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    广东省深圳市龙岗区2023-2024学年高三上学期1月期末数学试题(Word版附答案)
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    广东省深圳市龙岗区2023-2024学年高三上学期1月期末数学试题(Word版附答案)

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    这是一份广东省深圳市龙岗区2023-2024学年高三上学期1月期末数学试题(Word版附答案),共12页。试卷主要包含了考试结束,请将答题卡交回,已知函数是偶函数,则的值是等内容,欢迎下载使用。

    注意事项:
    1.本试卷共6页,22小题,满分150分,考试用时120分钟。
    2.答题前,请将学校、班级、姓名和考号用规定的笔写在答题卡指定的位置上,并将条形码粘贴在答题卡的贴条形码区。请保持条形码整洁、不污损。
    3.本卷试题,考生必须在答题卡上按规定作答;凡在试卷、草稿纸上作答的,其答案一律无效。答题卡必须保持清洁,不能折叠。
    4.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔将答题卡选择题答题区内对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案;非选择题答案必须用规定的笔,按作答题目的序号,写在答题卡非选择题答题区内。
    5.考试结束,请将答题卡交回。
    一、单项选择题:本题共8小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求。
    1.已知集合,,则
    A.B.C.D.
    2.已知复数,则在复平面内对应的点位于
    A.第一象限B.第二象限
    C.第三象限D.第四象限
    3.已知数列为等差数列,为其前项和,,则
    A.B.C.D.
    4.已知,且,则的值为
    A.B.C.D.
    5.已知,则
    A.B.2C.D.
    6.过圆上一点A作圆的切线,切点为B,则的最小值为
    A.2B.C.D.
    7.已知函数是偶函数,则的值是
    A.1B.C.2D.
    8.已知矩形ABCD中,,,将沿BD折起至,当与AD所成角最大时,三棱锥的体积等于
    A.B.C.D.
    二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。
    9.关于二项式的展开式,下列结论正确的是
    A.展开式所有项的系数和为B.展开式二项式系数和为
    C.展开式中第5项为D.展开式中不含常数项
    10.已知,是夹角为的单位向量,,,下列结论正确的是
    A.B.
    C.D.在上的投影向量为
    11.下列说法中正确的是
    A.用简单随机抽样的方法从含有60个个体的总体中抽取一个容量为6的样本,则个体m被抽到的概率是0.1
    B.已知一组数据1,2,m,6,7的平均数为4,则这组数据的方差是
    C.数据13,27,24,12,14,30,15,17,19,23的第70百分位数是23
    D.若样本数据的标准差为8,则数据的标准差为32
    12.已知抛物线的焦点为F,准线与x轴的交点为P,过点F的直线与抛物线交于点M,N,过点P的直线与抛物线交于点A,B,则
    A.B.
    C.D.
    三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
    13.函数的最小正周期为 .
    14.有甲、乙、丙三项任务,其中甲需2人承担,乙、丙各需1人承担,现从6人中任选4人承担这三项任务,则共有 种不同的选法.
    15.已知是椭圆的左,右焦点,上两点满足,,则的离心率为 .
    16.已知函数(且),若函数恰有一个零点,则实数的取值范围为 .
    四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
    17.(本小题满分10分)
    的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.
    (1)求B;
    (2)若,,求的面积.
    18.(本小题满分12分)如图,在三棱锥中,平面,,.
    (1)求证:AB⟂平面PBC;
    (2)若是的中点,求与平面所成角的余弦值.
    19.(本小题满分12分)
    已知数列满足,且对任意正整数,都有
    (1)求数列的通项公式;
    (2)求数列的前n项和.
    20.(本小题满分12分)
    已知双曲线的左、右焦点分别为,,离心率为,过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点,.当时,的面积为5.
    (1)求双曲线的标准方程;
    (2)若直线与轴交于点,且,,求证:为定值.
    21.(本小题满分12分)
    某工厂采购了一批新的生产设备.经统计,设备正常状态下,生产的产品正品率为0.98.为监控设备生产过程,检验员每天从该设备生产的产品中随机抽取10件产品,并检测质量.规定:抽检的10件产品中,若至少出现2件次品,则认为设备生产过程出现了异常情况,需对设备进行检测及修理.
    (1)假设设备正常状态,记X表示一天内抽取的10件产品中的次品件数,求,并说明上述监控生产过程规定的合理性;
    (2)该设备由甲、乙两个部件构成,若两个部件同时出现故障,则设备停止运转;若只有一个部件出现故障,则设备出现异常.已知设备出现异常是由甲部件故障造成的概率为p,由乙部件故障造成的概率为.若设备出现异常,需先检测其中一个部件,如果确认该部件出现故障,则进行修理,否则,继续对另一部件进行检测及修理.已知甲部件的检测费用1000元,修理费用5000元,乙部件的检测费用2000元,修理费用4000元.当设备出现异常时,仅考虑检测和修理总费用,应先检测甲部件还是乙部件,请说明理由.
    参考数据:.
    22.(本小题满分12分)
    已知函数.
    (1)讨论函数的单调性;
    (2)若函数有两个零点,且.证明:.高三数学参考答案及评分标准
    一、单项选择题
    二、多项选择题
    三、填空题
    四、解答题
    17.(1)法一:因为,所以,
    整理得,
    所以,
    又因为,所以;
    法二:因,所以,由正弦定理得

    整理得,
    因为,所以,
    又因为,
    所以;
    (2)由余弦定理得,,,
    所以,
    所以,或(舍),
    所以的面积.
    18.(1)因为平面,平面,所以,
    又,,所以,在中,因为,所以,所以,因为平面,平面,所以,又因为平面,所以平面;
    (2)(方法一)如图,以为坐标原点,建立空间直角坐标系,
    则,,,,,
    所以,,,
    设平面的法向量为,
    则,即,令,则,所以,设与平面所成角为,
    则,,∴,
    即与平面所成角的余弦值为.
    (2)(方法二)过点作,垂足为,连接,因为平面,平面,所以,又平面,所以平面,
    则为与平面所成角的平面角,在中,,
    在中,,∴在中,,故,
    即与平面所成角的余弦值为.
    19.(1)由对任意整数均有,取,得,
    当时,,
    当时,,符合上式,所以.
    (2)当为偶数时,

    当为奇数时,若,则,
    若,则,
    且当时,满足.
    综上所述:
    20.(1)当时,,,
    可得,
    由双曲线的定义可知,,
    两边同时平方可得,,
    所以 ①
    又双曲线的离心率为,所以 ②
    由①②可得,,,所以,
    所以双曲线的标准方程为.
    (2)当直线与轴垂直时,点与原点重合,
    此时,,,所以,,.
    当直线与轴不垂直时,设直线的方程为,,,
    由题意知且,
    将直线的方程与双曲线方程联立,消去得,,
    则,,.
    易知点的坐标为,
    则由,可得,
    所以,
    同理可得.
    所以.
    综上,为定值.
    21.(1)由题可知,单件产品为次品的概率为0.02,所以,
    所以,,
    所以,
    由可知,如果生产状态正常,一天内抽取的10个零件中,至少出现2个次品的概率约为0.014,该事件是小概率事件,因此一旦发生这种状况,就有理由认为设备在这一天的生产过程出现了异常情况,需对设备进行检测和修理,可见上述监控生产过程的规定是合理的.
    (2)若先检测甲部件,设检测费和修理费之和为元,则的所有可能值为6000,7000,
    则,,
    所以,
    若先检测乙部件,设检测费和修理费之和为元,则的所有可能值为6000,8000,
    则,,
    所以,
    所以,
    则当时,,应先检测乙部件;
    当时,,先检测甲部件或乙部件均可;
    当时,,应先检测甲部件.
    22.(1)的定义域为,,
    当时,在上恒大于0,所以在上单调递增,
    当时,由,可得,
    当时,,当时,.
    所以函数在上单调递减,在上单调递增;
    (2)由题可得,
    两式相减可得,
    要证,即证,
    即证,即证,
    令,则,即证,
    令,则,
    所以在上单调递增,所以,
    所以,故原命题成立.题号
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    8
    答案
    C
    C
    B
    D
    D
    B
    D
    A
    题号
    9
    10
    11
    12
    答案
    BCD
    ACD
    AB
    ACD
    题号
    13
    14
    15
    16
    答案

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