第09讲 拓展二：构造函数法解决导数不等式问题（讲+练）-备战2024年高考数学一轮复习精讲精练高效测（新教材新高考）

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第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：构造或(，且)型
高频考点二：构造或(，且)型
高频考点三：构造或型
高频考点四：构造或型
高频考点五：根据不等式（求解目标）构造具体函数
第四部分：第09讲 拓展二：构造函数法解决导数不等式问题 （精练）
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、两个基本还原
① ②
2、类型一：构造可导积函数
① 高频考点1：
②
高频考点1： 高频考点2
③ 高频考点1：
④
高频考点1： 高频考点2
⑤
⑥
3、类型二：构造可商函数
① 高频考点1：
②
高频考点1： 高频考点2：
③
⑥
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·全国·高二专题练习）已知函数是奇函数的导函数，，当x>0时，，则使成立的x的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】
设，则
当时，，即在上单调递增.
由于是奇函数，所以,是偶函数，所以在上单调递减.
所以，所以当或时，；
当或时，.
所以当或时，.
故选：B.
2．（2022·全国·高二单元测试）是定义在R上的可导函数，且对任意正实数a恒成立，下列式子成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
解：令，则．
因为，所以，所以，
所以在R上单调递增，又因为，所以，
即，即，故D正确，
故选：D．
3．（2022·江苏·金陵中学高二期末）已知为偶函数，且当时，，其中为的导数，则不等式的解集为( )
A．B．C．D．
【答案】A
令，
则根据题意可知，，∴g(x)是奇函数，
∵，
∴当时，，单调递减，
∵g(x)是奇函数，g(0)＝0，∴g(x)在R上单调递减，
由不等式得，
.
故选：A.
4．（2022·辽宁·抚顺一中高二阶段练习）在上的导函数为，，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
令，则，
，，在上单调递增，
，即，.
故选：A.
5．（2021·甘肃·兰州一中高三阶段练习（理））已知偶函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
因为偶函数的定义域为，设，则，即也是偶函数.
当时，根据题意，则在上是减函数，而函数为偶函数，则在上是增函数.
于是，，所以.
故选：A.
第三部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：构造或(，且)型
1．（2022·四川·广安二中高二阶段练习（理））已知函数是定义在的奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】
令，
当时，，
当时，，
在上单调递减；
又为，，的奇函数，
为偶函数，
在上单调递增；
又不等式，即，
当，即时，式可化为，即（5），
又在上单调递减，
可得，解得；
当，即时，式可化为，即（5），
又在上单调递增；
可得，解得；
综上所述，不等式的解集为：．
故选：D．
2．（2022·河南洛阳·高二期末（文））已知函数的定义域为，其导函数为，若，则下列式子一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】
解：令，则，
又不等式恒成立，
所以，即，所以在单调递增，
故，即，所以，
故选：B．
3．（2022·河南濮阳·一模（理））已知函数为定义域在R上的偶函数，且当时，函数满足，，则的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】
由题可知，当时，．令，则，
，令，，
令，解得．可知函数在上单调递减﹐在上单调递增．
又，所以，，所以函数在上单调递减，
，可化为，又函数关于对称，
故或，
所以不等式的解集为．
故选：A
4．（2022·重庆市第七中学校高二阶段练习）已知定义域为的偶函数，其导函数为，对任意正实数满足且，则不等式的解集是（ ）
A．（－∞，1）B．（－1，1）
C．（－∞，0）∪（0，1）D．（－1，0）∪（0，1）
【答案】D
【详解】
令且，则，又，
当时，当时，
所以在上递减，在上递增，
由为偶函数，则，故也为偶函数，
而，且等价于，
所以，故.
故选：D
5．（2022·宁夏·平罗中学高二阶段练习（理））已知函数的定义域为，且满足（是的导函数），则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
令，则，即在上递增，
又，则等价于，即，
所以，解得，原不等式解集为.
故选：C
6．（2022·江苏苏州·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，，当时，有成立，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】
成立设，
则，即时是增函数，
当时，，此时；
时，，此时．
又是奇函数，所以时，；
时
则不等式等价为或，
可得或，
则不等式的解集是，
故选：．
高频考点二：构造或(，且)型
1．（2022·四川·树德中学高二阶段练习（理））是定义在上的函数，是的导函数，已知，且，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】
因为，可化简为，
令函数，则.因为，所以，在R上单调递增.又，而等价于，即，所以，解得.
故选：B
2．（2022·重庆市长寿中学校高二阶段练习）若在上可导且，其导函数满足，则的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
设，则，
因为，所以在上恒成立，所以单调递减，
又得，由等价于，
所以，即的解集是.
故选：C.
3．（2022·山东·枣庄市第三中学高二阶段练习）已知f（x）为定义在R上的可导函数，为其导函数，且恒成立，其中e是自然对数的底数，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】
设函数，可得，
因为，可得，所以，可得单调递增，
则，即.
故选：B.
4．（2022·福建福州·高二期末）若定义在R上的函数满足，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】
构造函数，则，故在上单调递减；
又，故可得，则，即，解得，
故不等式解集为.
故选：B.
5．（2022·江苏泰州·高二期末）已知函数满足对于恒成立，设则下列不等关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】
设，则，
∵，
∴，
∴ 函数在上为增函数，
∵ ，∴，故，所以，C错，
令()，则，
当时，，当时，
∴ 函数在区间上为增函数，在区间上为减函数，
又，∴ ，
∴ ，即，
∴ ，故，所以，D错，
，故，所以，A对，
，故，所以，B错，
故选：A.
高频考点三：构造或型
1．（2022·山西·临汾第一中学校高二期末）若函数的导函数为，对任意，恒成立，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】
因为任意恒成立，
即任意恒成立，
所以，
所以在上单调递减，
因为，所以，即，
所以，
故选：B
2．（2022·江苏·徐州市第七中学高三阶段练习）已知函数图象关于点对称，且当时，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】
由关于点对称可知，关于点对称，则为奇函数
令，则为偶函数，
又时，，即
则在上单调递增，
则有
即
就是，
故选：D
3．（2022·辽宁·沈阳市第一二〇中学高三阶段练习）已知函数为函数的导函数，满足，，，，则下面大小关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】
根据题意，，
变换可得：
，
分析可得，，，，，
，，所以函数在上单调递增，
所以，即，
故选：A.
4．（2022·全国·高三专题练习（理））定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立，则（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
，，
设，则，
则在上为增函数，
对于A，因为，所以，
即，得，所以A错误，
对于B因为，所以，
即，得，所以B错误，
对于C，因为，所以，
即，得，所以C错误，
对于D，因为，所以，
即，得，所以D正确，
故选：D．
高频考点四：构造或型
1．（2022·广东·广州市第四中学高二阶段练习）设函数是定义在上的函数的导函数，有，若，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】
解：设，
则，
又因为，
所以，
所以在上单调递增，
又，
，
，
因为，
所以，
所以.
故选：C．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】
设，则，则在单增，
对A，，化简得，故A错；
对B，，化简得，故B错；
对C，，化简得，故C正确；
对D，，化简得，故D错，
故选：C
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数对任意的满足（其中为函数的导函数），则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】
解：令，
故，
故在递增，所以，可得，即，所以D正确；
故选：D．
4．（2022·全国·高二）定义在上的函数，其导函数为，若恒有，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】
令，则
因为，因为所以
得
所以在上单调递减，
故，所以，有
故选：D
5．（2022·全国·高三专题练习）设奇函数的定义域为，且的图象是连续不间断，任意，有，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
令，定义域为，
因为函数为奇函数，所以，
则函数是定义在上的奇函数，
，
因为任意的，有，
所以当时，，则在上单调递增，
则函数是上的奇函数并且单调递增，
由，
因为，所以
，即，
所以，
又因为，因此.
故选：C.
6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数是函数的导函数，对任意，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】
令，则，
对于任意，可得，
所以函数在上单调递增．
因为，所以，即，
所以，
所以，，.
故选：C．
高频考点五：根据不等式（求解目标）构造具体函数
一、单选题
1．（2022·全国·高二单元测试）已知函数是定义在R上的可导函数，其导函数为．若，且，则使不等式成立的x的值可能为( )
A．－2B．－1C．D．2
【答案】D
【详解】
设，则，
∵，∴，
∴，即在定义域R上单调递减．
∵，∴，
∴不等式等价于，即，解得，
结合选项可知，只有D符合题意．
故选：D．
2．（2022·广东梅州·二模）已知是定义在上的奇函数，是的导函数，当时，，且，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
令，
则，
所以函数在上递增，
又因，
所以当时，，
当时，，
又因当时，，当时，，
所以当时，，当时，，
又因为，所以当时，，
因为是定义在上的奇函数，
所以，当时，，
由不等式，
得或，
解得，
所以不等式的解集是.
故选：B.
3．（2022·陕西榆林·三模（理））已知是定义在上的函数，是的导函数，且，，则下列结论一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
令，则，则是增函数，
故，即，可得.
故选：D
4．（2022·河南·模拟预测（理））已知函数的定义域为，其导函数是，且．若，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】
构造函数，其中，
则，
故函数在上为增函数，且，
因为，由可得，即，解得.
故选：B.
5．（2022·江西·临川一中高二阶段练习（理））已知是定义在上的奇函数，是的导函数，，当时，，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】
设，则，
由已知时，，单调递减，而，
所以时，，此时，所以，
时，，此时，所以，
而，
因此时，，是奇函数，所以时，，
或，解得或．
故选：D．
6．（2022·河南·南阳市第二完全学校高级中学高二阶段练习（文））已知函数为上的可导函数，其导函数为，且满足恒成立，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
构造函数，,
则，故为R上的单调减函数，
不等式，即，即，
，
故选：
7．（2022·内蒙古·赤峰二中高二期末（文））已知是定义在上的函数，其导函数为，且，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
解：令，则，
因为，所以，即函数为上的增函数，
因为，不等式可化为，
所以，故不等式的解集为．
故选：B
8．（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））定义在上的函数满足（为自然对数的底数），其中为的导函数，若，则的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】
设，则，所以等价于，
由，可得
则，
所以在上单调递增，所以由，得．
故选：D
9．（2022·全国·江西科技学院附属中学模拟预测（文））已知函数的定义域为，图象关于原点对称，其导函数为，若当时，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】
构造函数，其中，
则，
所以，函数在上单调递减，
易知，当时，，，此时，
当时，，，此时，
因为函数的定义域为，图象关于原点对称，即函数为奇函数，
若或时，，且，
由可得，
当时，即，可得或，此时，可得；
当时，即，可得，此时，可得.
因此，不等式的解集为.
故选：C.
10．（2022·安徽省蚌埠第三中学高二开学考试）已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】
构造函数，则，因为，所以恒成立，故单调递减，变形为，又，所以，所以，解得：，故答案为：.
故选：A
11．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数满足，且当时，有，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】
根据题意，设，则，则有，，即有，故函数的图象关于对称，则有，
当时，，，又由当时，，即当时，，即函数在区间为增函数，由可得，即，，
函数的图象关于对称，函数在区间为增函数，且在上恒成立，由可得，即，此时不存在.
综上：不等式解集为.
故选：A
12．（2022·吉林·长春外国语学校高二阶段练习）已知是定义在R上的偶函数，是的导函数，当时，，且，则的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】
解：令，
因为是定义在R上的偶函数，
所以，
则，
所以函数也是偶函数，
，
因为当时，，
所以当时，，
所以函数在上递增，
不等式即为不等式，
由，得，
所以，
所以，解得或，
所以的解集是.
故选：B.
13．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学高二阶段练习）定义在R上的函数满足，且，是的导函数，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】
设，
可得．
因为，所以，所以，
所以在定义域上单调递增，
又因为，即，
又由，
所以，所以，所以不等式的解集为.
故选：C．
第五部分：第09讲 拓展二：构造函数法解决导数不等式问题 （精练）
一、单选题
1．（2022·河南·濮阳外国语学校高三阶段练习（理））定义在R上的函数的导函数为，若，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
令，则，
所以在R上单调递增．
因为，所以不等式，
可变形得，即，所以，
解得．
故选：D
2．（2022·浙江·高三专题练习）设是定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
因为满足，，
令，
则，
所以在R上是增函数，
又，则，
不等式可化为，
即，
所以，
所不等式的解集是，
故选：C
3．（2022·全国·高二课时练习）设函数是定义在上的函数的导函数，有，若，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
设函数，则，
因为，所以，
所以在上是增函数，
，，，
所以，
故选：A
4．（2022·全国·高三专题练习）定义在上的可导函数恒有，若，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
设，，
是单调递增函数，，
的解集是，
即不等式的解集是.
故选：D
5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数是定义在R上的奇函数，且，当时，有，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】
∵是定义在R上的奇函数，则，
令，则，
∴为上的偶函数，
又当时，，∴，
∴在上是增函数，在上是减函数；
又，∴，，，
当时，不等式即为，即，
∴，
当时，不等式即，即，
∴，
当时，，不等式不成立；
综上，不等式的解集是，
故选：D.
6．（2022·全国·高三专题练习）设函数f'（x）是偶函数f（x）（x∈R）的导数，f（2）＝0，当x＜0时，f'（x）﹣2x+1＜0，则使得函数f（x）＞0成立的x的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）B．（﹣2，0）∪（2，+∞）
C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣2，2）
【答案】C
【详解】
因为x＜0时，f'（x）﹣2x+1＜0，
所以f′（x）＜2x﹣1＜0，
故f（x）在（﹣∞，0）递减，
又f（x）是偶函数，
所以f（2）＝0，f（﹣2）＝0，
所以使f（x）＞0成立的x的范围是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），
故选：C．
7．（2022·全国·高三专题练习（文））在上的导函数为，，则下列不等式成立的是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】
令，则，
因为在上的导函数为，所以在上，
即在上为增函数.
所以，即.
故选：A.
8．（2022·北京·101中学模拟预测）定义在上的函数的导函数满足，则必有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】
由，得.
设，，则，
故在上单调递减，
则，
则，，
但由于，，，的正负不确定，
所以，都未必成立.
故选：D
9．（2022·贵州·毕节市第一中学高二阶段练习（文））是定义在上的可导函数，且满足，对任意正数，若，则必有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】
解：设，，则，
在区间上单调递减，
，∴g(b)故选：B．
10．（2022·重庆市朝阳中学高二阶段练习）已知是定义在上的偶函数，当时，，且，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】
解：∵是定义在上的偶函数，当时，，
∴为增函数，为偶函数，为奇函数，
∴在上为增函数，
∵，
若，，所以；
若，，在上为增函数，可得，
综上得，不等式的解集是.
故选：C.
11．（2022·全国·高三专题练习）设是定义在上的恒大于0的可导函数，且，则当时有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】
令，可得，
因为，所以，所以在为单调递减函数，
又因为，所以，即，
又由，所以.
故选：C.
二、填空题
12．（2022·福建省龙岩第一中学高二阶段练习）已知函数的导函数为，，，则的解集为___________.
【答案】
【详解】
因为，
所以，
令，
则，
，
所以是减函数，
又，
即，，
所以，
所以，
则的解集为
故答案为：
13．（2022·河南三门峡·高二期末（理））已知函数的导函数为，且对任意，，若，，则的取值范围是___________.
【答案】
【详解】
构造函数，则，故函数在上单调递减，
由已知可得，
由可得，可得.
故答案为：.
14．（2022·河南·驻马店市基础教学研究室高二期末（文））已知函数是上的奇函数，，对，成立，则的解集为_________．
【答案】
【详解】
设，则对，，
则在上为单调递增函数，
∵函数是上的奇函数，∴，
∴，
∴为偶函数，∴在上为单调递减函数，
又∵，∴，由已知得，
所以当时，；当时，；
当时，；当时，；
若，则；
若，则或，解得或或；
则的解集为.
故答案为：.
15．（2022·浙江省浦江中学高二阶段练习）已知定义在R上的函数的导函数为，若对任意实数x，都有，且，则不等式的解集为______．
【答案】
【详解】
由题设，令，则，
所以在定义域上递增，又等价于，
所以，由单调性知不等式解集为.
故答案为：.
16．（2022·广东·深圳市罗湖外语学校高二阶段练习）已知定义在上的函数满足，且，则的解集是______．
【答案】
【详解】
令，则，
因为定义在上的可导函数满足，
所以在上恒成立，
所以函数在上单调递减；
又，所以，
由得，所以
故，则，所以的解集是
故答案为：.
17．（2022·上海·华师大二附中高二阶段练习）已知函数的导函数为，若，，则不等式的解集为__________.
【答案】##
【详解】
构造函数，则该函数的定义域为，且，
所以，，则函数在上为增函数，
由可得，即，解得.
因此，不等式的解集为.
故答案为：.
序号
条件
构造函数
1
2
3
4
5
6
7
8