2022-2023学年江苏省无锡市江阴市九年级上学期数学期中试题及答案

这是一份2022-2023学年江苏省无锡市江阴市九年级上学期数学期中试题及答案，共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
【详解】解：A、方程是二元一次方程，故选项错误，不符合题意；
B、方程是一元三次方程，故选项错误，不符合题意；
C、方程是分式方程，故选项错误，不符合题意；
D、方程是一元二次方程，故选项正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键．
2. 一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】先计算再作判断即可．
【详解】解：∵，
∴
∴原方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握“ 一元二次方程有两个不相等是实数根”是解本题的关键．
3. 一元二次方程配方后可化为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】移项后，两边都加上一次项系数一半的平方即可．
【详解】解：，
，
则，即，
故答案为：B．
【点睛】本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
4. 某县2016年的GDP是250亿元，要使2018年的GDP达到360亿元，求这两年该县GDP年平均增长率．设年平均增长率为x，可列方程为（ ）
A. 250（1＋2x）2＝360B. 250（1＋2x）＝360
C. 250（1＋x）（1＋2x）＝360D. 250（1＋x）2＝360
【答案】D
【解析】
【分析】2018年的GDP360＝2016年的GDP250×（1＋年平均增长率）2，把相关数值代入即可．
【详解】2017年的GDP为250×（1＋x），
2018年的GDP为250×（1＋x）（1＋x）＝250×（1＋x）2，
即所列的方程为250（1＋x）2＝360，
故选D．
【点睛】此题考查列一元二次方程解决实际问题；得到2018年GDP的等量关系是解决本题的关键．
5. 的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与的位置关系是
A. 相交B. 相切C. 相离D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】根据直线和圆的位置关系可知，圆的半径大于直线到圆距离，则直线l与O的位置关系是相交．
【详解】∵⊙O的半径为5，圆心O到直线的距离为3，∴直线l与⊙O的位置关系是相交．
故选A．
【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，直接根据直线和圆的位置关系解答即可．
6. 若圆弧的半径为3，所对的圆心角为60°，则弧长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据弧长与圆心角，半径的公式代入数值求解即可．
【详解】∵圆弧的半径为3，所对的圆心角为60°，
∴弧长，
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是胡长公式，熟练掌握弧长的计算公式是解答本题的关键．
7. 下列语句中正确的是（ ）
A. 三点确定一个圆B. 在半径为2的⊙O中，长度为2的弦所对的圆周角为60°
C. 直径所对的圆周角是直角D. 三角形的外心到三角形各边的距离相等
【答案】C
【解析】
【分析】由圆的确定方法可判断A，由圆的弦所对的圆周角有两个，可判断B，由圆周角定理的含义可判断C，由三角形的外心的性质可判断D，从而可得答案．
【详解】解：A.不在同一直线上的三点确定一个圆，故A不符合题意；
B.如图， 过作于 作所对的两个圆周角，
∴
∴
∴
在半径为2的⊙O中，长度为2的弦所对的圆周角为，故B不符合题意；
C.直径所对的圆周角是直角，表述正确，故C符合题意；
D.三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是圆的基本性质，圆的确定，弦所对的圆周角的大小，圆周角定理的含义，三角形的外心的性质，掌握以上基础知识是解本题的关键．
8. 如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度b＝3cm，则螺帽边长a等于（ ）
A. cmB. 2cmC. 2cmD. cm
【答案】A
【解析】
【分析】根据正六边形的性质，可得∠ABC=120°，AB=BC=a，根据等腰三角形的性质，可得CD的长，根据直角三角形含30度角的性质和勾股定理，可得答案．
【详解】解：如图，连接AC，过点B作BD⊥AC于D，
由正六边形，得∠ABC＝120°，AB＝BC＝a，
∴∠BCD＝∠BAC＝30°，
由AC＝3，得CD＝1.5，
Rt△ABD中，∵∠BAD＝30°，
∴BD＝AB＝a，
∴AD＝＝a，
即a＝1.5，
∴a＝（cm），
故选：A．
【点睛】本题考查了正多边形和圆，利用了正六边形的性质得出等腰三角形是解题的关键，又利用了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形．
9. 如图，直线CD与⊙O相切于点C，AC、AB是⊙O的两条弦，且CDAB，若⊙O的半径为5，AB＝6，则弦AC的长为 （ ）
A. 3B. 3C. 3D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】连接并延长交于点E，连接，先根据切线的性质得到，则利用平行线的性质得到，再根据垂径定理得到垂径定理得，然后利用勾股定理先计算出，再计算的长．
【详解】解：如图：
连接并延长交于点E，连接，
∵是圆O的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
在中，
．
故答案为：D．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理和勾股定理．
10. 欧几里得被称为“几何之父”，其著作《几何原本》的第二卷中记载了方程根的图形解法：如图，在⊙O中，为直径，⊙O的切线与的延长线交于点B，切点为A，连接，使，，则该方程的一个正根是（ ）
A. 的长度B. 的长度C. 的长度D. 的长度
【答案】A
【解析】
【分析】先根据题意得到，，再由勾股定理得到，由和得到等式，然后逆用完全平方公式求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵⊙O的切线与的延长线交于点B，切点为A，
∴，
即，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查了切线的定理，勾股定理，逆用完全平方公式，求出是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每题3分，其中第18题第1空1分，第2空2分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）
11. 写出一个根是1，另一个根不是1的一元二次方程：______．（写出一个方程即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据因式分解法写出方程即可．
【详解】解：设另外一个根为2，
根据题意得，
∴，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查一元二次方程的根，解题的关键是理解一元二次方程根的定义．
12. 已知关于x的一元二次方程有一个根为1，则k的值是________．
【答案】2
【解析】
【分析】将x=1代入一元二次方程x2+kx-3=0，即可求得k的值，本题得以解决．
【详解】解：∵一元二次方程x2+kx-3=0有一个根为1，
∴12+k×1-3=0，
解得，k=2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确题意，求出k的值．
13. 方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为 ．
【答案】15
【解析】
【详解】解：，
解得x1=3，x2=6，
当等腰三角形的三边是3，3，6时，3+3=6，不符合三角形的三边关系定理，∴此时不能组成三角形；
当等腰三角形的三边是3，6，6时，此时符合三角形的三边关系定理，周长是3+6+6=15．
故答案是：15．
14. 已知圆锥的母线长为4cm，底面圆的半径为3cm，则此圆锥的侧面积是_____cm2．
【答案】12π
【解析】
【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式计算即可．
【详解】解：圆锥的侧面积（cm2）．
故答案为:12π．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
15. 如图，已知 是的外接圆，是的直径，若，则的度数是____°．
【答案】
【解析】
【分析】根据是的直径可得，根据圆周角定理可得，即可求得的度数．
【详解】解：如下图所示，连接，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查圆的性质，解题的关键是熟练掌握圆周角定理．
16. 已知△ABC的面积是54cm2，周长是36cm，则△ABC的内切圆半径是______cm．
【答案】3
【解析】
【分析】根据三角形内切圆的性质可得，即可根据三角形的面积和周长即可计算出半径．
【详解】解：设圆半径为，
∵，
∴，
∴cm，
故答案为：3．
【点睛】本题考查三角形内切圆的性质，解题的关键是熟练掌握三角形内切圆的相关知识．
17. 如图，在平面直角坐标系中，与轴相切于点A，与轴交于点，连接并延长交于点D，交y轴于点E，连接并延长交x轴于点F，已知点D的坐标为，且点A是的中点，则点B的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】由中点坐标含义先求解 连接证明 设再利用勾股定理建立方程，再解方程即可．
【详解】解：连接 为的中点，
∴ 设
∵为直径，
∴
∴
∴
解得：
∴的坐标为：
故答案为：
【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，坐标与图形，勾股定理的应用，熟练的利用圆周角定理建立直角三角形是解本题的关键．
18. 如图，是的直径，点是的中点，点是直径所在直线下方一点，连接，且满足，， ，则的面积为______；的长为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】设交于点，连接，根据含30度角的直角三角形的性质，求得，继而求得的面积，延长交于点，过点作交的延长线于，连接，过点作，连接，，根据等面积法求得，证明四边形是正方形，证明，设，进而根据得出,求得的值，在在中，勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，设交于点，连接
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
延长交于点，过点作交的延长线于，连接，过点作，连接，，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∵点C是的中点，
∴，，是等腰直角三角形，
∴是等腰直角三角形，
∴四边形是正方形，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵,
设，
∴
∴，
∵,，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
在中，
．
故答案为：，．
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 解方程：
（1）；
（2）x2－4x－1＝0．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）根据直接开平方法解方程即可；
（2）根据配方法解方程即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴，；
【小问2详解】
解：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，．
【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法，包括配方法、直接开平方法等．
20. 已知，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】先化简代数式，再将一元二次方程进行变形，再代入化简后代数式中，即可得．
【详解】解：，
∵
∴，
将代入中，
，
即．
【点睛】本题考查了代数式求值，解题的关键是正确化简代数式，正确变形一元二次方程．
21. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）设a、b是该方程的两个实数根，且满足，求实数m的值．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据方程有两个相等的实数根可知根的判别式大于0，求出m的取值范围即可；
（2）根据根与系数的关系得出与的值，代入进行计算即可．
【小问1详解】
解：∵一元二次方程有两个不相等实数根，
∴，解得：．
【小问2详解】
解：由题意可知：，，
∵，
∴，
解得：或，
∵，
∴．
【点睛】本题考查根的判别式以及根与系数的关系，熟知，是一元二次方程的两根时，，是解答此题的关键．
22. 如图，四边形内接于，为的直径，平分．
（1）试判断的形状，并给出证明；
（2）若，，求的长度．
【答案】（1）为等腰直角三角形，理由见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）为等腰直角三角形，利用直径所对的圆周角是直角证明，再利用得到，即可证明为等腰直角三角形；
（2）利用勾股定理求出，进一步可求出．
【小问1详解】
解：为等腰直角三角形，
理由：∵为的直径，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形．
【小问2详解】
解：∵为的直径，
∴，
∵为等腰直角三角形，且，
∴由勾股定理可得：，
∵，
∴．
【点睛】本题考查直径所对的圆周角等于直角，等腰直角三角形的判定，勾股定理，等弧对等角，熟练掌握以上相关知识是解题关键．
23. 如图，已知为 的直径，CD是的弦，、的延长线交于点E，且．
（1）若，求的度数；
（2）若的度数是的度数的m倍，则m＝ ．
【答案】（1）
（2）3
【解析】
【分析】（1）根据得到，根据等腰三角形底角相等得，再根据三角形的外角定理得到，从而得到，再通过三角形外角定理即可得到的度数．
（2）根据圆弧度数比等于对应的圆心角之比即可得到答案．
【小问1详解】
解：如下图所示，连接，
由题意得，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵,
∴，
∵,
∴；
【小问2详解】
解：∵对应的圆心角，对应的圆心角，
∴．
【点睛】本题考查圆的性质和三角形外角定理，解题的关键是熟练掌握圆的相关知识和三角形外角定理．
24. 如图，是 为直径，点D是上一点，过点A的切线与弦的延长线交于点C，过点D的直线与线段交于点E，且．
（1）猜想直线与的位置关系，并证明；
（2）若的半径是3，，求阴影部分的面积．
【答案】（1）是切线，证明见详解
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，，根据切线的性质得到，根据对顶角相等通过等量代换得到，最后推算出，从而得到，即可证得是的切线；
（2）先根据圆周角定理得到，再根据得到，根据勾股定理计算出直角三角形的边长，计算出三角形的面积，从而得到，再计算出扇形的面积，即可得到阴影部分的面积．
【小问1详解】
解：是的切线，
如下图所示，连接，射线为
∵是的切线，
∴，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：如下图所示，连接、，
∵，
∴，
∵、是的切线，
∴，
∵ ，
∴，
∴,
∴，
∴,
∵,
∴,
∴,
∵，
∴阴影部分的面积为：．
【点睛】本题考查圆的性质，解题的关键是数量掌握圆的切线定理和圆周角定理．
25. 如图1，平面直角坐标系中，A、B、C三点的坐标分别是（3，0）、（5，0）、（0，4）．
（1）用无刻度的直尺和圆规作出过A、B、C三点的⊙P，求圆心P的坐标；
（2）如图2，若过A、B两点的⊙M恰好与直线l：相切，请直接写出圆心M的坐标： ．
【答案】（1）画图见解析，圆心P的坐标为
（2）或
【解析】
【分析】（1）作出AB和AC的垂直平分线，两条直线的交点即为圆心P，
（2）设⊙M与直线l：相切相切与点N，连接AM，MN，根据题意表示出MN的表达式，进而得到点N的坐标，最后根据半径相等列出方程求解即可．
【小问1详解】
如图所示．作出AB和AC的垂直平分线，两条直线的交点即为圆心P，
连接AP，CP，AB的垂直平分线交x轴于点M，
∵，A（3，0）、B（5，0）
∴，即点M是AB的中点
∴M点坐标为（4，0）
∴点P的横坐标为4，
设点P的坐标为（4，y）
∵
∴，解得
∴圆心P的坐标为；
【小问2详解】
如图所示，设⊙M与直线l：相切相切与点N，连接AM，MN，
同（1）可得点M的横坐标为4，
∴设点M的坐标为
∵⊙M与直线l：相切相切与点N
∴
∴设MN所在直线的表达式为
将点M代入得，即
∴MN所在直线的表达式为
∴联立得：，解得
∴点N的坐标为
∵点A和点N都在⊙M上
∴
∴
整理得
解得：或
∴圆心M的坐标为或
故答案为：或．
【点睛】此题考查了确定要圆的条件，一次函数和圆综合题，切线的性质和垂径定理知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
26. 某科研单位准备将院内一块长30m，宽20m的矩形空地，建成一个矩形花园，要求在花园内修两条纵向平行和一条横向弯折的小道（小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形），剩余的地方种植花草．
（1）如图1，要使种植花草的面积为，求小道进出口的宽度为多少米；
（2）现将矩形花园的四个角建成休闲活动区，如图2所示，均为全等的直角三角形，其中，设米，竖向道路出口和横向弯折道路出口的宽度都为2m，且竖向道路出口位于和之间，横向弯折道路出口位于和之间．
①求剩余的种植花草区域的面积（用含有a的代数式表示）；
②如果种植花草区域的建造成本是100元/米2、建造花草区域的总成本为42000元，求a的值．
【答案】（1）1米； （2）①；②．
【解析】
【分析】（1）设小道进出口的宽度为米，然后利用其种植花草的面积为532平方米列出方程求解即可；
（2）①先用a表示出四个直角三角形的面积，从而表示出剩余花草区域的面积；②由①和题目意思列出方程求解即可．
【小问1详解】
解：设小道进出口的宽度为米，
依题意得．
整理，得．
解得，，．
（不合题意，舍去），
；
答：小道进出口的宽度应为1米；
【小问2详解】
解：①剩余的种植花草区域的面积为：
②由，得：
，
解得：（舍去）．
故．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，面积的表示，解题的关键是找到正确的等量关系并列出方程，注意根据实际意义舍根．
27. 已知平面直角坐标系中，以原点为圆心，为半径的交y轴的正半轴于点，小刚同学用手中的三角板（）进行了如下的实验操作：
（1）如图1，将三角板的斜边放置于轴上，边恰好与相切于点，则切线长 ；
（2）如图2，将三角板的顶点在上滑动，直角顶点恰好落在轴的正半轴上，若边与相切于点，求点的坐标；
（3）请在备用图上继续操作：将三角板的顶点继续在上滑动，直角顶点恰好落在上且在轴右侧，边与轴的正半轴交于点，与的另一交点为，若，求的长．
【答案】（1）
（2）
（3）的长为或
【解析】
【分析】（1）连接，得出，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理即可求得的长，继而求得的长；
（2）连接，设线段交于点，过点作于，得出四边形是矩形，根据垂径定理以及进行的性质得出，在中，勾股定理求得，中，勾股定理求得，即可求得点的坐标；
（3）分类讨论，①当在点上方时，过点作于点，连接，根据90度角所对的弦是直径，得出是的直径，进而勾股定理求得，垂径定理求得，在中，得出，在中求得，继而根据即可求解；②当点在点下方时，过点作，同一法证明点重合，进而垂径定理即可求解．
【小问1详解】
如图，连接，
∵边恰好与相切于点，
∴
∵
∴
∴
∴中，,
∴
∴,
故答案为：；
【小问2详解】
如图，连接，设线段交于点，过点作于，
∵边与相切于点，
∴，
又，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴,
∵
∴
∴
在中，
∴,
∴，
∴中，,
∴，
【小问3详解】
解：①如图，当在点上方时，过点作于点，连接
∵
∴是的直径，
∴
∵
在中，，
∵
∴,
在中，
∵
∴
在中，
∴
②当点在点下方时，如图，
∵
∴是的直径，
∴
∵
在中，，
过点作，
∴
在中，，
∵
∴
∴，即点重合，
∴
∴
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，切线的性质，含30度角的直角三角形的性质，综合运用以上知识是解题的关键．
28. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为点在轴的正半轴上，且，以点为圆心，1为半径画，与轴交于点（点在点的下方），点是的中点，点是上的一个动点，从点开始以5度/秒的速度沿圆周逆时针运动一周，设运动时间为t秒．
（1）如图1，连接，当时，求t的值；
（2）如图2，点P在运动过程中，连接，以为边在左侧作等边，
①当秒时，求点的坐标；
②连接，当最大时，求此时t的值和这个最大值．
【答案】（1）秒或秒
（2）①；②t的值为36秒，最大值为4
【解析】
【分析】（1）根据直角三角形的斜边中线性质和等腰三角形的性质得到，再根据平行线的性质得到即可求解；
（2）①根据题意，可求得，则，根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理可求得、、，过作⊥轴于，易求出点坐标，，根据等边三角形的性质和两点距离坐标公式列方程求解即可；
②以为边在左侧作等边，证明得到，则的运动轨迹是以点为圆心，1为半径的圆，连接并延长交圆于，当与重合时，最大，利用等边三角形的性质和勾股定理求出即可得到最大值，再设圆B与y轴交点为，易求得，故当最大时，点从点C运动到点，求出此时的t值即可
【小问1详解】
解：如图1，∵是的中点，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点是上的一个动点，从点开始以5度/秒的速度沿圆周逆时针运动，
∴（秒），
∵当从运动到时，也满足，
∴（秒），
综上，满足条件的t值为6秒或42秒；
【小问2详解】
解：①如图2，当秒时，，
∵点的坐标为点在轴的正半轴上，且，
∴，，，又，
∴，
，
过作⊥轴于，则，
∴，
∴，
∴
设，
∵是等边三角形，
∴，则，
解得：，
∵即，
∴，
解得：，
则，
∴点坐标为；
②如图3，以为边在左侧作等边，
则，，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴的运动轨迹是以点为圆心，1为半径的圆，
连接并延长交圆于，当与重合时，最大，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴，即最大值为4，
∴，
设圆与轴交点为，则，
∴，
∴，
∴当最大时，点从点运动到点，此时，（秒）．
【点睛】本题考查等边三角形的性质、旋转的性质、含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质、坐标与图形、全等三角形的判定与性质、圆的有关知识、两点距离坐标公式、勾股定理等知识，涉及知识点较多，难度较大，熟练掌握相关知识的联系与运用，在第（2）②中得到点D的运动轨迹是关键．