人教版九年级数学下册基础知识专项讲练 专题27.40 相似三角形与动点问题（培优篇）（专项练习）

这是一份人教版九年级数学下册基础知识专项讲练 专题27.40 相似三角形与动点问题（培优篇）（专项练习），共48页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是（ ）
A．1.5B．1.2C．2.4D．以上都不对
2．如图，在矩形ABDC中，AC=4cm，AB=3cm，点E以0.5cm/s的速度从点B到点C，同时点F以0.4cm/s的速度从点D到点B，当一个点到达终点时，则运动停止，点P是边CD上一点，且CP=1，且Q是线段EF的中点，则线段QD+QP的最小值为（ ）
A．B．5C．D．
3．如图1，在矩形中，点在上，，点从点出发，沿的路径匀速运动到点停止，作于点，设点运动的路程为，长为，若与之间的函数关系图象如图2所示，当时，的值是（ ）
A．2B．C．D．1
4．如图，在中，，，，点D是的中点，点P是直线上一点，将沿所在的直线翻折后，点B落在处，若，则点P与点B之间的距离为（ ）
A．1或5B．1或3C．或3D．或5
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8．E是AC边上一动点，过点E作EF∥AB交BC于点F，D为线段EF的中点，当BD平分∠ABC时，AE的长度是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，点E从矩形ABCD的顶点B出发，沿射线BC的方向以每秒1个单位的速度运动，过E作EF⊥AE交直线DC于F点，如图2 是点E运动时CF的长度y随时间t变化的图象，其中M点是一段曲线（抛物线的一部分）的最高点，过M点作MN⊥y轴交图象于N点，则N点坐标是（ ）
A．（5，2）B．（，2）C．（，2）D．（，2）
7．如图，AB＝4，射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上，2BE＝DB，作EF⊥DE并截取EF＝DE，连接AF并延长交射线BM于点C．设BE＝x，BC＝y，则y关于x的函数解析式是（ ）
A．y＝﹣B．y＝﹣C．y＝﹣D．y＝﹣
8．如图，已知点A是第一象限内横坐标为2的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y=﹣x于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动，求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长为（ ）．
A．B．C．4D．
9．如图所示，点P是边长为2的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，连接AP并延长，交射线BC于点H，交射线DC于点M，连接EF交AH于点G，当点P在BD上运动时（不包括B、D两点），以下结论中：①MF＝MC；②AP＝EF；③AH⊥EF；④AP2＝PM•PH；⑤EF的最小值是．其中正确结论有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
二、填空题
10．如图，在等边三角形ABC中，AB＝4，点D是边AB上一点，BD＝1，点P是边BC上一动点（D、P两点均不与端点重合），作∠DPE＝60°，PE交边AC于点E．若CE＝a，当满足条件的点P有且只有一个时，则a的值为 _____．
11．如图，已知等腰三角形于点为边中线，相交于点．在从减小到的过程中，点经过的路径长为______．
12．如图，在矩形中，点是的中点，点为射线上的一个动点，沿着折叠得到，连接，分别交和于点和，已知，，若与相似，则的长是______．
13．如图，有一正方形，边长为4，点E是边上的中点，对角线上有一动点F，当顶点为A、B、F的三角形与顶点为D、E、F的三角形相似时，的值为___________．
14．如图，正方形ABCD的边长为4，E为AB边上一点，tan∠ADE=，M为ED的中点，过点M作DE的垂线，交边AD于点P，若点N在射线PM上，且由点E、M、N组成的三角形与△AED相似，则PN的长为______．
15．如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC的中点，点P在射线AD上，过点P作PF⊥AE，垂足为F．当点P在射线AD上运动时，若以P、F、E为顶点的三角形与△ABE相似，则PA的值为_________．
16．如图，在中，，，，菱形顶点在边上，分别在边上，则的取值范围是_____________．
17．如图，已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M，N分别在边AD，BC上，沿着MN折叠矩形ABCD，使点A，B分别落在E，F处，且点F在线段CD上（不与两端点重合），若，则折叠后重叠部分的面积为_____．
18．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AC与BD交于点O，点P，Q分别在线段AO，BC上，且满足BQ＝AP，以PQ为斜边作等腰直角三角形PQM，使点M与B位于PQ的两侧，当点P从点A运动到点O时，点M的运动路径长是_____．
三、解答题
19．如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，F是为射线AD上的一个动点，将△AEF沿EF折叠得到△HEF，连接AC，分别交EF和直线EH于点N，M，已知∠BAC＝，，若△EMN与△AEF相似，则AF的长为多少？
20．如图1，直线AB分别与x轴、y轴交于点A(3，0)，B(0，4)，动点P从点B出发以每秒2个单位的速度向点O运动，点P到达点O停止运动，连接AP，设运动时间为t（秒）（t≠0）．
(1)求直线AB的函数解析式；
(2)当△AOP∽△BOA时，求t的值；
(3)如图2，若将△ABP沿AP翻折，点B恰好落在x轴上的点B1处，求t的值和S△ABP．
21．已知，如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，AD⊥BC于点D，直线PM交BC于点P，交AC于点M，直线PM从点C出发沿CB方向匀速运动，速度为1cm/s；运动过程中始终保持PM⊥BC，过点P作PQ⊥AB，交AB于点Q，交AD于点N，连接QM，设运动时间是t(s)(0＜t＜6)，解答下列问题：
（1）当t为何值时，QM//BC？
（2）设四边形ANPM的面积为y(cm2)，试求出y与t的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使四边形ANPM的面积是△ABC面积的？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）是否存在某一时刻t，使点M在线段PQ的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
22．已知：如图1，在矩形ABCD中，AC是对角线，．点P从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点C出发，沿CA方向匀速运动，速度为．过点Q作，QE与BC相交于点E，连接PQ，设运动时间为，解答下列问题：
(1)连接BQ，当t为何值时，点E在线段BQ的垂直平分线上？
(2)设四边形BPQC的面积为，求y与t之间的函数关系式；并求四边形BPQC的面积为y是矩形ABCD面积的十二分之五时的t的值，
(3)如图2，取点E关于AC的对称点F，是否存在某一时刻t，使为等腰三角形？若存在，直接写出t的值（不需提供解答过程）；若不存在，请说明理由．
(4)t为何值时，Q、F、D三点共线？
23．如图，在Rt△ABC中，，，，点D是边AB的中点．动点P从点B出发，沿BA以每秒4个单位长度的速度向终点A运动，当点P与点D不重合时，以PD为边构造Rt△PDQ，使，，且点Q与点C在直线AB同侧．设点P的运动时间为t秒，△PDQ与△ABC重叠部分图形的面积为S．
(1) 用含t的代数式表示线段PD的长；
(2) 当点Q落在边BC上时，求t的值；
(3) 当△PDQ与△ABC重叠部分图形为四边形时，求S与t的函数关系式；
(4) 当点Q落在△ABC内部或边上时，直接写出点Q与△ABC的顶点的连线平分△ABC面积时t的值．
24．如图，是的高，，点P是边上一动点，过点P作的平行线L，点Q是直线L上一动点，点P从点B出发，沿匀速运动，点Q从点P出发沿直线L向右匀速运动，点P运动到点A时，同时停止．设点P与点Q在同一时刻开始运动，且运动速度相同，点P的运动距离是x．
(1) 求运动过程中，点P与点C之间的最短距离；
(2) 当直线L平分的面积时，求x的值；
(3) 求点Q与边的距离（用含x的式子表示）；
(4) 求当点Q与点C的之间的距离小于时，直接写出x的取值范围．
参考答案
1．B
思路引领：先依据勾股定理求得AB的长，然后依据翻折的性质可知PF＝FC，故此点P在以F为圆心，以2为半径的圆上，依据垂线段最短可知当FP⊥AB时，点P到AB的距离最短，然后依据题意画出图形，最后，利用相似三角形的性质求解即可．
解：如图所示：当PE∥AB．
在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB10，
由翻折的性质可知：PF＝FC＝2，∠FPE＝∠C＝90°．
∵PE∥AB，
∴∠PDB＝90°．
由垂线段最短可知此时FD有最小值．
又∵FP为定值，
∴PD有最小值．
又∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠ADF，
∴△AFD∽△ABC．
∴，即，解得：DF＝3.2．
∴PD＝DF﹣FP＝3.2﹣2＝1.2．
故选：B．
2．A
【分析】如图，建立如图所示的平面直角坐标系，连接QB，PB．首先用t表示出点Q的坐标，发现点Q在直线y=2上运动，求出PB的值，再根据PQ+PD=PQ+QB≥PB，可得结论．
解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，连接QB，PB．
∵四边形ABDC是矩形，
∴AC=BD=4cm，AB=CD=3cm，
∴C（-3，0），B（0，4），
∵∠CDB=90°，
∴BC==5（cm），
∵EH∥CD，
∴△BEH∽△BCD，
∴，
∴，
∴EH=0.3t，BH=0.4t，
∴E（-0.3t，4-0.4t），
∵F（0，0.4t），
∵QE=QF，
∴Q（-t，2），
∴点Q在直线y=2上运动，
∵B，D关于直线y=2对称，
∴QD=QB，
∴QP+QD=QB+QP，
∵QP+QB≥PB，PB==2(cm)，
∴QP+QD≥2，
∴QP+QD的最小值为2．
故选：A．
【点拨】本题考查轴对称最短问题，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，轨迹等知识，解题的关键是构建平面直角坐标系，发现点Q在直线y=2上运动．
3．B
【分析】由图象可知：AE＝3，BE＝4，根据勾股定理可得AB=5，当x=6时，点P在BE上，设此时的PQ为，先求出的长，再根据，求出 的长，即PQ的长．
解：由图象可知：
AE＝3，BE＝4，，
∴AB=
当x=6时,点 P 在 BE 上,设此时的PQ为如图
此时=4-(7-x)=x-3=6-3=3
∵ABCD是矩形,
∴AB // CD
∴
∵
∴
∴
∴
∴
即
故选：B．
【点拨】本题考查的是动点问题函数图象，涉及到三角形相似，勾股定理和矩形的性质，解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义,理解动点的完整运动过程．
4．D
【分析】分点B1在BC左侧，点B1在BC右侧两种情况讨论，由勾股定理可AB=5，由平行线可证△BED∽△BCA，可得，可求BE，DE的长，由勾股定理可求PB的长．
解：如图，若点B1在BC左侧，B1D交BC于E，
∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=，
∵点D是AB的中点，
∴BD=BA=，
∵B1D⊥BC，∠C=90°，
∴B1D∥AC，
∴∠BDE=∠A，∠EBD=∠CBA，
∴△BED∽△BCA，
∴，
∴BE=EC=BC=2，DE=AC=，
∵折叠，
∴B1D=BD=，B1P=BP，
∴B1E=B1D-DE=1，
∴在Rt△B1PE中，B1P2=B1E2+PE2，
∴BP2=1+（2-BP）2，
∴BP=，
如图，若点B1在BC右侧，延长B1D交BC与E，
∵B1D⊥BC，∠C=90°，
∴B1D∥AC，
∴∠BDE=∠A，∠EBD=∠CBA，
∴△BED∽△BCA，
∴，
∴BE=EC=BC=2，DE=AC=，
∵折叠，
∴B1D=BD=，B1P=BP，
∵B1E=DE+B1D=+，
∴B1E=4，
在Rt△EB1P中，B1P2=B1E2+EP2，
∴BP2=16+（BP-2）2，
∴BP=5，
则点P与点B之间的距离为或5．
故选择：D．
【点拨】本题考查了折叠的性质、直角三角形的性质以及勾股定理，相似三角形判定与性质．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意折叠中的对应关系．
5．B
【分析】根据角平分线、中点及平行线的性质，得出FD=ED= FB，设FD=ED= FB=x，再根据△CEF∽△CAB，得出x的值，根据勾股定理即可求解．
解：∵BD平分∠ABC
∴∠ABD=∠FBD
∵EF∥AB
∠FDB=∠ABD
∴∠FDB=∠FBD
∴△FBD为等腰三角形
∴FB=FD
∵D为线段EF的中点
∴FD=ED
∴FD=ED= FB
设FD=ED= FB=x
∴EF=2x
∵EF∥AB
∴△CEF∽△CAB
∴
∴
即
解得：x=
∴CF=8-BF=8-=
EF=2×=
∵∠C＝90°，AB＝10，BC＝8
∴AC==6
在Rt△CEF中
CE= =
∴AE=AC-CE=6-=
故选：B．
【点拨】本题主要考查了角平分线、中点及平行线的性质，也考察了相似三角形的性质，勾股定理的应用；解题关键是熟练掌握角平分线、平行线以及相似三角形的性质以及利用方程解决实际问题．
6．D
【分析】当点运动到点位置时，，则，当点运动到中点位置时，，即，证明，当在的延长线上时，且，根据相似三角形的性质求得的长，即可求得点的横坐标
解：根据函数图象可知，当点运动到点位置时，，则，
当点运动到中点位置时，，即，
∴
四边形是矩形
的纵坐标相等，则当在的延长线上时，，，，
，
即
解得，（舍）
即点的坐标为(，2)
故选：D
【点拨】本题考查了动点问题函数图象，相似三角形的性质与判定，从函数图像获取信息是解题的关键．
7．A
【分析】作点F作FG⊥BC于G，依据已知条件求得△DBE≌△EGF，得出FG＝BE＝x，EG＝DB＝2x，然后证得△FGC∽△ABC，再根据相似三角形的性质即可求解．
解：作点F作FG⊥BC于G，
∵∠DEB+∠FEG＝90°，∠DEB+∠BDE＝90°；
∴∠BDE＝∠FEG，
在△DBE与△EGF中，
，
∴△DBE≌△EGF（AAS），
∴EG＝DB，FG＝BE＝x，
∴EG＝DB＝2BE＝2x，
∴GC＝y﹣3x，
∵FG⊥BC，AB⊥BC，
∴FG∥AB，
∴△FGC∽△ABC，
∴CG：BC＝FG：AB，
即＝，
∴y＝﹣．
故选A．
【点拨】本题考查了三角形全等的判定和性质及相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．
8．B
【分析】（1）利用相似三角形，证明证明线段就是点B运动的路径（或轨迹），如答图②所示．；
（2）如答图①所示，利用相似三角形△A∽△AON，求出线段的长度，即点B运动的路径长．
解：由题意可知，OM= ，点N在直线y=－x上，AC⊥x轴于点M，则△OMN为等腰直角三角形，
∴ ON= ．
如答图①所示，
设动点P在O点（起点）时，点B的位置为，动点P在N点（起点）时，点B的位置为，连接．
∵AO⊥A，AN⊥A，
∴∠OAC=∠A．
又∵A=AO•tan30°，A=AN•tan30°，
∴A：AO=A：AN=tan30°．
∴△A∽△AON，且相似比为tan30°．
∴=ON•tan30°= ×
＝．
现在来证明线段就是点B运动的路径（或轨迹）：
如答图②所示，
当点P运动至ON上的任一点时，设其对应的点B为，连接AP，A，．
∵AO⊥A，AP⊥A，
∴∠OAP=∠A．
又∵A=AO•tan30°，A=AP•tan30°，
∴A：AO=A：AP．
∴△A∽△AOP，
∴∠A=∠AOP．
又∵△A∽△AON，
∴∠A=∠AOP．
∴∠A=∠A．
∴点在线段上，即线段就是点B运动的路径（或轨迹）．
综上所述，点B运动的路径（或轨迹）是线段，其长度为 ．
故选B
【点拨】本题考查坐标平面内由相似关系确定的点的运动轨迹，难度很大．要点有两个：确定点B的运动路径是本题的核心，这要求考生有很好的空间想象能力和分析问题的能力；其次，由相似关系求出点B运动路径的长度，可以大幅简化计算，避免陷入坐标关系的复杂运算之中．
9．C
【分析】由点P为BD中点时，MC=0≠MF，可得①错误；连接PC，交EF于O，由点P在BD上，可得AP=PC，根据PF⊥CD，PE⊥BC，∠BCF=90°可得四边形PECF是矩形，可得EF=PC，即判断②正确；利用SSS可证明△APD≌△CPD，可得∠DAP=∠DCP，由矩形的性质可得∠OCF=∠OFC，即可证明∠DAP=∠OFC，可得∠DAP+∠AMD=∠OFC+∠AMD=90°，即可判断③正确；根据平行线的性质可得∠DAP=∠H，可得∠DCP=∠H，由∠HPC是公共角可证明△CPM∽△HPC，根据相似三角形的性质可得，根据PC=AP即可判断④正确，当PC⊥BD时PC的值最小，根据等腰直角三角形的性质可求出PC的最小值为，根据EF=PC即可判断⑤正确；综上即可得答案.
解：当点P为BD中点时，点M与点C重合，MC=0≠MF，故①错误，
连接PC，交EF于O，
∵点P在BD上，BD为正方形ABCD的对角线，
∴AP=PC，
∵PF⊥CD，PE⊥BC，∠BCF=90°，
∴四边形PECF是矩形，
∴EF=PC，
∴AP=EF，故②正确，
∵AD=CD，AP=PC，PD=PD，
∴△APD≌△CPD，
∴∠DAP=∠DCP，
∵四边形PECF是矩形，
∴∠OCF=∠OFC，
∴∠DAP=∠OFC，
∴∠DAP+∠AMD=∠OFC+∠AMD=90°，
∴∠FGM=90°，即AH⊥EF，故③正确，
∵AD//BH，
∴∠DAP=∠H，
∵∠DAP=∠DCP，
∴∠MCP=∠H，
∵∠CPH为公共角，
∴△CPM∽△HPC，
∴，
∵AP=PC，
∴AP2= PM•PH，故④正确，
当PC⊥BD时，PC有最小值，PC=BD=，
∵PC=EF
∴EF的最小值为，故⑤正确，
综上所述：正确的结论有②③④⑤，共4个，
故选C.
【点拨】本题考查正方形的性质、矩形的判定与性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理及正方形的性质是解题关键.
10．4
【分析】根据等边三角形的性质得∠B＝∠C＝60°，再证明∠EPC＝∠PDB，则可判断△PDB∽△EPC，利用相似比得到BD：PC＝PB：CE，设PB＝x，CE＝m，则PC＝4﹣x，所以x2﹣4x+m＝0，根据判别式的意义得到△＝（﹣4）2﹣4×m＝0，然后解方程即可．
解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∵∠DPC＝∠B＋∠PDB，
即∠DPE＋∠EPC＝∠B＋∠PDB，
而∠DPE＝60°，
∴∠EPC＝∠PDB，
而∠B＝∠C，
∴△PDB∽△EPC，
∴BD：PC＝PB：CE，
设PB＝x，CE＝m，则PC＝4﹣x，
∴1：（4﹣x）＝x：m，
∴x2﹣4x+m＝0，
∵点P有且只有一个，
∴△＝（﹣4）2﹣4m＝0，
解得m＝4，
∴当CE＝4时，满足条件的点P有且只有一个．
故答案为4．
【点拨】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质,一元二次方程的解法，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系．
11．
【分析】过点A作AEOB，且AE=OB，连接BE、CE，根据菱形的性质证明△APE∽△DPO，再得到DP=AD，根据D为定点，P随A运动而运动，从减小到的过程可知点P经过的路程为点A运动路程的，故可求解．
解：过点A作AEOB，且AE=OB，连接BE、CE
∵AEOB，AE=OB，
∴四边形AOBE是平行四边形
∵OA=OB
∴四边形AOBE是菱形
∴AB⊥OE，
∴O、P、C、E四点共线，
∵AEOB
∴∠EAP=∠PDO，∠AEP=∠DOP
∴△APE∽△DPO
∴
∵D点是OB中点
∴OD=OB=AE
∴=2
∴DP=AD
∵D为定点，P随A运动而运动，从减小到的过程
∴点P经过的路程为点A运动路程的
∵OA=6
∴点A运动路程为
∴点经过的路径长为
故答案为：．
【点拨】此题主要考查弧长公式的运用，解题的关键是根据题意找到点P的运动路径与点A的运动路径的关系．
12．1或3
【分析】分两种情形①当EM⊥AC时，△EMN∽△EAF．②当EN⊥AC时，△ENM∽△EAF，分别求解．
解：①当EM⊥AC时，△EMN∽△EAF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝2，∠B＝90°，
∴tan∠CAB＝，
∴∠CAB＝30°，
∴∠AEM＝60°，
∴∠AEF＝30°，
∴AF＝AE•tan30°＝＝1，
②当EN⊥AC时，△ENM∽△EAF，
由（1）可知，∠CAB＝30°，EN⊥AC
∴∠AEN=∠MEN=60°，
∵，
∴，
∴，
∴AF＝3，
故答案为：1或3．
【点拨】本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
13．或．
【分析】分和两种情形求解即可．
解：依题意可得：，
设，则有；
①当时，（如图1）
由得，解得：；
②当时，（如图2）
由得，
解得：；
综上所述，的值为或．
故答案为：或．
【点拨】本题考查了正方形背景下的三角形相似，熟练掌握三角形相似的判定定理，灵活运用分类思想求解是解题的关键．
14．0或或
【分析】首先根据tan∠ADE=求得AE=3，根据勾股定理求出DE=5，由M为ED的中点得DM=EM=，根据tan∠ADE=求得PM=， 然后分三种情况，根据相似三角形的性质即可求解．
解：∵正方形ABCD的边长为4，tan∠ADE==，
AE=3，
∴DE=，
∵M为ED的中点，
∴DM=EM=，
∴在Rt△PMD中，PM=DM∙an∠ADE=×=，
如图：
点N在线段PM上，时
，即，
∴，
∴；
点N在线段PM的延长线上，时
，即，
∴，
∴；
点N在线段PM的延长线上，时
，即，
∴，
∴．
故答案为：0或或．
【点拨】本题考查正方形的性质，相似三角形的性质，利用正切值求边长，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
15．2或5
【分析】分两种情况讨论，由相似三角形的判定和矩形的性质可求解．
解：∵E是BC的中点，
∴BE=2，
如图，若△EFP∽△ABE，则∠PEF=∠EAB．
∴PE∥AB．
∴四边形ABEP为矩形．
∴PA=EB=2，
如图，若△PFE∽△ABE，则∠PEF=∠AEB．
∵∠PAF=∠AEB，
∴∠PEF=∠PAF．
∴PE=PA．
∵PF⊥AE，
∴点F为AE的中点．
∵，
∴．
∵，即，
∴PE=5，
综上所述：AP的值为2或5，
故答案为：2或5．
【点拨】本题考查了相似三角形的判定，矩形的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
16．
【分析】确定菱形DEFG边长DE的最大值和最小值即可求出DE的取值范围．
解：在中，．
（1）当点D与点A重合时，如图1所示，
∵四边形DEFG是菱形，
∴GF∥AB，EF∥AC，DE=EF=FG=GD．
∴∠FEB=∠CDB=∠CGF，∠CFG=∠CBA．
∴．
．
设菱形的边长为x，则
．
解得，．
∴此时为DE的最大值．
（2）当∠DEF=90°时，如图2所示，此时菱形DEFG是正方形．
过点C作CH⊥AB于点H，交GF于点M，则CH⊥GF，且MH=GD=FE．
∵四边形DEFG是正方形，
∴GF∥AB，DE=EF=FG=GD=MH．
∴ΔGFC~ΔABC．
设正方形的边长为y，则MH=y，CM=CH-MH=
解得，
此时为DE的最小值．
∴符合条件的DE的取值范围是
故答案为：
【点拨】本题考查了勾股定理、菱形的性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟知上述图形的判定或性质是解题的基础，运用分类讨论的数学思想，求出菱形边长的最大值和最小值，是解题的关键．
17．
【分析】设BN=NF=x，则NC=（4-x），根据，AB=CD=3，确定DF=1，FC=2，在直角三角形NCF中，实施勾股定理确定x，利用△NCF∽△FDQ，计算DQ，FQ，得证△MEQ≌△FDQ，求得AM=ME，根据重叠面积等四边形ABNM的面积与△MEQ面积的差计算即可．
解：∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=CD=3，AD=BC=4，∠A=∠ABC=∠C=∠D=90°，
∵，
∴DF=1，FC=2，
∵沿着MN折叠矩形ABCD，使点A，B分别落在E，F处，
∴设BN=NF=x，则NC=（4-x），
∴在直角三角形NCF中，
∴
解得x=，4-x=，
∵∠EFN=∠ABC=∠C=∠D=90°，∠NFC+∠FNC=90°，
∴∠NFC+∠DFQ=90°，
∴∠FNC=∠DFQ，
∴△NCF∽△FDQ，
∴FD：NC= FQ：NF= DQ：CF=1：，
解得DQ=，FQ=，
∴EQ=EF-FQ=AB-FQ=3-=，
∴EQ=DQ，
∵∠E=∠D=90°，∠EQM=∠DQF，
∴△MEQ≌△FDQ，
∴ME=FD=1，
∴AM=ME=1，
∴重叠面积=四边形ABNM的面积-△MEQ面积
=
=，
故答案为：．
【点拨】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，三角形相似的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练运用折叠的性质，会证三角形的全等，三角形相似，会用勾股定理是解题的关键．
18．
【分析】根据正方形的性质可得AB，AC的长，从而可求出AC，AO的长，根据“点P，Q分别在线段AO，BC上”可分三种情况进行讨论，①当P1在A点时，可得Q点在B点处，根据“以PQ为斜边作等腰直角三角形PQM”可知M1点在O点处；②当P3在O点时，可得Q3在C点，从而得到M3点在DC的中点处；③当P2在AO中点时，可得Q2在BC中点处，M2在P3M3中点处，当M2在P3M3中点，且∠P2M2Q2=90°，连结P3Q2，可得四边形OQ2Q3M3是正方形，所以可得OQ2，OM2的长，根据勾股定理可得OM2的长，过点P2作P2G⊥BC，可得P2G∥AB，根据相似三角形的判定与性质可得，即可得P2G的长，同理可得 CG，GQ2的长，根据勾股定理即可得出P2Q2，P2M2的长，所以可得M2点在OM3中点处，综上即可得出M点在OM3上运动，从而求出点M的运动路径长
解：在正方形ABCD中，AB＝4，则AB=BC=4，
∴AC=
∴AO=4，
①当P1在A点时，AP=0，则BQ=AP=0，
∴Q点在B点处，
此时，∠BAO=∠ABO=45°，∠AOB=90°，
即M1点在O点处；
②当P3在O点时，AP3=4=AO，则BQ=AP=4，
即Q3在C点，
此时，∠ACD=∠CP3M3=45°，∠P3M3C=90°，
即M3点在DC的中点处；
③当P2在AO中点时，AP2=2，则BQ=AP=2，
即Q2在BC中点处，M2在P3M3中点处，证明如下：
当M2在P3M3中点，且∠P2M2Q2=90°，
连结P3Q2，
∵P3，Q2为中点，
∴OQ2⊥BC，
∴四边形OQ2Q3M3是正方形，
∵OQ2=AB=2=OM3，
∴OM2=OM3=，
∴Q2M2==，
过点P2作P2G⊥BC，
此时P2为AO的中点，且P2G∥AB，
即在△ABC中，，
∵CP2=AC-AP2=6，
即，
∴P2G=3，
同理可得 CG=3，GQ2=，
∴P2Q2=，
∴P2M2=，
故M2点在OM3中点处，
即M点在OM3上运动，
∴OM3=DC=2．
【点拨】本题考查了正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识．考虑问题要全面，通过分情况讨论将所有情况进行分析得到最终结论．
19．1或3
【分析】分两种情况：①当EM⊥AC时∠AME=90°，然后根据三角函数的性质可得解；②当EN⊥AC时，∠MNE=90°，然后根据三角函数的性质可得解．
解：由已知△EMN与△AEF相似，△AEF与△HEF全等，所以可以分为两种情况：
①当EM⊥AC时，∠AME=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=2，∠B=90∘，
∵∠CAB=30°，
∴∠AEM=60°，AB=，
由已知可得∠AEF=30°，AE=，
∴AF=AE⋅tan30°==1；
②当EN⊥AC时，∠ANE=90°，
∴∠AEN=60°，
∴AF=AE⋅tan60°==3，
故答案为：1或3.
【点拨】本题考查三角形图形变换的应用，熟练掌握折叠、三角形相似、三角形全等及三角函数的性质是解题关键．
20．(1)(2)(3)，
【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）根据相似三角形的性质“对应边成比例”，即可求出OP的长，从而可求出BP的长，进而即可求出t的值；
（3）由翻折可知，．根据勾股定理即可求出．根据题意可知，则．再利用面积公式即可列出关于t的等式，解出t即可求解．
解：(1)设直线AB的函数解析式为：，则，
解得：，
∴直线AB的函数解析式为；
(2)由题意可知AO=3，BO=4．
∵△AOP∽△BOA，
∴，即
解得：，
∴，
∴．
(3)由翻折可知，
∵，
∴．
根据题意可知，则．
∵，
∴，即
解得：．
∴．
【点拨】本题考查利用待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质，勾股定理等知识．熟练掌握各知识点是解题关键．
21．（1）；（2）；（3）不存在，见解析；（4）存在， t=4
【分析】（1）先根据等腰三角形的性质和勾股定理求得BD=DC=6，AD=8，再根据平行线成比例求得 BQ=CM=，然后在Rt△ABD和Rt△PBQ中，由cs∠B=求得BQ=，由BQ=CM列方程求解t值即可；
（2）先证明△PDN∽△ADB，和△CPM∽△CDA，根据相似三角形的性质求得和，再由求解即可；
（3）先假设存在，根据= 整理得，根据根的判别式△即可做出判断；
（4）先假设存在，过点M作ME⊥PQ于E，则PE=PQ，利用锐角的三角函数求得，，进而求得t值，即可得出结论．
解：（1）由题意知，PC=t，BP=12﹣t，
∵AB=AC，AD⊥BC，AB=AC=10，BC=12，
∴BD=DC=6，AD=8，
∵QM∥BC，
∴，
∵AB=AC，
∴BQ=CM，
∵PM⊥BC，AD⊥BC，
∴ PM∥AD，
∴即，
∴CM=，
在Rt△ABD和Rt△PBQ中，
cs∠B=，即，
解得：BQ=(12﹣t)= ，
由BQ=CM得：=，
解得：，
故当 时，QM∥BC；
（2）∵∠B+∠BAD=90°，∠DPN+∠B=90°，
∴∠BAD=∠DPN，又∠PDN=∠ADB=90°，
∴△PDN∽△ADB，
∴，即，
解得：，
∴，
∵PM∥AD，
∴△CPM∽△CDA，
∴即，
解得：，
∴，
∴==，
即y与t的函数关系式为；
（3）假设存在某一时刻t，使四边形ANPM的面积是△ABC面积的，
则= ，
整理得：，
∵△= =﹣1536＜0，
∴此方程无解，
∴不存在某一时刻t，使四边形ANPM的面积是△ABC面积的；
（4）假设存在某一时刻t，使点M在线段PQ的垂直平分线上，则MP=MQ，
过点M作ME⊥PQ于E，则PE=PQ，∠PEM=90°，
在Rt△ABD和Rt△PBQ中，
sin∠B= ，
解得：，
∵∠BPQ+∠B=90°，∠BPQ+∠MPE=90°，
∴∠B=∠MPE，
在Rt△PEM和Rt△BDA中，
cs∠B=cs∠MPE，即，
解得：，
由PE=PQ得=，
解得：t=4，
∵0＜t＜6，
∴存在某一时刻t=4时，点M在线段PQ的垂直平分线上．
【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、锐角的三角函数、平行线的性质、等角的余角相等、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、解一元二次方程、解一元一次方程等知识，综合性强，难度适中，解答的关键是熟练掌握各个知识的性质，结合图形，寻找知识点间的联系与运用，进而推理和计算．
22．(1)t=2(2)；或(3)或
(4)
【分析】（1）证明△ECQ∽△ACB，可得，可得EQ=，EC=，由题意点E在BQ的垂直平分线上，推出EB=EQ，由此构建方程，求解即可．
（2）如图2中，过点Q作QH⊥AB于H，则AQ=10-2t，QH=，根据y=S△ABC-S△APQ，求解即可得函数关系式，根据题意列出方程即可求解．
（3）分两种情形：①如图2-1中，当DC=DF时，连接DF，取AC的中点J，连接BJ，和点B作BH⊥AC于H，过点F作FK⊥CD于K．证明∠BJH=∠CFK，可得∠BJH=∠CFK，由此构建方程求解．②当CF=CD时，构建方程，求解即可．
（4）当Q、F、D三点共线时，根据,列出方程即可求解．
解：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∵AB=6，BC=8，
∴AC=，
∵EQ⊥AC，
∴∠EQC=∠B=90°，
∵∠ECQ=∠ACB，
∴△ECQ∽△ACB，
∴，
∴，
∴EQ=，EC=
∵点E在BQ的垂直平分线上，
∴EB=EQ，
∴，
∴t=2．
(2)如图2中，过点Q作QH⊥AB于H，则AQ=10-2t，QH=，
∵AP=t，
∴S△APQ=•AP•QH=•t•（10-2t）=t2+4t，
∴y=S△ABC-S△APQ=×6×8-（-t2+4t）=t2-4t+24（0＜t≤）．
矩形的面积为
四边形BPQC的面积为y是矩形ABCD面积的十二分之五时，
解得或
(3)①如图2-1中，当FC=DF时，连接DF，取AC的中点J，连接BJ，和点B作BH⊥AC于H，过点F作FK⊥CD于K．
∵∠ABC=90°，AJ=JC，
∴BJ=AJ=JC=AC=5，
∴∠JBC=∠JCB，
∴∠BJH=∠BCJ+∠JCB=2∠JCB，
∵E，F关于AC对称，
∴∠ACE=∠ACF，CF=CE=t
∴∠FCE=2∠ACB=∠BJH，
∵FK⊥CD，CB⊥CD，
∴FK∥CB，
∴∠CFK=∠FCE=∠BJH，
∵BH⊥AC，
∴S△ACB=•AB•CB=•AC•BH，
∴BH=，
∵FD=FC，FK⊥CD，
∴CK=KD=3，
∵∠BJH=∠CFK，
∴sin∠BJH=sin∠CFK，
∴，
∴，
∴t=，
②当CF=CD时，，
∴t=，
综上所述，满足条件的t的值为或．
(4)当Q、F、D三点共线时，
，
，
，
，
即，
,，
，
解得．
【点拨】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
23．(1)或(2)(3)当时，；当时，(4)或或
【分析】（1）先根据勾股定理可得AB=5，可得AD=BD=5，然后分两种情况：当点P在线段BD上，即时，当点P在线段AD上，即时，即可求解；
（2）根据，可得，从而得到BQ=3，再由，即可求解；
（3）分两种情况讨论：当时，△PDQ与△ABC重叠部分图形为四边形，当时，△PDQ与△ABC重叠部分图形为四边形，即可求解；
（4）分四种情况讨论，即可求解．
(1)解：根据题意得：PB=4t，
在Rt△ABC中，，，，
∴，
∵点D为AB的中点，
∴AD=BD=5，
∴当点P在线段BD上，即时，；
当点P在线段AD上，即时，；
综上所述，或；
(2)解：如图，
∵，
∴，
∴．
∵D为AB的中点，
∴，
∴BQ=3，
∴，
∴，
∴．
(3)解：由（1）（2）得：当时，△PDQ与△ABC重叠部分图形为四边形，如图，设PQ交BC于点M，DQ交BC于点N，此时BN=3，
∴DN=4，
∵，BP=4t，
∴，
∴△PDQ与△ABC重叠部分图形的面积
；
当Q在AC上时，如图，
∵∠ADQ=∠A，
∴AQ=DQ，
∵，即PQ⊥AB，
∴AP=PD=，
∴，解得：，
∴当时，△PDQ与△ABC重叠部分图形为四边形，如图，过点N作NE⊥AD于点E，设PQ，DQ分别交AC于点M，N，则AE=，
此时，AP=10，
∴DN=3，
∴△PDQ与△ABC重叠部分图形的面积
；
综上所述，S与t的函数关系式当时，；当时，；
(4)解： 由（2）得：当点Q在BC上时，点Q为BC的中点，
∴AQ平分△ABC的面积且点P在BD上，
此时；
如图，当AQ平分△ABC的面积且点P在AD上时，延长AQ交BC于点M，过点M作MN⊥AB于点N，此时点M为BC的中点，即BM=CM=3，
∴，
∴，
∴，
∵BD=5，BP=4t，
∴PD=4t-5，AP=10-4t，
∵∠PDQ=∠A，
∴，
∵∠DPQ=90°，即PQ⊥AB，
∴△APQ∽△ANM，
∴，即，
解得：；
如图，当BQ平分△ABC的面积时，延长BQ交AC于点M，则点M为AC的中点，即AM=CM=4，
∵∠PDQ=∠A，
∴DQ∥AC，
∴△BDQ∽△BAM，
∴，即AM=2DQ，
∴DQ=2，
∴，
∵PD=BD-BP=5-4t，
∴，解得：；
综上所述，当点Q落在△ABC内部或边上时，直接写出点Q与△ABC的顶点的连线平分△ABC面积时t的值或或．
【点拨】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，动点问题，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
24．(1)(2)(3)当点Q在的内部时，Q与AC的距离为；当点Q在的外部时，Q与AC的距离为(4)
【分析】（1）如图，过点C作CH⊥AB于点H．利用面积法求出CH，可得结论；
（2）根据面积关系构建方程求解即可；
（3）如图，过点Q作QI⊥AC于点I．证明，可得结论；
（4）如图，因为QC＜，所以点Q在射线EF上，过点C作CN⊥QQ′于点N，连接QC．求出QC=时，x的值，可得结论．
(1)解：∵AD⊥CB，AD=CD=4，BD=3，
∴，
∵，
根据垂线段最短可知，当点P与H重合时，CP的值最小，最小值为；
(2)解：由题意BP=x，则AP=5-x，在中，，
，
∵直线L平分△ABC的面积，
∴，
解得 ，（不合题意，舍去），
．
(3)解：如图，当点Q在内时，作于H．
由，得，即，
解得，，
∴
在中，
当点Q在的外部时，
在中，，
综上，当点Q在的内部时，Q与AC的距离为；当点Q在的外部时，Q与AC的距离为．
(4)解：，理由如下：
方法一：由得平分．
以C为圆心，以为半径作辅助圆．
∵点Q与点C的距离小于，
∴点Q在的内部．
图中，，都相似，
每个三角形的三边比都是，
假设，则，所以，
由，得，
同理
∴点Q与点C的距离小于时，．
方法二：如下图中，∵QC＜，
∴点Q在射线EF上，
过点Q作QR⊥BC于点R，连接QC．
当QC=时，∵CQ2=QR2+CR2，
∴[4-（5-x）]2+{4-[x-（5-x）]}2=（）2，
整理得64x2-448x+735=0∴x=或，
∴当＜x＜时，
点Q与点C之间的距离小于．
【点拨】本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，垂线段最短等知识，解题的关键是理解题意，利用参数构建方程解决问题．