连云港市2024届高三第一次调研考试数学试卷

这是一份连云港市2024届高三第一次调研考试数学试卷，共4页。试卷主要包含了01等内容，欢迎下载使用。
2024.01
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知，则复数的虚部为
A． B．C．D．
2．已知集合，，则
A． B． C． D．
3．随机变量，若，，则
A．B． C．D．
4．图1是蜂房正对着蜜蜂巢穴开口的截面图，它是由许多个正六边形互相紧挨在一起构成.可以看出蜂房的底部是由三个大小相同的菱形组成，且这三个菱形不在一个平面上.研究表明蜂房底部的菱形相似于菱形十二面体的表面菱形，图2是一个菱形十二面体，它是由十二个相同的菱形围成的几何体，也可以看作正方体的各个正方形面上扣上一个正四棱锥（如图3），且平面与平面的夹角为，则
A．B．C．D．
5．某学校广播站有个节目准备分天播出，每天播出个，其中学习经验介绍和新闻报道两个节目必须在第一天播出，谈话节目必须在第二天播出，则不同的播出方案共有
A．种B．种C．种D．种
6．已知双曲线的左项点为，左、右焦点分别为，过作轴的垂线交于两点，若为锐角，则的离心率的取值范围是
A．B．C．D．
7．已知的内角的对边分别为，若，，且为边上的高，为边上的中线，则的值为
A．B．C．D．
8．已知，，，则的大小关系是
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知正四面体骰子的四个面分别标有数字，，，，正六面体骰子的六个面分别标有数字，，，，，，抛掷一枚正四面体骰子，记向下的数字为，抛掷一枚正六面体骰子，记向上的数字为，则
A．B．
C．D．
10．已知函数，且，，则
A．B．的最小正周期为
C．在上单调递减D．为奇函数
11．已知数列的前项和为，且，则下列结论正确的有
A．若，则为等差数列
B．若，则为递增数列
C．若，则当且仅当时取得最小值
D．“”是“数列为递增数列”的充要条件
12．已知抛物线的焦点为，的半径为，过的直线与抛物线和交于四个点，自下而上分别是，为坐标原点，则
A．B．
C．面积的最小值是D．的最小值是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知的顶点是，，，则的外接圆的方程是_______.
14．若角的终边经过点，则_________.
15．已知函数为奇函数，为偶函数，且当时，，则 _________.
16．某兴趣小组准备将一棱长为的正方体木块打磨成圆锥，则圆锥的最大体积为_________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
已知等比数列为递增数列，其前项和为，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求和：.
18．（12分）
如图，在直四棱柱中，，，.
（1）证明：；
（2）求二面角的平面角的余弦值.
19．（12分）
在中，角的对边分别为，已知.
（1）若，，求；
（2）点在边上，，若，，求.
20．（12分）
波利亚罐子模型是一个著名的概率模型，是由美籍匈牙利数学家波利亚提出.按照该模型，某数学兴趣小组准备了若干个除颜色外都相同的红球和白球，先在罐子中放入个红球和个白球，活动参与者每次从罐子中随机抽取个球，观察其颜色后放回罐中，并再取个相同颜色的球放入罐中，如此反复操作.
（1）求活动参与者第次操作时取到白球的概率；
（2）记次操作后罐子中红球的个数为，求随机变量的概率分布与数学期望.
21．（12分）
已知椭圆的离心率为，且过点，点与点关于原点对称，过点作直线与交于两点（异于点），设直线与的斜率分别为.
（1）若直线的斜率为，求的面积；
（2）求的值.
22．（12分）
已知函数.
（1）当时，求的最小值；
（2）若在处取得极小值，求实数的取值范围.