全等三角形的七大模型压轴题训练（五）-2023-2024学年七年级数学下册全等三角形的七大模型全攻略（北师大版，成都专用）

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(1)如图1，若，，求的长．
(2)如图2，若D为延长线上一点，试探究、、的关系，并说明理由．
(3)如图3，若D为延长线上一点，E为延长线上一点，，请直接写出的比值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）延长至点，使，易得为等边三角形，证明，得到，利用求出的长即可．
（2）延长至点，使，易得为等边三角形，证明，得到，根据，即可得到；
（3）在上截取，易得为等边三角形，证明，得到，设，求出，即可得解．
【详解】（1）解：延长至点，使，
∵三角形是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：；理由如下：
延长至点，使，
∵三角形是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：在上截取，
∵三角形是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
设，
∴，，，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质．通过添加辅助线，证明三角形全等，是解题的关键．
2．已知D是等边三角形中AB边上一点，将CB沿直线CD翻折得到CE，连接并延长交直线于点F．
(1)如图1，若，直接写出∠CFE的度数；
(2)如图1，若，求AE的长；
(3)如图2，连接BF，当点D在运动过程中，请探究线段AF，BF，CF之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)
(2)2
(3)，证明见解析
【分析】（1）根据等边三角形及翻折的性质可求出的值以及，在根据三角形内角和定理求出的值，然后在中根据三角形内角和定理求解的值即可；
（2）方法同（1）先求出，然后在上截取，使，连接，如图1，可知是等边三角形，根据，，得到，证明，最后根据计算求解即可；
（3）由（2）可得，证明过程同（2）．
【详解】（1）解：由等边三角形及翻折的性质得，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴的度数为．
（2）解：由（1）可得，
∵，，
∴，
∴，
如图1，在上截取，使，连接，
由题意知，
∴是等边三角形，
∵，，
∴，
在和中
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的长为2．
（3）解：；
证明如下：由（2）可得，点D在运动过程中，是定值，
如图2，在上截取，使，连接，
∴同理（2）可知是等边三角形，
∵，，
∴，
在和中
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了等边三角的性质，翻折的性质，三角形内角和定理及全等三角形的判定与性质．熟练掌握知识并正确的作辅助线是解题的关键．
3．如图，在等边中，点D是边上一定点，点E是直线上一动点，以为一边作等边，连接．
(1)如图1，若点E在边上，且，垂足为E，求证：；
(2)如图1，若点E在边上，且，垂足为E，求证：；
(3)如图2，若点E在射线上，请探究线段，与之间存在怎样的数量关系？并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)，理由见解析
【分析】(1)先计算，得到．
(2)根据，利用三线合一，证明直线是线段的垂直平分线即可．
(3)分点E在上和的延长线上 ，两种情况证明．
【详解】（1）解：∵是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴．
（2）解：∵是等边三角形，
∴，
又∵，
∴°，
∴．
∵是等边三角形，
∴，
∴直线是线段的垂直平分线，
∴，
∴．
（3）当点E在线段上，结论：．
理由如下：过点D作，交于点M，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
当点E在线段的延长线上，结论：．
理由如下：过点D作，交于点M，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键．
4．在等腰三角形中，，在的外部作等边三角形，E为的中点，连接并延长交于点F，连接．
(1)如图1，若，求和的度数．
(2)如图2中，的平分线交于点M，交于点N，连接．
①补全图2；
②若，求证：．
【答案】(1)，
(2)①见解析；②见解析
【分析】（1）根据等边角对等角求出，根据等边三角形的性质，得到，利用三线合一，求出，，利用互余关系求出度数，根据等边对等角求出，利用求出的度数；
（2）①根据要求画出图形即可；②设，由，推出，可得，，由，推出， ， ，在中，根据，构建方程求出，再证明即可解决问题．
【详解】（1）解：如图1中，
在等边三角形中，
，．
∵E为的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴．
（2）解：①补全图形，如图所示．
②证明：连接．
∵平分，
∴设，
∵，
∴．
在等边三角形中，
∵E为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质．本题的综合性较强，能够灵活运用相关知识点，是解题的关键．
5．我们定义：如图1，在中，把AB绕点A按顺时针方向旋转得到，把绕点A按逆时针方向旋转得到，连接，当时，我们称是的“旋补三角形”，的边上的中线AF叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．
(1)在图2、图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”．
①如图2，当是等边三角形时，与的数量关系为： ______；
②如图3，当，时，则长为______．
(2)如图4，已知在四边形内部存在点P，使得是的“旋补三角形”，且点A的对应点为点D，点B的对应点为点C．请用直尺和圆规作出点P；（要求：保留作图痕迹，不写作法和证明）
(3)在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明．
【答案】(1)①2；②3
(2)见详解
(3)，证明见详解
【分析】（1）①根据是等边三角形，得到，，根据“旋补三角形”的定义得到，，，进而得到，，，从而得到，即可得到；
②根据“旋补三角形”得到，，，进而得到，,，从而得到，根据直角三角形的性质即可得到；
（2）作线段、的垂直平分线，交点即为点，点即为所求作的点；
（3）延长到，使得，连接、，先证明四边形是平行四边形，得到，，进而证明，，从而得到，即可得到，．
【详解】（1）解：①∵是等边三角形，
，，
是的“旋补三角形”，
，，，
，
∵是的中线，
，，
，
，
∴；
故答案为：2；
②是的“旋补三角形”，
，，，
∴，
∵，
∴,
，
，
，是的中线，
；
故答案为：3
（2）解：如图4，作线段、的垂直平分线，交点即为点，点即为所作；
证明：由作图得在四边形内部存在点P，使得是的“旋补三角形”，且点A的对应点为点D，点B的对应点为点C．
∴,
∴点P分别在线段的垂直平分线上，
由作图得点P即为所求作的点；
；
（3）解： ，
证明：如图1，延长到，使得，连接、，
∵是的中线，
，
∵，
四边形是平行四边形，
，，
∵是的“旋补三角形”，
∴，
∴，
∴，
，
，
．
.
【点睛】本题为新定义问题，考查了直角三角形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，平行四边形的性质与判定等知识，综合性较强，熟知相关定理，理解“旋补三角形”的定义并灵活应用是解题关键．
6．已知正方形和一动点E，连接，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，．
(1)如图1，当点E在正方形内部时，
①依题意补全图1；
②求证：；
(2)如图2，当点E在正方形外部时，连接，取中点M，连接，，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)；理由见解析
【分析】（1）①根据题意补全图形即可；
②证明，根据全等三角形对应边相等得出结果即可；
（2）连接、，延长，使，连接，延长交于点G，证明，得出，，证明，得出，，证明，得出，即可证明结论．
【详解】（1）解：①依题意补全图1，如图所示：
②∵四边形为正方形，
∴，，
根据旋转可知，，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：；理由如下：
连接、，延长，使，连接，延长交于点G，如图所示：
∵四边形为正方形，
∴，，
根据旋转可知，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
，
∴，
∵点M为的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，旋转的性质，平行线的判定和性质，解题的 关键是作出辅助线，构造全等三角形，熟练掌握三角形全等的判定方法．
7．动态几何问题是由点动、线动、形动而构成的，需要用运动与变化的眼光去观察和研究图形．有时借助特殊的四边形常常能帮助我们化“动”为“静”．
(1)如图1，点P为矩形对角线上一动点，过点P作，分别交于点E、F．若的面积为，的面积为，则与的数量关系是______（填“>”、“<”或“=”）；
(2)如图2，在正方形中，E为边上一动点（不与点B、C重合），垂直于的一条直线分别交于点M、P、N．判断线段之间的数量关系，并说明理由．
(3)如图3，正方形的边长为4，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，以为边向左侧作等边，连接，则的最小值为______．
【答案】(1)＝
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（1）过点P作，交于点G，交于点H，可得四边形、四边形、四边形、四边形为矩形，再根据矩形的性质可得，即可求解；
（2）过点B作分别交于点G，F，证明即可；
（3）将点B绕点E顺时针旋转得H，连接，可得是等边三角形，再证明，随着F在上运动，G的运动路径始终与定直线垂直，所以当时，取得最小值，此时，作于I，则四边形是矩形即可求解．
【详解】（1）过点P作，交于点G，交于点H，

∵四边形为矩形，
∴，
∴四边形、四边形、四边形、四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2），理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，，．
过点B作分别交于点G，F．
∴四边形为平行四边形．
∴．所以，，
∴，
又∵，
∴．
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
（3）将点B绕点E顺时针旋转得H，连接，
则，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
即，
在和中，
∵，
∴，
∴，
随着F在上运动，G的运动路径始终与定直线垂直，
∴当时，取得最小值，
此时，作于I，则四边形是矩形，
∴，，
∵，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的法判定和性质等知识点，能够综合运用各个知识点是解题的关键．
8．在数学的学习中，有很多典型的基本图形．
(1)如图①，中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为、．试说明 ；
(2)如图②，中，，，点、、在同一条直线上，，，．则菱形面积；
(3)如图③，分别以的直角边、向外作正方形和正方形，连接，是的高，延长交于点，若，，直接写出AI的长度．
【答案】(1)
(2)24
(3)5
【分析】（1）证，，由证明即可；
（2）连接，交于，由菱形的性质得，同（1）得，得，，由三角形面积公式求出，即可得出答案；
（3）过作的延长线于，过点作于，同（1）得，，得，证，得，证，由勾股定理求出，再由直角三角形的性质即可得出答案．
【详解】（1）证明：直线，直线，
，
，
，
在和中，，
；
（2）连接，交于，如图②所示：
四边形是菱形，
，
，
同（1）得：，
，，
，
；
（3）过作的延长线于，过点作于，如图③所示：
，
四边形和四边形都是正方形，
，，，
同（1）得：，，
，
在和中，，
，，是的中点，
，
，
在中，由勾股定理得：，
是的中点，．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、菱形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理、三角形面积等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
9．【向题情境】
课外数学兴趣小组活动时，老师提出了如下何题：
如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接，请根据小明的方法思考：
(1)由已知和作图能得到，依据是__________．
A． B． C． D．
(2)由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是__________．
解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．
【初步运用】
(3)如图②，是的中线，交于E，交于F，且．若，，求线段的长．
【拓展提升】
(4)如图③，在中，D为的中点，分别交于点E，F．求证：．
【答案】(1)B
(2)
(3)8
(4)见解析
【分析】（1）利用证明；
（2）利用三角形的三边关系进行求解即可；
（3）延长到M，使，连接，证明，推出为等腰三角形，得到，即可得解；
（4）延长到点G，使，连接，易得，证明，得到，在中，，即可得出结论．
【详解】（1）解：在和中
，
∴，
故选：B；
（2）由（1）得：，
∴，
在中，，即，
∴，
故答案是：；
（3）延长到M，使，连接，如图所示：
∵，，
∴，
∵是中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（4）解： 延长到点G，使，连接，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵D是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的三边关系．熟练掌握倍长中线法，证明三角形全等，是解题的关键．
10．在 中，，，点 D 是直线 上一点，点 C 关于射线 的对称点为点 E．作直线 交射线 于点 F．连接 ．
(1)如图 1，点 D 在线段 上，求 的大小（用含α 的代数式表示）；
(2)如果，
①如图 2，当点 D 在线段 上时，用等式表示线段 ，， 之间的数量关系，并证明；
②如图 3，当点 D 在线段 的延长线上时，补全图形，直接写出线段 、、之间的数量关系．
【答案】(1)
(2)①，证明过程见解析；②，补全图形见解析
【分析】（1）连接、，由轴对称的性质可得，，，设，则，由等腰三角形的性质可得出结论；
（2）①延长至点G，使，连接，证明为等边三角形，由等边三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出，即可得出结论；
②在上取点G，使得，连接，证明，由全等三角形的性质得出，即可得出结论．
【详解】（1）解：连接、，
∵点E为点C关于的对称点，
∴，，，
设，则，
∵，
∴,
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：①，
延长至点G，使，连接，
∵，
∴，
∴为等边三角形，，
由（1）知，，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
②，连接，
∵点E为点C关于的对称点，
∴，，，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在上取点G，使得，连接，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
在和中，
， ∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查作图−轴对称变换、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，添加常用辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
11．如图为等边三角形，直线，D为直线上任一动点，将一角的顶点置于点D处，它的一边始终经过点A，另一边与直线a交于点E．
(1)如图1，若D恰好在的中点，求证：是等边三角形；
(2)如图2，若D为直线上任一点，其他条件不变，上述（1）的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)成立，见解析
【分析】（1）根据题意得出，进而可证得，从而可判断出结论．
（2）在上取点F，使，连接，从而证得，进而得出结论．
【详解】（1）证明：∵，且为等边三角形，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴，
又，
∴是等边三角形；
（2）成立，理由如下：
在上取点F，使，连接，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴是等边三角形
【点睛】本题考查了等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定与性质，难度较大，注意基本性质的掌握及熟练应用是解答本题的关键．
12．如图，中，，两点分别在边，上，点在上，连接，，，已知，，．

(1)求证：；
(2)连接，若，，求证：；
(3)在（2）的条件下，若，求的值（用含的代数式来表示）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据三角形外角的性质可得，再结合可得，最后结合即可证明结论；
（2）先证可得，进而证得，即，然后根据等边对等角即可证明结论；
（3）如图：过点作交于点，则，，即；再证可得，进而得到；再根据平行线等分线段定理可得，最后结合进行计算即可解答．
【详解】（1）解：∵是的外角，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
（2）解：在和中，
，，，
∴，
∴，
∴，，
由（1）知，
∴，
∴，
∴．
（3）解：如图：过点作交于点，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴．

【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质、全等三角形的判定与性质、平行线等分线段定理、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用所学知识是解答本题的关键．