高考数学模拟题分项汇编(第四期) 专题16 概率统计解答题(原卷版+解析)

这是一份高考数学模拟题分项汇编(第四期) 专题16 概率统计解答题(原卷版+解析)，共38页。试卷主要包含了，整理得下表等内容，欢迎下载使用。

该公司下属的某分公司有押运车共3辆，车牌尾号分别为0，5，6，分别记为A，B，C．已知在非保养日，根据工作需要每辆押运车每天可能出车或不出车，A，B，C三辆车每天出车的概率依次为，，，且A，B，C三车是否出车相互独立；在保养日，保养车辆不能出车．
（1）求该分公司在星期四至少有一辆车外出执行押运任务的概率；
（2）设表示该分公司在星期一与星期二两天的出车台数之和，求的分布列及其数学期望．
2．（2021·江苏扬州中学高三月考）为丰富师生的课余文化生活，倡导“每一天健身一小时，健康生活一辈子”，深入开展健身运动，增强学生的身体素质和团队的凝聚力，某中学将举行趣味运动会.某班共有10名同学报名参加“四人五足”游戏，其中男同学6名，女同学4名.按照游戏规则，每班只能选4名同学参加这个游戏，因此要从这10名报名的同学中随机选出4名，记其中男同学的人数为.
（1）求选出的4名同学中只有女生的概率；
（2）求随机变量的分布列及数学期望.
3．（2021·江苏高邮一中高三月考）某商家以6元一件的价格购进某商品，然后以每件10元的价格出售.如果该商品当天卖不完，剩下的只能作垃圾处理.商家记录了100天该商品的日需求量（单位：件），整理得下表：
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.
（1）若商家一天购进该商品16件，表示当天的利润（单位：元），求的分布列，数学期望；
（2）若商家计划一天购进该商品16件或17件，你认为应购进16件还是17件？请说明理由.
4．（2021·广东肇庆一中模拟）为了迎接新高考，某校举行物理和化学等选科考试，其中，600名学生化学成绩（满分100分）的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组.已知图中前三个组的频率依次构成等差数列，第一组和第五组的频率相同.
（1）求，的值；
（2）估算高分（大于等于80分）人数；
（3）估计这600名学生化学成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和中位数（中位数精确到0.1）.
5．（2021·广东福田一中高三月考）某工厂购买软件服务，有如下两种方案：
方案一：软件服务公司每日收取80元，对于提供的软件服务每次10元；
方案二：软件服务公司每日收取200元，若每日软件服务不超过15次，不另外收费，若超过15次，超过部分的软件服务每次收费标准为20元．
（1）设日收费为y元，每天软件服务的次数为x，试写出两种方案中y与x的函数关系式；
（2）该工厂对过去100天的软件服务的次数进行了统计，得到如图所示的条形图，依据该统计数据，把频率视为概率，从节约成本的角度考虑，从两个方案中选择一个，哪个方案更合适？请说明理由．
6．（2021·广东龙岗一中高三期中）2021年8月3日，国务院印发了《全民健身计划（2021-2025）》，就促进全民健身更高水平发展､更好满足人民群众的健身和健康需求，提出5年目标和8个方面的主要任务.为此，深圳市政府颁发了《深圳建设国家体育消费试点城市实施方案》，进一步推动深圳市体育的高质量发展.为了响应全民健身和运动的需要，某单位举行了羽毛球趣味发球比赛，比赛规则如下：每位选手可以选择在区发球2次或者区发球3次，球落到指定区域内才能得分，在区发球时，每得分一次计2分，不得分记0分，在区发球时，每得分一次计3分，不得分记0分，得分高者胜出.已知选手甲在区和区每次发球得分的概率为和.
（1）如果选手甲以在区和区发球得分的期望值较高者作为选择发球区的标准，问选手甲应该选择在哪个区发球？
（2）求选手甲在区得分高于在区得分的概率.
7．（2021·广东湛江二十一中高三月考）某高校在2017年的自主招生考试成绩中随机抽取100名中学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下所示．
（1）请先求出频率分布表中①､②位置的相应数据，再完成频率分布直方图；
（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3､4､5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3､4､5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试；
（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官A面试的概率.
8．（2021·广东佛山一中高三月考）已知某闯关游戏，第一关在两个情境中寻宝．每位参赛选手先在两个情境中选择一个开始第一关，若寻宝失败则比赛结束；若寻宝成功则进入另一个情境，无论寻宝成功与否，第一关比赛结束．情境寻宝成功获得经验值分，否则得分；情境寻宝成功获得经验值分，否则得分．已知某玩家在情境中寻宝成功的概率为，在情境中寻宝成功的概率为，且每个情境中寻宝成功的概率与选择初始情境的次序无关．
（1）若该玩家选择从情境开始第一关，记为经验值累计得分，求的分布列；
（2）为使经验值累计得分的期望最大，该玩家应选择从哪个情境开始第一关？并说明理由．
9．（2021·广东惠州一中高三月考）一家养鸡场养了甲､乙两个品种的产蛋鸡，在甲､乙两个品种的产蛋鸡中各随机抽取1000只，分别记录其日产蛋量.根据产蛋期的记录，绘制了日产蛋量的频率分布直方图，如图所示（视频率为概率）.
（1）若甲､乙两种鸡的日产蛋量相互独立，记“甲､乙两种鸡的日产蛋量都不低于850个”为事件，试估计事件发生的概率；
（2）由于甲､乙两种鸡的食量和产蛋的大小不同，甲品种1000只鸡的日产蛋量小于850个的利润率为，日产蛋量不小于850个而小于900个的利润为，日产蛋量不小于900个的利润率为；乙品种1000只鸡的日产蛋量小于850个的利润率为，日产蛋量不小于850个而小于900个的利润为，日产蛋量不小于900个的利润率为.若在甲､乙两个品种上各投资10万元，（单位：万元）和（单位：万元）分别表示投资甲､乙两个品种所获得的利润，求和的数学期望，并对甲､乙两个品种的投资进行分析比较.
10．（2021·广东湛江一中高三月考）某单位有员工50000人，一保险公司针对该单位推出一款意外险产品，每年每位职工只需要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金.保险公司把该单位的所有岗位分为，，三类工种，从事三类工种的人数分布比例如饼图所示，且这三类工种每年的赔付概率如下表所示：
对于，，三类工种，职工每人每年保费分别为元､元､元，出险后的赔偿金额分别为100万元､100万元､50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年20万元.
（1）若保险公司要求每年收益的期望不低于保费的，证明：.
（2）现有如下两个方案供单位选择：方案一：单位不与保险公司合作，职工不交保险，出意外后单位自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔付给出意外的职工，单位开展这项工作的固定支出为每年35万元；方案二：单位与保险公司合作，，，单位负责职工保费的，职工个人负责，出险后赔偿金由保险公司赔付，单位无额外专项开支.根据该单位总支出的差异给出选择合适方案的建议.
11．（2021·湖南长郡中学高三月考）教育是阻断贫困代际传递的根本之策．补齐贫困地区义务教育发展的短板，让贫困家庭子女都能接受公平而有质量的教育，是夯实脱贫攻坚根基之所在．治贫先治愚，扶贫先扶智．为了解决某贫困地区教师资源匮乏的问题，某市教育局拟从5名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动．支教活动共分3批次进行，每次支教需要同时派送2名教师，且每次派送人员均从这5人中随机抽选．已知这5名优秀教师中，2人有支教经验，3人没有支教经验．
（1）求5名优秀教师中的“甲”，在这3批次支教活动中恰有两次被抽选到的概率；
（2）求第一次抽取到无支教经验的教师人数的分布列；
（3）求第二次抽选时，选到没有支教经验的教师的人数最有可能是几人？请说明理由．
12．（2021·湖南长沙一中高三月考）某单位有员工50000人，一保险公司针对该单位推出一款意外险产品，每年每位职工只需要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金.保险公司把该单位的所有岗位分为，，三类工种，从事三类工种的人数分布比例如饼图所示，且这三类工种每年的赔付概率如下表所示：
对于，，三类工种，职工每人每年保费分别为元､元､元，出险后的赔偿金额分别为100万元､100万元､50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年20万元.
（1）若保险公司要求每年收益的期望不低于保费的，证明：.
（2）现有如下两个方案供单位选择：方案一：单位不与保险公司合作，职工不交保险，出意外后单位自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔付给出意外的职工，单位开展这项工作的固定支出为每年35万元；方案二：单位与保险公司合作，，，单位负责职工保费的，职工个人负责，出险后赔偿金由保险公司赔付，单位无额外专项开支.根据该单位总支出的差异给出选择合适方案的建议.
13．（2021·湖南永州一中高三月考）某校积极响应习近平总书记关于共建学习型社会的号召，开展了“学党史，强信仰，跟党走”的主题学习活动.在一次“党史”知识竞赛活动中，给出了、、三道题，答对、、分别得2分、2分、4分，答错不得分.已知甲同学答对问题、、的概率分别为、、，乙同学答对问题、、的概率均为，甲、乙两位同学都需回答这三道题，且各题回答正确与否相互独立.
（1）求甲同学至少有一道题不能答对的概率；
（2）请结合统计的知识判断甲、乙两人在本次“党史”知识竞赛中，哪位同学得分高.
14．（2021·湖南郴州二中高三月考）东江湖位于湖南省郴州市东北部的资兴市境内，是湖南省唯一一个同时拥有国家5A级旅游区､国家风景名胜区､国家生态旅游示范区､国家森林公园､国家湿地公园､国家水利风景区“六位一体”的旅游区.境内主要景观有：雾漫小东江､东江大坝､龙景峡谷､兜率灵岩､东江漂流､三湘四水·东江湖文化旅游街（含东江湖奇石馆､摄影艺术馆､人文潇湘馆），还有仿古画舫､豪华游艇游湖及惊险刺激的的水上跳伞､水上摩托等.东江湖融山的隽秀，水的神韵于一体，挟南国秀色､禀历史文明于一身，被誉为“人间天上一湖水，万千景色在其中”.每年都吸引无数游客来此游玩，某调查机构在景区随机调查了10名青少年人和8名中老年人，并请他们谈谈是否有“二次游”愿望，结果10名青少年人中有的人认为他有“二次游”愿望，8名中老年人中有的人也这样认为，其他人无“二次游”愿望.
（1）根据以上统计数据，完成下列列联表，分析是否有把握认为有“二次游”愿望与年龄有关？
（2）从这10名青少年人中抽取2人，8名中老年人中抽取1人，将3人中有“二次游”愿望人数记为，求的分布列及数学期望.
附：，其中.
15．（2021·湖北武汉二中高三期中）在迎来中国共产党成立100周年的重要时刻，我国脱贫攻坚战取得全面胜利，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹.习近平总书记指出：“脱贫摘帽不是终点，而是新生活､新奋斗的起点.”某农户计划于2021年初开始种植新型农作物.已知该农作物每年每亩的种植成本为2000元，根据前期各方面调查发现，该农作物的亩产量和市场价格均具有随机性，且两者互不影响，其具体情况如表：
（1）设2021年该农户种植该农作物一亩的纯收入为X元，求X的分布列；
（2）若该农户从2021年开始，连续三年种植该农作物，假设三年内各方面条件基本不变，求这三年中该农户种植该农作物一亩至多一年的纯收入不少于30000元的概率.
16．（2021·湖北襄阳四中高三期中）小和小两个同学进行摸球游戏，甲、乙两个盒子中各装有6个大小和质地相同的球，其中甲盒子中有1个红球，2个黄球，3个蓝球，乙盒子中红球、黄球、蓝球均为2个，小同学在甲盒子中取球，小同学在乙盒子中取球.
（1）若两个同学各取一个球，求取出的两个球颜色不相同的概率；
（2）若两个同学第一次各取一个球，对比颜色后分别放入原来的盒子；第二次再各取一个球，对比颜色后再分别放入原来的盒子，这样重复取球三次.记球颜色相同的次数为随机变量，求的分布列和数学期望
17．（2021·山东师范大学附中高三月考）某部门在同一上班高峰时段对甲､乙两地铁站各随机抽取了50名乘客，统计其乘车等待时间（指乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过40分钟）.将统计数据按，，，…，分组，制成频率分布直方图：
假设乘客乘车等待时间相互独立.
（1）在上班高峰时段，从甲站的乘客中随机抽取1人，记为；从乙站的乘客中随机抽取1人，记为.用频率估计概率，求乘客，乘车等待时间都小于20分钟的概率；
（2）在上班高峰时段，从甲站乘车的乘客中随机抽取3人，表示乘车等待时间小于20分钟的人数，用频率估计概率，求随机变量的分布列与数学期望.
18．（2021·山东安丘一中高三月考）某快餐连锁店招聘外卖骑手，该快餐连锁店外卖覆盖A，B两个区域，骑手入职只能选择其中一个区域.其中区域A无底薪，外卖业务每完成一单提成5元；区域B规定每日底薪150元，外卖业务的前35单没有提成，从第36单开始，每完成一单提成8元.为激励员工，快餐连锁店还规定，凡当日外卖业务超过55单的外卖骑手可额外获得“精英骑手”奖励50元.该快餐连锁店记录了骑手每天的人均业务量，整理得到如图所示的两个区域外卖业务量的频率分布直方图.
（1）从以往统计数据看，新入职骑手选择区域A的概率为0.6，选择区域B的概率为0.4，
（i）随机抽取一名骑手，求该骑手获得当日“精英骑手”奖励的概率；
（ii）若新入职的甲，乙､丙三名骑手分别到该快餐连锁店应聘，三人区域选择相互独立，求至少有两名骑手选择区域A的概率；
（2）若仅从人均日收入的角度考虑，新聘骑手应选择入职哪一区域？请说明你的理由（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）.
19．（2021·山东济南市历城二中高三月考）某地政府为解除空巢老年人缺少日常护理和社会照料的困境，大力培育和发展养老护理服务市场.从2016年开始新建社区养老机构，下表是该地近五年新建社区养老机构数量对照表：
（1）根据上表数据可知，与之间存在线性相关关系，用最小二乘法求关于的经验回归方程；
（2）若该地参与社区养老的老人，他们的年龄近似服从正态分布，其中年龄的有人，试估计该地参与社区养老的老人有多少人？
参考公式：线性回归方程，，.
参考数据：，
20．（2021·福建宁德一中高三期中）新高考的数学试卷第1至第8题为单选题，第9至第12题为多选题.多选题A、B、C、D四个选项中至少有两个选项符合题意，其评分标准如下：全部选对得5分，部分选对得2分，选错或不选得0分.在某次考试中，第11、12两题的难度较大，第11题正确选项为AD，第12题正确选项为ABD.甲､乙两位同学由于考前准备不足，只能对这两道题的选项进行随机选取，每个选项是否被选到是等可能的.
（1）若甲同学每题均随机选取一项，求甲同学两题得分合计为4分的概率；
（2）若甲同学计划每题均随机选取一项，乙同学计划每题均随机选取两项，记甲同学的两题得分为，乙同学的两题得分为，求的期望并判断谁的方案更优.
日期
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
保养车辆尾号
和
和
和
和
和
日需求量
14
15
16
17
18
19
频数
10
20
25
20
15
10
组号
分组
频数
频率
第1组
[160，165）
5
0.050
第2组
[165，170）
①
0.350
第3组
[170，175）
30
②
第4组
[175，180）
20
0.200
第5组
[180，185）
10
0.100
合计
100
1.00
工种类别
赔付概率
工种类别
赔付概率
有“二次游”愿望
无“二次游”愿望
合计
青少年人
中老年人
合计
0.100
0.050
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
该农作物亩产量（）
900
1200
概率
该农作物市场价格（元/）
30
40
概率
年份
2016
2017
2018
2019
2020
年份代码（）
1
2
3
4
5
新建社区养老机构（）
12
15
20
25
28
专题16 概率统计解答题
1．（2021·江苏海安高级中学高三月考）某押运公司为保障押运车辆运行安全，每周星期一到星期五对规定尾号的押运车辆进行保养维护，具体保养安排如下：
该公司下属的某分公司有押运车共3辆，车牌尾号分别为0，5，6，分别记为A，B，C．已知在非保养日，根据工作需要每辆押运车每天可能出车或不出车，A，B，C三辆车每天出车的概率依次为，，，且A，B，C三车是否出车相互独立；在保养日，保养车辆不能出车．
（1）求该分公司在星期四至少有一辆车外出执行押运任务的概率；
（2）设表示该分公司在星期一与星期二两天的出车台数之和，求的分布列及其数学期望．
【答案】
（1）
（2）分布列见解析，数学期望
【解析】
（1）设该分公司A，B，C三辆押运车在星期四出车的事件分别为A､B､C，
该分公司在星期四至少有一辆押运车外出执行任务的事件为D．
则．
（2）由题意知X的可能取值为0，1，2，3，
；
；
；
．
所以X的分布列为
．
故星期四至少有一辆车外出执行任务的概率为；X的数学期望为辆．
2．（2021·江苏扬州中学高三月考）为丰富师生的课余文化生活，倡导“每一天健身一小时，健康生活一辈子”，深入开展健身运动，增强学生的身体素质和团队的凝聚力，某中学将举行趣味运动会.某班共有10名同学报名参加“四人五足”游戏，其中男同学6名，女同学4名.按照游戏规则，每班只能选4名同学参加这个游戏，因此要从这10名报名的同学中随机选出4名，记其中男同学的人数为.
（1）求选出的4名同学中只有女生的概率；
（2）求随机变量的分布列及数学期望.
【答案】
（1）
（2）分布列见解析，数学期望：
【解析】
（1）由题设，设“选出的3名同学中只有女生”为事件A，则.
（2）随机变量X的所有取值为0，1，2，3，4，
∴，，，，，
的分布列为：
E(Y)=.
3．（2021·江苏高邮一中高三月考）某商家以6元一件的价格购进某商品，然后以每件10元的价格出售.如果该商品当天卖不完，剩下的只能作垃圾处理.商家记录了100天该商品的日需求量（单位：件），整理得下表：
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.
（1）若商家一天购进该商品16件，表示当天的利润（单位：元），求的分布列，数学期望；
（2）若商家计划一天购进该商品16件或17件，你认为应购进16件还是17件？请说明理由.
【答案】（1）分布列答案见解析，数学期望：；（2）购进16件更合理，理由见解析.
【解析】
（1）的可能取值为44､54､64，
，，，
的分布列为：
.
（2）若当天购进17件，则利润为：
，
因为，所以购进16件更合理.
4．（2021·广东肇庆一中模拟）为了迎接新高考，某校举行物理和化学等选科考试，其中，600名学生化学成绩（满分100分）的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组.已知图中前三个组的频率依次构成等差数列，第一组和第五组的频率相同.
（1）求，的值；
（2）估算高分（大于等于80分）人数；
（3）估计这600名学生化学成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和中位数（中位数精确到0.1）.
【答案】（1）；（2）90；（3）平均值为69.5，中位数为69.4
【解析】
（1）由题意可知：，解得.
（2）高分的频率约为：.
故高分人数为：.
（3）平均值为：
.
设中位数为，则，.
故中位数为.
5．（2021·广东福田一中高三月考）某工厂购买软件服务，有如下两种方案：
方案一：软件服务公司每日收取80元，对于提供的软件服务每次10元；
方案二：软件服务公司每日收取200元，若每日软件服务不超过15次，不另外收费，若超过15次，超过部分的软件服务每次收费标准为20元．
（1）设日收费为y元，每天软件服务的次数为x，试写出两种方案中y与x的函数关系式；
（2）该工厂对过去100天的软件服务的次数进行了统计，得到如图所示的条形图，依据该统计数据，把频率视为概率，从节约成本的角度考虑，从两个方案中选择一个，哪个方案更合适？请说明理由．
【答案】
（1）案一中的日收费y与x的函数关系式为，；方案二中的日收费y与x的函数关系式为
（2）选择方案二；理由见解析
【解析】
（1）由题可知，方案一中的日收费y与x的函数关系式为，．
方案二中的日收费y与x的函数关系式为．
（2）设方案一中的日收费为X，由条形图可得X的分布列为
所以（元）．
方案二中的日收费为Y，由条形图可得Y的分布列为
（元）．
所以从节约成本的角度考虑，选择方案二．
6．（2021·广东龙岗一中高三期中）2021年8月3日，国务院印发了《全民健身计划（2021-2025）》，就促进全民健身更高水平发展､更好满足人民群众的健身和健康需求，提出5年目标和8个方面的主要任务.为此，深圳市政府颁发了《深圳建设国家体育消费试点城市实施方案》，进一步推动深圳市体育的高质量发展.为了响应全民健身和运动的需要，某单位举行了羽毛球趣味发球比赛，比赛规则如下：每位选手可以选择在区发球2次或者区发球3次，球落到指定区域内才能得分，在区发球时，每得分一次计2分，不得分记0分，在区发球时，每得分一次计3分，不得分记0分，得分高者胜出.已知选手甲在区和区每次发球得分的概率为和.
（1）如果选手甲以在区和区发球得分的期望值较高者作为选择发球区的标准，问选手甲应该选择在哪个区发球？
（2）求选手甲在区得分高于在区得分的概率.
【答案】
（1）选手甲应该选择在区发球
（2）
【解析】
（1）可得选手甲在区发2次球的得分次数和在区发3次球的得分次数服从二项分布，即可求出得分的期望，比较得到答案；
（2）根据互斥事件的概率公式可计算.
（1）
设选手甲在区发2次球的得分次数为，则，故，
则甲在区发球得分的期望为.
设选手甲在区发3次球的得分次数为，则，故，
则甲在区发球得分的期望为.
由于.故选手甲应该选择在区发球.
（2）
设选手甲在区得分高于在区得分为事件，甲在区得2分､在区得0分为事件，甲在区得4分､在区得0分为事件，甲在区得4分､在区得3分为事件，则，显然，､､为互斥事件，
则，
，
.
故选手甲在区得分高于在区得分的概率为.
7．（2021·广东湛江二十一中高三月考）某高校在2017年的自主招生考试成绩中随机抽取100名中学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下所示．
（1）请先求出频率分布表中①､②位置的相应数据，再完成频率分布直方图；
（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3､4､5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3､4､5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试；
（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官A面试的概
【答案】
（1）①35，②，作图见解析
（2）第3､4､5组分别抽取3人､2人､1人进入第二轮面试
（3）
【解析】
（1）①由题可知，第2组的频数为0.35×100=35人，②第3组的频率为，频率分布直方图如图所示，
（2）
因为第3,4,5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生进入第二轮面试，每组抽取的人数分别为：
第3组：人，
第4组：人，
第5组：人，
所以第3,4,5组分别抽取3人,2人,1人进入第二轮面试
（3）设第3组的3位同学为A1，A2，A3，第4组的2位同学为B1，B2，第5组的1位同学为C1，则从这六位同学中抽取两位同学有（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1），共15种，
其中第4组的2位同学B1，B2中至少有一位同学入选的有：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1），共有9种，
所以第4组至少有一名学生被考官A面试的概率为．
8．（2021·广东佛山一中高三月考）已知某闯关游戏，第一关在两个情境中寻宝．每位参赛选手先在两个情境中选择一个开始第一关，若寻宝失败则比赛结束；若寻宝成功则进入另一个情境，无论寻宝成功与否，第一关比赛结束．情境寻宝成功获得经验值分，否则得分；情境寻宝成功获得经验值分，否则得分．已知某玩家在情境中寻宝成功的概率为，在情境中寻宝成功的概率为，且每个情境中寻宝成功的概率与选择初始情境的次序无关．
（1）若该玩家选择从情境开始第一关，记为经验值累计得分，求的分布列；
（2）为使经验值累计得分的期望最大，该玩家应选择从哪个情境开始第一关？并说明理由．
【答案】
（1）分布列见解析；
（2）应从情境开始第一关，理由见解析.
【解析】
（1）由题意知：所有可能的取值为，，，
；；，
的分布列为：
（2）由（1）得：从情境开始第一关，则；
若从情境开始第一关，记为经验值累计得分，则所有可能的取值为，，，
；；，
；
，应从情境开始第一关.
9．（2021·广东惠州一中高三月考）一家养鸡场养了甲､乙两个品种的产蛋鸡，在甲､乙两个品种的产蛋鸡中各随机抽取1000只，分别记录其日产蛋量.根据产蛋期的记录，绘制了日产蛋量的频率分布直方图，如图所示（视频率为概率）.
（1）若甲､乙两种鸡的日产蛋量相互独立，记“甲､乙两种鸡的日产蛋量都不低于850个”为事件，试估计事件发生的概率；
（2）由于甲､乙两种鸡的食量和产蛋的大小不同，甲品种1000只鸡的日产蛋量小于850个的利润率为，日产蛋量不小于850个而小于900个的利润为，日产蛋量不小于900个的利润率为；乙品种1000只鸡的日产蛋量小于850个的利润率为，日产蛋量不小于850个而小于900个的利润为，日产蛋量不小于900个的利润率为.若在甲､乙两个品种上各投资10万元，（单位：万元）和（单位：万元）分别表示投资甲､乙两个品种所获得的利润，求和的数学期望，并对甲､乙两个品种的投资进行分析比较.
【答案】（1）；（2）万元，万，分析答案见解析.
【解析】
（1）甲种鸡的日产蛋量不低于850个的频率为：
，
乙种鸡的日产蛋量不低于850个的频率为：
，
因为甲､乙两种鸡的日产蛋量相互独立，
所以事件发生概率的估计值.
（2）根据题意，可知随机变量的可能取值为1，1.5，2.
则有，，，
所以随机变量的分布列为
所以万元.
随机变量的可能取值为1.5，2，1，
则有，，，
所以随机变量的分布列为
所以万.
可从如下四方面分析比较：
①，
②，
，
，
③
，，
说明两种投资获最低收益的概率相同，
养殖乙品种获得最大收益的概率远大于养殖甲品种.
④从频率分布直方图中可知，甲品种需要多产才能获得更大利润，
乙品种只需控制产量在之间，即可获得更大利润.
10．（2021·广东湛江一中高三月考）某单位有员工50000人，一保险公司针对该单位推出一款意外险产品，每年每位职工只需要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金.保险公司把该单位的所有岗位分为，，三类工种，从事三类工种的人数分布比例如饼图所示，且这三类工种每年的赔付概率如下表所示：
对于，，三类工种，职工每人每年保费分别为元､元､元，出险后的赔偿金额分别为100万元､100万元､50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年20万元.
（1）若保险公司要求每年收益的期望不低于保费的，证明：.
（2）现有如下两个方案供单位选择：方案一：单位不与保险公司合作，职工不交保险，出意外后单位自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔付给出意外的职工，单位开展这项工作的固定支出为每年35万元；方案二：单位与保险公司合作，，，单位负责职工保费的，职工个人负责，出险后赔偿金由保险公司赔付，单位无额外专项开支.根据该单位总支出的差异给出选择合适方案的建议.
【答案】（1）证明见解析；（2）选方案一.
【解析】
（1）设工种A，B，C职工的每份保单保险公司的效益为随机变量X，Y，Z，
则随机变量X的分布列为：
随机变量Y的分布列为：
随机变量Z的分布列为：
保险公司期望收益为，
，
，
根据要求（a﹣10）×50000×0.6+（a﹣20）×50000×0.3+（b﹣50）×50000×0.1﹣20×104≥（a×50000×0.6+a×50000×0.3+b×50000×0.1）×0.15，
整理可得，
所以得证；
（2）若该企业不与保险公司合作，则安全支出，即赔偿金的期望值为：
50000（0.6××100×104+0.3××100×104+0.1× ×50×104）
＝；
若该企业与保险公司合作，则安全支出，
即保费为50000×（0.6×a+0.3×a+0.1×b）×0.8＝，
由，，
所以方案一总支出较少，故选方案一.
11．（2021·湖南长郡中学高三月考）教育是阻断贫困代际传递的根本之策．补齐贫困地区义务教育发展的短板，让贫困家庭子女都能接受公平而有质量的教育，是夯实脱贫攻坚根基之所在．治贫先治愚，扶贫先扶智．为了解决某贫困地区教师资源匮乏的问题，某市教育局拟从5名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动．支教活动共分3批次进行，每次支教需要同时派送2名教师，且每次派送人员均从这5人中随机抽选．已知这5名优秀教师中，2人有支教经验，3人没有支教经验．
（1）求5名优秀教师中的“甲”，在这3批次支教活动中恰有两次被抽选到的概率；
（2）求第一次抽取到无支教经验的教师人数的分布列；
（3）求第二次抽选时，选到没有支教经验的教师的人数最有可能是几人？请说明理由．
【答案】
（1）
（2）分布列见解析
（3）最有可能是1人，理由见解析
【解析】
（1）5名优秀教师中的“甲”在每轮抽取中，被抽取到的概率为，
则三次抽取中，“甲”恰有两次被抽取到的概率为；
（2）X表示第一次抽取到的无支教经验的教师人数，X的可能取值有0，1，2．
；；．
所以分布列为：
（3）设表示第二次抽取到的无支教经验的教师人数，可能的取值有0，1，2，则有：
，
，
，
因为，
故第二次抽取到的无支教经验的教师人数最有可能是1人．
12．（2021·湖南长沙一中高三月考）某单位有员工50000人，一保险公司针对该单位推出一款意外险产品，每年每位职工只需要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金.保险公司把该单位的所有岗位分为，，三类工种，从事三类工种的人数分布比例如饼图所示，且这三类工种每年的赔付概率如下表所示：
对于，，三类工种，职工每人每年保费分别为元､元､元，出险后的赔偿金额分别为100万元､100万元､50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年20万元.
（1）若保险公司要求每年收益的期望不低于保费的，证明：.
（2）现有如下两个方案供单位选择：方案一：单位不与保险公司合作，职工不交保险，出意外后单位自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔付给出意外的职工，单位开展这项工作的固定支出为每年35万元；方案二：单位与保险公司合作，，，单位负责职工保费的，职工个人负责，出险后赔偿金由保险公司赔付，单位无额外专项开支.根据该单位总支出的差异给出选择合适方案的建议.
【答案】
（1）证明见解析
（2）建议单位选择方案二
【解析】
（1）设工种，，对应职工的每份保单保险公司的收益分别为随机变量，，（单位：元），则，，的分布列分别为
，
，
.
所以
，
整理得.
（2）方案一：单位不与保险公司合作，则单位每年赔偿金支出的期望与固定开支共为
（元）.
方案二：单位与保险公司合作，则单位支出金额为
（元）.
因为，所以建议单位选择方案二.
13．（2021·湖南永州一中高三月考）某校积极响应习近平总书记关于共建学习型社会的号召，开展了“学党史，强信仰，跟党走”的主题学习活动.在一次“党史”知识竞赛活动中，给出了、、三道题，答对、、分别得2分、2分、4分，答错不得分.已知甲同学答对问题、、的概率分别为、、，乙同学答对问题、、的概率均为，甲、乙两位同学都需回答这三道题，且各题回答正确与否相互独立.
（1）求甲同学至少有一道题不能答对的概率；
（2）请结合统计的知识判断甲、乙两人在本次“党史”知识竞赛中，哪位同学得分高.
【答案】（1）；（2）乙同学的得分高
【解析】
（1）设甲同学三道题都答对的事件为，则，
所以甲同学至少有一道题不能答对的概率为.
（2）设甲同学本次竞赛中得分为，则的可能取值为分，
则，，
，
所以的概率分布列为：
所以（分）
设乙同学本次竞赛中得分为，由的可能取值为分
，，
，
所以的概率分布列为：
所以
由于，
所以乙同学的得分高.
14．（2021·湖南郴州二中高三月考）东江湖位于湖南省郴州市东北部的资兴市境内，是湖南省唯一一个同时拥有国家5A级旅游区､国家风景名胜区､国家生态旅游示范区､国家森林公园､国家湿地公园､国家水利风景区“六位一体”的旅游区.境内主要景观有：雾漫小东江､东江大坝､龙景峡谷､兜率灵岩､东江漂流､三湘四水·东江湖文化旅游街（含东江湖奇石馆､摄影艺术馆､人文潇湘馆），还有仿古画舫､豪华游艇游湖及惊险刺激的的水上跳伞､水上摩托等.东江湖融山的隽秀，水的神韵于一体，挟南国秀色､禀历史文明于一身，被誉为“人间天上一湖水，万千景色在其中”.每年都吸引无数游客来此游玩，某调查机构在景区随机调查了10名青少年人和8名中老年人，并请他们谈谈是否有“二次游”愿望，结果10名青少年人中有的人认为他有“二次游”愿望，8名中老年人中有的人也这样认为，其他人无“二次游”愿望.
（1）根据以上统计数据，完成下列列联表，分析是否有把握认为有“二次游”愿望与年龄有关？
（2）从这10名青少年人中抽取2人，8名中老年人中抽取1人，将3人中有“二次游”愿望人数记为，求的分布列及数学期望.
附：，其中.
【答案】（1）列联表答案见解析，有把握认为有“二次游”愿望与年龄有关；（2）分布列答案见解析，数学期望：.
【解析】
（1）
.
∴有把握认为有“二次游”愿望与年龄有关
（2）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，
，，
，.
∴随机变量的分布列为
∴（或）.
15．（2021·湖北武汉二中高三期中）在迎来中国共产党成立100周年的重要时刻，我国脱贫攻坚战取得全面胜利，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹.习近平总书记指出：“脱贫摘帽不是终点，而是新生活､新奋斗的起点.”某农户计划于2021年初开始种植新型农作物.已知该农作物每年每亩的种植成本为2000元，根据前期各方面调查发现，该农作物的亩产量和市场价格均具有随机性，且两者互不影响，其具体情况如表：
（1）设2021年该农户种植该农作物一亩的纯收入为X元，求X的分布列；
（2）若该农户从2021年开始，连续三年种植该农作物，假设三年内各方面条件基本不变，求这三年中该农户种植该农作物一亩至多一年的纯收入不少于30000元的概率.
【答案】
（1）答案见解析
（2）
【解析】
（1）由题意知：
，，
，，
∴X的所有可能取值为：25000，34000，46000，
设A表示事件“作物亩产量为900kg”，则，
B表示事件“作物市场价格为30元/kg”，则，
则，
，
，
∴X的分布列为：
（2）解：设C表示事件“种植该农作物一亩一年的纯收人不少于30000元”，
则，
设这三年中有Y年有纯收入不少于30000元，
则有，
∴这三年中该农户种植该农作物一亩至多一年纯收入不少于3000元的概率为：
.
16．（2021·湖北襄阳四中高三期中）小和小两个同学进行摸球游戏，甲、乙两个盒子中各装有6个大小和质地相同的球，其中甲盒子中有1个红球，2个黄球，3个蓝球，乙盒子中红球、黄球、蓝球均为2个，小同学在甲盒子中取球，小同学在乙盒子中取球.
（1）若两个同学各取一个球，求取出的两个球颜色不相同的概率；
（2）若两个同学第一次各取一个球，对比颜色后分别放入原来的盒子；第二次再各取一个球，对比颜色后再分别放入原来的盒子，这样重复取球三次.记球颜色相同的次数为随机变量，求的分布列和数学期望
【答案】
（1）
（2）分布列见解析，1
【解析】
（1）
；
（2）
由题意可知：，的所有可能取值为0，1，2，3，
；；
；，
分布列为
期望.
17．（2021·山东师范大学附中高三月考）某部门在同一上班高峰时段对甲､乙两地铁站各随机抽取了50名乘客，统计其乘车等待时间（指乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过40分钟）.将统计数据按，，，…，分组，制成频率分布直方图：
假设乘客乘车等待时间相互独立.
（1）在上班高峰时段，从甲站的乘客中随机抽取1人，记为；从乙站的乘客中随机抽取1人，记为.用频率估计概率，求乘客，乘车等待时间都小于20分钟的概率；
（2）在上班高峰时段，从甲站乘车的乘客中随机抽取3人，表示乘车等待时间小于20分钟的人数，用频率估计概率，求随机变量的分布列与数学期望.
【答案】
（1）
（2）分布列答案见解析，数学期望：
【解析】
（1）设表示事件“乘客乘车等待时间小于20分钟”，
表示事件“乘客乘车等待时间小于分钟”，
表示事件“乘客，乘车等待时间都小于20分钟”.
由题意知，乘客乘车等待时间小于20分钟的频率为
，
故的估计值为.
乘客乘车等待时间小于20分钟的频率为
，
故的估计值为.
又.
故事件的概率为.
（2）由（1）可知，甲站乘客乘车等待时间小于20分钟的频率为，
所以甲站乘客乘车等待时间小于20分钟的概率为.
显然，的可能取值为0，1，2，3且.
所以；；
；.
故随机变量的分布列为
.
18．（2021·山东安丘一中高三月考）某快餐连锁店招聘外卖骑手，该快餐连锁店外卖覆盖A，B两个区域，骑手入职只能选择其中一个区域.其中区域A无底薪，外卖业务每完成一单提成5元；区域B规定每日底薪150元，外卖业务的前35单没有提成，从第36单开始，每完成一单提成8元.为激励员工，快餐连锁店还规定，凡当日外卖业务超过55单的外卖骑手可额外获得“精英骑手”奖励50元.该快餐连锁店记录了骑手每天的人均业务量，整理得到如图所示的两个区域外卖业务量的频率分布直方图.
（1）从以往统计数据看，新入职骑手选择区域A的概率为0.6，选择区域B的概率为0.4，
（i）随机抽取一名骑手，求该骑手获得当日“精英骑手”奖励的概率；
（ii）若新入职的甲，乙､丙三名骑手分别到该快餐连锁店应聘，三人区域选择相互独立，求至少有两名骑手选择区域A的概率；
（2）若仅从人均日收入的角度考虑，新聘骑手应选择入职哪一区域？请说明你的理由（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）.
【答案】（1）（i）0.26；（ii）；（2）新聘骑手应选择区域A，理由见解析.
【解析】
（1）（i）设“随机抽取一名骑手是区域A骑手”为事件M，“骑手获得‘精英骑手’奖励”为事件N，
则，，
结合频率分布直方图知，，，
所以，
因此该骑手获得当日“精英骑手”奖励的概率为0.26.
（ii）设为选择区域A的骑手人数，则，
.
（2）设为区域A骑手日工资，则随机变量分布列为
.
设为区域B骑手日工资，则随机变量分布列为
.
因为，所以新聘骑手应选择区域A.
19．（2021·山东济南市历城二中高三月考）某地政府为解除空巢老年人缺少日常护理和社会照料的困境，大力培育和发展养老护理服务市场.从2016年开始新建社区养老机构，下表是该地近五年新建社区养老机构数量对照表：
（1）根据上表数据可知，与之间存在线性相关关系，用最小二乘法求关于的经验回归方程；
（2）若该地参与社区养老的老人，他们的年龄近似服从正态分布，其中年龄的有人，试估计该地参与社区养老的老人有多少人？
参考公式：线性回归方程，，.
参考数据：，
【答案】（1）；（2）人．
【解析】
（1）由题意知，
，
，
，
所以，
，
故所求经验回归方程为；
（2）由题可知，
该地参与社区养老的老人有（人）
该地参与社区养老的老人约有人.
20．（2021·福建宁德一中高三期中）新高考的数学试卷第1至第8题为单选题，第9至第12题为多选题.多选题A、B、C、D四个选项中至少有两个选项符合题意，其评分标准如下：全部选对得5分，部分选对得2分，选错或不选得0分.在某次考试中，第11、12两题的难度较大，第11题正确选项为AD，第12题正确选项为ABD.甲､乙两位同学由于考前准备不足，只能对这两道题的选项进行随机选取，每个选项是否被选到是等可能的.
（1）若甲同学每题均随机选取一项，求甲同学两题得分合计为4分的概率；
（2）若甲同学计划每题均随机选取一项，乙同学计划每题均随机选取两项，记甲同学的两题得分为，乙同学的两题得分为，求的期望并判断谁的方案更优.
【答案】
（1）
（2）（分），(分)，甲同学的方案更优.
【解析】
（1）因为甲同学两题得分合计为4分，所以这两道题每道题得2分，
所以甲同学两题得分合计为4分的概率为：；
（2）甲同学的两题得分的可能取值为
所以，，
，
所以的分布列为：
因此（分），
乙同学第11题可能得分为：，，
，
乙同学第12题可能得分为：，，
，
乙同学的两题得分的可能取值为，
所以，
，
，
，
所以的分布列为：
因此(分)，
因为，所以甲同学的方案更优.
日期
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
保养车辆尾号
和
和
和
和
和
X
0
1
2
3
P
X
0
1
2
3
4
P
日需求量
14
15
16
17
18
19
频数
10
20
25
20
15
10
44
54
64
0.1
0.2
0.7
210
220
230
240
250
0.1
0.4
0.1
0.2
0.2
200
220
240
0.6
0.2
0.2
组号
分组
频数
频率
第1组
[160，165）
5
0.050
第2组
[165，170）
①
0.350
第3组
[170，175）
30
②
第4组
[175，180）
20
0.200
第5组
[180，185）
10
0.100
合计
100
1.00
1
1.5
2
0.4
0.4
0.2
1.5
2
1
0.1
0.5
0.4
1
1.5
2
0.4
0.4
0.2
0.4
0.1
0.5
工种类别
赔付概率
X
a
a﹣100×104
P

Y
a
a﹣100×104
P
Z
b
b﹣50×104
P
X
0
1
2
P
0.1
0.6
0.3
工种类别
赔付概率










有“二次游”愿望
无“二次游”愿望
合计
青少年人
中老年人
合计
0.100
0.050
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
有“二次游”愿望
无“二次游”愿望
合计
青少年人
8
2
10
中老年人
2
6
8
合计
10
8
18
0
1
2
3
该农作物亩产量（）
900
1200
概率
该农作物市场价格（元/）
30
40
概率
X
25000
34000
46000
P
0
1
2
3
0
1
2
3
100
150
200
250
350
400
0.05
0.1
0.25
0.3
0.2
0.1
150
190
270
400
480
0.25
0.25
0.3
0.15
0.05
年份
2016
2017
2018
2019
2020
年份代码（）
1
2
3
4
5
新建社区养老机构（）
12
15
20
25
28