表达式，再根据，列出关于不等式，解不等式，即可求出结果.
【详解】（1）设的公比为q，因为，所以，所以，
又，所以，所以.
（2）因为，所以，
由，得，即，解得，
所以n的最小值为6.
【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式和前n项和的求法和应用，属于基础题.
19. 已知函数，其中.若存在实数，使得关于的方程有两个不同的实数根.
（1）求的整数值；
（2）设函数取的最大整数值.若在上单调递增，求实数的取值范围.
【答案】（1）1或2 （2）
【解析】
【分析】（1）判断函数的单调性，结合简图求出的整数值；
（2）把化为分段函数，结合分段函数的单调性求出结果.
【小问1详解】
当时，，是增函数.
当时，，也是增函数.
画图可知，当“点在点上方”时，存在实数，
使直线与曲线有两个交点，即存在实数，使得关于的方程有两个不同的实数根.
所以，解得，故的整数值是1或2.
【小问2详解】
由（1）可得；
在上，单调递增，等价于，即.
在上，单调递增，等价于，即.
综上知，实数的取值范围是.
20. 已知等差数列的公差为-1，且.
（1）求数列的通项公式与前n项和；
（2）若将数列的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列的前3项，记的前n项和为.若对任意m，n∈，都有恒成立，求实数λ的取值范围.
【答案】（1），（2）
【解析】
【分析】（1）先利用以及等差数列的性质，求出，再把公差代入即可求出首项，写出通项公式和前n项和；（2）由已知求出等比数列的首项和公比，代入求和公式得，并利用函数的单调性求出其范围；再利用（1）的结论以及恒成立，即可求实数λ的取值范围．
【详解】（1）由得，
所以，
所以，
解得，
，
从而.
（2）由题意知，
设等比数列的公比为，则，
，
随m递减，
为递增数列，得，
又，
故，
若存在m∈，使对任意n∈总有，
则，
解得.
【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，通项公式，等比数列的定义，前n项和，函数的单调性，最值，属于难题．
21. 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，△ABC的面积．
（1）若，求的值；
（2）求的取值范围．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理化简可得，由可得，结合余弦定理得，换元求出其值，由正弦定理即可得答案;
（2）由得 ，结合余弦定理得，变形为，换元，可得，结合三角函数的性质可得不等式，即可求得答案.
【小问1详解】
因为，由正弦定理得：，
即,即，
因为 ，所以，即，
由得：;
由得：，即，即，
由余弦定理可得：，
故，则，
令，则，解得 ，
由正弦定理得：，故的值为或；
【小问2详解】
由得：，即，
由余弦定理可得：，
即，
故，
令，则，即,
由得，故，
故，即得 ，
故的取值范围是.
22. 已知函数（为常数）的图象在处的切线方程为.
(1)判断函数的单调性；
(2)已知，且，若对任意，任意，与中恰有一个恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）单调递减；（2）.
【解析】
【分析】（1）由已知求得，代回函数的导函数可得函数导数恒小于零，故函数在定义域上递减；
（2）原不等式等价于或，分离常数得，或对任意恒成立，利用导数求得的最大值，利用二次函数求最值的方法求得的最小值，由此可求得的取值范围.
【详解】解：（1）∵函数定义域为，
∴，由条件得，
把代入得，∴，即，.
∴，.
∵，∴，∴在上单调递减.
（2）由（1）知，在上单调递减，
∴在上的最小值为，最大值为，
∴只需或，
即或对任意恒成立.
令，则，
令得，而恒成立，
∴当时，，单调递减；当时，，单调递增.
∴的最大值为.而，，显然，
∴在上的最大值为，又，
∴或，即或.
∴实数的取值范围是.
【点睛】方法点睛：对于参数问题，常用的有分离参数法和分类讨论，要根据已知情况灵活选择，提高解题效率.