备考2024届高考数学一轮复习强化训练第五章数列突破1数列中含绝对值及奇偶项问题

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（1）求an；
（2）若{an}是递增数列，求数列{｜an－n－2｜}的前n项和.
解析 （1）设等比数列{an}的公比为q.
由题意得a1＋a1q＋a1q2＝13，即1＋q＋q2＝13，解得q＝3或q＝－4.
故an＝3n－1或an＝（－4）n－1.
（2）由（1）知，an＝3n－1.令bn＝｜an－n－2｜＝｜3n－1－n－2｜.
由3n－1－n－2≥0，得3n－1≥n＋2，所以n≥3.由3n－1－n－2＜0，得n≤2，即n＝1，2.
设数列{｜an－n－2｜}的前n项和为Tn，则Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn.
当n＝1时，T1＝b1＝2；当n＝2时，T2＝b1＋b2＝3；
当n≥3时，Tn＝3＋9（1－3n－2）1－3－（n－2)(n+7）2＝3n－n2－5n+112.
T1不满足上式，T2满足上式.
综上，Tn＝2，n=1，3n－n2－5n+112，n≥2.
2.[命题点2/2023合肥一中诊断]在等比数列{an}中，已知a2＝4，a5＝32.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn＝（－1）n·lg2an，求数列{bn}的前n项和Sn.
解析 （1）设{an}的公比为q，则a1q=4，a1q4=32，解得a1=2，q=2，
所以数列{an}的通项公式为an＝2×2n－1＝2n.
（2）由（1）得bn＝（－1）n·lg2an＝（－1）n·n，
所以数列{bn}的前n项和Sn＝－1＋2－3＋4－5＋6－7＋8－…＋（－1）n·n，
当n为偶数时，Sn＝－1＋2－3＋4－5＋6－7＋8－…＋n＝n2；当n为奇数时，Sn＝－1＋2－3＋4－5＋6－7＋8－…－n＝n－12－n＝－n+12.
所以Sn＝－n+12，n为奇数，n2，n为偶数.
3.[命题点2/2023江苏南京外国语学校、金陵中学三模]已知正项数列{an}满足a1＝1，an+12－an2＝8n.
（1）求{an}的通项公式；
（2）记bn＝ansinanπ2，数列{bn}的前n项和为Sn，求S2 023.
解析 （1）对任意的n∈N*，an+12－an2＝8n，
当n≥2时，an2＝（an2－an－12）＋…＋（a22－a12）＋a12＝8（n－1）＋…＋8×1＋1＝8[1＋2＋3＋…＋（n－1）]＋1＝8×n（n－1）2＋1＝（2n－1）2，
因为an＞0，所以an＝2n－1.
当n＝1时，a1＝1符合an＝2n－1，
所以an＝2n－1，n∈N*.
（2）bn＝ansin（an2·π）＝（－1）n＋1（2n－1），
所以当k∈N*时，b2k＋b2k＋1＝－（4k－1）＋4k＋1＝2，
故S2 023＝b1＋（b2＋b3）＋（b4＋b5）＋…＋（b2 022＋b2 023）＝1＋2×1 011＝2 023.