4.1 导数的概念及其意义、导数的运算（精练）-2024年高考数学一轮复习一隅三反系列（新高考）

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1．（2023河南）已知函数的导函数为，则（ ）
A．B．C．2D．8
【答案】D
【解析】由导数定义和，得.故选：D.
2．（2023·辽宁）已知函数，则
A．4B．2C．1D．0
【答案】B
【解析】 ；故选：B.
3．（2023·上海·高三专题练习），在处切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由已知，，令，
∴＝，解，
∴在处切线方程为，即．
故选：B．
4．（2023春·河南·）设函数的图像在处的切线为，则在轴上的截距为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，所以的方程为，
即,令，解得,则在轴上的截距为.故选：B
5．（2022秋·山东济宁·高三统考期末）已知函数在点处的切线与直线垂直，则（ ）
A．B．C．D．0
【答案】B
【解析】，故，故图象在点处的切线的斜率为，
所以即，故选：B
6．（2023春·北京）若直线是函数切线，则实数的值是（ ）
A．B．C．1D．
【答案】B
【解析】由题意设切点为，则，由，得，故，故，
故，故选：B
7．（2023·全国·高三专题练习）曲线在点处的切线方程为，则的值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【解析】由切点在曲线上，得①；由切点在切线上，得②；
对曲线求导得，∴，即③，
联立①②③，解之得故选：A.
8．（2023·全国·高三专题练习）设点是函数图象上的任意一点，点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】，
，，，，.
点P是曲线上的任意一点，点P处切线的倾斜角为，.
，.故选：B.
9．（2023·全国·高三专题练习）已知点是曲线上一动点，当曲线在处的切线斜率取得最小值时，该切线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据题意得，，所以，当且仅当时成立，所以该切线的倾斜角为：.故选：D.
10．（2023·福建）已知函数是定义在R上的奇函数，且，则函数的图象在点处的切线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】是奇函数，
恒成立，所以，
，，
所以，，即，
．
故选：A．
11（2023·内蒙古通辽·校考二模）曲线在点处的切线的斜率为（ ）
A．－B．C．－D．
【答案】B
【解析】把代入得导数值为，即为所求切线的斜率．故选：B
12．（2023·黑龙江）已知点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，由于，所以，
根据导数的几何意义可知： ,所以，故选：D.
13．（2023·内蒙古赤峰·校联考一模）函数在处的切线如图所示，则（ ）
A．0B．C．D．-
【答案】A
【解析】因为切线过和，所以，所以切线方程为，
令，则，所以，所以.故选：A.
14．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）设点P是函数图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】，
，，，，.
点P是曲线上的任意一点，点P处切线的倾斜角为，.
，.故选：B.
15．（2023·吉林）曲线f(x)＝xln x在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】；所以，所以曲线在点处的切线的斜率是，设曲线在点处的切线的倾斜角是，则，因为，所以，故选B.
16．（2022秋·安徽）过坐标原点且与曲线相切的直线斜率为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，所以，设切点为，所以 ，
所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，
所以切线方程的斜率为.
故选：B
17．（2023·河南郑州·统考二模）已知曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A．－1B．－2C．－3D．0
【答案】C
【解析】由题意可得，
根据导数的几何意义可知，在点处的切线斜率为，解得；
所以切点为，代入切线方程可得，解得.
故选：C
18．（2023·四川成都·成都实外校考模拟预测）若直线为曲线的一条切线，则实数k的值是（ ）
A．eB．C．D．
【答案】D
【解析】设直线在曲线上的切点为，
因为，所以，所以切线斜率，
所以曲线在点的切线方程为，
又，所以切线方程为，又切线方程为，
所以，解得，，故A，B，C错误.
故选：D.
19．（2022秋·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校联考阶段练习）已知函数.若曲线和在公共点处有相同的切线，则a，b的值分别为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，所以，由题意，解得
故选:A.
20．（2023·广西）曲线在处的切线与坐标轴围成的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】记，则，
，又，
曲线在处的切线方程为：，即，
令，解得：；令，解得：；
该切线与坐标轴围成的三角形面积为.
故选：A.
21．（2023·湖南岳阳·统考二模）已知函数是定义在上的奇函数，则函数的图像在点处的切线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为函数是定义在上的奇函数，
所以，即，
所以，所以，所以，故，
所以，所以函数的图像在点处的切线的斜率为.故选：D.
22．（2023·陕西咸阳·陕西咸阳中学校考模拟预测）已知函数，则在处的切线方程为___________.
【答案】
【解析】因为，所以，，
所以，切线方程为， 即.故答案为：.
23．（2022秋·安徽亳州·高三安徽省亳州市第一中学校考阶段练习）已知函数，且，则函数在处的切线方程是___________.
【答案】
【解析】由，得，
而，所以，
所以切线方程为，即.
故答案为：.
24．（2023·全国·模拟预测）已知函数，其导函数为，则曲线过点的切线方程为______．
【答案】或
【解析】设切点为，由，得，
∴，得，∴，，
∴切点为，，
∴曲线在点M处的切线方程为①，
又∵该切线过点，∴，解得或．
将代入①得切线方程为；
将代入①得切线方程为，即．
∴曲线过点的切线方程为或．
故答案为：或
25．（2023·山东·河北衡水中学统考一模）过点与曲线相切的直线方程为______．
【答案】
【解析】设切点坐标为，，.
则切线方程为，因为在切线上，
所以，即
又，所以，
令，，当时，，
所以在上单调递增，
所以方程只有唯一解为.
即切点坐标为，故所求切线方程为，即.
故答案为：
26．（2023·福建莆田·统考二模）直线l经过点，且与曲线相切，写出l的一个方程_______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】因为，所以，
不妨设直线l与的切点为，斜率为，
则，解得或或，
当时，直线l为；
当时，直线l为，即；
当时，直线l为，即；
综上：直线l的方程为或或.
故答案为：（答案不唯一）.
27．（2023·云南·统考模拟预测）若曲线有两条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围为_____.
【答案】
【解析】设切点坐标为：，所以切线斜率为，
所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，整理得，
又曲线有两条过坐标原点的切线，所以该方程有两个实数解，所以，解得，
又因为，所以实数a的取值范围为.故答案为：.
28．（2023秋·江苏扬州·高三校联考期末）若曲线与曲线有一条过原点的公切线，则m的值为__________．
【答案】8或
【解析】因为过原点斜率不存在的直线为，该直线与曲线不相切，
所以设曲线的过原点的切线的方程为，切点为，则，，，
所以，当时，，
所以直线与曲线相切，设切点为，则，，，
所以或，
当时，，
当时，，
当时，，
则，，，
满足方程的解不存在，故不存在.
所以或，
故答案为：8或.
29．（2023·全国·高三专题练习）若曲线有两条过坐标原点的切线，则实a的取值范围为______.
【答案】
【解析】设切点坐标为：，，
所以切线斜率为，
即切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，
整理得，
又曲线有两条过坐标原点的切线，所以该方程有两个解，
所以，解得
故答案为：
30．（2023·全国·校联考模拟预测）已知函数，若存在实数，使得曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的最大值是_______
【答案】
【解析】由，得，
则在点处的切线斜率为，
由二次函数性质知在上单调递增，在上单调递减，
又，，所以，
因为切线与直线垂直，所以且，
所以，即实数的最大值是．
故答案为：
31．（2023·四川南充·统考二模）已知直线与曲线相切，则m的值为______．
【答案】1
【解析】由题意，可得，
直线与曲线相切，设切点为，
则，则，
即切点为，将该点坐标代入，可得，
故答案为：1
32．（2023秋·江苏南京·高三南京市第一中学校考期末）若直线与曲线和均相切，则__________.
【答案】
【解析】设直线与相切于点，，
因为直线与相切，所以，且；解得；
因为直线与曲线相切，联立得，且，即.
故答案为：.
33．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知函数，， 若曲线与曲线在公共点处的切线相同，则实数______.
【答案】1
【解析】，，
设公共点为，则，即，消得
，
令，
∴在上单调递增，又，∴，．.
故答案为：1.
1．（2023·全国·模拟预测）已知直线为曲线在处的切线，则点到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由函数，可得，则，即切线的斜率为，
又由时，求得，即切点坐标为，
所以切线方程为，即，
由点到直线的距离公式，可得点到直线的距离.
故选：D．
2．（2023春·河南郑州）设点是函数图象上的任意一点，点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】,则，所以，所以，
由，得，所以，即，所以.
故选：D.
3．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）若过点可作曲线的两条切线，则点可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设切点坐标为，对函数求导可得，
所以，切线斜率为，
所以，曲线在点处的切线方程为，
即，
将点的坐标代入切线方程可得，即，
因为过点可作曲线的两条切线，则关于的方程有两个不等的实数解，
所以，，即，即，
对于点，，A不满足；
对于点，，B不满足；
对于点，，C满足；
对于点，，D不满足.
故选：C.
4．（2023春·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）若过点可以作曲线的两条切线，切点分别为，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】设切点，
则切线方程为，
又切线过，则，
有两个不相等实根，
其中或，
令或，
当时，，当时，，
所以函数在上递增，在上递减，
，，
当时，，当时，，
所以，
即.
故选：D.
5．（2023·山西·统考模拟预测）已知函数，，若存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】设直线为曲线在点处的切线，，所以，即；
设直线为曲线在点处的切线，，
所以，即，
由题意知，因为，
由可得，将其代入可得：
，显然，整理得.
记且，则，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，则，即，
化简得，解得，
故选：.
6（2021·全国·统考高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】在曲线上任取一点，对函数求导得，
所以，曲线在点处的切线方程为，即，
由题意可知，点在直线上，可得，
令，则.
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，，
由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，
当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：
由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.
故选：D.
解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.
故选：D.
7．（2023春·安徽合肥·）（多选）下列函数在处的切线倾斜角是锐角的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【解析】由可得，则，
故在处的切线倾斜角是钝角，A错误；
由可得，则，
故在处的切线倾斜角是锐角，B正确；
由可得，则，
故在处的切线倾斜角是锐角，C正确；
由可得，则，
故在处的切线倾斜角是钝角，D正确；
故选：BC
8．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知曲线及点，则过点且与曲线相切的直线可能有（ ）
A．0条B．1条C．2条D．3条
【答案】BC
【解析】因为，所以，
设切点， 在点处的导数为，
根据导数的几何意义等于切线斜率，以及导数的比值定义式有：
整理得 ，所以，
①当时，可化为，
由函数定义域知分母不为0，，
所以只能解得，因此过只能找到一条与曲线相切的直线；
②当时，可化为，
是关于的二次方程，，且两根之积为，
所以所求根之中一定不含0，此时对任意能够找到两个满足条件.
综上所述，过点且与曲线相切的直线可能有1或2条.
故选：BC.
9．（2023春·广东广州·高三统考阶段练习）（多选）已知函数，过点作曲线的切线，下列说法正确的是（ ）
A．当，时，有且仅有一条切线
B．当时，可作三条切线，则
C．当，时，可作两条切线
D．当时，可作两条切线，则b的取值范围为或
【答案】AD
【解析】A：当时，点在上，，
若为切点，则切线斜率为，所以切线方程为，
若不为切点，设切点坐标为，所以，
切线斜率为，所以，，即切点为原点，所以时，有且仅有一条切线，正确；
B：设切点坐标为，所以，，
则切线的斜率为，切线方程为，
当时，，则，
设，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以时有极小值，为，时有极大值，为，
时，画出的图象，
当时，若有三条切线，则与有3个交点，由图得，错误；
C：当时，由切线方程得，则，
设，则，
所以单调递减，且，
如图，
所以当，时，与有且只有一个交点，所以只能作一条切线，错误；
D：当时，由切线方程为得，则，
设，则，
因为，所以当时，单调递增，
所以当时，单调递减，
所以当时，单调递减，
时，有极小值为，
时，有极大值为，
的图象为
若有两条切线，则的取值为或，正确.
故选：AD.
10．（2023春·江苏南京·高三校联考期末）（多选）已知函数，则（ ）
A．点是曲线的对称中心
B．当时，函数有两个极值点
C．当时，函数有三个零点
D．过原点可作曲线的切线有且仅有两条
【答案】AB
【解析】选项A：因为,所以点是曲线的对称中心,故A正确；
选项B：因为,所以
令解得或，令解得，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，在处取得极小值， 故B正确；
选项C：在处取得极大值，在处取得极小值，
,解得时, 函数有三个零点, ，故C错误；
选项D：，设切点为，
所以在点处的切线方程为：，
又因为切线过点，所以，
解得， ，
即过点可以作曲线的1条切线，故D错误；
故选：AB
11．（2023春·全国·高三校联考阶段练习）（多选）已知O为坐标原点，曲线在点处的切线与曲线相切于点，则（ ）
A．B．
C．的最大值为0D．当时，
【答案】AB
【解析】因为，所以，又，所以，
切线：，即，
因为，所以，又，所以，
切线：，即，
由题意切线重合，所以，所以，即，A正确；
当时，两切线不重合，不合题意，
所以，，，
所以，，B正确；
，
当时，，，则，当时，，，
则，，所以，C错误；
设，则，
所以函数在上单调递增，所以，所以，
所以，∴，
记，则，
所以函数在上单调递增，则，所以，D错误.
故选：AB
12．（2023·安徽·统考一模）若过点有3条直线与函数的图象相切，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】由题意可得，
设切点坐标为，则切线斜率，
所以切线方程为，
将代入得.
因为存在三条切线，即方程有三个不等实数根，
则方程有三个不等实数根等价于函数的图像有三个交点，
设，则，
当时，单调递增；
在和上，单调递减，，
当或时，，
画出的图象如图，
要使函数的图像有三个交点，需，
即，即的取值范围是，
故答案为：
13．（2022·全国·统考高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．
【答案】
【解析】∵，∴，
设切点为,则,切线斜率,
切线方程为：,
∵切线过原点，∴,
整理得：,
∵切线有两条，∴,解得或,
∴的取值范围是,
故答案为：
14．（2023·全国·模拟预测）若曲线只有一条经过点的切线，则的值可以为______，此时切线方程为______．
【答案】 0或4 或4
【解析】设切点坐标为．
由，得，
所以切线方程为．
将点的坐标代入，得．整理，得．
由题意可知，方程有两个相等的实数根，则，解得或．
当时，，此时切线方程为，即；
当时，，此时切线方程为，即．
故答案为：0或4；或4