2024北京海淀区高一上学期期末考试数学含答案

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考生须知：
1．本试卷共6页，共三道大题，26道小题，满分150分，考试时间120分钟．
2．在试卷上准确填写学校名称、班级名称、姓名．
3．答案一律填涂或书写在答题卡上，用黑色字迹签字笔作答．
4．考试结束，请将本试卷交回．
一、选择题：共14小题，每小题4分，共56分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项
1．已知全集，集合，则 （ ）
A． B． C． D．
2．某学校有高中学生1500人，初中学生1000人．学生社团创办文创店，想了解初高中学生对学校吉祥物设计的需求，用分层抽样的方式随机抽取若干人进行问卷调查，已知在初中学生中随机抽取了100人，则在高中学生中抽取了（ ）
A．150人 B．200人 C．250人 D．300人
3．命题“”的否定是（ ）
A． B． C． D．
4．方程组解集是（ ）
A． B． C． D．
5．某部门调查了200名学生每周的课外活动时间（单位：h），制成了如图所示的频率分布直方图，其中课外活动时间的范围是，并分成五组．根据直方图，判断这200名学生中每周的课外活动时间不少于的人数是（ ）
A．56 B．80 C．144 D．184
6．若实数a，b满足，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
7．函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
8．在同一个坐标系中，函数的部分图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
9．下列函数中，既是奇函数，又在上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知，则实数a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数，则“”是为奇函数的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
12．已知函数，则不等式的解集为
A． B． C． D．
13．科赫（Kch）曲线是几何中最简单的分形，科赫曲线的产生方式如下：
如图，将一条线段三等分后，以中间一段为边作正三角形并去掉原线段生成1级科赫曲线“”，将1级科赫曲线上每一线段重复上述步骤得到2级科赫曲线，同理可得3级科赫曲线……
在分形中，一个图形通常由N个与它的上一级图形相似，且相似比为r的部分组成．若，则称D为该图形的分形维数．那么科赫曲线的分形气维数是（ ）
A． B． C．1 D．
14．已知函数，若存在非零实数，使得成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分
15．函数的定义域是__________．
16．已知幂函数经过点，则函数___________．
17．农科院作物所为了解某种农作物的幼苗质量，分别从该农作物在甲、乙两个不同环境下培育的幼苗中各随机抽取了15株幼苗进行检测，量出它们的高度如下图（单位：cm）：
记该样本中甲、乙两种环境下幼苗高度的中位数分别为a，b，则___________．
若以样本估计总体，记甲、乙两种环境下幼苗高度的标准差分别为，则____（用“<，>或=”连接）．
18．已知函数没有零点，则a的一个取值为_______；a的取值范围是___________．
19．已知函数，则的单调递增区间为________；满足的整数解的个数为____________（参考数据：）
20．共享单车已经逐渐成为人们在日常生活中必不可少的交通工具．通过调查发现人们在单车选择时，可以使用“Tullck竞争函数”进行近似估计，其解析式为（其中参数a表示市场外部性强度，a越大表示外部性越强）．给出下列四个结论：
①过定点；
②在上单调递增；
③关于对称；
④取定x，外部性强度a越大，越小．
其中所有正确结论的序号是______________．
三、解答题：共64分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
21．（本小题12分）
化简求值：（I） （II）
22．（本小题12分）
已知一元二次方程的两个实数根为
求值：（I）；（II）
23．（本小题9分）
国务院正式公布的《第一批全国重点文物保护单位名单》中把重点文物保护单位（下述简称为“第一批文保单位”）分为六大类．其中“A：革命遗址及革命纪念建筑物”、“B：石窟寺”、“C：古建筑及历史纪念建筑物”、“D：石刻及其他”、“E：古遗址”、“F：古墓葬”，北京的18个“第一批文保单位”所在区分布如下表：
（I）某个研学小组随机选择北京市“第一批文保单位”中的一个进行参观，求选中的参观单位恰好为“C：古建筑及历史纪念建筑物”的概率；
（II）小王同学随机选择北京市“第一批文保单位”中的“A：革命遗址及革命纪念建筑物”中的一个进行参观：小张同学随机选择北京市“第一批文保单位”中的“C：古建筑及历史纪念建筑物”中的一个进行参观．两人选择参观单位互不影响，求两人选择的参观单位恰好在同一个区的概率；
（III）现在拟从北京市“第一批文保单位”中的“C：古建筑及历史纪念建筑物”中随机抽取2个单位进行常规检查，记抽到海淀区的概率为，抽不到海淀区的概率记为，试判断和的大小（直接写出结论）．
24．（本小题9分）
已知集合
（I）求；
（II）记关于x的不等式的解集为M，若，求实数m的取值范围．
25．（本小题11分）
已知函数，请从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，解答下面的问题：
条件①：
条件②：
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答记分．
（I）求实数k的值；
（II）设函数，判断函数在区间上的单调性，并给出证明；
（III）设函数，指出函数在区间上的零点的个数，并说明理由．
26．（本小题11分）
已知函数的定义域均为R，给出下面两个定义：
①若存在唯一的，使得，则称与关于唯一交换；
②若对任意的，均有，则称与关于任意交换．
（I）请判断函数与关于是唯一交换还是任意交换，并说明理由；
（II）设，若存在函数，使得与关于任意交换，求b的值；
（III）在（II）的条件下，若与关于唯一交换，求a的值．行政区
门类
个数
东城区
A：革命遗址及革命纪念建筑物
3
C：古建筑及历史纪念建筑物
5
西城区
C：古建筑及历史纪念建筑物
2
丰台区
A：革命遗址及革命纪念建筑物
1
海淀区
C：古建筑及历史纪念建筑物
2
房山区
C：古建筑及历史纪念建筑物
1
E：古遗址
1
昌平区
C：古建筑及历史纪念建筑物
1
F：古墓葬
1
延庆区
C：古建筑及历史纪念建筑物
1