专题1.1 集合（十一个重难点突破）-高一数学重难点突破及混淆易错规避（人教A版必修第一册）

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知识点1集合的概念
1．元素与集合的概念
（1）元素：一般地,把研究对象统称为元素,元素常用小写的拉丁字母表示．
（2）集合：把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）,集合通常用大写的拉丁字母表示．
（3）集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的,就称这两个集合是相等的．
2．元素的特性：
（1）确定性：给定的集合,它的元素必须是确定的．也就是说,给定一个集合,那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”．
（2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说,集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”．
（3）无序性：给定集合中的元素是不分先后,没有顺序的．简记为“无序性”．
知识点2 元素与集合的关系
（1）属于：如果是集合A的元素,就说属于集合A,记作．
（2）不属于：如果不是集合A的元素,就说不属于集合A,记作．
温馨提示：（1）符号刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素与一个集合A而言,只有“”与“”这两种结果．
（2）和具有方向性,左边是元素,右边是集合,形如是错误的．
知识点3 常用的数集及集合的表示方法
1．常见数集
2．列举法
把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法．
3．描述法
（1）定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征的元素x所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．
（2）具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．
重难点1集合表示方法的应用
1．由大于且小于的偶数所组成的集合是（ ）
A．B．
C．D．
2．有下列四个命题：
①是空集；
②若，则；
③集合有两个元素；
④集合是有限集.
其中正确命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
3．集合{（x，y）|y＝3x2－11x}表示（ ）
A．方程y＝3x2－11x
B．（x，y）
C．平面直角坐标系中的所有点组成的集合
D．函数y＝3x2－11x图象上的所有点组成的集合
4．已知集合，，则集合B中的元素个数为______．
5．用描述法表示下列集合，并思考能否用列举法表示该集合
（1）所有能被3整除的自然数
（2）不等式的解集
（3）的解集
6．选择适当的方法表示下列集合．
（1）由方程x(x2－2x－3)＝0的所有实数根组成的集合；
（2）大于2且小于6的有理数；
（3）由直线y＝－x＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合．
重难点2根据集合中元素的个数求参数
7．已知关于x的方程的解集只有一个元素，则m的值为（ ）
A．2B．C．D．不存在
8．若集合中有2个元素，求k的取值范围．
9．（多选）关于的方程的解集中只含有一个元素，则的可能取值是（ ）
A．B．0C．1D．5
10．若关于x的方程的解集是单元集，求实数m的值.
11．已知集合A＝{x|ax2+3x+1＝0}中有且只有一个元素，求由实数a组成的集合．
12．已知集合A＝{x|ax2﹣3x+1＝0，a∈R}，若集合A中至多只有一个元素，则a的取值范围是 _____．
重难点3集合的元素特性
13．已知集合，则由实数不能取的值组成的集合是___________.
14．集合中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是（ ）
A．等腰三角形B．锐角三角形
C．直角三角形D．钝角三角形
15．若求实数a的值．
16．已知集合有三个元素：，，，集合也有三个元素：，，.
（1）若，求的值；
（2）若，求实数的值；
17．若，则______．
18．在集合中，的值可以是（ ）
A．0B．1C．2D．1或2
知识点4 子集、真子集与空集
1．子集的概念
2．真子集的概念
3．空集的概念
重难点4集合间关系的判断
19．设不等式的解集为，不等式组的解集为，则之间的关系为（ ）
A．B．C．MND．
20．设，，，则集合的关系是________．
21．（多选）已知集合，非空集合，下列条件能够使得的是（ ）
A．B．
C．D．且
22．（多选）已知 ， ，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
23．（多选）下列说法中不正确的是（ ）
A．集合为无限集
B．方程的解构成的集合的所有子集共4个
C．
D．
24．已知集合.
(1)判断8，9，10是否属于集合A；
(2)集合,证明：B是A的真子集.
重难点5有限集合子集、真子集的确定和个数
25．数集的非空真子集个数为（ ）
A．32B．31C．30D．29
26．集合，不为空集，，若中的元素之和为奇数，则满足条件的集合的个数为（ ）
A．5B．6C．7D．8
27．已知非空集合M⊆{1，2，3，4，5}，若a∈M，则6-a∈M，那么集合M的个数为（ ）
A．5B．6C．7D．8
28．若集合有且仅有两个子集，则实数k的值是_______.
29．已知一个有四个数字元素的集合，的所有子集的元素和（空集的元素和认为是零）的总和等于，则的元素之和等于（ ）
A．B．C．D．
30．已知一个由五个实数组成的集合，的所有非空子集的元素和的总和等于，则的五个元素之和等于_______．
重难点6利用集合间的（相等、包含）关系求参数值
31．已知，，且⫋，则的值为（ ）
A．B．4
C．或4D．1或
32．集合，，若且，则的取值为（ ）
A．B．4C．或D．或1
33．已知集合若，则实数的值是（ ）
A．B．C．D．
34．已知集合，，若，则a的取值构成的集合是（ ）
A．B．C．D．
35．设集合，，若，则对应的实数对有________对.
36．（多选）已知集合，，若，则实数可能的取值为（ ）
A．B．C．D．
重难点7利用集合间的（相等、包含）关系求参数范围
37．已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
38．设集合，B＝．若，求实数a的取值范围_______________
39．已知集合，若，则实数的取值范围是______.
40．设集合，且，则的取值范围是______
41．已知集合,,，且,求的取值范围.
42．（1）已知集合，当，求的值；
（2）已知集合，，若，求实数的取值范围．
知识点5 集合的运算
1．并集的概念及表示
2．交集的概念及表示
注意：（1）两个集合的并集、交集还是一个集合．
（2）对于，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素．
（3）是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成．
3．并集、交集的运算性质
4．补集的概念及表示
（1）全集定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，符号表示：全集通常记作.
（2）补集的定义及性质
重难点8求交、并、补的混合运算
43．设全集U，有以下四个关系式：
甲：A∩B＝A；乙：A∪B＝B；丙：；丁：．
如果有且只有一个不成立，则该式是（ ）
A．甲B．乙
C．丙D．丁
44．（多选）已知全集U，且集合A､B､C满足，则（ ）
A．B=CB．
C．D．
45．已知全集，求.
46．已知集合，，.
(1)求，；
(2)若，求的取值范围.
47．已知全集，，．求．
48．已知集合，，求，，，.
重难点9集合的交、并运算性质
49．设为全集，，则为
A．B．C．D．
50．已知集合，，，全集为．
(1)求，；
(2)如果，求的取值范围．
51．已知集合，．
(1)当时，求；
(2)若，求实数m的取值范围．
52．已知集合，集合，
(1)若，求和；
(2)若，求实数的取值范围.
53．已知集合．
(1)若，求；
(2)若，求m的取值范围．
54．已知集合为全体实数集，或，.
(1)若，求；
(2)若，求实数的取值范围.
重难点10Venn图的应用
55．某城市数、理、化竞赛时，高一某班有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛，其中参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8名，只参加数、化两科的有5名．若该班学生共有51名，则没有参加任何竞赛的学生共有（ ）名
A．7B．8C．9D．10
56．如图，三个圆的内部区域分别代表集合，，，全集为，则图中阴影部分的区域表示（ ）
A．B．
C．D．
57．图中矩形表示集合，两个圆分别表示集合，，则图中阴影部分可以表示为（ ）
A．B．
C．D．
58．集合，，将集合A，B分别用如图中的两个圆表示，则圆中阴影部分表示的集合中元素个数恰好为4的是（ ）
A．B．C．D．
59．已知集合，集合，则Venn图中阴影部分表示的集合中元素的个数为________．
60．（多选）图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）
A．B．
C．D．
重难点11含参数的交、并、补运算
61．设集合，．
在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上并解答．
(1)求，．
(2)若______，求的取值范围．
注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．
62．已知全集，集合．
(1)若且，求实数的值；
(2)设集合，若的真子集共有3个，求实数的值．
63．已知集合，，其中．
(1)若，求，的值；
(2)若对，有，求，的取值范围．
64．已知全集；
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的值．
65．已知集合，集合，．
（1）若，求实数m的值；
（2）若，求实数m的取值范围．
66．己知集合．
（1）若，则实数a的取值范围是__________．
（2）若，则实数a的取值范围是__________．
（3）若，则实数a的取值范围是__________．
1．已知，若，且，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．已知集合，，则集合B中所有元素之和为（ ）
A．0B．1C．－1D．
3．已知集合和，那么（ ）
A．B．
C．D．
4．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
5．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知集合，，则下列命题为假命题的是（ ）
A．，B．若，则
C．若，则有三个元素D．，
7．集合或，，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．（多选）方程组的解集可表示为（ ）
A．B．
C．{1，2}D．
9．（多选）下列四个命题中正确的是（ ）
A．
B．由实数x，－x，，，所组成的集合最多含2个元素
C．集合中只有一个元素
D．集合是有限集
10．（多选）对于集合 ，定义，且，下列命题正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，，或，则
D．若，，则，或
11．设集合，，若，则实数所有取值组成的集合的子集个数为__________.
12．已知集合若A的子集个数为2，则实数的取值集合为_______.
13．已知集合是单元素集，用列举法表示的取值集合___________.
14．已知集合．
(1)若是的子集，且至少含有元素，写出满足条件的所有集合；
(2)若，且，求实数的取值集合．
15．设集合,
(1)若，求；
(2)若，求实数的取值范围．
常用的数集
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
记法
或
定义
一般地,对于两个集合A,B,如果集合中任意一个元素都是集合中的元素,称集合为集合的子集
记法与读法
记作(或),读作“包含于”(或“B包含”)
图示
或
结论
（1）任何一个集合是它本身的子集,即;
（2）对于集合A,B,C,若,且,则
定义
如果集合,但存在元素,且,我们称集合是集合的真子集
记法
记作(或)
图示
结论
(1)若且,则;(2)若且,则
定义
我们把不含任何元素的集合,叫做空集
记法
规定
空集是任何集合的子集,即
自然语言
符号语言
图形语言
由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的并集,记作(读作“A并B")
自然语言
符号语言
图形语言
由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集,记作 (读作“A交B")
并集的运算性质
交集的运算性质
定义
文字语言
对于一个集合A,由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对全集的补集﹐简称为集合的补集﹐记作
符号语言
图形语言
性质
（1）；
（2），