第05讲 正弦定理和余弦定理的应用（讲+练）-备战2024年高考数学一轮复习精讲精练高效测（新教材新高考）

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目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：解三角形应用举例
角度1：测量距离问题
角度2：测量高度问题
角度3：测量角度问题
高频考点二：求平面几何问题
高频考点三：三角函数与解三角形的交汇问题
第四部分：高考真题感悟
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、基线
在测量过程中,我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线.为使测量具有较高的精确度,应根据实际需要选取合的基线长度.一般来说,基线越长,测量的精确度越高.
2、仰角与俯角
在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角
3、方位角
从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角的范围是.
4、方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)，
例：(1)北偏东：(2)南偏西：

5、坡角与坡比
坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即.
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·河南安阳·高一阶段练习）公园内有一棵树，，是与树根处点在同一水平面内的两个观测点，树顶端为.如图，观测得，，，米，则该树的高度大约为（ ）
A．21米B．18米C．15米D．10米
【答案】A
在中，，
则由正弦定理可得，即，解得米，
在直角中，米.
故选：A.
2．（2022·新疆·乌市八中高一期中）现只有一把长为的尺子，为了求得某小区草坪边缘两点的距离（大于），在草坪坛边缘找到点与，已知，且，测得，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
因为，所以.
因为，所以，
所以.
故选：C
3．（2022·全国·高一专题练习）如图所示，为了测量某湖泊两侧，间的距离，李宁同学首先选定了与，不共线的一点，然后给出了三种测量方案(的角，，所对的边分别记为，，)：
①测量，，；②测量，，C；③测量，，．
则一定能确定，间距离的所有方案的个数为（ ）
A．3B．2
C．1D．0
【答案】A
对于①，利用内角和定理先求出，再利用正弦定理解出；
对于②，直接利用余弦定理即可解出；
对于③，先利用内角和定理求出，再利用正弦定理解出．
故选：A.
4．（2022·江苏·高一课时练习）如图，在救灾现场，搜救人员从处出发沿正北方向行进米达到处，探测到一个生命迹象，然后从处沿南偏东行进米到达处，探测到另一个生命迹象，如果处恰好在处的北偏东方向上，那么（ ）
A．米B．米C．10米D．米
【答案】D
依题意得，
由正弦定理得，所以，
故选：D
5．（2022·重庆八中高一期中）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）为h.将地球看作是一个球心为O，半径为r的球，其上点A的纬度是指与赤道平面所成角的度数.如果地球表面上某一观测点与该卫星在同一条子午线（经线）所在的平面，且在该观测点能直接观测到该卫星.若该观测点的纬度值为，观测该卫星的仰角为，则下列关系一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
解：如图所示，，由正弦定理可得，即，化简得，
故选：A.
第三部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：解三角形应用举例
角度1：测量距离问题
例题1．（2022·广东·信宜市第二中学高一阶段练习）如图，一轮船从点沿北偏东的方向行驶10海里至海岛，又从沿北偏东的方向行驶10海里至海岛，若此轮船从点直接沿直线行驶至海岛，则此船沿__________方向行驶__________海里至海岛（ ）
A．北偏东；B．北偏东；
C．北偏东；D．北偏东；
【答案】C
由题意得：，，故，所以从A到C的航向为北偏东，由余弦定理得：，故.
故选：C
例题2．（2022·全国·高三专题练习）为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩，(如图)，要测量，两点的距离，测量人员在岸边定出基线，测得，，．就可以计算出，两点的距离为（ ）．
A．20 mB．30 mC．40 mD．50 m
【答案】D
由三角形内角和定理可知：，
由正弦定理得:，
故选：D
例题3．（2022·福建龙岩·高一期中）两座灯塔和与海洋观察站的距离分别为，，灯塔在观察站的北偏东方向上，灯塔在观察站的南偏东方向上，则灯塔与的距离为______km．
【答案】7
根据题意作出如图的方位图，则

在中，
所以
故答案为：7
例题4．（2022·广东·广州市第六十五中学高一期中）如图，为了测量两点间的距离，选取同一平面上两点，已知，，，，，则的长为________．
【答案】
在中，由正弦定理得：，
，，
在中，由余弦定理得：
，
.
故答案为：.
例题5．（2022·江苏·高一课时练习）《后汉书·张衡传》：“阳嘉元年，复造候风地动仪.以精铜铸成，员径八尺，合盖隆起，形似酒尊，饰以篆文山龟鸟兽之形.中有都柱，傍行八道，施关发机.外有八龙，首衔铜丸，下有蟾蜍，张口承之.其牙机巧制，皆隐在尊中，覆盖周密无际.如有地动，尊则振龙，机发吐丸，而蟾蜍衔之.振声激扬，伺者因此觉知.虽一龙发机，而七首不动，寻其方面，乃知震之所在.验之以事，合契若神.”如图，为张衡地动仪的结构图，现要在相距的，两地各放置一个地动仪，在的东偏北方向，若地动仪正东方向的铜丸落下，地东南方向的铜丸落下，则地震的位置在地正东________________km.
【答案】
解：如图，设震源在C处，则，则由题意可得，根据正弦定理可得，又所以，
所以震源在A地正东处.
故答案为：
角度2：测量高度问题
例题1．（2022·江西师大附中三模（理））滕王阁，位于江西省南昌市西北部沿江路赣江东岸，始建于唐朝永徽四年，因唐代诗人王勃诗句“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世．如图，小明同学为测量滕王阁的高度，在滕王阁的正东方向找到一座建筑物，高为，在它们的地面上的点（，，三点共线）测得楼顶，滕王阁顶部的仰角分别为和，在楼顶处测得阁顶部的仰角为，则小明估算滕王阁的高度为（ ）（精确到）
A．B．C．D．
【答案】D
由题意得，在中，，
在中，，，
所以，由正弦定理，
得，
又，
在中，.
故选：D.
例题2．（2022·山东菏泽·高一期中）2022年北京冬奥会，首钢滑雪大跳台（如图1）是冬奥历史上第一座与工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆，大跳台的设计中融入了世界文化遗产敦煌壁画中“飞天”的元素．某校研究性学习小组为了估算赛道造型最高点（如图2）距离地面的高度（与地面垂直），在赛道一侧找到一座建筑物，测得的高度为25.4米，并从点测得点的仰角为；在赛道与建筑物之间的地面上的点处测得点，点的仰角分别为和（其中，，三点共线），该学习小组利用这些数据估算得赛道造型最高点距离地面的高度约为（ ）（参考数据：，，）
A．58B．60C．66D．68
【答案】B
解：如图所示：
由题意得：，
在中，，
在中，由正弦定理得，
所以，
在中， ，
故选：B
例题3．（2022·四川成都·高一期中）如图，是底部不可到达的一个烟囱，为测量烟囱的高度，在地面选取，两点，使，， 三点在同一条直线上，在，两点测得顶点的仰角分别为，，且，两点之间的距离为20米，则烟囱的高度为_________米．（用四舍五入法将结果精确到个位数，参考数据：,）
【答案】22
在中，由正弦定理得，
即，
所以，
在中，（米）.故答案为：22.
例题4．（2022·福建省厦门集美中学高一期中）厦门双子塔是厦门的新地标，两栋独立的塔楼由裙楼相连，外观形似风帆，并融入了厦门市花“三角梅”的视觉元素.小明计划测量双子塔塔的高度，他在家测得塔尖的仰角为，再到正上方距家42米的天台上，测得塔尖仰角为，塔底俯角为.则塔的高度约为______米.（精确到个位）参考数据：，，，.
【答案】303
解：如图，设塔高，，,
所以，所以，
在中，由正弦定理得，即，
因为，，
所以解得，
在中，，，
由正弦定理得，即，
解得,
故答案为：303
角度3：测量角度问题
例题1．（2022·江苏·高一课时练习）两座灯塔和与海岸观察站的距离相等，灯塔在观察站北偏东，灯塔B在观察站南偏东，则灯塔在灯塔的（ ）
A．北偏东B．北偏西
C．南偏东D．南偏西
【答案】B
灯塔A，B的相对位置如图所示，
由已知得∠ACB＝80°，∠CAB＝∠CBA＝50°，则α＝60°－50°＝10°，即北偏西10°.
故选：B.
例题2．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））位于灯塔处正西方向相距的处有一艘甲船需要海上救援，位于灯塔处北偏东相距的处的一艘乙船前往营救，则乙船的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是南偏西（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
依题意，过点作的延长线交于点，如图，
则，，，
在中，，
在中，，，
又
，
则乙船的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是南偏西60°.
故选：B.
例题3．（2022·江苏南通·高一期末）图1是南北方向、水平放置的圭表（一种度量日影长的天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成）示意图，其中表高为，日影长为.图2是地球轴截面的示意图，虚线表示点处的水平面.已知某测绘兴趣小组在冬至日正午时刻（太阳直射点的纬度为南纬）在某地利用一表高为的圭表按图1方式放置后，测得日影长为，则该地的纬度约为北纬（ ）（参考数据：，）
A．B．C．D．
【答案】B
由图1可得，又，
所以，所以，
所以，
该地的纬度约为北纬，
故选：．
题型归类练
1．（2022·天津市求真高级中学高一阶段练习）如图，一艘船上午8：00在处测得灯塔在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午8：30到达处，此时又测得灯塔在它的北偏东75°处，且与它相距海里，则此船的航行速度是（ ）
A．16海里/小时B．15海里/小时
C．海里/小时D．海里/小时
【答案】A
由图可知，，
则，得，
所以该船的航行速度为（海里/小时）．
故选：A
2．（2022·河北保定·高一阶段练习）如图，在一场足球比赛中，甲同学从点处开始做匀速直线运动，到达点时，发现乙同学踢着足球在点处正以自己速度的向做匀速直线运动，已知，，.若忽略甲同学转身所需的时间，则甲同学最快拦截乙同学的点是线段上离处____________m的点.
【答案】5
解：如图，设甲同学最快拦截乙同学的地点是点，，则，
所以，在中，，
整理可得，解得或（舍去）.、故甲同学最快拦截乙同学的点是线段上离处5m的点.
故答案为：.
3．（2022·福建省宁化第一中学高一阶段练习）第四届数字中国建设峰会将于2021年4月25日至26日在福州举办，三明市以此为契机，加快推进“5G＋光网”双千兆城市建设．如图，某县区域地面有四个5G基站A，B，C，D．已知C，D两个基站建在江的南岸，距离为；基站A，B在江的北岸，测得，，，，则A，B两个基站的距离为______．
【答案】
在三角形中，，
由余弦定理得，
在三角形中，，
所以，由正弦定理得，
，
在三角形中，由余弦定理得.
故答案为：
4．（2022·江苏·高一课时练习）如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°，从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=500m，则山高MN=______m.
【答案】750
在中，，所以，
在中，，则，
由正弦定理得，，
所以，
在中，，
所以，
故答案为：750
5．（2022·全国·高三专题练习）如图，某湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台，已知射线，为湿地两边夹角为的公路（长度均超过千米），在两条公路，上分别设立游客接送点，，且千米，若要求观景台与两接送点所成角与互补且观景台在的右侧，并在观景台与接送点，之间建造两条观光线路与，则观光线路之和最长是_________________ （千米）.
【答案】4
解：在中，因为，，
所以，
又与互补，所以，
在中，由余弦定理得：，
即，即，
因为，
所以，
所以，当且仅当时，取等号，
所以观光线路之和最长是4.
故答案为：4
6．（2022·广东梅州·高一阶段练习）如图，测量河对岸的塔高，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点和．现测得，，米，在点测得塔顶的仰角为60°，则塔高为（ ）米．
A．B．C．D．
【答案】A
由题意，在中，，由正弦定理可知.
在中，易知，于是.
故选：A.
7．（2022·全国·高三专题练习（理））魏晋南北朝时期，中国数学的测量学取得了长足进展.刘徽提出重差术，应用中国传统的出入相补原理，因其第一题为测量海岛的高度和距离，故题为《海岛算经》.受此题启发，某同学依照此法测量郑州市二七纪念塔的高度.如图，点D，G，F在水平线DH上，CD和EF是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”测得以下数据（单位：米）：前表却行DG=1，表高CD=EF=2，后表却行FH=3，表距DF=61.则塔高AB=（ ）
A．60米B．61米C．62米D．63米
【答案】D
解：根据题意，，，
所以，解得．
故选：D.
8．（2022·湖南·高一阶段练习）如图，无人机在离地面高300m的A处，观测到山顶M 处的仰角为、山脚C处的俯角为，已知，则山的高度MN为___m．
【答案】450
【详解】
∵，∴，∵，
又，，∴，
在△AMC中，由正弦定理得，
∴ ．
故答案为：450．
9．（2022·广西南宁·一模（理））2021年9月17日，搭载着3名英航天员的神舟十二号载人飞船返回舱成功着陆于东风着陆场，标志着神舟十二号返回任务取得圆满成功.假设返回舱D是垂直下落于点C，某时刻地面上点观测点观测到点D的仰角分别为，若间距离为10千米（其中向量与同向），试估算该时刻返回舱距离地面的距离约为___________千米（结果保留整数，参考数据：）.
【答案】
在三角形中，，
由正弦定理得，
，
所以千米.
故答案为：
10．（2022·河南安阳·高一阶段练习）某校学生参加课外实践活动“测量一土坡的倾斜程度”，在坡脚A处测得，沿土坡向坡顶前进后到达D处，测得．已知旗杆，土坡对于地平面的坡角为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
在中，由正弦定理可得
在中，易知，
则
整理可得
故选：D
11．（2022·江苏·高一课时练习）当太阳光线与水平面的倾斜角为时，一根长为的竹竿，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角________．
【答案】
作出示意图如下如，
设竹竿与地面所成的角为，影子长为，依据正弦定理可得，
所以，因为，所以要使最大，
只需，即，所以时，影子最长．
答案为：.
12．（2022·全国·高一专题练习）如图，两名搬家工人要将一个大衣柜搬出房间，已知衣柜长1.5m，宽0.8 m，高2.5 m，房门的宽为1.2 m，高为2.2 m．试问此衣柜的倾斜度要在多少度以下，才能顺利通过房门？（，，）
【答案】.
根据题意，要顺利通过房门，只需，
又，
故，则
又，则，
又，故.
故衣柜的倾斜度要在以下，才能顺利通过房门.
故答案为：.
13．（2022·全国·高三专题练习）甲船在静水中的速度为40海里/小时，当甲船在点A时，测得海面上乙船搁浅在其南偏东方向的点P处，甲船继续向北航行0.5小时后到达点B，测得乙船P在其南偏东方向，
（1）假设水流速度为0，画出两船的位置图，标出相应角度并求出点B与点P之间的距离．
（2）若水流的速度为10海里/小时，方向向正东方向，甲船保持40海里/小时的静水速度不变，从点B走最短的路程去救援乙船，求甲船的船头方向与实际行进方向所成角的正弦值．
【答案】（1）点B与点P之间的距离为海里，（2）.
（1）两船的位置图如下：
由图可得，，所以
所以由余弦定理可得
所以点B与点P之间的距离为海里
（2）如图，的方向为水流的方向，的方向为船头的方向，的方向为实际行进的方向，
其中
在中，由正弦定理可得
所以
即甲船的船头方向与实际行进方向所成角的正弦值为
高频考点二：求平面几何问题
例题1．（2022·广东·深圳市高级中学高二期中）如图，在三棱锥的平面展开图中，，，，，，，则( )
A．B．
C．D．
【答案】D
由题意知，，
在中，由余弦定理知，
，
，而，，
∴在中，由余弦定理知，．
故选：D．
例题2．（2022·四川·树德中学高一阶段练习）在梯形中，，则（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】A
解：令
.
在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得,
两式相除得
所以.
故选：A
例题3．（2022·四川南充·二模（文））托勒密是古希腊天文学家､地理学家､数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理指出：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知四边形的四个顶点在同一个圆的圆周上，是其两条对角线，，且为正三角形，则四边形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
由题，设，
由托勒密定理可得，所以，
又因为，，
所以
.
故选：D.
题型归类练
1．（2022·江苏·高一课时练习）如图，已知在中，，点在边上，且满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
在中，， ，则，
因，则，
在中，由余弦定理得：，即，
在中，由正弦定理得：，
所以.
故选：D
2．（2022·江苏·金陵中学高一期中）克罗狄斯·托勒密（Ptlemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，完成下题：如图，半圆的直径为2，为直径延长线上的一点，，为半圆上一点，以为一边作等边三角形，则当线段的长取最大值时，（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【答案】C
因为，且为等边三角形，，
所以，所以，所以的最大值为，取等号时，
所以，不妨设，
所以，所以解得，
所以，所以，
故选：C.
3．（2022·四川·攀枝花市第十五中学校高一阶段练习） 在四边形ABCD中，已知M是AB边上的点，且MA＝MB＝MC＝MD＝1，∠CMD＝120°，若点N在线段CD（端点C，D除外）上运动，则·的取值范围是（ ）
A．[－1，0)B．
C．[－1，1)D．
【答案】B
连接MN，如图：
由题意得·＝(－)·(－)＝2－2＝||2－1.
在△MCN中，MC＝1，∠MCN＝30°，
所以MN2＝12＋NC2－2×NC×1×＝NC2－NC＋1，
所以MN2－1＝NC2－NC＝－.
由MC＝MD＝1，∠CMD＝120°，可得CD＝，
又点N在线段CD(端点C，D除外)上运动，所以0＜NC＜.
所以－≤MN2－1＜0，即·的取值范围是.
故选：B.
4．（2022·湖北·武汉市武钢三中高一期中）若，，平面内一点，满足，的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
由，可得
因为，所以，即是角平分线
所以由角平分线的性质可得
设，则，由可得
因为
当且仅当，即时等号成立，即的最小值为
所以的最大值是
故选：C
高频考点三：三角函数与解三角形的交汇问题
例题1．（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高一期中）在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
由和余弦定理得，又，∴．
因为三角形为锐角三角形，则，即，解得．
，
∵，即，所以，
则，因此，的取值范围是．
故选：A
例题2．（2022·四川省高县中学校模拟预测（文））在中，角、、所对的边分别为、、，若，，则实数的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
解：由余弦定理，得，结合，
得，
解得，
即，
则当时，．
.
故选：D．
例题3．（多选）（2022·广东·兴宁市沐彬中学高一阶段练习）在锐角中，，，分别是角，，的对边，已知，若，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
因为，由正弦定理可得：，
由余弦定理可得，所以.
由正弦定理得，，所以
故选：ABD
例题4．（2022·江西·南昌十中模拟预测（理））锐角中，，角的角平分线交于点，,则的取值范围为_________.
【答案】
由已知得， ,
在中，由正弦定理得， ,
同理可得 ,
故,
而
，
因为锐角中， ,
故，则，，
故，
故答案为：
例题5．（2022·江苏·扬中市第二高级中学高三开学考试）设锐角的内角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围是___.
【答案】
因为，则，，
又，
故由正弦定理可得：
又为锐角三角形，故可得，
解得，则，故，
即.
故答案为：.
例题6．（2022·四川成都·高一期中（理））已知中，角、、对应的边分别为、、，若，且满足．
(1)求角；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)(2)
(1)解：因为，
由正弦定理可得，
即，
所以，
所以，
所以，
因为，所以，又因为，所以；
(2)解：
又因为，所以，所以
所以.
题型归类练
1．（多选）（2022·重庆市万州第二高级中学高一期中）锐角的内角，，的对边分别为，，．若，则（ ）
A．B．的取值范围是
C．D．的取值范围是
【答案】ABD
由正弦定理可知，，，，即，所以，，因为是锐角三角形，所以，解得，
故选：ABD
2．（多选）（2022··一模）设，，分别为锐角三个内角，，的对边，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．的取值范围是D．的取值范围是
【答案】BD
由正弦定理得即 ，故B对，A错；
又
又锐角中解得 ，故
故选：BD
3．（2022·全国·高三专题练习）在①，②，③三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答
在中，角，，的对边分别为，，且______，若，求的取值范围.
【答案】.
若选①：由，根据正弦定理可得，
即，
即，
可得，因为，所以，
因为，可得外接圆的半径为，
则
，
因为，可得，
当时，即时，可得，
当时，即时，可得，
所以的取值范围.
选②：由，根据正弦定理可得，
可得，即，
又由余弦定理，可得，
因为，所以，
因为，可得外接圆的半径为，
则
，
因为，可得，
当时，即时，可得，
当时，即时，可得，
所以的取值范围.
若选③：由，可得，
即，可得，
因为，所以，
因为，可得外接圆的半径为，
则
，
因为，可得，
当时，即时，可得，
当时，即时，可得，
所以的取值范围.
4．（2022·山西·模拟预测（理））已知的内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，求的取值范围.
【答案】(1)(2)
(1)及，
，化简得，
，又，.
(2)由（1）可得
为锐角三角形，
且，，
.
，，
故的取值范围为.
5．（2022·江苏南京·高一期中）如图所示，某镇有一块空地，其中 km， km，.当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖，其中M、N都在边AB上，且，挖出的泥土堆放在地带上形成假山，剩下的地带开设儿童游乐场.为安全起见，需在的一周安装防护网．
(1)当 km时，求OM长度；
(2)若要求挖人工湖用地的面积是堆假山用地的面积的倍，试确定的大小；
(3)为节省投入资金，人工湖的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使的面积最小？最小面积是多少？
【答案】(1)；(2)；(3)，﹒
(1)在Rt△OAB中，tan∠OAB＝，∴∠OAB＝60°，
在中，，，，
由余弦定理得
＝；
(2)设，∵，
∴，即，
在中，由正弦定理得，，
即，即，即，
由，得，∴，即；
(3)
设，由(2)知，
又在中，由，得，
∴，
∴当且仅当，即时，
的面积取最小值为﹒
6．（2022·上海·复旦附中高一期中）在工厂实习中，小宋拿到的材料是一块顶角A为的扇形铝板（足够大），现在需要将铝板放在切割机上，加工成一个内角为A的三角形工件．
(1)小宋的师傅拿出了一个工件样品，其中，求的值；
(2)师傅在小宋的扇形铝板的顶角A的角平分线上打了一个点D，且，并要求小宋加工的工件的边经过点D，则
①用角B表示工件的面积S；
②求S的最小值，以及取得最小值时角B的大小．
【答案】(1)或，
(2)① ；②时，S取到最小值
(1)解：因为，可得，
又因为，可得或，所以或，
由，可得或，
所以或，
．
(2)解：①在和中使用正弦定理，可得
于是．
②利用二倍角公式和积化和差公式可得：
，
由题意可得，所以，
当，即时，S取到最小值．
第四部分：高考真题感悟
1．（2021·全国·高考真题（理））魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（ ）
A．表高B．表高
C．表距D．表距
【答案】A
如图所示：
由平面相似可知，，而 ，所以
，而 ，
即＝ ．
故选：A.
2．（2021·浙江·高考真题）我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).若直角三角形直角边的长分别是3，4，记大正方形的面积为，小正方形的面积为，则___________.
【答案】25
由题意可得，大正方形的边长为：，
则其面积为：，
小正方形的面积：，
从而.
故答案为：25.
3．（2021·浙江·高考真题）在中，，M是的中点，，则___________，___________.
【答案】
由题意作出图形，如图，
在中，由余弦定理得，
即，解得（负值舍去），
所以，
在中，由余弦定理得，
所以；
在中，由余弦定理得.
故答案为：；.