2023年四省联考（安徽省、吉林省、黑龙江省、云南省）高考数学适应性试卷（2月份） (附答案)

这是一份2023年四省联考（安徽省、吉林省、黑龙江省、云南省）高考数学适应性试卷（2月份） (附答案)，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）设，则
A．B．C．1D．
2．（5分）设集合，3，，，，，．若，，则
A．B．C．1D．3
3．（5分）甲、乙、丙、丁四名教师带领学生参加校园植树活动，教师随机分成三组，每组至少一人，则甲、乙在同一组的概率为
A．B．C．D．
4．（5分）平面向量与相互垂直，已知，，且与向量的夹角是钝角，则
A．B．C．D．
5．（5分）已知点，，为椭圆的三个顶点，若是正三角形，则的离心率是
A．B．C．D．
6．（5分）三棱锥中，平面，．若，，则该三棱锥体积的最大值为
A．2B．C．1D．
7．（5分）设函数，在的导函数存在，且，则当时
A．B．
C．（a）（a）D．（b）（b）
8．（5分）已知，，满足，，则
A．，B．，
C．，D．，
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（5分）已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在，单调递减，则
A．（1）（2）B．（1）（2）
C．（1）（2）D．（1）（2）
10．（5分）已知平面平面，，是上两点，直线且，直线且．下列结论中，错误的有
A．若，，且，则是平行四边形
B．若是中点，是中点，则
C．若，，，则在上的射影是
D．直线，所成角的大小与二面角的大小相等
11．（5分）质点和在以坐标原点为圆心，半径为1的上逆时针做匀速圆周运动，同时出发．的角速度大小为，起点为与轴正半轴的交点；的角速度大小为，起点为射线与的交点．则当与重合时，的坐标可以为
A．B．
C．D．
12．（5分）图改编自李约瑟所著的《中国科学技术史》，用于说明元代数学家郭守敬在编制《授时历》时所做的天文计算．图中的，，，都是以为圆心的圆弧，是为计算所做的矩形，其中，，分别在线段，，上，，．记，，，，则
A．B．
C．D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）某工厂生产的产品的质量指标服从正态分布．质量指标介于99至101之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到，则需调整生产工艺，使得至多为 （若，则
14．（5分）若，分别是抛物线与圆上的点，则的最小值为 ．
15．（5分）数学家祖冲之曾给出圆周率的两个近似值：“约率” 与“密率” ．它们可用“调日法”得到：称小于3.1415926的近似值为弱率，大于3.1415927的近似值为强率．由，取3为弱率，4为强率，得，故为强率，与上一次的弱率3计算得，故为强率，继续计算，．若某次得到的近似值为强率，与上一次的弱率继续计算得到新的近似值；若某次得到的近似值为弱率，与上一次的强率继续计算得到新的近似值，依此类推．已知，则 ； ．
16．（5分）如表为一个开关阵列，每个开关只有“开”和“关”两种状态，按其中一个开关1次，将导致自身和所有相邻的开关改变状态．例如，按将导致，，，，改变状态．如果要求只改变的状态，则需按开关的最少次数为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）如图，四边形是圆柱底面的内接四边形，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线，是与的交点，，．
（1）记圆柱的体积为，四棱柱的体积为，求；
（2）设点在线段上，，，求二面角的余弦值．
18．（12分）已知函数在区间单调，其中为正整数，，且．
（1）求图像的一条对称轴；
（2）若，求．
19．（12分）记数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设为整数，且对任意，，求的最小值．
20．（12分）一个池塘里的鱼的数目记为，从池塘里捞出200尾鱼，并给鱼作上标识，然后把鱼放回池塘里，过一小段时间后再从池塘里捞出500尾鱼，表示捞出的500尾鱼中有标识的鱼的数目．
（1）若，求的数学期望；
（2）已知捞出的500尾鱼中15尾有标识，试给出的估计值（以使得最大的的值作为的估计值）．
21．（12分）已知双曲线过点，且焦距为10．
（1）求的方程；
（2）已知点，，为线段上一点，且直线交于，两点．证明：．
22．（12分）椭圆曲线加密算法运用于区块链．
椭圆曲线，．关于轴的对称点记为．在点，处的切线是指曲线在点处的切线．定义“⊕”运算满足：①若，，且直线与有第三个交点，则⊕；②若，，且为的切线，切点为则⊕；③若，规定⊕，且⊕⊕．
（1）当时，讨论函数零点的个数；
（2）已知“⊕”运算满足交换律、结合律，若，，且为的切线，切点为，证明：⊕；
（3）已知，，，，且直线与有第三个交点，求⊕的坐标．
参考公式：
2023年四省联考（安徽省、吉林省、黑龙江省、云南省）高考数学适应性试卷（2月份）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设，则
A．B．C．1D．
【解答】解：，
则．
故选：．
2．（5分）设集合，3，，，，，．若，，则
A．B．C．1D．3
【解答】解：集合，3，，，，，，，，
，
解得．
故选：．
3．（5分）甲、乙、丙、丁四名教师带领学生参加校园植树活动，教师随机分成三组，每组至少一人，则甲、乙在同一组的概率为
A．B．C．D．
【解答】解：设“甲、乙在同一组”为事件，
教师随机分成三组，每组至少一人的分法为，
事件包含的基本事件个数为1，
甲、乙在同一组的概率为（A）．
故选：．
4．（5分）平面向量与相互垂直，已知，，且与向量的夹角是钝角，则
A．B．C．D．
【解答】解：平面向量与相互垂直，，，且与向量的夹角是钝角，
设，则，
解得或，
设，当时，此时，
向量夹角范围为，，此时夹角为锐角，舍去，
当时，此时，
此时夹角为钝角．
故选：．
5．（5分）已知点，，为椭圆的三个顶点，若是正三角形，则的离心率是
A．B．C．D．
【解答】解：因为点，，为椭圆的三个顶点，且是正三角形，
所以，
所以离心率．
故选：．
6．（5分）三棱锥中，平面，．若，，则该三棱锥体积的最大值为
A．2B．C．1D．
【解答】解：平在，平面，，
，，平面，
平面，，
在中，，，则，
平面，平面，，
在中，设，，，
则由，得，
，
当且仅当，且，即时，等号成立，
，
该三棱锥体积的最大值为．
故选：．
7．（5分）设函数，在的导函数存在，且，则当时
A．B．
C．（a）（a）D．（b）（b）
【解答】解：设，则，
所以在上单调递减，
因为，
所以（a）（b），即（a）（a）（b）（b），
所以（a）（a），（b）（b），即选项正确，错误，
而选项和无法判断．
故选：．
8．（5分）已知，，满足，，则
A．，B．，
C．，D．，
【解答】解：由题意得，即，则，则，令，
（1），根据减函数加减函数为减函数的结论知：在上单调递减，
当时，可得，，两边同取以5为底的对数得：
，，移项得，两边同取以3为底的对数得，
所以，所以，所以，且，，
故此时，，故，选项错误，
时，，，，，，
且，，故错误，
下面严格证明当时，，
，，
根据函数在上单调递增，且（1），
则当时，有，，，
下面证明：，，
要证：，
即证：，等价于证明，
即证，此式开头已证明，
对，左边分子分母同除，右边分子分母同除得，
则
故当时，，则
当时，可得，，两边同取以5为底的对数得，
对，移项得，两边同取以3为底的对数得，
所以，所以，所以，且，，
故，故此时，，
下面严格证明当时，，
当时，根据函数，（1），且其在上单调递减，
可知，则，则，
根据函数在上单调递增，且（1），
则当时，有，
下面证明：，，
要证：，
即证：，等价于证明，
即证，此式已证明，
对，左边分子分母同除，右边分子分母同除得，
则，
故时，，则，
当时，，，则，，
综上，，
故选：．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（5分）已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在，单调递减，则
A．（1）（2）B．（1）（2）
C．（1）（2）D．（1）（2）
【解答】解：是定义在上的偶函数，在，单调递减，所以在上是增函数，
是定义在上的奇函数，在，单调递减，所以在上是减函数，
所以在上是减函数，
所以（1）（2），，（1）（2），但是不能判定两个的正负，所以不正确；
（1）（2），可得（1）（2），所以正确；
（1）（2），所以不正确；
（1）（2），所以正确；
故选：．
10．（5分）已知平面平面，，是上两点，直线且，直线且．下列结论中，错误的有
A．若，，且，则是平行四边形
B．若是中点，是中点，则
C．若，，，则在上的射影是
D．直线，所成角的大小与二面角的大小相等
【解答】解：对于，由题意，，为异面直线，
四边形为空间四边形，不能为平行四边形，故错误；
对于，取的中点，连接，则是的中位线，，
与相交，与不平行，故错误；
对于，若，，由线面垂直的判定可得平面，，
由，结合面面垂直的性质可得，点在平面内的投影为点，
在平面内的投影为，故正确；
对于，由二面角的定义可得当且仅当，时，
直线，所成角或其补角才为二面角的大小，故错误．
故选：．
11．（5分）质点和在以坐标原点为圆心，半径为1的上逆时针做匀速圆周运动，同时出发．的角速度大小为，起点为与轴正半轴的交点；的角速度大小为，起点为射线与的交点．则当与重合时，的坐标可以为
A．B．
C．D．
【解答】解：设两个质点重合时，所用时间为，则重合时点，的坐标均为，
由题可得，，，解得，，
当时，，，所以点的坐标为，，即选项正确；
当时，，，所以点的坐标为，，，即选项正确；
当时，，，所以点的坐标为，，，即选项正确，选项错误．
故选：．
12．（5分）图改编自李约瑟所著的《中国科学技术史》，用于说明元代数学家郭守敬在编制《授时历》时所做的天文计算．图中的，，，都是以为圆心的圆弧，是为计算所做的矩形，其中，，分别在线段，，上，，．记，，，，则
A．B．
C．D．
【解答】解：因为在矩形中，，
又，，，面，所以面，
又面，所以，
因为在矩形中，，
所以，即，
因为，，，，面，
所以面，
又在矩形中，，
所以面，
又面，
所以，
同时，易知在矩形中，，，
对于，在中，，
在中，，
在中，，
所以，故正确；
对于，在中，，
在中，，
在中，，
又，且在中，为斜边，故有，
所以，故错误；
对于，在中，，
在中，，
又，
所以，故正确；
对于，在中，，
又，，，
所以，，
所以，
即，故正确．
故选：．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）某工厂生产的产品的质量指标服从正态分布．质量指标介于99至101之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到，则需调整生产工艺，使得至多为 （若，则
【解答】解：因为，且，所以，
又质量指标介于99至101之间的产品为良品，且该产品的良品率达到，
所以，，，即，解得，
所以至多为．
故答案为：．
14．（5分）若，分别是抛物线与圆上的点，则的最小值为 ．
【解答】解：设圆的圆心为，半径为，
当垂直于抛物线在点处的切线时，取得最小值，为，如图所示，
设点，则直线的斜率为，且，
由知，，
所以过点的切线的斜率为，
因为直线与切线垂直，所以，所以，
所以，即，
因为恒成立，所以，即，
此时，
所以，即的最小值为．
故答案为：．
15．（5分）数学家祖冲之曾给出圆周率的两个近似值：“约率” 与“密率” ．它们可用“调日法”得到：称小于3.1415926的近似值为弱率，大于3.1415927的近似值为强率．由，取3为弱率，4为强率，得，故为强率，与上一次的弱率3计算得，故为强率，继续计算，．若某次得到的近似值为强率，与上一次的弱率继续计算得到新的近似值；若某次得到的近似值为弱率，与上一次的强率继续计算得到新的近似值，依此类推．已知，则 6 ； ．
【解答】解：为强率，由，得，为强率；
由，得，为强率；
由，得，为强率；
由，得，为强率，．
由得，为弱率，
由，得．
故答案为：6；．
16．（5分）如表为一个开关阵列，每个开关只有“开”和“关”两种状态，按其中一个开关1次，将导致自身和所有相邻的开关改变状态．例如，按将导致，，，，改变状态．如果要求只改变的状态，则需按开关的最少次数为 5 ．
【解答】解：由题意可得，只有在以及周边按动开关才可以使得按开关的次数最少，具体操作如下：
假设开始按动开关前所有开关都是“开“的状态，
要求只改变的状态，在按动后，、的状态也发生了改变，
下一步可以同时恢复或逐一恢复，同时恢复需按动，但会导致周边、状态也会改变，
因此导致按动开关的次数更多，
所以接下来逐一恢复，
则至少按开关3次，
依次类推，沿着周边的开关再按动，可以使得按动开关的次数最少，
即按动5次可以满足题意，
按动开关的情况如下表所示：
故答案为：5．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）如图，四边形是圆柱底面的内接四边形，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线，是与的交点，，．
（1）记圆柱的体积为，四棱柱的体积为，求；
（2）设点在线段上，，，求二面角的余弦值．
【解答】解：（1）与是底面圆弧所对的圆周角，
，
，在等腰中，，
，
是圆柱的底面直径，，，
，，，
在等腰中，，平分，则，
，则，
在中，，，则，
在中，，
是圆柱的母线，平在，
，
，
．
（2）以为坐标原点，所在直线为轴，过作平面的垂线为轴，
所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
设，则，，，
则，0，，，0，，，，，，0，，
，，，，0，，，0，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，，，
，，0，，
，
设平面的法向量，，，则，
取，得，，，
设二面角的平面角为，由题意得，
．
二面角的余弦值为．
18．（12分）已知函数在区间单调，其中为正整数，，且．
（1）求图像的一条对称轴；
（2）若，求．
【解答】解：（1）因为，
所以图像的一条对称轴为．
（2）因为函数在区间单调，
所以最小正周期，
所以，即，
又为正整数，所以，2，3，
由（1）知，在处取得最值，
所以，，即，，
①当时，，，
由，知，所以，
所以，不符合题意；
②当时，，，
由，知，所以，
所以，符合题意；
③当时，，，
由，知，所以，
所以，不符合题意，
综上所述，．
19．（12分）记数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设为整数，且对任意，，求的最小值．
【解答】解：（1）当时，，
所以，
所以数列是以2为公比，1为首项的等比数列，
所以，
所以，
又不满足，
所以；
（2）由（1）结合题意可得，，
设，
则，
所以，
所以，
所以，
所以的最小值为7．
20．（12分）一个池塘里的鱼的数目记为，从池塘里捞出200尾鱼，并给鱼作上标识，然后把鱼放回池塘里，过一小段时间后再从池塘里捞出500尾鱼，表示捞出的500尾鱼中有标识的鱼的数目．
（1）若，求的数学期望；
（2）已知捞出的500尾鱼中15尾有标识，试给出的估计值（以使得最大的的值作为的估计值）．
【解答】解：（1）依题意服从超几何分布，且，，，
故；
（2）当时，，
当时，，
记，
则
，
由，
当且仅当，
则可知当时，；
当时，，
故时，最大，
所以的估计值为6666．
21．（12分）已知双曲线过点，且焦距为10．
（1）求的方程；
（2）已知点，，为线段上一点，且直线交于，两点．证明：．
【解答】解：（1）由双曲线过点，且焦距为10，
可得，，
解得，，
则双曲线的方程为；
（2）证明：设，，，，，，
直线的方程为，即，
与双曲线联立，可得，
△，且，，．
由于，，，四点按照从左到右排列，且共线，
要证，即证，
即证，
即证，
即证，
由，
故原等式成立．
22．（12分）椭圆曲线加密算法运用于区块链．
椭圆曲线，．关于轴的对称点记为．在点，处的切线是指曲线在点处的切线．定义“⊕”运算满足：①若，，且直线与有第三个交点，则⊕；②若，，且为的切线，切点为则⊕；③若，规定⊕，且⊕⊕．
（1）当时，讨论函数零点的个数；
（2）已知“⊕”运算满足交换律、结合律，若，，且为的切线，切点为，证明：⊕；
（3）已知，，，，且直线与有第三个交点，求⊕的坐标．
参考公式：
【解答】（1）解：由题设可知，有，
若，则，则，此时仅有一个零点；
若，令，解得．
当 或 时，，当 时，，故在 上为单调递增；
在 上单调递减．
因为．
若，则，
此时．而，
故此时有2个零点；
若，则，
此时，而，
故此时有2个零点；
综上，当时，有2个零点；
当时，有2个零点；
当，时，仅有一个零点；
（2）证明：因为，，且为的切线，切点为，所以⊕，
故⊕⊕⊕，故⊕⊕⊕⊕，
因为“⊕”运算满足交换律、结合律，
故⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕，故⊕．
（3）解：已知，，，，直线的斜率：，
直线与有第三个交点为，，则，代入，
可得，而，
故，
整理可得：，
化为：，
同理可得：，
两式相减化简可得：，
，故，
可得，
所以，
因此⊕的坐标为：，．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/4/28 17:40:33；用户：13102673937；邮箱：13102673937；学号：24072549按
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