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考点28 离散型随机变量及其分布列、数字特征6种常见考法归类-2023-2024学年学年高二数学高效讲与练(人教A版2019选择性必修第三册)
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这是一份考点28 离散型随机变量及其分布列、数字特征6种常见考法归类-2023-2024学年学年高二数学高效讲与练(人教A版2019选择性必修第三册)，文件包含考点28离散型随机变量及其分布列数字特征6种常见考法归类-高二数学题型归纳与解题策略人教A版选择性必修第三册原卷版docx、考点28离散型随机变量及其分布列数字特征6种常见考法归类-高二数学题型归纳与解题策略人教A版选择性必修第三册解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共47页， 欢迎下载使用。
1、离散型随机变量的分布列
1．对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量．可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量叫做离散型随机变量．
2．一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi(i＝1,2，…，n)为X的概率分布列，简称分布列．
离散型随机变量的分布列也可以用如上表格表示．且具有如下性质：
(1)pi≥0，i＝1,2，…，n；
(2)p1＋p2＋…＋pn＝1．
离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．
2、两点分布
如果随机变量X的分布列为
其中0重点 离散型随机变量的数字特征
3、均值
一般地，若离散型随机变量X的分布列为
则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋x3p3＋…＋xnpn＝eq \(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))xipi为随机变量X的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
4、方差
设离散型随机变量X的分布列为
则(xi－E(X))2描述了xi(i＝1,2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度．而D（X）＝（x1－E（X））2p1＋（x2－E（X））2p2＋…＋（xn－E（X））2pn＝eq \(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))(xi－E(X))2pi为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度．称D(X)为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称eq \r(DX)为随机变量X的标准差，记为σ(X)．
[注意] 1随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.DX越大，表明平均偏离程度越大，X的取值越分散.反之，DX越小，X的取值越集中在EX附近；2方差也是一个常数，它不具有随机性，方差的值一定是非负实数.
5、常用结论
若Y＝aX＋b，其中a，b是常数，X是随机变量，则
(1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数；
(2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)；
(3)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)；
(4)D(X)＝E(X2)－(E(X))2；
(5)若X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2)．
6、随机变量的取值与随机试验的结果之间的关系
明确离散型随机变量的所有可能取值及取每一个值所对应的随机试验的结果，同时也要明确一个随机变量的取值对应一个或多个随机试验的结果，解答过程中不要漏掉某些试验结果．
7、离散型随机变量分布列性质的应用
(1)利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值；
(2)利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率；
(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确．
8、离散型随机变量分布列的求解步骤
9、离散型随机变量性质有关问题的解题思路
若给出的随机变量Y与X的关系为Y＝aX＋b，a，b为常数，一般思路是先求出E(X)，D(X)，再利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)求E(Y)，D(Y)；也可以利用X的分布列得到Y的分布列，关键是由X的取值计算Y的取值，对应的概率相等，再由定义法求得E(Y)或D(Y)．
10、求离散型随机变量X的均值与方差的步骤
(1)理解X的意义，写出X可能的全部值；
(2)求X取每个值的概率；
(3)写出X的分布列；
(4)由均值的定义求E(X)；
(5)由方差的定义求D(X)．
11、利用样本的数字特征解决有关决策的问题就是根据提取的数据，建立相应的概率模型，然后利用概率知识求出样本的数字特征——数学期望、方差等，通过比较得到最优方案，从而解决问题．解题的关键如下：
(1)建立模型，根据题意准确建立解决问题的概率模型，要注意各种概率模型的差异性，不能混淆；
(2)分析数据，分析题中的相关数据，确定概率模型中的相关参数；
(3)求值，利用概率知识求出概率模型中的数学期望、方差等数字特征；
(4)做出决策，比较概率模型中的数字特征，确定解决问题的最优方案，做出决策．
考点一 离散型随机变量分布列的性质
考点二 求离散型随机变量分布列
考点三 由均值、方差求参数
考点四 均值与方差的性质
考点五 离散型随机变量的均值与方差
考点六 均值与方差在决策中的应用
考点一 离散型随机变量分布列的性质
1．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考期末）已知离散型随机变量的分布列如下表所示：
则常数的值为__________.
【答案】/
【分析】直接根据概率和为1列方程计算即可.
【详解】由已知得，解得.
故答案为：.
2．（2023春·黑龙江双鸭山·高二双鸭山一中校考阶段练习）已知随机变量的分布列满足：，其中为常数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据分布列的性质计算可得的值，再算即可
【详解】由分布列性质可知：，即
故
故选：B
3．（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨德强学校校考阶段练习）已知随机变量的分布列，，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据离散型随机变量及其分布列的性质，计算即可.
【详解】解：，，，，，
，
故选：A.
4．（2023·江西·高二校联考阶段练习）设随机变量X的分布列如下（其中），则随机变量X的期望________.
【答案】1
【分析】根据概率之和等于可得出的关系，再根据期望公式即可得解.
【详解】由，得，
∴.
故答案为：
5．（2023春·辽宁锦州·高二校考阶段练习）随机变量的分布列如下表，其中，，成等差数列，且，
则（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【分析】根据分布列的性质及，，成等差数列,列方程组求出,再求数学期望即可.
【详解】由，得，则．
故选:A.
6．（2023春·山西·高二统考期中）已知随机变量满足为常数），则的方差（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】D
【分析】根据所给概率公式利用概率之和为1求出a，再求出期望即可计算方差得解.
【详解】，
，解得，
所以，
所以，
，
故选：D
7．【多选】（河北省石家庄市部分学校2022-2023学年高二下学期期中数学试题）已知随机变量X的分布列为：
若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】由离散型随机变量的基本概念与分布列可得,再由即可解得，从而可通过运算判断各选项.
【详解】由离散型随机变量的基本概念与分布列可得；
又由，解得，故A错误，B正确；
，故C正确；
，故D 正确;
故选：BCD.
8．【多选】（2023秋·辽宁·高二校联考期末）已知离散型随机变量X的分布列如下，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】根据分布列中概率的性质、数学期望、方差等知识确定正确答案.
【详解】由题意可知，，解得或．
当时，，故，A不正确，B正确.
，C正确．
，
则．D正确．
故选：BCD
考点二 求离散型随机变量分布列
9．（重庆市部分学校2022-2023学年高二下学期期中数学试题）某班举行“党史知识”竞赛，共12个填空题，每题5分，满分60分.李明参加该竞赛，其中前9个题能答对，后3个题能答对的概率分别为，，.
(1)求李明最终获得满分的概率；
(2)设李明的最终得分为，求的分布列.
【答案】(1)
(2)分布列见解析
【分析】（1）根据相互独立事件概率计算公式求得正确答案.
（2）先求得的可能取值，然后利用相互独立事件概率计算公式求得的分布列.
【详解】（1）李明最终获得满分的概率为.
（2）前个题得分分；
后个题，得分可能是，
所以的可能取值为，
所以，
，
，
.
所以的分布列为：
10．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）某学校组织“消防”知识竞赛，有A，B两类题目．每位参加比赛的同学先在两类题目中选择一类并从中随机抽取一道题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得40分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得60分，否则得0分已知小明能正确回答A类问题的概率为0.7，能正确回答B类问题的概率为0.5，且能正确回答问题的概率与回答次序无关
，若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；
【解析】由已知可得，X的所有可能取值为0，40，100，
则；
；
．
所以X的分布列为
11．（2023·贵州·校联考模拟预测）据世界田联官方网站消息，原定于2023年5月日在中国广州举办的世界田联接力赛延期至2025年4月至5月举行.据了解，甲､乙､丙三支队伍将会参加2025年4月至5月在广州举行的米接力的角逐.接力赛分为预赛､半决赛和决赛，只有预赛､半决赛都获胜才能进入决赛.已知甲队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；乙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；丙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和.
(1)甲､乙､丙三队中，谁进入决赛的可能性最大；
(2)设甲､乙､丙三队中进入决赛的队伍数为，求的分布列.
【答案】(1)乙进入决赛的可能性最大
(2)答案见解析
【分析】（1）根据相互独立事件同时发生的概率公式计算得解；
（2）根据（1）及相互独立事件同时发生的概率公式计算，列出分布列.
【详解】（1）甲队进入决赛的概率为，
乙队进入决赛的概率为，
丙队进入决赛的概率为，
显然乙队进入决赛的概率最大，所以乙进入决赛的可能性最大．
（2）由（1）可知：甲､乙､丙三队进入决赛的概率分别为，
的可能取值为，
，
，
，
，
所以的分布列为：
考点三 由均值、方差求参数
12．（2023春·浙江杭州·高二杭州市长河高级中学校考期中）已知随机变量的分布列如下：
若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据期望公式及概率和为1列方程求解.
【详解】由已知得
解得
故选：B.
13．（2023春·吉林长春·高二长春十一高校考阶段练习）已知随机变量的分布列如下表所示，若，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【分析】根据分布列的性质以及，列出方程，解得m,n，根据离散型随机变量的方差公式计算，即可得答案.
【详解】由题意可得 ，
由得： ，
两式联立解得 ，
故，
故选:A
14．（2023春·北京·高二校考阶段练习）随机变量的分布列是
若，则（ ）
A．0B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】由于分布列的概率之和为1，以及，列出关于的方程，再根据方差公式即可求出．
【详解】由题意可知，，
又，所以；
所以.
故选：B.
【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列的性质、期望公式和方差公式的应用，考查计算能力，属于基础题．
15．（2023春·河南安阳·高三校联考阶段练习）某化学实验课老师在学期末要对所教学生进行一次化学实验考核，每个学生需要独立完成该实验考核．根据以往数据，在五名学生中，三人能独立完成实验的概率均为，两人能独立完成实验的概率均为．
(1)若，求这五名学生中恰有四名学生通过实验考核的概率；
(2)设这五名学生中通过实验考核的人数为随机变量，若的数学期望，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据独立事件概率公式直接求解即可；
（2）首先确定所有可能的取值，并求得每个取值对应的概率，由数学期望公式可求得，由可解不等式求得结果.
【详解】（1）设“这五名学生中恰有四名学生通过实验考核”为事件，
则.
（2）由题意知：的可能取值为，
则，
，
，
，
，
，
，
解得：，又，的取值范围为.
16．（2023春·山西朔州·高二怀仁市第一中学校校考期中）袋子中装有形状，大小完全相同的小球若干，其中红球个，黄球个，蓝球1个.现从中随机取球，规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分.若从该袋子中任取一个球，所得分数的数学期望为.
(1)求正整数的值；
(2)从该袋中一次性任取3个球，求所得分数之和等于5的概率.
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）由分数的取值，求相应的概率，根据数学期望的公式求正整数的值；
（2）从该袋中一次性任取3个球，得分之和为5，包括一个红球两个黄球和两个红球一个蓝球两种情况，利用古典概型结合组合数公式计算即可.
【详解】（1）由题意有，，，
有
解得；
（2）结合（1）知，袋子中红、黄、蓝球的个数分别是3，2，1，
共6个球，从中任取3个，得分之和为5，包括如下两种情况：
①一个红球，两个黄球，所求概率为；
②两个红球，一个蓝球，所求概率为，
故从该袋中一次性任取3个球，所得分数之和等于5的概率为.
17．（2023春·辽宁·高二校联考阶段练习）某商场采用派发抵用券的方式刺激消费，设计了两个抽奖方案.方案一：客户一次性抛掷两个质地均匀的骰子，若点数之积为12，获得900元的抵用券，若点数相同，获得600元的抵用券，其他情况获得180元的抵用券.方案二：盒子中有编号为的小球各一个（除编号外其他均相同），客户从中有放回地摸球两次，若两次摸球的编号相同，获得600元的抵用券，若两次摸球的编号之和为奇数，获得元的抵用券，其他情况获得100元的抵用券.
(1)若客户甲从两个方案中随机选择一个抽奖，求甲能获得不低于600元抵用券的概率；
(2)客户乙选择方案二的抽奖方式，记乙获得的抵用券金额为X，若，求a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）计算出每种方案能获得不低于600元抵用券的概率，即可求得答案；
（2）确定X的可能取值，求出每个值对应的概率，根据，即可求得答案.
【详解】（1）若客户选择方案一，则能获得不低于600元抵用券的概率为.
若客户选择方案二，则能获得不低于600元抵用券的概率为.
故甲从两个方案中随机选择一个抽奖,能获得不低于600元抵用券的概率为.
（2）由题可知，X的取值可能为100，a，600.
，，，
则.
由，解得.
又因为，所以a的取值范围为.
考点四 均值与方差的性质
18．【多选】（2023春·山东烟台·高二统考阶段练习）随机变量服从两点分布，若，则下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据两点分布的定义以及期望，方差的性质即可解出．
【详解】因为随机变量服从两点分布，，所以，
故，因此，，
，所以正确的是ABD．
故选：ABD．
19．（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨德强学校校考阶段练习）已知随机变量X的分布列为
则______．
【答案】
【分析】利用分布列的性质求出，然后求解期望与方差即可．
【详解】解：由题意可得，解得，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
20．（2023春·江苏连云港·高二校联考期中）随机变量X的分布列如表所示，若，则（ ）
A．3B．C．5D．9
【答案】C
【分析】由，利用随机变量X的分布列列出方程组，求出，，由此能求出，再由，能求出结果．
【详解】，由随机变量X的分布列得：
，解得，
，
.
故选：C．
21．【多选】（2023春·福建泉州·高二校联考期中）设离散型随机变量的分布列为
若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（ ）
A．B．，
C．，D．，
【答案】CD
【分析】根据概率的性质列方程可得，根据期望和方差公式可得，根据和分别可得和，由此可得答案.
【详解】由概率的性质可得，解得，
，
，
，
,
故选：CD
【点睛】本题考查了概率的性质，考查了离散型随机变量的期望和方差公式，属于基础题.
22．（2023秋·上海·高二上海交大附中校考期末）已知，随机变量、相互独立，随机变量的分布为，的分布为，则当在内增大时（ ）
A．减小，增大B．减小，减小
C．增大，增大D．增大，减小
【答案】C
【分析】利用数学期望和方差的性质直接求解.
【详解】由题意可得：，，
所以.
所以当在内增大时，增大.
；.
所以.
所以当在内增大时，增大.
故选：C
23．【多选】（2023春·山西·高二统考期中）袋中有除颜色外完全相同的2个黑球和8个红球，现从中随机取出3个，记其中黑球的数量为，红球的数量为，则以下说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】根据超几何分布计算概率可判断AB，再计算期望可判断C，根据方差的性质可判断D.
【详解】由题意，，故A错误；
因为，，，故B正确；
由题意知, ，则,
，，
所以，,
故，故C正确；
由知，，故D正确.
故选：BCD
24．（2023·高二单元测试）设a，b为正数，已知随机变量X的分布列如下表格，则（ ）
A．有最大值，有最大值B．有最大值，无最大值
C．无最大值，有最大值D．无最大值，无最大值
【答案】C
【分析】先根据期望和方差的公式，计算出和，然后再分析最大值即可.
【详解】由题意易知，，，
，
因为，所以无最大值，
，
当时，有最大值.
故选：C.
【点睛】本题考查离散型随机变量的期望和方差，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.
25．（2023春·上海·高三上海市实验学校校考阶段练习）已知随机变量的分布为，随机变量的分布为，则__________．
【答案】
【分析】分别求得和，结合，即可求解.
【详解】由题意，可得，所以，
则，
，
所以.
故答案为：.
考点五 离散型随机变量的均值与方差
26．（2023春·山西·高二统考期中）已知随机变量的分布列为
则随机变量的数学期望__________.
【答案】2
【分析】根据题意求出的分布列，结合数学期望公式计算，即可求得结果.
【详解】由题意知，的取值为0，1，4，
则，
，
，
.
故答案为：2.
27．（2023·陕西西安·校联考一模）猜灯谜是我国一种民俗娱乐活动．某社区在元宵节当天举行了猜灯谜活动，工作人员给每位答题人提供了10道灯谜题目，答题人从中随机选取4道灯谜题目作答，若答对3道及以上灯谜题目，答题人便可获得奖品．已知甲能答对工作人员所提供的10道题中的6道．
(1)求甲能获得奖品的概率；
(2)记甲答对灯谜题目的数量为X，求X的分布列与期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）结合题意，利用古典概型的概率计算公式即可求解；
（2）根据题意先求出X的可能取值，再求出每一个值对应的概率，列出分布列，带入期望的公式即可求解.
【详解】（1）由题可知，甲能获得奖品的概率．
（2）由题可知，X的取值可能为0，1，2，3，4，
则，，，，，
X的分布列为
．
28．（2023春·天津南开·高二天津四十三中校考期中）袋子和中装有若干个均匀的红球和白球，从中摸出一个红球的概率是，从中摸出一个红球的概率是.现从两个袋子中有放回的摸球.
(1)从中摸球，每次摸出一个，共摸5次.求：
（ⅰ）恰好有3次摸到红球的概率；
（ⅱ）设摸得红球的次数为随机变量，求的期望；
(2)从中摸出一个球，若是白球则继续在袋子中摸球，若是红球则在袋子中摸球，若从袋子中摸出的是白球则继续在袋子中摸球，若是红球则在袋子中摸球，如此反复摸球3次，计摸出的红球的次数为.求的分布列以及随机变量的期望.
【答案】(1)，；
(2)分布列见解析，数学期望
【分析】（1）（ⅰ）根据独立重复试验概率公式求解即可；
（ⅱ）由题意随机变量服从二项分布，求出变量对应取值的概率，写出分布列，利用数学期望公式计算即可；
（2）分别求出变量对应取值的概率，写出分布列，利用数学期望公式计算即可.
【详解】（1）（ⅰ）由题意，从袋中有放回地摸球，是独立重复试验，根据独立重复试验公式得，5次试验中恰好有3次摸到红球的概率为；
（ⅱ）由题意可得：随机变量的取值为0，1，2，3，4，5.
，，
，，
，.
的分布列是：
.
（2）由题意可得：随机变量的取值为0，1，2，3.
，，
，
.
的分布列为
.
29．（2023·安徽淮南·统考二模）2022年10月16日至10月22日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京召开，此次大会是在全党全国各族人民迈上全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军的关键时刻召开的一次十分重要的大会.在树人中学团委的组织下，高二年级各班团支部举行了“学习二十大，做有为青年”的知识竞赛活动，经过激烈竞争，高二（1）班（以下简称一班）和高二（3）班（以下简称三班）进入了最后的年级决赛，决赛规定：共进行5轮比赛，每轮比赛每个班可以从A，B两个题库中任选1题作答，在前两轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，后三轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，A题库每题20分，B题库每题30分，一班能正确回答A、B题库每题的概率分别为、，三班能正确回答A、B题库每题的概率均为，且每轮答题结果互不影响.
(1)若一班前两轮选A题库，后三轮选B题库，求其总分不少于100分的概率；
(2)若一班和三班在前两轮比赛中均选了B题库，而且一班两轮得分60分，三班两轮得分30分，一班后三轮换成A题库，三班后三轮不更换题库，设一班最后的总分为X，求X的分布列，并从每班总分的均值来判断，哪个班赢下这场比赛？
【答案】(1)
(2)分布列见解析，一班赢下这场比赛
【分析】（1）由概率的乘法公式与加法公式求解；
（2）由题意求出两个班的总分可能取值，然后求出对应的概率，进而列出分布列，并根据期望的概念求出期望，比较大小即可判断.
【详解】（1）由条件知，若一班在前两轮得20分，后三轮得90分，总分为110分，
其概率为，
若一班在前两轮得40分，后三轮得60分或90分，总分为100或130分，
其概率为，
于是一班总分不少于100分的概率为；
（2）由条件知，随机变量X可能取值为60，80，100，120，
，，
，．
所以X的分布列为：
，
设三班最后的总分为Y，Y可能取值为30，60，90，120，
，，
，，
的分布列：
，
因为，所以从总分的均值来判断，一班赢下这场比赛.
30．（2023春·安徽马鞍山·高二马鞍山二中校考期中）周末李梦提出和父亲、母亲、弟弟进行羽毛球比赛，李梦与他们三人各进行一场比赛，共进行三场比赛，而且三场比赛相互独立．根据李梦最近分别与父亲、母亲、弟弟比赛的情况，得到如下统计表：
以上表中的频率作为概率，求解下列问题：
(1)若李梦胜一场得1分，负一场得0分，设李梦的得分为X，求X的分布列，期望和方差；
(2)如果李梦赢一场比赛能得到5元的奖励资金，请问李梦所得资金的期望和方差．
【答案】(1)分布列见解析，，
(2)期望为7.5，方差为14.25．
【分析】（1）分别计算李梦胜0场，1场，2场，3场的概率，写出分布列即可；
（2）根据期望和方差的性质求解.
【详解】（1）李梦与爸爸比赛获胜的概率为；与妈妈比赛获胜的概率为；与弟弟比赛获胜的概率为；
X的可能取值为0，1，2，3．
则；
；
；
.
故分布列为：
，
（2），．
31．（2023春·浙江·高二校联考阶段练习）若一个学期有3次数学测试，已知甲同学每次数学测试的分数超过90分的概率为，乙同学每次数学测试的分数超过90分的概率为.
(1)求事件：“甲同学在3次测试中恰有1次超过90分且第2次测试的分数末超过90分”的概率；
(2)若这个学期甲同学数学测试的分数超过90分的次数为，乙同学数学测试的分数超过90分的次数为，求随机变量的方差.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由相互独立事件的乘法公式代入即可得出答案；
（2）法一：记，求出的可能取值及对应的概率，再由均值和方差公式即可求出随机变量的方差；
法二：因为随机变量与相互独立，则，且，，由二项分布的方差公式即可求出答案.
【详解】（1）记所求事件为事件，甲同学第次测试的分数超过90分记事件，则，因为，，相互独立，
，，
所以.
（2）记，由题意可得的可能取值有，，，0，1，2，3，，，
，
，
，
，
，
，
，
所以的分布列为
，
∴
，
法二：因为随机变量与相互独立，则，
∵，，
∴，，
∴
考点六 均值与方差在决策中的应用
32．（2023春·福建漳州·高二校考期中）甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2.
(1)求ξ，η的分布列；
(2)求ξ，η的数学期望与方差，并以此比较甲、乙的射击技术．
【答案】(1)见解析.
(2) 甲比乙的射击技术好.
【分析】（1）由题意利用题中的条件已知甲、乙两名射手每次射击中的环数大于环，且甲射中环的概率分别为，可以得到，解出的值，再有随机变量的意义得到相应的分布列；（2）由于（1）中求得了随机变量的分布列，利用期望与方差公式求出期望与方差可得甲射击的环数的均值比乙高，且成绩比较稳定，所以甲比乙的射击技术好.
【详解】(1)由题意得：0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1.
因为乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2，所以乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.
所以ξ，η的分布列分别为：
(2)由(1)得：
E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2；
E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7；
D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96；
D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.
由于E(ξ)＞E(η)，D(ξ)＜D(η)，说明甲射击的环数的均值比乙高，且成绩比较稳定，所以甲比乙的射击技术好.
【点睛】平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意，随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平;方差反映了随机变量稳定于均值的程度, 它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于取舍的重要的理论依据，ᅳ般先比 较均值, 若均值相同再用方差来决定.
33．（2023春·江苏南京·高二南京外国语学校校考期中）为了回馈顾客，某商场通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，每位顾客从一只装有4个标有面值的球的袋子中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励金额.
(1)若袋子所装的4个球中有2个所标面值为50元，2个所标面值为10元，求顾客所获得奖励金额的概率分布和数学期望；
(2)现有标有面值10元，20元，40元，50元小球（除所标面值外其他属性都相同）若干.
①若袋中的4个球有且仅有两种面值，且两种面值的和为60，袋中的4个球有多少种装法；
②若商场奖励总额的预算是60000元，为了使顾客得到的奖励近可能符合商场的预算且每位顾客所获得的奖励金额相对均衡，请从①的装法中选择一个最合适的，并说明理由.
【答案】(1)见解析，60元
(2)①6；②选择装法为，理由见解析
【分析】（1）根据古典概型求出概率，列出分布列，求出期望即可；
（2）根据期望分析可能方案为，(20,20,40,40)，计算两个方案的期望与方差，即可比较得出结论.
【详解】（1）设顾客所获得奖励金额为，则的可能取值为20，60，100，
，，
所以的分布列为：
（元）.
（2）①两种面值的和为60可以装10元与50元，也可装20元与40元面值的小球，
每类都有3种装法：其中一种面值1,2,3个小球，另一种面值小球对应个数3,2,1个小球，
故由分类加法原理知，袋中小球不同的装法共有种.
②选择装法为，理由如下，
根据商场的预算,每名顾客的平均奖励额为60000÷1000=60(元),故先寻找数学期望为60元的可能方案.
当小球标有的面值为10元和50元时,若选择(10,10,10,50)的方案,60元是面值之和的最大值，数学期望不可能为60；
当选择(50,50,50,10)的方案,60元是面值之和的最小值，数字期望也不可能是60元.
因此可能的方案是(10,10,50,50)，记为方案1.
当小球标有的面值为20元和40元时,同理可排除(20,20,20,40),(40,40,40,20)的方案,
可能的方案是(20,20,40,40),记为方案2
以下对两个方案进行分析:
对于方案1，即方案(10,10,50,50)，由（1）知元,
.
对于方案2，即方案(20,20,40,40)，设顾客所获的奖励额为元，的可能取值为40,60,80.
则 ，，.
所以的分布列为：
所以（元）.
.
∵两种方案奖励额的数学期望都符合要求，但方案2奖励额的方差要比方案1的小，
应该选择方案2，即袋中标有面值20元和40元的球各两个.
34．（2023春·山西·高二统考期中）对某地区过去20年的年降水量（单位：毫米）进行统计，得到以下数据：
将年降水量处于799毫米及以下､800至999毫米､1000毫米及以上分别指定为降水量偏少､适中､偏多三个等级.
(1)将年降水量处于各等级的频率作为概率，分别计算该地区年降水量偏少､适中､偏多的概率；
(2)根据经验，种植甲､乙､丙三种农作物在年降水量偏少､适中､偏多的情况下可产出的年利润（单位：千元/亩）如下表所示.你认为这三种作物中，哪一种最适合在该地区推广种植？请说明理由.
【答案】(1)该地区年降水量偏少､适中､偏多的概率分别为；
(2)作物丙最适合在该地区推广种植，理由见解析
【分析】（1）由数据得出降水量偏少､适中､偏多的年数，计算频率，估计出概率；
（2）分别计算种植甲､乙､丙每亩地获利的期望及方差，比较大小得出结果.
【详解】（1）将20年的年降水量按照降水量等级分类，可知：
降水量偏少的年份有4年，概率可估计为；
降水量适中的年份有10年，概率可估计为；
降水量偏多的年份有6年，概率可估计为.
于是该地区年降水量偏少､适中､偏多的概率分别为；
（2）设种植农作物甲､乙､丙一年后每亩地获得利润分别是随机变量，
则的分布列为：
故种植甲则每亩地获利的期望千元，
则的分布列为：
故种植乙则每亩地获利的期望千元，
故种植丙则每亩地获利的期望千元，
所以，
即种植甲､丙的获利的期望值比乙更高，不考虑推广乙，
又，
，
，故种植丙时获利的稳定性更好，
因此，作物丙最适合在该地区推广种植.
35．（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考阶段练习）某校举行知识竞赛，最后一个名额要在、两名同学中产生，测试方案如下：、两名学生各自从给定的个问题中随机抽取个问题作答，在这个问题中，已知能正确作答其中的个，能正确作答每个问题的概率是，、两名同学作答问题相互独立．
(1)设答对的题数为，求的分布列；
(2)设答对的题数为，若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生，并说明理由．
【答案】(1)答案见解析
(2)选择同学，理由见解析
【分析】（1）根据超几何分布的概率公式计算概率并列出分布列；
（2）由已知可得满足二项分布，再分别计算期望与方差即可判断.
【详解】（1）设答对的题数，则的可能取值有，，且，，
则的分布列为：
（2）设答对的题数，则，
，，，，
由（1）知：，
，
而，
，
所以，，故选择为参赛选手．
36．（2023秋·山东德州·高二统考期末）新冠疫情不断反弹，各大商超多措并举确保市民生活货品不断档，超市员工加班加点工作.某大型超市为答谢各位员工一年来的锐意进取和辛勤努力，拟在年会后，通过摸球兑奖的方式对500位员工进行奖励，规定：每位员工从一个装有5种面值奖券的箱子中，一次随机摸出2张奖券，奖券上所标的面值之和就是该员工所获得的奖励额．
(1)若箱子中所装的5种面值的奖券中有2张面值为100元，其余3张均为50元，试比较员工获得100元奖励额与获得150元奖励额的概率的大小；
(2)公司对奖励总额的预算是7万元，预定箱子中所装的5种面值的奖券有两种方案：第一方案是3张面值30元和2张面值130元；第二方案是3张面值50元和2张面值100元.为了使员工得到的奖励总额尽可能地符合公司的预算且每位员工所获得的奖励额相对均衡，请问选择哪一种方案比较好？并说明理由．
【答案】(1)员工获得100元奖励额的概率小于获得150元奖励额的概率
(2)应选择第二种方案，理由见解析
【分析】（1）根据超几何分布求出员工获得100元奖励额与获得150元奖励额的概率，比较大小即可得出答案；
（2）分别求出选择方案一和方案二的分布列，进而求出对应的数学期望和方差，比较方差和期望的大小即可得出答案.
【详解】（1）用表示员工所获得的奖励额．
因为，，
所以，
故员工获得100元奖励额的概率小于获得150元奖励额的概率．
（2）第一种方案：设员工所获得的奖励额为，则的分布列为
所以的数学期望为，
的方差为；
第二种方案：设员工所获得的奖励额为，则的分布列为
所以的数学期望为，
的方差为，
又因为（元），
所以两种方案奖励额的数学期望都符合要求，但第二种方案的方差比第一种方案的小，
故应选择第二种方案．X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
X
0
1
P
1－p
p
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
0
1
2
X
0
1
2
P
a
1
2
3
X
1
2
3
P
x
y
X
1
2
3
4
P
X
0
40
100
P
0.3
0.35
0.35
0
1
2
3
1
2
1
2
3
-2
1
2
X
1
2
3
4
P
0.2
0.3
0.1
X
0
1
P
a
b
0
1
2
3
4
0.4
0.1
0.2
0.2
X
0
1
2
p
a
a
b
-1
0
1
2
0.1
0.2
0.3
0.4
0
1
4
0.2
0.4
0.4
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
5
0
1
2
3
X
60
80
100
120
P
父亲
母亲
弟弟
比赛次数
50
60
40
李梦获胜次数
10
30
32
0
1
2
3
ξ
10
9
8
7
P
0.5
0.3
0.1
0.1
η
10
9
8
7
P
0.3
0.3
0.2
0.2
20
60
100
40
60
80
年降水量作物种类
偏少
适中
偏多
甲
8
12
8
乙
12
10
7
丙
7
10
12
8
12
0.5
0.5
12
10
7
0.2
0.5
0.3
7
10
12
0.2
0.5
0.3
60
160
260
100
150
200
1、离散型随机变量的分布列
1．对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量．可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量叫做离散型随机变量．
2．一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi(i＝1,2，…，n)为X的概率分布列，简称分布列．
离散型随机变量的分布列也可以用如上表格表示．且具有如下性质：
(1)pi≥0，i＝1,2，…，n；
(2)p1＋p2＋…＋pn＝1．
离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．
2、两点分布
如果随机变量X的分布列为
其中0
3、均值
一般地，若离散型随机变量X的分布列为
则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋x3p3＋…＋xnpn＝eq \(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))xipi为随机变量X的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
4、方差
设离散型随机变量X的分布列为
则(xi－E(X))2描述了xi(i＝1,2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度．而D（X）＝（x1－E（X））2p1＋（x2－E（X））2p2＋…＋（xn－E（X））2pn＝eq \(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))(xi－E(X))2pi为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度．称D(X)为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称eq \r(DX)为随机变量X的标准差，记为σ(X)．
[注意] 1随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.DX越大，表明平均偏离程度越大，X的取值越分散.反之，DX越小，X的取值越集中在EX附近；2方差也是一个常数，它不具有随机性，方差的值一定是非负实数.
5、常用结论
若Y＝aX＋b，其中a，b是常数，X是随机变量，则
(1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数；
(2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)；
(3)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)；
(4)D(X)＝E(X2)－(E(X))2；
(5)若X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2)．
6、随机变量的取值与随机试验的结果之间的关系
明确离散型随机变量的所有可能取值及取每一个值所对应的随机试验的结果，同时也要明确一个随机变量的取值对应一个或多个随机试验的结果，解答过程中不要漏掉某些试验结果．
7、离散型随机变量分布列性质的应用
(1)利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值；
(2)利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率；
(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确．
8、离散型随机变量分布列的求解步骤
9、离散型随机变量性质有关问题的解题思路
若给出的随机变量Y与X的关系为Y＝aX＋b，a，b为常数，一般思路是先求出E(X)，D(X)，再利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)求E(Y)，D(Y)；也可以利用X的分布列得到Y的分布列，关键是由X的取值计算Y的取值，对应的概率相等，再由定义法求得E(Y)或D(Y)．
10、求离散型随机变量X的均值与方差的步骤
(1)理解X的意义，写出X可能的全部值；
(2)求X取每个值的概率；
(3)写出X的分布列；
(4)由均值的定义求E(X)；
(5)由方差的定义求D(X)．
11、利用样本的数字特征解决有关决策的问题就是根据提取的数据，建立相应的概率模型，然后利用概率知识求出样本的数字特征——数学期望、方差等，通过比较得到最优方案，从而解决问题．解题的关键如下：
(1)建立模型，根据题意准确建立解决问题的概率模型，要注意各种概率模型的差异性，不能混淆；
(2)分析数据，分析题中的相关数据，确定概率模型中的相关参数；
(3)求值，利用概率知识求出概率模型中的数学期望、方差等数字特征；
(4)做出决策，比较概率模型中的数字特征，确定解决问题的最优方案，做出决策．
考点一 离散型随机变量分布列的性质
考点二 求离散型随机变量分布列
考点三 由均值、方差求参数
考点四 均值与方差的性质
考点五 离散型随机变量的均值与方差
考点六 均值与方差在决策中的应用
考点一 离散型随机变量分布列的性质
1．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考期末）已知离散型随机变量的分布列如下表所示：
则常数的值为__________.
【答案】/
【分析】直接根据概率和为1列方程计算即可.
【详解】由已知得，解得.
故答案为：.
2．（2023春·黑龙江双鸭山·高二双鸭山一中校考阶段练习）已知随机变量的分布列满足：，其中为常数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据分布列的性质计算可得的值，再算即可
【详解】由分布列性质可知：，即
故
故选：B
3．（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨德强学校校考阶段练习）已知随机变量的分布列，，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据离散型随机变量及其分布列的性质，计算即可.
【详解】解：，，，，，
，
故选：A.
4．（2023·江西·高二校联考阶段练习）设随机变量X的分布列如下（其中），则随机变量X的期望________.
【答案】1
【分析】根据概率之和等于可得出的关系，再根据期望公式即可得解.
【详解】由，得，
∴.
故答案为：
5．（2023春·辽宁锦州·高二校考阶段练习）随机变量的分布列如下表，其中，，成等差数列，且，
则（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【分析】根据分布列的性质及，，成等差数列,列方程组求出,再求数学期望即可.
【详解】由，得，则．
故选:A.
6．（2023春·山西·高二统考期中）已知随机变量满足为常数），则的方差（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】D
【分析】根据所给概率公式利用概率之和为1求出a，再求出期望即可计算方差得解.
【详解】，
，解得，
所以，
所以，
，
故选：D
7．【多选】（河北省石家庄市部分学校2022-2023学年高二下学期期中数学试题）已知随机变量X的分布列为：
若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】由离散型随机变量的基本概念与分布列可得,再由即可解得，从而可通过运算判断各选项.
【详解】由离散型随机变量的基本概念与分布列可得；
又由，解得，故A错误，B正确；
，故C正确；
，故D 正确;
故选：BCD.
8．【多选】（2023秋·辽宁·高二校联考期末）已知离散型随机变量X的分布列如下，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】根据分布列中概率的性质、数学期望、方差等知识确定正确答案.
【详解】由题意可知，，解得或．
当时，，故，A不正确，B正确.
，C正确．
，
则．D正确．
故选：BCD
考点二 求离散型随机变量分布列
9．（重庆市部分学校2022-2023学年高二下学期期中数学试题）某班举行“党史知识”竞赛，共12个填空题，每题5分，满分60分.李明参加该竞赛，其中前9个题能答对，后3个题能答对的概率分别为，，.
(1)求李明最终获得满分的概率；
(2)设李明的最终得分为，求的分布列.
【答案】(1)
(2)分布列见解析
【分析】（1）根据相互独立事件概率计算公式求得正确答案.
（2）先求得的可能取值，然后利用相互独立事件概率计算公式求得的分布列.
【详解】（1）李明最终获得满分的概率为.
（2）前个题得分分；
后个题，得分可能是，
所以的可能取值为，
所以，
，
，
.
所以的分布列为：
10．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）某学校组织“消防”知识竞赛，有A，B两类题目．每位参加比赛的同学先在两类题目中选择一类并从中随机抽取一道题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得40分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得60分，否则得0分已知小明能正确回答A类问题的概率为0.7，能正确回答B类问题的概率为0.5，且能正确回答问题的概率与回答次序无关
，若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；
【解析】由已知可得，X的所有可能取值为0，40，100，
则；
；
．
所以X的分布列为
11．（2023·贵州·校联考模拟预测）据世界田联官方网站消息，原定于2023年5月日在中国广州举办的世界田联接力赛延期至2025年4月至5月举行.据了解，甲､乙､丙三支队伍将会参加2025年4月至5月在广州举行的米接力的角逐.接力赛分为预赛､半决赛和决赛，只有预赛､半决赛都获胜才能进入决赛.已知甲队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；乙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；丙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和.
(1)甲､乙､丙三队中，谁进入决赛的可能性最大；
(2)设甲､乙､丙三队中进入决赛的队伍数为，求的分布列.
【答案】(1)乙进入决赛的可能性最大
(2)答案见解析
【分析】（1）根据相互独立事件同时发生的概率公式计算得解；
（2）根据（1）及相互独立事件同时发生的概率公式计算，列出分布列.
【详解】（1）甲队进入决赛的概率为，
乙队进入决赛的概率为，
丙队进入决赛的概率为，
显然乙队进入决赛的概率最大，所以乙进入决赛的可能性最大．
（2）由（1）可知：甲､乙､丙三队进入决赛的概率分别为，
的可能取值为，
，
，
，
，
所以的分布列为：
考点三 由均值、方差求参数
12．（2023春·浙江杭州·高二杭州市长河高级中学校考期中）已知随机变量的分布列如下：
若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据期望公式及概率和为1列方程求解.
【详解】由已知得
解得
故选：B.
13．（2023春·吉林长春·高二长春十一高校考阶段练习）已知随机变量的分布列如下表所示，若，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【分析】根据分布列的性质以及，列出方程，解得m,n，根据离散型随机变量的方差公式计算，即可得答案.
【详解】由题意可得 ，
由得： ，
两式联立解得 ，
故，
故选:A
14．（2023春·北京·高二校考阶段练习）随机变量的分布列是
若，则（ ）
A．0B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】由于分布列的概率之和为1，以及，列出关于的方程，再根据方差公式即可求出．
【详解】由题意可知，，
又，所以；
所以.
故选：B.
【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列的性质、期望公式和方差公式的应用，考查计算能力，属于基础题．
15．（2023春·河南安阳·高三校联考阶段练习）某化学实验课老师在学期末要对所教学生进行一次化学实验考核，每个学生需要独立完成该实验考核．根据以往数据，在五名学生中，三人能独立完成实验的概率均为，两人能独立完成实验的概率均为．
(1)若，求这五名学生中恰有四名学生通过实验考核的概率；
(2)设这五名学生中通过实验考核的人数为随机变量，若的数学期望，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据独立事件概率公式直接求解即可；
（2）首先确定所有可能的取值，并求得每个取值对应的概率，由数学期望公式可求得，由可解不等式求得结果.
【详解】（1）设“这五名学生中恰有四名学生通过实验考核”为事件，
则.
（2）由题意知：的可能取值为，
则，
，
，
，
，
，
，
解得：，又，的取值范围为.
16．（2023春·山西朔州·高二怀仁市第一中学校校考期中）袋子中装有形状，大小完全相同的小球若干，其中红球个，黄球个，蓝球1个.现从中随机取球，规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分.若从该袋子中任取一个球，所得分数的数学期望为.
(1)求正整数的值；
(2)从该袋中一次性任取3个球，求所得分数之和等于5的概率.
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）由分数的取值，求相应的概率，根据数学期望的公式求正整数的值；
（2）从该袋中一次性任取3个球，得分之和为5，包括一个红球两个黄球和两个红球一个蓝球两种情况，利用古典概型结合组合数公式计算即可.
【详解】（1）由题意有，，，
有
解得；
（2）结合（1）知，袋子中红、黄、蓝球的个数分别是3，2，1，
共6个球，从中任取3个，得分之和为5，包括如下两种情况：
①一个红球，两个黄球，所求概率为；
②两个红球，一个蓝球，所求概率为，
故从该袋中一次性任取3个球，所得分数之和等于5的概率为.
17．（2023春·辽宁·高二校联考阶段练习）某商场采用派发抵用券的方式刺激消费，设计了两个抽奖方案.方案一：客户一次性抛掷两个质地均匀的骰子，若点数之积为12，获得900元的抵用券，若点数相同，获得600元的抵用券，其他情况获得180元的抵用券.方案二：盒子中有编号为的小球各一个（除编号外其他均相同），客户从中有放回地摸球两次，若两次摸球的编号相同，获得600元的抵用券，若两次摸球的编号之和为奇数，获得元的抵用券，其他情况获得100元的抵用券.
(1)若客户甲从两个方案中随机选择一个抽奖，求甲能获得不低于600元抵用券的概率；
(2)客户乙选择方案二的抽奖方式，记乙获得的抵用券金额为X，若，求a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）计算出每种方案能获得不低于600元抵用券的概率，即可求得答案；
（2）确定X的可能取值，求出每个值对应的概率，根据，即可求得答案.
【详解】（1）若客户选择方案一，则能获得不低于600元抵用券的概率为.
若客户选择方案二，则能获得不低于600元抵用券的概率为.
故甲从两个方案中随机选择一个抽奖,能获得不低于600元抵用券的概率为.
（2）由题可知，X的取值可能为100，a，600.
，，，
则.
由，解得.
又因为，所以a的取值范围为.
考点四 均值与方差的性质
18．【多选】（2023春·山东烟台·高二统考阶段练习）随机变量服从两点分布，若，则下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据两点分布的定义以及期望，方差的性质即可解出．
【详解】因为随机变量服从两点分布，，所以，
故，因此，，
，所以正确的是ABD．
故选：ABD．
19．（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨德强学校校考阶段练习）已知随机变量X的分布列为
则______．
【答案】
【分析】利用分布列的性质求出，然后求解期望与方差即可．
【详解】解：由题意可得，解得，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
20．（2023春·江苏连云港·高二校联考期中）随机变量X的分布列如表所示，若，则（ ）
A．3B．C．5D．9
【答案】C
【分析】由，利用随机变量X的分布列列出方程组，求出，，由此能求出，再由，能求出结果．
【详解】，由随机变量X的分布列得：
，解得，
，
.
故选：C．
21．【多选】（2023春·福建泉州·高二校联考期中）设离散型随机变量的分布列为
若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（ ）
A．B．，
C．，D．，
【答案】CD
【分析】根据概率的性质列方程可得，根据期望和方差公式可得，根据和分别可得和，由此可得答案.
【详解】由概率的性质可得，解得，
，
，
，
,
故选：CD
【点睛】本题考查了概率的性质，考查了离散型随机变量的期望和方差公式，属于基础题.
22．（2023秋·上海·高二上海交大附中校考期末）已知，随机变量、相互独立，随机变量的分布为，的分布为，则当在内增大时（ ）
A．减小，增大B．减小，减小
C．增大，增大D．增大，减小
【答案】C
【分析】利用数学期望和方差的性质直接求解.
【详解】由题意可得：，，
所以.
所以当在内增大时，增大.
；.
所以.
所以当在内增大时，增大.
故选：C
23．【多选】（2023春·山西·高二统考期中）袋中有除颜色外完全相同的2个黑球和8个红球，现从中随机取出3个，记其中黑球的数量为，红球的数量为，则以下说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】根据超几何分布计算概率可判断AB，再计算期望可判断C，根据方差的性质可判断D.
【详解】由题意，，故A错误；
因为，，，故B正确；
由题意知, ，则,
，，
所以，,
故，故C正确；
由知，，故D正确.
故选：BCD
24．（2023·高二单元测试）设a，b为正数，已知随机变量X的分布列如下表格，则（ ）
A．有最大值，有最大值B．有最大值，无最大值
C．无最大值，有最大值D．无最大值，无最大值
【答案】C
【分析】先根据期望和方差的公式，计算出和，然后再分析最大值即可.
【详解】由题意易知，，，
，
因为，所以无最大值，
，
当时，有最大值.
故选：C.
【点睛】本题考查离散型随机变量的期望和方差，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.
25．（2023春·上海·高三上海市实验学校校考阶段练习）已知随机变量的分布为，随机变量的分布为，则__________．
【答案】
【分析】分别求得和，结合，即可求解.
【详解】由题意，可得，所以，
则，
，
所以.
故答案为：.
考点五 离散型随机变量的均值与方差
26．（2023春·山西·高二统考期中）已知随机变量的分布列为
则随机变量的数学期望__________.
【答案】2
【分析】根据题意求出的分布列，结合数学期望公式计算，即可求得结果.
【详解】由题意知，的取值为0，1，4，
则，
，
，
.
故答案为：2.
27．（2023·陕西西安·校联考一模）猜灯谜是我国一种民俗娱乐活动．某社区在元宵节当天举行了猜灯谜活动，工作人员给每位答题人提供了10道灯谜题目，答题人从中随机选取4道灯谜题目作答，若答对3道及以上灯谜题目，答题人便可获得奖品．已知甲能答对工作人员所提供的10道题中的6道．
(1)求甲能获得奖品的概率；
(2)记甲答对灯谜题目的数量为X，求X的分布列与期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）结合题意，利用古典概型的概率计算公式即可求解；
（2）根据题意先求出X的可能取值，再求出每一个值对应的概率，列出分布列，带入期望的公式即可求解.
【详解】（1）由题可知，甲能获得奖品的概率．
（2）由题可知，X的取值可能为0，1，2，3，4，
则，，，，，
X的分布列为
．
28．（2023春·天津南开·高二天津四十三中校考期中）袋子和中装有若干个均匀的红球和白球，从中摸出一个红球的概率是，从中摸出一个红球的概率是.现从两个袋子中有放回的摸球.
(1)从中摸球，每次摸出一个，共摸5次.求：
（ⅰ）恰好有3次摸到红球的概率；
（ⅱ）设摸得红球的次数为随机变量，求的期望；
(2)从中摸出一个球，若是白球则继续在袋子中摸球，若是红球则在袋子中摸球，若从袋子中摸出的是白球则继续在袋子中摸球，若是红球则在袋子中摸球，如此反复摸球3次，计摸出的红球的次数为.求的分布列以及随机变量的期望.
【答案】(1)，；
(2)分布列见解析，数学期望
【分析】（1）（ⅰ）根据独立重复试验概率公式求解即可；
（ⅱ）由题意随机变量服从二项分布，求出变量对应取值的概率，写出分布列，利用数学期望公式计算即可；
（2）分别求出变量对应取值的概率，写出分布列，利用数学期望公式计算即可.
【详解】（1）（ⅰ）由题意，从袋中有放回地摸球，是独立重复试验，根据独立重复试验公式得，5次试验中恰好有3次摸到红球的概率为；
（ⅱ）由题意可得：随机变量的取值为0，1，2，3，4，5.
，，
，，
，.
的分布列是：
.
（2）由题意可得：随机变量的取值为0，1，2，3.
，，
，
.
的分布列为
.
29．（2023·安徽淮南·统考二模）2022年10月16日至10月22日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京召开，此次大会是在全党全国各族人民迈上全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军的关键时刻召开的一次十分重要的大会.在树人中学团委的组织下，高二年级各班团支部举行了“学习二十大，做有为青年”的知识竞赛活动，经过激烈竞争，高二（1）班（以下简称一班）和高二（3）班（以下简称三班）进入了最后的年级决赛，决赛规定：共进行5轮比赛，每轮比赛每个班可以从A，B两个题库中任选1题作答，在前两轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，后三轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，A题库每题20分，B题库每题30分，一班能正确回答A、B题库每题的概率分别为、，三班能正确回答A、B题库每题的概率均为，且每轮答题结果互不影响.
(1)若一班前两轮选A题库，后三轮选B题库，求其总分不少于100分的概率；
(2)若一班和三班在前两轮比赛中均选了B题库，而且一班两轮得分60分，三班两轮得分30分，一班后三轮换成A题库，三班后三轮不更换题库，设一班最后的总分为X，求X的分布列，并从每班总分的均值来判断，哪个班赢下这场比赛？
【答案】(1)
(2)分布列见解析，一班赢下这场比赛
【分析】（1）由概率的乘法公式与加法公式求解；
（2）由题意求出两个班的总分可能取值，然后求出对应的概率，进而列出分布列，并根据期望的概念求出期望，比较大小即可判断.
【详解】（1）由条件知，若一班在前两轮得20分，后三轮得90分，总分为110分，
其概率为，
若一班在前两轮得40分，后三轮得60分或90分，总分为100或130分，
其概率为，
于是一班总分不少于100分的概率为；
（2）由条件知，随机变量X可能取值为60，80，100，120，
，，
，．
所以X的分布列为：
，
设三班最后的总分为Y，Y可能取值为30，60，90，120，
，，
，，
的分布列：
，
因为，所以从总分的均值来判断，一班赢下这场比赛.
30．（2023春·安徽马鞍山·高二马鞍山二中校考期中）周末李梦提出和父亲、母亲、弟弟进行羽毛球比赛，李梦与他们三人各进行一场比赛，共进行三场比赛，而且三场比赛相互独立．根据李梦最近分别与父亲、母亲、弟弟比赛的情况，得到如下统计表：
以上表中的频率作为概率，求解下列问题：
(1)若李梦胜一场得1分，负一场得0分，设李梦的得分为X，求X的分布列，期望和方差；
(2)如果李梦赢一场比赛能得到5元的奖励资金，请问李梦所得资金的期望和方差．
【答案】(1)分布列见解析，，
(2)期望为7.5，方差为14.25．
【分析】（1）分别计算李梦胜0场，1场，2场，3场的概率，写出分布列即可；
（2）根据期望和方差的性质求解.
【详解】（1）李梦与爸爸比赛获胜的概率为；与妈妈比赛获胜的概率为；与弟弟比赛获胜的概率为；
X的可能取值为0，1，2，3．
则；
；
；
.
故分布列为：
，
（2），．
31．（2023春·浙江·高二校联考阶段练习）若一个学期有3次数学测试，已知甲同学每次数学测试的分数超过90分的概率为，乙同学每次数学测试的分数超过90分的概率为.
(1)求事件：“甲同学在3次测试中恰有1次超过90分且第2次测试的分数末超过90分”的概率；
(2)若这个学期甲同学数学测试的分数超过90分的次数为，乙同学数学测试的分数超过90分的次数为，求随机变量的方差.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由相互独立事件的乘法公式代入即可得出答案；
（2）法一：记，求出的可能取值及对应的概率，再由均值和方差公式即可求出随机变量的方差；
法二：因为随机变量与相互独立，则，且，，由二项分布的方差公式即可求出答案.
【详解】（1）记所求事件为事件，甲同学第次测试的分数超过90分记事件，则，因为，，相互独立，
，，
所以.
（2）记，由题意可得的可能取值有，，，0，1，2，3，，，
，
，
，
，
，
，
，
所以的分布列为
，
∴
，
法二：因为随机变量与相互独立，则，
∵，，
∴，，
∴
考点六 均值与方差在决策中的应用
32．（2023春·福建漳州·高二校考期中）甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2.
(1)求ξ，η的分布列；
(2)求ξ，η的数学期望与方差，并以此比较甲、乙的射击技术．
【答案】(1)见解析.
(2) 甲比乙的射击技术好.
【分析】（1）由题意利用题中的条件已知甲、乙两名射手每次射击中的环数大于环，且甲射中环的概率分别为，可以得到，解出的值，再有随机变量的意义得到相应的分布列；（2）由于（1）中求得了随机变量的分布列，利用期望与方差公式求出期望与方差可得甲射击的环数的均值比乙高，且成绩比较稳定，所以甲比乙的射击技术好.
【详解】(1)由题意得：0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1.
因为乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2，所以乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.
所以ξ，η的分布列分别为：
(2)由(1)得：
E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2；
E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7；
D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96；
D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.
由于E(ξ)＞E(η)，D(ξ)＜D(η)，说明甲射击的环数的均值比乙高，且成绩比较稳定，所以甲比乙的射击技术好.
【点睛】平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意，随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平;方差反映了随机变量稳定于均值的程度, 它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于取舍的重要的理论依据，ᅳ般先比 较均值, 若均值相同再用方差来决定.
33．（2023春·江苏南京·高二南京外国语学校校考期中）为了回馈顾客，某商场通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，每位顾客从一只装有4个标有面值的球的袋子中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励金额.
(1)若袋子所装的4个球中有2个所标面值为50元，2个所标面值为10元，求顾客所获得奖励金额的概率分布和数学期望；
(2)现有标有面值10元，20元，40元，50元小球（除所标面值外其他属性都相同）若干.
①若袋中的4个球有且仅有两种面值，且两种面值的和为60，袋中的4个球有多少种装法；
②若商场奖励总额的预算是60000元，为了使顾客得到的奖励近可能符合商场的预算且每位顾客所获得的奖励金额相对均衡，请从①的装法中选择一个最合适的，并说明理由.
【答案】(1)见解析，60元
(2)①6；②选择装法为，理由见解析
【分析】（1）根据古典概型求出概率，列出分布列，求出期望即可；
（2）根据期望分析可能方案为，(20,20,40,40)，计算两个方案的期望与方差，即可比较得出结论.
【详解】（1）设顾客所获得奖励金额为，则的可能取值为20，60，100，
，，
所以的分布列为：
（元）.
（2）①两种面值的和为60可以装10元与50元，也可装20元与40元面值的小球，
每类都有3种装法：其中一种面值1,2,3个小球，另一种面值小球对应个数3,2,1个小球，
故由分类加法原理知，袋中小球不同的装法共有种.
②选择装法为，理由如下，
根据商场的预算,每名顾客的平均奖励额为60000÷1000=60(元),故先寻找数学期望为60元的可能方案.
当小球标有的面值为10元和50元时,若选择(10,10,10,50)的方案,60元是面值之和的最大值，数学期望不可能为60；
当选择(50,50,50,10)的方案,60元是面值之和的最小值，数字期望也不可能是60元.
因此可能的方案是(10,10,50,50)，记为方案1.
当小球标有的面值为20元和40元时,同理可排除(20,20,20,40),(40,40,40,20)的方案,
可能的方案是(20,20,40,40),记为方案2
以下对两个方案进行分析:
对于方案1，即方案(10,10,50,50)，由（1）知元,
.
对于方案2，即方案(20,20,40,40)，设顾客所获的奖励额为元，的可能取值为40,60,80.
则 ，，.
所以的分布列为：
所以（元）.
.
∵两种方案奖励额的数学期望都符合要求，但方案2奖励额的方差要比方案1的小，
应该选择方案2，即袋中标有面值20元和40元的球各两个.
34．（2023春·山西·高二统考期中）对某地区过去20年的年降水量（单位：毫米）进行统计，得到以下数据：
将年降水量处于799毫米及以下､800至999毫米､1000毫米及以上分别指定为降水量偏少､适中､偏多三个等级.
(1)将年降水量处于各等级的频率作为概率，分别计算该地区年降水量偏少､适中､偏多的概率；
(2)根据经验，种植甲､乙､丙三种农作物在年降水量偏少､适中､偏多的情况下可产出的年利润（单位：千元/亩）如下表所示.你认为这三种作物中，哪一种最适合在该地区推广种植？请说明理由.
【答案】(1)该地区年降水量偏少､适中､偏多的概率分别为；
(2)作物丙最适合在该地区推广种植，理由见解析
【分析】（1）由数据得出降水量偏少､适中､偏多的年数，计算频率，估计出概率；
（2）分别计算种植甲､乙､丙每亩地获利的期望及方差，比较大小得出结果.
【详解】（1）将20年的年降水量按照降水量等级分类，可知：
降水量偏少的年份有4年，概率可估计为；
降水量适中的年份有10年，概率可估计为；
降水量偏多的年份有6年，概率可估计为.
于是该地区年降水量偏少､适中､偏多的概率分别为；
（2）设种植农作物甲､乙､丙一年后每亩地获得利润分别是随机变量，
则的分布列为：
故种植甲则每亩地获利的期望千元，
则的分布列为：
故种植乙则每亩地获利的期望千元，
故种植丙则每亩地获利的期望千元，
所以，
即种植甲､丙的获利的期望值比乙更高，不考虑推广乙，
又，
，
，故种植丙时获利的稳定性更好，
因此，作物丙最适合在该地区推广种植.
35．（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考阶段练习）某校举行知识竞赛，最后一个名额要在、两名同学中产生，测试方案如下：、两名学生各自从给定的个问题中随机抽取个问题作答，在这个问题中，已知能正确作答其中的个，能正确作答每个问题的概率是，、两名同学作答问题相互独立．
(1)设答对的题数为，求的分布列；
(2)设答对的题数为，若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生，并说明理由．
【答案】(1)答案见解析
(2)选择同学，理由见解析
【分析】（1）根据超几何分布的概率公式计算概率并列出分布列；
（2）由已知可得满足二项分布，再分别计算期望与方差即可判断.
【详解】（1）设答对的题数，则的可能取值有，，且，，
则的分布列为：
（2）设答对的题数，则，
，，，，
由（1）知：，
，
而，
，
所以，，故选择为参赛选手．
36．（2023秋·山东德州·高二统考期末）新冠疫情不断反弹，各大商超多措并举确保市民生活货品不断档，超市员工加班加点工作.某大型超市为答谢各位员工一年来的锐意进取和辛勤努力，拟在年会后，通过摸球兑奖的方式对500位员工进行奖励，规定：每位员工从一个装有5种面值奖券的箱子中，一次随机摸出2张奖券，奖券上所标的面值之和就是该员工所获得的奖励额．
(1)若箱子中所装的5种面值的奖券中有2张面值为100元，其余3张均为50元，试比较员工获得100元奖励额与获得150元奖励额的概率的大小；
(2)公司对奖励总额的预算是7万元，预定箱子中所装的5种面值的奖券有两种方案：第一方案是3张面值30元和2张面值130元；第二方案是3张面值50元和2张面值100元.为了使员工得到的奖励总额尽可能地符合公司的预算且每位员工所获得的奖励额相对均衡，请问选择哪一种方案比较好？并说明理由．
【答案】(1)员工获得100元奖励额的概率小于获得150元奖励额的概率
(2)应选择第二种方案，理由见解析
【分析】（1）根据超几何分布求出员工获得100元奖励额与获得150元奖励额的概率，比较大小即可得出答案；
（2）分别求出选择方案一和方案二的分布列，进而求出对应的数学期望和方差，比较方差和期望的大小即可得出答案.
【详解】（1）用表示员工所获得的奖励额．
因为，，
所以，
故员工获得100元奖励额的概率小于获得150元奖励额的概率．
（2）第一种方案：设员工所获得的奖励额为，则的分布列为
所以的数学期望为，
的方差为；
第二种方案：设员工所获得的奖励额为，则的分布列为
所以的数学期望为，
的方差为，
又因为（元），
所以两种方案奖励额的数学期望都符合要求，但第二种方案的方差比第一种方案的小，
故应选择第二种方案．X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
X
0
1
P
1－p
p
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
0
1
2
X
0
1
2
P
a
1
2
3
X
1
2
3
P
x
y
X
1
2
3
4
P
X
0
40
100
P
0.3
0.35
0.35
0
1
2
3
1
2
1
2
3
-2
1
2
X
1
2
3
4
P
0.2
0.3
0.1
X
0
1
P
a
b
0
1
2
3
4
0.4
0.1
0.2
0.2
X
0
1
2
p
a
a
b
-1
0
1
2
0.1
0.2
0.3
0.4
0
1
4
0.2
0.4
0.4
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
5
0
1
2
3
X
60
80
100
120
P
父亲
母亲
弟弟
比赛次数
50
60
40
李梦获胜次数
10
30
32
0
1
2
3
ξ
10
9
8
7
P
0.5
0.3
0.1
0.1
η
10
9
8
7
P
0.3
0.3
0.2
0.2
20
60
100
40
60
80
年降水量作物种类
偏少
适中
偏多
甲
8
12
8
乙
12
10
7
丙
7
10
12
8
12
0.5
0.5
12
10
7
0.2
0.5
0.3
7
10
12
0.2
0.5
0.3
60
160
260
100
150
200
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