2024年中考数学几何模型第二部分专题

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将军饮马模型
同侧两线段和最小
条件：点A,B在直线L的同侧,点P在直线L上，求PA+PB的最小值？
辅助线：作点A关于直线L的对称点A′，连接A′B
结论：点P为A′B和直线L的交点时，AP+BP≥A′B（当且仅当A′,P,B三点共线时有最小值）
同侧两线段差最大
条件：当点A,B分别在直线L的异侧时，求PA−PB的最小值？
辅助线：作线段AB的中垂线交直线L于点P,则PA−PB的最小值为0.
异侧两线段差最小
条件：当点A,B分别在直线L的同侧时，求PA−PB的最大值？
辅助线：延长BA交直线L于点P′，当且仅当B、A、P′三点共线时有最大值PA−PB=AB.
造桥选址类型
条件：已知点A,B分别在河岸的两端，桥梁EF始终垂直于河岸，问AE+EF+BF的最小值？
辅助线：构造以EF为平行四边形的一边，且含顶点B的平行四边形BFEB′，则AE+EF+BF=AE+B′E+BB′≥AB′+BB′=AB′+EF（定值），当且仅当A,E，B′三点共线.
相关变形：菱形，矩形
条件：在菱形ABCD中，动线段MN在对角线AC上运动，若MN=13AC,问△DMN的周长最小值？
辅助线：构造平行四边形MNB′B，则
C△DMN=DM+MN+DN≥DB′+BB′=DB′+MN
四边形周长最小
条件：D、N为∠AOB内的两定点，点E,M分别为OA,OB上的动点
辅助线：分别作点D,N关于OA和OB的对称点D′，N′
结论：C四边形DEMN≥D′N′+DN,当且仅当D′，E,M，N′共线时，满足最小值。
三角形周长最小
条件：D为∠AOB内部内的一固定点，点E,M分别为OA,OB上一点，试求△DEM的周长最小值为多少？
辅助线：过点D作关于OA，OB的对称点D′，D″；
则有C△DEM=DE+EM+DM=D′E+EM+MD″≥D′D″；当且仅当D′，E,M，D″共线时满足题意。
基本相似模型
A字型
条件：DE//BC
结论：△ADE∽△ABC
条件：∠AED=∠B
结论：△ADE∽△ACB
相关拓展：子母型相似
8字型
条件：AB//CD
结论：△AOB∽△DOC
条件：∠A=∠C
结论：△AOB∽△COD
倒数型
条件：AD//EF//BC
结论：1AD+1BC=1EF
一线三等角型
条件：∠α=∠β=∠γ
结论：△1∽△2（AA）
手拉手相似（旋转相似）
条件：AD：AE=AB：AC且∠DAE=∠BAC
结论：△DAB∽△EAC（SAS）

相关变形：
对角互补模型
（1）90度
条件：∠AQB=∠MCN=90°，QC平分∠AQB
辅助线：过点C作CD⊥AQ，CE⊥QB垂足分别为D,E
结论：CM=CN,CD+CE=2QC,S四边形CDQE=12QC2
（2）120度
条件：∠AOC=∠DCE=60°，OC平分∠AOC
辅助线：在OC上截取一点F,使得OF=OC
结论：CD=CF，OD+OE=OC，S四边形CDOE=S△COF34OC2