备考2024届高考数学一轮复习好题精练第十章计数原理概率随机变量及其分布突破3概率统计与其他知识的综合

这是一份备考2024届高考数学一轮复习好题精练第十章计数原理概率随机变量及其分布突破3概率统计与其他知识的综合，共4页。试卷主要包含了8，20×8％＝1，5％等内容，欢迎下载使用。

A款鲁班锁玩具：
B款鲁班锁玩具：
（1）若A，B两款鲁班锁玩具的投资成本均为20万元，试求投资这两款鲁班锁玩具所获利润的方差；
（2）若A，B两款鲁班锁玩具的投资成本共为20万元，试求投资这两款鲁班锁玩具所获利润的方差之和的最小值.
解析 （1）A款鲁班锁玩具的利润：20×4％＝0.8，20×8％＝1.6，20×10％＝2，B款鲁班锁玩具的利润：20×3％＝0.6，20×5.5％＝1.1，20×7.5％＝1.5，
则X的分布列为
Y的分布列为
所以E（X）＝0.8×0.3＋1.6×0.6＋2×0.1＝1.4，
E（Y）＝0.6×0.2＋1.1×0.3＋1.5×0.5＝1.2，
则D（X）＝（0.8－1.4）2×0.3＋（1.6－1.4）2×0.6＋（2－1.4）2×0.1＝0.168.
D（Y）＝（0.6－1.2）2×0.2＋（1.1－1.2）2×0.3＋（1.5－1.2）2×0.5＝0.12.
（2）记A款鲁班锁玩具的投资成本为m（0≤m≤20）万元，则B款鲁班锁玩具的投资成本为（20－m）万元，
投资这两款鲁班锁玩具所获利润的方差之和f（m）＝D（m20X）＋D（20－m20Y），
得f（m）＝（m20）2×0.168＋（20－m20）2×0.12＝m2400×0.168＋（1－m10＋m2400）×0.12＝0.288400m-2532＋0.07≥0.07，
所以当m＝253时，投资A，B两款鲁班锁玩具所获利润的方差之和取得最小值0.07.
2.[2024贵州六校联考]为了丰富学生的课外活动，某中学举办羽毛球比赛，经过三轮的筛选，最后剩下甲、乙两人进行最终决赛，决赛采用五局三胜制，即当甲、乙两人中有一人先赢得三局比赛时，该选手获胜，比赛结束.每局比赛皆须分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前比赛结果影响.假设甲在每一局获胜的概率均为p（0＜p＜1）.
（1）若比赛进行三局就结束的概率为f（p），求f（p）的最小值；
（2）记（1）中，f（p）取得最小值时，p的值为p0，以p0作为p的值，用X表示甲、乙实际比赛的局数，求X的分布列及数学期望E（X）.
解析 （1）三局就结束比赛的概率f（p）＝p3＋（1－p）3，
f'（p）＝3p2－3（1－p）2＝6p－3，
当0＜p＜12时，f'（p）＜0；当12＜p＜1时，f'（p）＞0.
所以f（p）在（0，12）上单调递减，在（12，1）上单调递增，
所以当p＝12时，f（p）取得最小值，为14.
（2）由（1）知，p＝p0＝12.
X的所有可能取值为3，4，5，
P（X＝3）＝（12）3＋（1－12）3＝14，
P（X＝4）＝2×C32×（12）2×（1－12）×12＝38，
P（X＝5）＝2×C42×（12）2×（1－12）2×12＝38，
所以X的分布列为
E（X）＝3×14＋4×38＋5×38＝338.
3.[2024安徽六校联考]为庆祝中国共产党成立102周年，某校某班组织开展了“学党史，忆初心”党史知识竞赛活动，抽取四位同学，分成甲、乙两组（每组两人），进行对战答题.规则如下：每次每位同学给出6道题目，其中有1道是送分题（即每位同学至少可答对1题）.若每次每组答对的题数之和为3的倍数，原答题组的人再继续答题；若答对的题数之和不是3的倍数，就由对方组接着答题.假设每位同学每次答题之间相互独立.
（1）若第1次由甲、乙组答题是等可能的，求第2次由乙组答题的概率；
（2）若第1次由甲组答题，记第n次由甲组答题的概率为Pn，求Pn.
解析 （1）将第1次由甲组答题记作事件A，第2次由乙组答题记作事件B，则第1次由乙组答题为事件A，
因为答对的题数之和为3的倍数的可能情况为1＋2，1＋5，2＋4，3＋3，3＋6，4＋5，6＋6，
所以其概率为5×2+236＝13，
则答对的题数之和不是3的倍数的概率为1－13＝23，
则P（B）＝P（AB）＋P（AB）＝P（A）P（B｜A）＋P（A）P（B｜A）＝12×23＋12×13＝12.
（2）第（n＋1）次由甲组答题，是第n次由甲组答题，第（n＋1）次继续由甲组答题的事件与第n次由乙组答题，第（n＋1）次由甲组答题的事件和，它们互斥，又各次答题相互独立，
所以第n次由甲组答题，第（n＋1）次继续由甲组答题的概率为13Pn，
第n次由乙组答题，第（n＋1）次由甲组答题的概率为23（1－Pn），因此，Pn＋1＝13Pn＋231－Pn=-13Pn＋23（n∈N*），则Pn＋1－12＝－13（Pn－12）.
因为第1次由甲组开始，所以P1＝1，
所以{Pn－12}是首项为12，公比为－13的等比数列，
所以Pn－12＝12×（－13）n－1，故Pn＝12×（－13）n－1＋12.
4.[2024山东省实验中学模拟]某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号登记消费信息，每次消费都有一次随机摸球的机会.已知某顾客第一次摸球抽中奖品的概率为27；从第二次摸球开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为12，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为13.记该顾客第n次摸球抽中奖品的概率为Pn.
（1）求P2的值，并探究数列{Pn}的通项公式；
（2）求该顾客第几次摸球抽中奖品的概率最大，请给出证明过程.
解析 （1）记该顾客第i（i∈N*）次摸球抽中奖品为事件Ai，依题意，P1＝27，
P2＝P（A2）＝P（A1）P（A2｜A1）＋P（A1）P（A2｜A1）＝27×13＋（1－27）×12＝1942.
因为P（An｜An－1）＝13，P（An｜An－1）＝12，Pn＝P（An）＝P（An－1）×P（An｜An－1）＋P（An－1）P（An｜An－1），
所以Pn＝13Pn－1＋12（1－Pn－1）＝－16Pn－1＋12，
所以Pn－37＝－16（Pn－1－37），
由P1＝27，得P1－37＝－17≠0，
所以数列{Pn－37}是首项为－17，公比为－16的等比数列，故Pn＝37－17（－16）n－1.
（2）当n为奇数时，Pn＝37－17×6n－1＜37＜1942，
当n为偶数时，Pn＝37＋17×6n－1，Pn随着n的增大而减小，所以Pn≤P2＝1942.
综上，该顾客第二次摸球抽中奖品的概率最大.成本利润率
4％
8％
10％
概率P
0.3
0.6
0.1
成本利润率
3％
5.5％
7.5％
概率P
0.2
0.3
0.5
X
0.8
1.6
2
P
0.3
0.6
0.1
Y
0.6
1.1
1.5
P
0.2
0.3
0.5
X
3
4
5
P
14
38
38