2022-2023学年浙江省杭州市拱墅区九年级上学期数学期末试题及答案

这是一份2022-2023学年浙江省杭州市拱墅区九年级上学期数学期末试题及答案，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列生活中的事件，属于不可能事件的是（ ）
A. 经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯．
B. 在一个只装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球．
C. 打开电视，正在播放长征七号遥六运载火箭的发射实况．
D. 从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级．
【答案】B
【解析】
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【详解】解：A、经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯，是随机事件，不符合题意；
B、在一个只装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球，属于不可能事件，符合题意；
C、打开电视，正在播放长征七号遥六运载火箭的发射实况，是随机事件，不符合题意；
D、从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级，是必然事件，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
2. 下列二次函数中，图象形状与二次函数相同的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由于二次项系数a决定图象的形状，根据二次函数的这条性质可直接解答．
【详解】解：由题意知，图象形状与二次函数相同的是．
故选：A．
【点睛】本题主要考了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟记二次项系数a决定图象的形状．
3. 在中，，，．以点为圆心，4为半径画圆，则（ ）
A. 点在圆上B. 点在圆外C. 点在圆上D. 点在圆外
【答案】C
【解析】
【分析】根据点与圆的位置关系，得出点在圆内，再根据勾股定理，得出，再根据点与圆的位置关系，得出点在圆上，综合即可得出答案．
【详解】解：∵在中，，，，的半径为，
又∵，即，
∴点在圆内，
∵在中，，，
∴，
又∵，
∴点在圆上，
综上可得：点在圆内，点在圆上．
故选：C
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、勾股定理，解本题的关键在熟练掌握判断点与圆的位置关系的方法．
4. 如图，，与相交于点（点在，之间），若，，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例求解．
【详解】解：∵，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
5. 如图，是的内接锐角三角形，是的直径，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接，根据直径所对的圆周角为直角，得出，再根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得出，再根据角之间的数量关系，即可得出答案．
【详解】解：如图，连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴的度数为．
故选：D
【点睛】本题考查了直径所对圆周角为直角、同弧或等弧所对的圆周角相等，解本题的关键在熟练掌握相关的性质，并正确作出辅助线．
6. 一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从0到9的自然数．若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于，则密码的位数至少需要设（ ）
A. 五位B. 四位C. 三位D. 二位
【答案】B
【解析】
【分析】分别求出取一位数、两位数、三位数、四位数时一次就拨对密码的概率，再根据所在的范围解答即可．
【详解】解：∵取一位数时一次就拨对密码的概率为；
取两位数时一次就拨对密码的概率为；
取三位数时一次就拨对密码的概率为；
取四位数时一次就拨对密码的概率为；
∵，
∴密码的位数至少需要四位，故选项B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．
7. 如图，梯子斜靠在墙上，梯子底端离墙脚的距离，梯子上一点离墙的距离．若，则梯子的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】可由相似三角形的性质对应边成比例建立线段之间的关系，进而求解线段的长度即可．
【详解】解：由题意得，，
∴，
∴，
又，，，
代入可得：，
解得：，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质，能够求解一些简单的计算问题是解题的关键．
8. 将函数是常数，的图象向上平移，平移后函数的图象与轴相交于点，．则（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】根据图象向上平移，且，开口向上，得到对称轴不变，与轴的两个交点之间的距离减少，据此求解即可判断．
【详解】解：令，则，
解得或，
∴平移前函数的图象与x轴相交于点，，且，
∴平移前函数的图象的对称轴为，与轴的两个交点之间的距离为，
∵平移后函数的图象与轴相交于点，且，
∴平移前函数的图象的对称轴为，与轴的两个交点之间的距离为，
由于图象向上平移，且，开口向上，
∴对称轴不变，与轴的两个交点之间的距离减少，
∴，，
∴，，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象平移的规律是解题的关键．
9. 如图，是的弦，半径于点，连接并延长，交于点，连接，．若，，则的面积为（ ）
A. 4B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据垂径定理，得出，再根据直径所对的圆周角为直角，得出，再根据平行线的判定，得出，再根据中位线的判定，得出为的中位线，再根据中位线的性质，得出，再根据勾股定理，得出，进而得出，解出得到，进而得出，再根据三角形的面积公式，结合，计算即可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵为的中点，
∴为的中位线，
∴，
∵，
在中，
∵，
∴可得：，
解得：，
∴，
∴，
，
，
∴．
故选：C
【点睛】本题考查了垂径定理、直径所对的圆周角为直角、平行线的判定、中位线的判定与性质、勾股定理，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理，并充分利用数形结合思想．
10. 已知点，都在一次函数（，是常数，）的图象上，（ ）
A. 若有最大值4，则的值为B. 若有最小值4，则的值为
C. 若有最大值，则的值为4D. 若有最小值，则的值为4
【答案】D
【解析】
【分析】则点，都在一次函数的图象上，求得，，得到，推出当时，有最小值，当时，有最大值，根据四个选项即可求解．
【详解】解：∵点，都在一次函数的图象上，
∴，，即，
∴
，
当时，有最小值，
当时，有最大值，
A、若有最大值，解得，故本选项不符合题意；
B、若有最小值，解得，故本选项不符合题意；
C、若有最大值，则的值为4，故本选项不符合题意；
D、若有最小值，则，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，得到，根据二次函数的性质是解题的关键．
二、填空题
11. 若，则=________
【答案】.
【解析】
【详解】∵，
∴．
考点：比例的性质．
12. 制作弯管时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料．图中弯管（不计厚度）有一段圆弧（），点是这段圆弧所在圆的圆心，半径，圆心角，则这段弯管中的长为________cm（结果保留）．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用弧长公式求解即可．
【详解】解：∵半径，圆心角，
∴这段弯管中的长为，
故答案：．
【点睛】本题考查了弧长公式的应用，解答本题的关键是明确弧长计算公式．
13. 一个不透明的袋子中装有4个除颜色外其它都完全相同的小球，其中3个红色，1个白色，随机从袋中摸出一个球，则摸到红色球的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据简单概率公式计算即可求解．
【详解】解：随机从袋中摸出一个球，一共有4种情况，摸到红色球的情况有3种，依题意摸到的是红色球的概率是．
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查概率的计算，解题的关键是熟知概率的定义．
14. 如图，在中，点在弦上，连接，．若，，，则线段的长为___________．
【答案】
【解析】
【分析】过点作，垂足为点，根据线段之间的数量关系，得出，再根据垂径定理，得出，再根据勾股定理，得出，再根据线段之间的数量关系，得出，再根据勾股定理，计算即可得出答案．
【详解】解：过点作，垂足为点，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，解本题的关键在正确作出辅助线．
15. 已知，若二次函数（，，是常数，的自变量与函数的部分对应值如下表，
则____________，方程的两根为____________．
【答案】 ①. 3 ②. ，
【解析】
【分析】根据表格中对应值可求得对称轴为直线，再根据抛物线的对称性即可求解．
【详解】解：根据图表可知：
二次函数的图象过点，，
∴对称轴为直线，且经过点，，
∴点关于对称轴直线的对称点为，
点关于对称轴直线的对称点为，
∴，方程的两根为，，
故答案为：3；，．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象和性质，能熟练求解函数对称轴是解题的关键．
16. 如图，在正方形中，点在边上（不与点，重合），点在边的延长线上，，连接交于点，过点作于点，交边于点．若，．则_____________，_____________．
【答案】 ①. 5 ②.
【解析】
【分析】连接，，，由正方形的性质可得，，，可证，可得，进而得到，根据等腰三角形三线合一的性质可得点为中点，由，可证，，可得，设，则，则，已知，则，根据勾股定理解得，可得，由勾股定理得，从而可得，即可求解．
【详解】连接，，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，，
在中，
∵，
∴
解得：，（舍），
∴，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
故答案为：；；
【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是正确作出辅助线，构建全等三角形解决问题．
三、解答题
17. 已知二次函数的图象经过点．
（1）求的值．
（2）若点也在这个二次函数的图象上，求的值．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）直接把点代入，即可求解；
（2）把点代入（1）求得的解析式即可求得．
【小问1详解】
解：根据题意得，
解得；
【小问2详解】
解：∵，
∴二次函数解析式为．
∵点也在这个二次函数的图象上，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．解本题的关键是确定出抛物线的解析式．
18. 如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘分别被分成三个大小相同的扇形，转盘A上的三个扇形区域分别标有数字1，3，6，转盘B上的三个扇形区域分别标有数字2，4，5．指针的位置固定，转动的转盘停止后，指针指向某个数字所在的扇形区域（若指针指向两个扇形的交线时，则重转一次，直到指针指向某个扇形区域为止）．
（1）自由转动转盘A，求指针指向的区域所标数字是奇数的概率．
（2）方方转动转盘A，圆圆转动转盘B，转盘停止后，指针所指区域的数字较大的一方为获胜者．请用列表或画树状图说明方方和圆圆谁获胜的可能性更大．
【答案】（1）指针指向区域所标数字是奇数的概率是；
（2）圆圆获胜的可能性更大．
【解析】
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有9种等可能的结果，其中方方获胜的有4种，圆圆获胜的有5种，再由概率公式求得概率，即可得出结论．
【小问1详解】
解：转动转盘A，三个数据中，奇数有2个，
则指针指向的区域所标数字是奇数的概率是；
【小问2详解】
解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中方方获胜的有4种，圆圆获胜的有5种，
∴方方获胜的概率为，圆圆获胜的概率为，
∵，
∴圆圆获胜的可能性更大．
【点睛】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
19. 要修建一个圆形喷水池，在池中央竖直安装一个柱形喷水装置，顶端安有一个喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是．
（1）求喷出的水流最高处距离地面多少米？
（2）若喷水池的半径为，请判断喷出的水流会不会落在池外，并说明理由．
【答案】（1）喷出的水流最高处距离地面4米；
（2）喷出的水流不会落在池外．理由见解析
【解析】
【分析】（1）求得抛物线的顶点坐标即可求得最大高度；
（2）令，则可以求得最大水平距离．
【小问1详解】
解：，
∵，
∴当时，y最大，
最大值为，
∴喷出的水流最高处距离地面4米；
【小问2详解】
解：令，则，
整理得，即，
解得或（舍去），
∵，
∴喷出的水流不会落在池外．
【点睛】本题主要考查二次函数在生活中的实际应用，掌握抛物线顶点、与x轴交点的实际意义是解题的关键．
20. 如图，在中，，点在边上，且．已知，，．
（1）求线段的长．
（2）点在边上，，作，交于点．若的面积为64，求四边形的面积．
【答案】（1）4 （2）39
【解析】
【分析】(1)根据题意即可证得，再根据相似三角形的性质，即可求解；
(2)根据题意即可证得，再根据及相似三角形的性质，即可求解．
【小问1详解】
解：，，
，
，
；
【小问2详解】
解：，
，
，
，，
，
，
，
四边形的面积为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握和运用相似三角形的判定与性质是解决本题的关键．
21. 如图，以的边为直径的分别交，于点，，且点是的中点，连接．
（1）求证：是等腰三角形．
（2）若，，求线段的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，根据直径所对的圆周角为直角，得出，再根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得出是的角平分线，然后再根据等腰三角形的判定定理，即可得出结论；
（2）连接，根据勾股定理，得出，再根据三角形面积公式，结合等腰三角形的性质，得出，再根据三角形的面积公式，得出，解得，再根据勾股定理，得出，然后根据线段之间的数量关系，即可得出答案．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴是的角平分线，
∴是等腰三角形；
【小问2详解】
解：如图，连接，
在中，
∵，，
∴，
∴，
又∵，是等腰三角形，
∴是的中线，，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角为直角、同弧或等弧所对的圆周角相等、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理和等面积法．
22. 在平面直角坐标系中，点，在函数（，是常数）的图象上．
（1）若，，求该函数的表达式．
（2）若，求证：该函数的图象经过点．
（3）已知点，，在该函数图象上，若，，试比较，的大小，并说明理由．
【答案】（1）该函数的表达式为
（2）证明见解析 （3），理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）根据待定系数法求出二次函数解析式，然后当时，计算出的值，即可得出结论；
（3）根据题意，把代入，得出，即，然后把代入，得出函数解析式为，再根据解析式，得出抛物线开口向上，对称轴为，再根据题意，得出该函数图象与轴有两个不同的交点，一个交点为，然后设另一个交点为，则，进而得出，再根据二次函数的图象与性质，得出比离直线较远，进而即可得出答案．
【小问1详解】
解：∵，，
∴点，在函数（，是常数）的图象上，
把，代入解析式，
可得：，
解得：，
∴该函数的表达式为；
【小问2详解】
证明：∵，
∴点，在函数（，是常数）的图象上，
把，代入函数，
可得：，
解得：，
∴函数的表达式为，
当时，，
∴该函数的图象经过点；
【小问3详解】
解：，理由如下：
∵点在函数（，是常数）的图象上，
∴可得：，
∴，
∴函数解析式为，
∵，
∴抛物线开口向上，对称轴为，
∵点，在该函数图象上，，，
∴该函数图象与轴有两个不同的交点，一个交点为，
设另一个交点为，则，
∴，
当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；
∵点，在该函数图象上，
∴比离直线较远，
∴．
【点睛】本题考查了待定系数法求出二次函数解析式、解二元一次方程组、二次函数的图象与性质，解本题的关键在熟练掌握二次函数的图形与性质．
23. 如图，是矩形的对角线，，点，分别在边，上，把和分别沿直线，折叠，使点，分别落在对角线上的点，处，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求线段的长；
（3）若，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）；
（3）．
【解析】
【分析】（1）由折叠的性质得到，利用线段的和差即可证明；
（2）利用勾股定理求得的长，再求得，利用面积法可求得，然后利用勾股定理即可求解；
（3）先证明，得到，推出，由平行线分线段成比例定理得到，再推出，得到，设，则，解方程即可求解．
【小问1详解】
证明：∵四边形是矩形，且把和分别沿直线，折叠，使点，分别落在对角线上的点，处，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵四边形矩形，
∴，
∵，，
∴，
由题意得，
∴，
由折叠的性质得，，
∵，
∴，即，
解得，
∴；
【小问3详解】
解：∵四边形是矩形，
∴，，
由折叠的性质得，，
∴，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，即，
解得（负值已舍），
∵，
∴符合题意，
∴．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
…
3
5
…
…
3
0
…