2022-2023学年北京三十五中九年级（下）开学数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年北京三十五中九年级（下）开学数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．以下剪纸中，为中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.下列事件中，为必然事件的是( )
A. 任意画一个三角形，其内角和是180°B. 明天会下雪
C. 掷一枚骰子，向上一面的点数是7D. 足球运动员射门一次，未射进
3.二次函数y=(x−1)2+2的顶点坐标是( )
A. (−2,1)B. (1,2)C. (−1,2)D. (1,−2)
4.若关于x的方程x2+6x+c=0有两个相等的实数根，则c的值是( )
A. 36B. −36C. 9D. −9
5.如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠CAB=40°，∠ABD=30°，则∠APD的度数为( )
A. 30°B. 35°C. 40°D. 70°
6.不透明袋子中装有无差别的两个小球，分别写有“问天”和“梦天”.随机取出一个小球后，放回并摇匀，再随机取出一个小球，则两次都取到写有“问天”的小球的概率为( )
A. 34B. 12C. 13D. 14
7.如图，正方形ABCD的边长为4，分别以A，B，C，D为圆心，2为半径作圆，则图中阴影部分的面积为( )
A. 16−4πB. 16−2πC. 4πD. 2π
8.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=10.动点M，N分别从A，C两点同时出发，点M从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度移动，点N从点C开始沿CB向点B以每秒2个单位长度的速度移动．设运动时间为t，点M，C之间的距离为y，△MCN的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是( )
A. 正比例函数关系，一次函数关系B. 正比例函数关系，二次函数关系
C. 一次函数关系，正比例函数关系D. 一次函数关系，二次函数关系
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.在平面直角坐标系中，点(5,1)关于原点对称的点的坐标是______．
10.方程x2−4=0的根是 ．
11.写出一个与抛物线y=3x2−2x+1开口方向相同的抛物线的表达式： ．
12.如图，矩形绿地的长和宽分别为30m和20m.若将该绿地的长、宽各增加xm，扩充后的绿地的面积为ym2，则y与x之间的函数关系是 .(填“正比例函数关系”、“一次函数关系”或“二次函数关系”)
13.如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，连接OA，AB，若∠OAB=35°，则∠ABP= °.
14.如图是一个可以自由转动的质地均匀的转盘，被分成12个相同的小扇形．若把某些小扇形涂上红色，使转动的转盘停止时，指针指向红色的概率是13，则涂上红色的小扇形有 个．
15.某农科所在相同条件下做某种作物种子发芽率的试验，结果如下：
根据试验数据，估计1000kg该种作物种子能发芽的有 kg．
16.某公园划船项目收费标准如下：
某班18名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，则租船的总费用最低为 元．
三、解答题：本题共9小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
解不等式组：4(x+1)≤7x+10x−518.(本小题6分)
已知二次函数几组x与y的对应值如表：
(1)求此二次函数的表达式；
(2)直接写出当x取何值时，y≤0．
19.(本小题6分)
已知x=1是关于x的方程x2+2ax+a2=3的一个根，求代数式a(a−1)+a2+5a的值．
20.(本小题5分)
下面是小立设计的“过圆上一点作这个圆的切线”的尺规作图过程．
已知：⊙O及圆上一点A．
求作：直线AB，使得AB为⊙O的切线，A为切点．

作法：如图2，
①连接OA并延长到点C；
②分别以点A，C为圆心，大于12AC长为半径作弧，两弧交于点D(点D在直线OA上方)；
③以点D为圆心，DA长为半径作⊙D；
④连接CD并延长，交⊙D于点B，作直线AB．
直线AB就是所求作的直线．
根据小立设计的尺规作图过程，完成下面的证明．(说明：括号里填推理的依据)
证明：连接AD．
∵______=AD
∴点C在⊙D上，
∴CB是⊙D的直径．
∴______=90°(______).
∴AB⊥______．
∵OA是⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线(_____).
21.(本小题6分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D落在BC边上，点B的对应点为E，求线段BD，DE的长．
22.(本小题5分)
圆管涵是公路路基排水中常用的涵洞结构类型，它不仅力学性能好，而且构造简单、施工方便.某水平放置的圆管涵圆柱形排水管道的截面是直径为1m的圆，如图所示，若水面宽AB=0.8m，求水的最大深度．
23.(本小题6分)
已知关于x的一元二次方程x2−4x+2m−1=0有两个不相等的实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若m为正整数，且该方程的根都是整数，求m的值．
24.(本小题6分)
如图，⊙O的半径OC与弦AB互相垂直，垂足为D，连接AC，OB．
(1)求证：2∠A+∠B=90°；
(2)延长BO交⊙O于点E，过点E作⊙O的切线交BA的延长线于点F.若AC/​/BE，EF=4，求∠B的度数及AC的长．
25.(本小题6分)
在平面直角坐标系xOy中，图形W上任意两点间的距离若有最大值，将这个最大值记为d.对于点P和图形W给出如下定义：点Q是图形W上任意一点，若P，Q两点间的距离有最小值，且最小值恰好为d，则称点P为图形W的“关联点”．

(1)如图1，图形W是矩形AOBC，其中点A的坐标为(0,3)，点C的坐标为(4,3)，则d= ______ .在点P1(−1,0)，P2(2,8)，P3(3,1)，P4(− 21,−2)中，矩形AOBC，的“关联点”是______ ；
(2)如图2，图形W是中心在原点的正方形DEFG，其中D点的坐标为(1,1).若直线y=x+b上存在点P，使点P为正方形DEFG的“关联点”，求b的取值范围；
(3)已知点M(1,0)，N(0, 3).图形W是以T(t,0)为圆心，1为半径的⨀T，若线段MN上存在点P，使点P为⨀T的“关联点”，直接写出t的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．
根据中心对称图形的定义逐一判断即可．
本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2.【答案】A
【解析】解：A、任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件，符合题意；
B、明天会下雪，是随机事件，不符合题意；
C、掷一枚骰子，向上一面的点数是7，是不可能事件，不符合题意；
D、足球运动员射门一次，未射进，是随机事件，不符合题意．
故选：A．
根据事件发生的可能性大小即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念：必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3.【答案】B
【解析】解：二次函数y=(x−1)2+2的顶点坐标是(1,2)．
故选：B．
直接应用二次函数的顶点坐标公式即可．
本题主要考查了二次函数的顶点坐标公式，解题关键是正确应用公式．
4.【答案】C
【解析】解：∵方程x2+6x+c=0有两个相等的实数根，
∴Δ=62−4c=0，
解得c=9，
故选：C．
本题考查根的判别式，解答本题的关键是明确一元二次方程有两个相等的实数根时Δ=0．
5.【答案】D
【解析】解：∵∠CAB和∠D都是BC所对的圆周角，
∴∠D=∠CAB=40°，
∴∠APD=∠D+∠ABD=40°+30°=70°．
故选：D．
先根据圆周角定理得到∠D=∠CAB=40°，然后根据三角形外角的性质计算∠APD的度数．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
6.【答案】D
【解析】解：列表如下：
由表知，共有4种等可能结果，其中两次都取到写有“问天”的小球的有1种结果，
所以两次都取到写有“问天”的小球的概率为14．
故选：D．
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
7.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，边长为4，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°．
∵四个圆的半径为2，
∴阴影部分的面积S=S正方形ABCD−4S扇形=4×4−4×90π×22360=16−4π，
故选：A．
根据正方形的性质得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°，根据图形得出阴影部分的面积S=S正方形ABCD−4S扇形，再求出答案即可．
本题考查了扇形的面积计算和正方形的性质，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查一次函数、二次函数，理解一次函数、二次函数的意义是正确解答的前提，求出y与t，S与t的函数关系式是正确判断的关键．
求出y与t，S与t满足的函数关系式，再根据函数的类型进行判断即可．
【解答】
解：由题意得，AM=t，CN=2t，
∴MC=AC−AM=5−t，
即y=5−t，
∴S=12MC⋅CN=5t−t2，
因此y是t的一次函数，S是t的二次函数，
故选：D．
9.【答案】(−5,−1)
【解析】解：点P(5,1)关于原点对称的点的坐标是(−5,−1)．
故答案为：(−5,−1)．
根据关于坐标原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答．
本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟记关于坐标原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数是解题的关键．
10.【答案】x=±2
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程的解法，本题可运用直接开平方法求解．
【解答】
解：x2−4=0
x2=4
x=±2．
故答案为x=±2．
11.【答案】y=3x2(答案不唯一)
【解析】解：∵一个抛物线与抛物线y=3x2−2x+1开口方向相同，
∴a=3，
∴这个抛物线的解析式可以为y=3x2．
故答案为：y=3x2(答案不唯一)．
本题考查了二次函数的性质，抛物线的开口方向和形状与a值有关．
12.【答案】二次函数关系
【解析】解：由题意得，
y=(20+x)(30+x)=x2+50x+600，
所以y与x是二次函数关系．
故答案为：二次函数关系．
根据题意列出y与x的关系式可得答案．
此题考查了二次函数的实际应用．解题的关键是根据题意列出函数解析式．
13.【答案】55
【解析】解：∵PA，PB是⊙O的两条切线，
∴PA=PB，OA⊥PA，
∵∠OAB=35°，
∴∠BAP=90°−∠OAB=55°，
∵PA=PB，
∴∠ABP=∠BAP=55°．
故答案为：55．
根据切线的性质得PA=PB，OA⊥PA，则∠OAP=90°，可得∠BAP=55°，从而得到∠ABP的度数．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了切线长定理和等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
14.【答案】4
【解析】解：12×13=4(个)．
故涂上红色的小扇形有4个．
故答案为：4．
先根据题意得出指针指向红色的概率是13，再根据有12个等分区，结合概率公式即可求出答案．
此题考查了概率公式，掌握概率公式的求法，即概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
15.【答案】900
【解析】解：观察表格发现随着实验次数的增多频率逐渐稳定在0.9附近，
故“发芽种子”的概率估计值为0.9，
所以1000kg该种作物种子能发芽的有1000×0.9=900(kg)．
故答案为：900．
大量重复试验下“发芽种子”的频率可以估计“发芽种子”的概率，据此求解．
本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中某个事件发生的频率能估计概率．
16.【答案】380
【解析】【分析】
本题主要考查了有理数的运算，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．分五类情况，分别计算即可得出结论．
【解答】
解：由题知船载的人越多，平均每个人的费用就越少，
因为共有18人，所以当租八人船时，因为18÷8=2⋯2(人)，
所以要租2艘八人船和1艘两人船费用最少，即150×2+90=390(元)；
当租六人船时，租船应为18÷6=3(艘)，
因为每小时130元，所以租船费用为130×3=390(元)；
当租四人船时，因为18÷4=4⋯2(人)，所以要租4艘四人船和1艘两人船费用最少，
因为四人船每小时100元，所以租船费用为100×4+90=490(元)；
当租两人船时，租船为18÷2=9(艘)，
因为每小时90元，所以租船费用为90×9=810(元)；
当租1艘四人船，1艘六人船，1艘八人船时，租船费用为100+130+150=380(元)．
因为810>490>390>380，
所以当租1艘四人船，1艘六人船，1艘八人船费用最低是380元，
故答案为：380．
17.【答案】解：4(x+1)≤7x+10①x−5解不等式①得：x≥−2，
解不等式②得：x<72，
所以不等式组的解集为：−2≤x<72，
所以不等式组的所有非负整数解为：0，1，2，3．
【解析】求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可．
本题考查了一元一次不等式组的整数解的应用，关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集．
18.【答案】解：(1)由表格数据结合二次函数图象对称性可得图象顶点为(1,−4)，
设二次函数的表达式为y=a(x−1)2−4(a≠0)，
将(−1,0)代入得4a−4=0，
解得a=1，
∴该二次函数的表达式为y=(x−1)2−4．
(2)当−1≤x≤3时，y≤0．
【解析】(1)见答案；
(2)由表格中数据知，当x=−1和3时，y=0，
∴抛物线与x轴的交点为(−1,0)和(3,0)，
∵抛物线开口向上，
∴当−1≤x≤3时，y≤0．
(1)根据待定系数法即可求得；
(2)由表中数据可得抛物线与x轴的两个交点，根据函数的图象和性质得出结论．
本题主要考查抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，把函数问题转化为方程问题是解题的关键．
19.【答案】解：a(a−1)+a2+5a=a2−a+a2+5a=2a2+4a．
∵x=1是关于x的方程x2+2ax+a2=3的一个根，
∴1+2a+a2=3．
∴a2+2a=2．
∴原式=2(a2+2a)=4．
【解析】根据一元二次方程解的定义，把x=1代入x2+2ax+a2=3得到关于a的一元二次方程1+2a+a2=3，
然后解此一元二次方程即可．
本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义．
20.【答案】CD；∠BAC；直径所对的圆周角是90°；OA ；过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线；
【解析】证明：如图，连接AD．

∵CD=AD
∴点C在⊙D上，
∴CB是⊙D的直径．
∴∠BAC=90°(直径所对的圆周角是90°)．
∴AB⊥OA，
∵OA是⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线(过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线)．
故答案为：CD；∠BAC；直径所对的圆周角是90°，OA；过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线．
根据题中的过程，结合图形进行合情推理．
本题考查了作图的证明，掌握圆的切线的判定是解题的关键．
21.【答案】解：根据题意，得△ABC≌△DEC，
∴AB=DE，AC=DC，
∵AC=3，
∴DC=3，
∵BC=4，
∴BD=1，
在Rt△ABC中，根据勾股定理，得
AB= AC2+BC2=5．
∴DE=5．
【解析】由题意推出△ABC≌△DEC，所以AB=DE，AC=DC，DC=3，BD=1，再运用勾股定理，求得AB=5，即推出DE=5．
本题考查了旋转的性质，熟练运用勾股定理是解题的关键．
22.【答案】解：如图，作OC⊥AB于点C，连接OA，

∵∠ACO=90°，AC=12AB，
∵AB=0.8，
∴AC=0.4，
在Rt△ACO中，根据勾股定理，得OC= OA2−AC2=0.3，
∴0.3+0.5=0.8，
∴水的最大深度为0.8m．
【解析】过点O作OC⊥AB于点C，连接OA，根据垂径定理得到AC=0.4，再在Rt△ACO中，根据勾股定理可求出OC，进而即可求解．
此题主要考查了垂径定理的应用，以及勾股定理，熟练掌握定理是解题的关键．
23.【答案】解：(1)∵依题意，得Δ=16−4(2m−1)>0．
∴m<52，
即m的取值范围是m<52．
(2)∵m为正整数，
∴m=1或2，
当m=1时，方程为x2−4x+1=0的根x=2± 3不是整数；
当m=2时，方程为x2−4x+3=0的根x1=1，x2=3，都是整数．
综上所述，m=2．
【解析】本题考查了根的判别式和解一元二次方程，能根据题意求出m的值和m的范围是解此题的关键．
(1)根据题意得出Δ>0，代入求出m的值即可；
(2)求出m=1或2，代入后求出方程的解，即可得出答案．
24.【答案】(1)证明：∵OC⊥AB，
∴∠ODB=90°，
∴∠O+∠B=90°．
∵∠O=2∠A，
∴2∠A+∠B=90°．
(2)解：如图：
∵AC/​/BE，
∴∠CAB=∠B．
∵2∠CAB+∠B=90°，
∴3∠B=90°．
∴∠B=30°．
∴∠CAB=30°．
∵EF是⊙O的切线，
∴∠FEB=90°．
∵EF=4，
∴BF=8，
在Rt△BEF中，由勾股定理，得BE= BF2−EF2=4 3．
∴OC=OB=2 3，
∴OD=CD= 3，
∵∠CAB=30°，∠ADC=90°，
∴AC=2 3．
【解析】(1)由圆周角定理得到∠O=2∠A，即可得到结论；
(2)根据勾股定理和含30°角的直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查了切线的性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，解题的关键是灵活运用有关定理来分析、解答．
25.【答案】5 P2，P4
【解析】解：(1)∵四边形AOBC是矩形，点A的坐标为(0,3)，点C的坐标为(4,3)，
∴OC=5，
∴d=5，
∵P1(−1,0)，
∴P1O=1，
∴P1不是矩形AOBC的“关联点”；
∵P2(2,8)，
∴P2到AC的距离为5，
∴P2是矩形AOBC的“关联点”；
∵P3(3,1)，
∴P3到OB的距离为1，
∴P3不是矩形AOBC的“关联点”；
∵P4(− 21,−2)，
∴P4O=5，
∴P4是矩形AOBC的“关联点”；
故答案为：5，P2，P4；
(2)∵D(1,1)，四边形DEFG是正方形，
∴d=DF=2 2，
过O点作OM垂直直线y=x+b，交于点M，
当ME=2 2时，OM=3 2，∠MNO=45°，
∵ON=6，
∴−6≤b≤6时直线y=x+b上存在点P使P为正方形DEFG的关联点．
(3)∵⊙T的圆心为T(t,0)半径为1，
∴d=2
当T点在x轴负半轴上时，过点T作TL⊥MN交于L交于K，交y轴于H，
当KL=2时，TL=3，
∵M(1,0)，N(0, 3)，
∴OM=1，ON= 3，
在Rt△OMN中MN=2，
∵ON⊥OM，TL⊥MN，
∴∠ONM=∠OTH，
有∵∠TLM=∠NOM=90°，
∴△TLM∽△NOM，
∴TLON=TMMN，
∴TM=2 3，
∴TO=2 3−1，此时T(1−2 3,0)
当TM=3时，OT=2，
∴T(−2,0)，
∴1−2 3≤t≤−2时，线段MN上存在点P，使点P为OT的“关联点”；
当T点在x轴正半轴上时，当TM=3，此时T(4,0)，
当NT=3时，3= t2+3，
解得t=± 6(负值舍去)，
∴当 6≤t≤4时，线段MN上存在点P，使点P为OT的“关联点”；
综上，1−2 3≤t≤−2或 6≤t≤4时，线段MN上存在点P，使点P为OT的“关联点”．
(1)根据所给的定义，对每一个点进行判断即可；
(2)由题意可得d=DF=2 2，过O点作OM垂直直线y=x+b，交于点M，当ME=2 2时，ON=6，则−6≤b≤6时，直线y=x+b，上存在点P，使点P为正方形DEFG的“关联点”；
(3)由题意可得d=2，当T点在x轴负半轴上时，过点T作TL⊥MN交于点L，交圆于点K，当KL=2时，TM=23，此时T(−2 3,0)，当T点在x轴正半轴上时，当TM=3时，此时T(4,0)，则−2 3≤t≤4时，线段MN上存在点P，使点P为⊙T的“关联点”．
本题考查圆的综合应用，弄清定义，能够根据定义，结合矩形的性质，圆的性质，属性结合解题是关键．种子个数
100
200
300
400
500
800
1100
1400
1700
2000
发芽种子个数
94
187
282
337
436
718
994
1254
1531
1797
发芽种子频率
0.940
0.935
0.940
0.843
0.872
0.898
0.904
0.896
0.901
0.899
船型
两人船(限乘两人)
四人船(限乘四人)
六人船(限乘六人)
八人船(限乘八人)
每船租金(元/小时)
90
100
130
150
x
…
−3
−2
−1
1
3
4
…
y
…
12
5
0
−4
0
5
…
问天
梦天
问天
(问天，问天)
(梦天，问天)
梦天
(问天，梦天)
(梦天，梦天)