2021-2022学年天津市河西区九年级上学期数学期末试卷及答案

这是一份2021-2022学年天津市河西区九年级上学期数学期末试卷及答案，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列生活中的事件，属于不可能事件的是（ ）
A. 班里的两名同学，他们的生日是同一天B. 打开电视，正在播新闻
C. 买一张电影票，座位号是偶数号D. 明天太阳从西方升起
【答案】D
【解析】
【分析】根据随机事件和不可能事件的定义结合具体的情景逐项进行判断即可．
【详解】解：A、班里的两名同学，他们的生日是同一天是随机事件，故本选项不符合题意；
B、打开电视，正在播新闻是随机事件，故本选项不符合题意；
C、买一张电影票，座位号是偶数号是随机事件，故本选项不符合题意；
D、明天太阳从西方升起是不可能事件，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了随机事件和不可能事件，解决本题需要正确理解不可能事件和随机事件的概念．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
2. 下面图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行解答即可．
【详解】解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
3. 已知的半径为，点P到圆心O的距离为，则点P和的位置关系为（ ）
A. 点P在圆内B. 点P在圆上C. 点P在圆外D. 不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】根据的半径为，点P到圆心O的距离为，即可判定点P和的位置关系．
【详解】解：的半径为，点P到圆心O的距离为，，
∴点P在外．
故选：C．
【点睛】本题考查了判断点与圆的位置关系，熟练掌握和运用判断点与圆的位置关系的方法是解决本题的关键．
4. 袋子中装有个红球和个黑球，这些球除了颜色外都相同．从袋子中随机地摸出1个球，则它是红球的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据概率公式直接进行计算即可求解．
【详解】解：∵袋子中装有个红球和个黑球，共个球，
∴从袋子中随机地摸出1个球，则它是红球的概率为，
故选：D．
【点睛】本题考查了根据概率公式求概率，掌握概率公式是解题的关键．
5. 如图，是的直径，是的切线，为切点，与交于点，连接．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据切线的性质得出，继而求得，根据圆周角定理即可求解．
【详解】解：∵是的直径，是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，掌握以上知识是解题的关键．
6. 已知扇形的半径为6，圆心角为120°，则它的面积是（ ）
A. B. 3πC. 5πD. 12π
【答案】D
【解析】
【分析】直接根据扇形面积公式计算即可.
【详解】解：，
故选：D．
【点睛】本题考查了扇形的面积公式，R是扇形半径，n是弧所对圆心角度数，π是圆周率，那么扇形的面积为：．
7. 半径等于的圆中，垂直平分半径的弦长为（ ）
A. B. C. 8D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意作出图形，根据勾股定理求得，根据垂径定理即可求解．
【详解】解：如图，，则，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键．
8. 下列命题错误的是（ ）
A. 圆是轴对称图形B. 三角形的内心到它三边的距离相等
C. 各边相等的圆内接多边形是正多边形D. 各角相等的圆内接多边形是正多边形
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念、三角形内心定义、圆内接正多边形的概念进行逐项判断即可．
【详解】解：A、圆是轴对称图形，本选项说法是正确，不符合题意；
B、因为三角形的内心是三角形内切圆的圆心，所以三角形的内心到它三边的距离相等，本选项说法是正确，不符合题意；
C、各边相等的圆内接多边形是正多边形，本选项说法正确，不符合题意，
D、各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形，如圆内接矩形，故本选项说法是错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理或概念，解答本题的关键是熟练掌握三角形内心、正多边形的概念，属于基础题，中考常考题型．
9. 若点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出二次函数的开口方向，对称轴，再根据二次函数的增减性解答．
【详解】解：∵二次函数中，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∵，
∴．
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质．
10. 如图，五边形是的内接正五边形，是的直径，则的度数是（ ）
A. 30°B. 36°C. 54°D. 60°
【答案】C
【解析】
【分析】正五边形的性质和圆周角定理即可得到结论．
【详解】是的直径，五边形是的内接正五边形，
，，，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查正多边形与圆，圆周角定理等知识，解题的关键灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
11. 在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点A为中心，顺时针旋转线段，得到线段，点O的对应点为D．当点D落在边上时，则此时点D的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据矩形性质和坐标与图形性质得到，，，再根据旋转性质得到，再利用勾股定理求得即可．
【详解】解：如图，
∵四边形是矩形，点，点，点，
∴，，，，
由旋转性质得，
在中，，
∴，
∴点D的坐标为，
故选：A．
【点睛】本题考查的是矩形的性质、旋转的性质、坐标与图形性质、勾股定理，掌握矩形的性质和旋转的性质是解题的关键．
12. 若关于的一元二次方程有实数根、，且，有下列结论：①；②，；③二次函数的图象与轴交点的坐标为和．其中，正确结论的个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的判别式判断①，根据一元二次方程的解的定义，判断②，根据一元二次方程根与系数的关系将二次函数解析式化简得出，即可求解．
【详解】解：①化为一般形式为，
∵原方程有实数根、，且，
∴
解得：，故①正确，
∵关于的一元二次方程有实数根、，
∴当时，，；
故②不正确；
③∵关于的一元二次方程的两根为、，
∴
∴
，
令，
∴，；
∴二次函数的图象与轴交点的坐标为和．
故③正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数与轴交点问题，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，掌握以上知识是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13. 在平面直角坐标系中，把点 P（﹣3，2）绕原点 O 顺时针旋转 180°，所得到的对应点 P′的坐标为_________．
【答案】（3，﹣2）
【解析】
【分析】将点P绕原点O顺时针旋转180°，实际上是求点P关于原点的对称点的坐标．
【详解】根据题意得：点P关于原点的对称点是点P′．
∵P点坐标为（﹣3，2），∴点P′的坐标（3，﹣2）．
故答案为（3，﹣2）．
【点睛】本题考查了坐标与图形的变换﹣旋转，熟练掌握关于原点的对称点的坐标特征是解决问题的关键．
14. 一个暗箱里放有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中红球只有3个．若每次将球搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在20%附近，那么可以推算出a的值大约是_______．
【答案】15
【解析】
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解：
【详解】由题意可得，，
解得，a=15．
故答案为：15
15. 若扇形的圆心角为，半径为3，则扇形的弧长为_______.
【答案】2π
【解析】
【分析】直接利用弧长公式求解即可．
【详解】扇形的圆心角为，半径为3，
扇形的弧长是：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了弧长公式的应用，熟练记忆弧长公式是解题关键．
16. 已知抛物线与x轴只有一个交点，且抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，请写出一个满足条件的抛物线的解析式 ___．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据二次函数的性质解答即可．
【详解】解：设抛物线解析式，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴，
设，则，
抛物线与x轴只有一个交点可以令c得1，
则抛物线解析式为 ，
故答案为：（答案不唯一）
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数对称轴是解题关键．
17. 如图，△ABC内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，则AF的长为_____．
【答案】4 cm
【解析】
【分析】设AF=acm，根据切线长定理得出AF=AE，CE=CD，BF=BD，求出BD=BF=（9-a）cm，CD=CE=（13-a）cm，根据CD+BD=BC，代入求出a即可．
【详解】设AF=acm，
∵△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，
∴AF=AE，CE=CD，BF=BD，
∵AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，
∴BD=BF=（9-a）cm，CD=CE=（13-a）cm，
∵BD+CD=BC=14cm，
∴（9-a）+（13-a）=14，
解得：a=4，
即AF=4cm．
故答案为4cm.
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心和切线长定理，关键是推出AF=AE，CE=CD，BF=BD，用了方程思想．
18. 如图，等边三角形ABC的边长为4，的半径为，P为AB边上一动点，过点P作的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为________．
【答案】3
【解析】
【分析】连接OC和PC，利用切线的性质得到CQ⊥PQ，可得当CP最小时，PQ最小，此时CP⊥AB，再求出CP，利用勾股定理求出PQ即可．
【详解】解：连接QC和PC，
∵PQ和圆C相切，
∴CQ⊥PQ，即△CPQ始终为直角三角形，CQ为定值，
∴当CP最小时，PQ最小，
∵△ABC是等边三角形，
∴当CP⊥AB时，CP最小，此时CP⊥AB，
∵AB=BC=AC=4，
∴AP=BP=2，
∴CP==，
∵圆C的半径CQ=，
∴PQ==3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意得到当PC⊥AB时，线段PQ最短是关键．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19. 已知抛物线．
（1）求该抛物线的顶点坐标；
（2）当时，求函数的最小值．
【答案】（1）
（2）5
【解析】
【分析】（1）将抛物线的一般式化为顶点式即可得到答案；
（2）利用顶点式，判断出函数在时，此函数随的增大而增大，即可利用函数性质得到答案．
【小问1详解】
解：，
该抛物线的顶点坐标为；
【小问2详解】
解：，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
当时，此函数随的增大而增大，
当时，函数的最小值为时的取值，即的最小值为．
【点睛】本题考查二次函数图像与性质，熟练掌握二次函数定点坐标求法、增减性判定及最值求法是解决问题的关键．
20. 小敏与小霞两位同学解方程的过程如下框：
你认为他们的解法中是否有正确的？如果有，指出哪位同学的解法正确；如果没有，写出正确的解法．
【答案】都不正确；正确解答见解析
【解析】
分析】小敏：没有考虑的情况；小霞：提取公因式时出现了错误．利用因式分解法解方程即可．
【详解】解：小敏：；
小霞：．
正确的解答方法：移项，得，
提取公因式，得．
则或，
解得，．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程时可以采取公式法，因式分解法，配方法以及换元法等，至于选择哪一解题方法，需要根据方程的特点进行选择．
21. 某轨道车共有三节车厢，设乘客从任意一节车厢上车的机会均等，某天甲、乙两位乘客同时乘同一辆轨道车，求甲和乙从同一节车厢上车的概率是多少？
（1）请你利用图表或树状图列举出所有可能出现的结果；
（2）共有______种等可能的结果，恰好这两位乘客从同一节车厢上车的结果有______种，所以甲和乙从同一节车厢上车的概率为______．
【答案】（1）见解析 （2）9，3，
【解析】
【分析】（1）画树状图，即可得出答案；
（2）共有9种等可能的结果，其中甲和乙从同一节车厢上车的结果有3种，再由概率公式求解即可．
【小问1详解】
将3节车厢分别记为、、，
画树状图如下：

共有9种等可能的结果；
【小问2详解】
共有9种等可能的结果，其中甲和乙从同一节车厢上车的结果有3种，
所以甲和乙从同一节车厢上车的概率为，
故答案为：9，3，．
【点睛】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
22. 已知分别与⊙O相切于点A，B，，C⊙O上一点．

（1）如图①，求的大小；
（2）如图②，为⊙O的直径，与相交于点D．若，求的大小．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，根据切线的性质可求出，再根据即可求解；
（2）连接，可求出，进而可求；根据即可求解．
【小问1详解】
解：连接，

∵是⊙O的切线，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：连接，

∵为⊙O的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
【点睛】本题考查了圆中相关结论：切线的性质、圆周角定理，解题的关键是熟记相关知识点．
23. 某商品现在售价为每件35元．每天可卖出50件．市场调查反映：如果调整价格．每降价1元，每天可多卖出2件．请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，最大销售额是多少？
设每件商品降价x元．每天的销售额为y元．
（I） 分析：根据问题中的数量关系．用含x的式子填表：
（Ⅱ）（由以上分析，用含x的式子表示y，并求出问题的解）
【答案】（1）35-x，50+2x；（2）y=-2（x-5）2+1800，每件商品降价5元时，可使每天的销售额最大，最大销售额为l 800元．
【解析】
【详解】试题分析：（1）现在的售价为每件35元，则每件商品降价x元，每件售价为（35-x）元；多买2x件，即每天售量为（50+2x）件；
（2）每天的销售额=每件售价×每天售量，即y=（35-x）（50+2x），配方后得到y=-2（x-5）2+1800，根据二次函数的性质得到当x=5时，y取得最大值1800．
试题解析：（1）35-x，50+2x；
（2）根据题意，每天的销售额y=（35-x）（50+2x），（0＜x＜35）
配方得y=-2（x-5）2+1800，
∵a＜0，
∴当x=5时，y取得最大值1800．
答：当每件商品降价5元时，可使每天的销售额最大，最大销售额为l 800元．
考点：二次函数的应用．
24. 如图①，将一个正方形纸片和一个等腰直角三角形纸片放入平面直角坐标系中，点，点，，．如图②，将纸片绕点顺时针旋转，设旋转角为．

（1）当旋转角为30°时，求此时点E的坐标；
（2）当旋转角为时，连接，求的值．
（3）在旋转的过程中，当最大时，求此时的面积（直接写出结果即可）．
【答案】（1）
（2）
（3）的面积为6
【解析】
【分析】（1）过点作于，解直角三角形求出，，可得结论．
（2）过点作于，由勾股定理可求出答案；
（3）当时，的值最大，由勾股定理求出，再证明，得出，可得结论．
【小问1详解】
过点作于，

由题意，
，
，
；
【小问2详解】
过点作于，如图②，
由题意得，
，
，
，
，
，
，
；
【小问3详解】
由题意知点在以为圆，为半径的圆上运动，当时，的值最大，此时，．

过点作轴于，过点作于．
，
，
，，
∴，
，
，，，
．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
25. 在平面直角坐标系中，已知点，点是抛物线，，为常数，与轴的两个交点，点在点的右侧．抛物线与轴交于点．
（1）求a与b之间的关系式；
（2）连接，若，求此时抛物线的顶点坐标；
（3）在（2）的情况下，若点，是该抛物线对称轴上的两个动点，且，点在点的上方，求四边形的周长的最小值．
【答案】（1）
（2）抛物线顶点坐标为
（3）四边形的周长的最小值为
【解析】
【分析】（1）把代入得，即得，将代入即可得；
（2）设，则，知，根据可得，用待定系数法即得解析式为，从而可得抛物线顶点坐标为；
（3）由，得，可得四边形的周长，即知最小时，四边形周长最小，作点关于函数对称轴直线的对称点，将上移一个单位长度得，可知，故当、、三点共线时，最小，此时最小为，故四边形的周长的最小值是．
【小问1详解】
把代入得：，
，
将代入得：，
；
【小问2详解】
如图：
在中，
由，设，则，
由勾股定理得，
，
，
，
由（1）知，，
抛物线为，
将代入得：，
解得，
解析式为，即，
此时抛物线顶点坐标为；
【小问3详解】
如图：
，，
，
四边形的周长，
最小时，四边形周长最小，
作点关于函数对称轴直线的对称点，则，
将上移一个单位长度得，则四边形是平行四边形，
，
，
当、、三点共线时，最小，周长也最小，
此时，，
最小为，即最小为，
四边形的周长的最小值是．
【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、对称变换、等腰直角三角形等，解题的关键是掌握“两定两动”时求最值的方法．
小敏：
两边同除以，得
，
则．
小霞：
移项，得，
提取公因式，得．
则或，
解得，．
原价
每件降价1元
每件降价2元
…
每件降价x元
每件售价（元）
35
34
33
…
每天售量（件）
50
52
54
…