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人教版2023-2024学年度上学期九年级期末数学模拟测试卷(含解析)
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这是一份人教版2023-2024学年度上学期九年级期末数学模拟测试卷(含解析)，共25页。
1．（本题3分）有两个事件，事件A：367人中至少有2人生日相同；事件B：抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为偶数．下列说法正确的是（ ）
A．事件A、B都是随机事件
B．事件A、B都是必然事件
C．事件A是随机事件，事件B是必然事件
D．事件A是必然事件，事件B是随机事件
2．（本题3分）将一元二次方程通过配方转换成的形式（，为常数），则的值为（ ）
A．3B．5C．D．
3．（本题3分）已知和关于原点对称，则的值为（ ）
A．7或B．或C．5或1D．1或
4．（本题3分）为积极推进“互联网+享受教育”课堂生态重构，加强对学校教育信息化的建设的投入，已知2021年计划投入1000万元，预计到2023年需投入1440万元，设投入经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．1000（1+x）2＝1440
B．1000（1+2x）＝1440
C．1000+1000x+1000x2＝1440
D．1000（x2+1）＝1440
5．（本题3分）有一题目：“已知；点为的外心，，求．”嘉嘉的解答为：画以及它的外接圆，连接，，如图．由，得．而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，还应有另一个不同的值．”，下列判断正确的是（ ）
A．淇淇说的对，且的另一个值是115°
B．淇淇说的不对，就得65°
C．嘉嘉求的结果不对，应得50°
D．两人都不对，应有3个不同值
6．（本题3分）在抛物线上有、和三点，若抛物线与y轴的交点在正半轴上，则、和的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
7．（本题3分）如图，将绕点逆时针旋转一定角度，得到．若，，且，的度数为（ ）
A．B．C．D．
8．（本题3分）阅览室有十本名著，小红和小燕都想借阅，于是她们通过摸球游戏决定谁先看，游戏规则：在不透明的口袋中分别放入2个白色和1个黄色的乒乓球，它们除颜色外其余都相同，先由小红从中任意摸出1个乒乓球记下颜色后放回并摇匀，再由小燕从口袋中摸出1个乒乓球，记下颜色．若二人摸到乒乓球的颜色相同，则小红先看，否则小燕先看．则小燕先看的概率是（ ）
A．B．C．D．
9．（本题3分）如图，AB是⊙O的弦，且AB＝6，点C是弧AB中点，点D是优弧AB上的一点，∠ADC＝30°，则圆心O到弦AB的距离等于（ ）
A．B．C．D．
10．（本题3分）如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，抛物线与x轴的一个交点在和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程没有实数根．其中正确的结论个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
11．（本题3分）如果关于的一元二次方程的根的判别式的值为，那么 ．
12．（本题3分）将抛物线向下平移m个单位后，它的顶点恰好落在x轴上，那么 ．
13．（本题3分）如图所示，已知AB是⊙O的直径，如果∠BAC=30°，D是AC上任意一点，那么∠D的度数是 .
14．（本题3分）如图，一个可以自由转动的圆形转盘，转盘按1：2：3：4的比例分成A，B，C，D四个扇形区域，指针的位置固定，任意转动转盘1次，则停止后指针恰好落在B区域的概率为 ．
15．（本题3分）如图， 中，，，点M，N在底边上，若，，那么线段与之间的数量关系为 ．
16．（本题3分）已知、是方程的两个实根，则 ．
17．（本题3分）点P为⊙O外一点，直线PO与⊙O的两个公共点为A、B，过点P作⊙O的切线，点C为切点，连接AC．若∠CPO=50°，则∠CAB为 °．
18．（本题3分）如图所示，AB为⊙O的直径，AB=2，OC是⊙O的半径，OC⊥AB，点D在弧AC上， 点P是O C上一动点，则阴影部分周长的最小值为 ．
19．（本题8分）解方程∶
(1)
(2)
20．（本题8分）关于x的一元二次方程．
(1)求证：此方程有两个不相等的实数根；
(2)若方程有一个根是2，试求的值．
21．（本题8分）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共30只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据：
(1)请估计：当n很大时，摸到白球的概率将会接近 ．（精确到）
(2)试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？
(3)如果再加入若干个白球后，摸到白球的概率为，求加入的白球数量．
22．（本题10分）在平面直角坐标系中，如果抛物线上存在一点A，使点A关于坐标原点O的对称点也在这条抛物线上，那么我们把这条抛物线叫做回归地物线，点A叫做这条抛物线的回归点．
（1）已知点M在抛物线上，且点M的横坐标为2，试判断抛物线是否为回归抛物线，并说明理由；
（2）已知点C为回归抛物线的顶点，如果点C是这条抛物线的回归点，求这条抛物线的表达式；
23．（本题10分）如图，是直角三角形的外接圆，直径，过点作的切线，与延长线交于点，为的中点，连接，，且与相交于点．
(1)求证：与相切；
(2)当时，求弦和弧所夹图形的面积；
(3)在（2）的条件下，在弧上取一点，使，连接交弦于点，求的长度是多少？
24．（本题10分）小明将小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，如图建立直角坐标系，小球能达到的最高点的坐标．
(1)请求出b和n的值；
(2)小球在斜坡上的落点为M，求点M的坐标；
(3)点P是小球从起点到落点抛物线上的动点，连接，当点P的坐标为何值时？的面积最大，最大面积是多少？
25．（本题12分）把两个等腰直角和按如图1所示的位置摆放，将绕点A按逆时针方向旋转，如图2，连接BD，EC，设旋转角．
(1)当时，旋转角______度，AD与BC的位置关系是______，AE与BC的位置关系是______；
(2)当点D在线段BE上时，请画出图形并求的度数；
(3)当旋转角α是多少时，的面积最大？（直接写出答案，不用推理和证明）．
评卷人
得分
一、单选题（共30分）
评卷人
得分
二、填空题（共24分）
评卷人
得分
三、证明题（共66分）
摸球的次数
摸到白球次数
摸到白球频率
参考答案：
1．D
【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．首先判断两个事件是必然事件、随机事件，然后找到正确的答案．
【详解】解：事件A、一年有365天，所以367人中必有2人的生日相同，是必然事件；
事件B、抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为1、2、3、4、5、6共6种情况，点数为偶数是随机事件．
故选：D．
【点睛】该题考查的是对必然事件的概念的理解；解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题．用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
2．C
【分析】本题考查配方法解一元二次方程，先将常数项移到等号右边，再利用完全平方公式配方，求出n，p的值，即可求解．
【详解】解：，
移项，得，
整理，得，
配方，得，
即，
，，
，
故选C．
3．C
【分析】本题考查的是关于原点对称的两个点的坐标关系，利用横纵坐标都互为相反数建立方程，，再把，的值代入进行计算即可．
【详解】解：∵点和关于原点对称，
∴，，
∴，
当，时，，
当，时，
故选：C．
4．A
【分析】如果设投入经费的年平均增长率为x，根据2021年投入1000万元，得出2022年投入1000（1+x）万元，2023年投入1000（1+x）2万元，预计到2023年需投入1440万元可得出方程．
【详解】解：设投入经费的年平均增长率为x，根据2021年投入1000万元，得出2022年投入1000（1+x）万元，2023年投入1000（1+x）2万元，
根据题意得1000（1+x）2=1440．
故选：A．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．
5．A
【分析】直接利用圆内接四边形的性质结合圆周角定理得出答案．
【详解】解：如图所示：
∵∠BOC=130°，
∴∠A=65°，
∠A还应有另一个不同的值∠A′与∠A互补．
故∠A′＝180°−65°＝115°．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了三角形的外接圆，正确分类讨论是解题关键．
6．B
【分析】根据抛物线与y轴的交点在正半轴上，求出的的符号，再求出对称轴，结合抛物线的开口方向和对称性，进行判断即可．
【详解】解：∵抛物线与y轴的交点在正半轴上，
∴，
∴，
即抛物线的开口向下，
∵抛物线的解析式是，
∴对称轴是直线，
∴当时，y随x的增大而减小，
∴点关于直线x＝1的对称点的坐标是
∵图象过点、和，
又∵，
∴，
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的图象函数性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．
7．D
【分析】根据旋转的性质得出，，根据三角形内角和定理可得，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，设交于点，
绕点逆时针旋转得到，
，，
，
，
，
，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
8．C
【分析】此题考查列举法求概率，根据题意列树状图表示出所有可能的结果数及所求的结果数，根据概率公式计算即可，正确理解列树状图法或列表法求概率是解题的关键．
【详解】解：画树状图如下，
共有9种等可能的结果，其中二人摸到乒乓球的颜色相同的有5种，
∴P（小红先看），P（小燕先看）
故选：C．
9．C
【分析】连接OA，AC，OC，OC交AB于E，先根据垂径定理求出AE=3，然后证明三角形OAC是等边三角形，从而可以得到∠OAE=30°，再利用三线合一定理求解即可.
【详解】解：如图所示，连接OA，AC，OC，OC交AB于E，
∵C是弧AB的中点，AB=6，
∴OC⊥AB，AE=BE=3，
∵∠ADC=30°，
∴∠AOC=2∠ADC=60°，
又∵OA=OC，
∴△OAC是等边三角形，
∵OC⊥AB,
∴，,
∴
∴
∴圆心O到弦AB的距离为，
故选C.
【点睛】本题主要考查了圆周角与圆心角的关系，等边三角形的性质与判定，勾股定理，垂径定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
10．D
【分析】根据图象开口向下，对称轴为直线可得抛物线与x轴另一交点坐标在
之间，从而判断①；由对称轴为直线可得b与a的关系，将代入函数解析式根据图象可判断②；由有两个相等实数根可得，从而判断③．由函数最大值为可判断④．
【详解】解：∵抛物线顶点坐标为，
∴抛物线对称轴为直线，
∵图象与x轴的一个交点在和之间，
∴图象与x轴另一交点在之间，
∴时，，
即，
故①正确，符合题意．
∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，
∴时，，
故②正确，符合题意．
∵抛物线顶点坐标为，
∴有两个相等实数根，
∴，
∴，
故③正确，符合题意．
∵的最大函数值为，
∴没有实数根，
故④正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
11．/0.75
【分析】先根据根的判别式得出关于m的一元一次方程，再解方程即可．
【详解】解：由题意得：，
解得
故答案为：．
【点睛】本题主要考查根的判别式和解一元一次方程，熟练运用根的判别式列出方程是关键．
12．2
【分析】将抛物线解析式改为顶点式，即可求出平移后的解析式，进而可求出平移后的顶点坐标，最后根据它的顶点恰好落在x轴上，即顶点的纵坐标为0，可求出答案．
【详解】解：∵，
∴该抛物线向下平移m个单位后的解析式为，
∴此时顶点坐标为．
∵此时它的顶点恰好落在x轴上，
∴，
解得：．
故答案为：2．
【点睛】本题考查二次函数图象的平移，二次函数的图象和性质．掌握二次函数图象的平移规律“上加下减，左加右减”是解题关键．
13．120°
【分析】由AB为半圆的直径，根据圆周角定理可得直径所对的圆周角为直角，可得∠ACB为直角，在三角形ABC中，∠BAC与∠B互余，由∠BAC的度数求出∠B的度数，再根据圆内接四边形的对角互补，进而由∠B的度数即可求出∠D的度数．
【详解】∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°,又∠BAC=30°，
∴∠B=60°，
又四边形ABCD为圆的内接四边形，
∴∠B+∠D=180°，
则∠D=180°−∠B=120°.
故答案为120°.
【点睛】本题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质，解题的关键是熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形的性质.
14．0.2
【分析】首先确定在图中B区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向B区域的概率．
【详解】解：∵一个圆形转盘按1：2：3：4的比例分成A、B、C、D四个扇形区域，
∴圆被等分成10份，其中B区域占2份，
∴落在B区域的概率＝＝0.2；
故答案为：0.2．
【点睛】此题考查利用概率公式计算，正确理解圆形份数及B区域所占份数与圆形份数之间的关系是解题的关键．
15．
【分析】本题考查了三角形全等的性质、含角的直角三角形、等腰三角形的性质、三角形内角和定理的应用，先根据已知条件求出各个角度，然后构造全等三角形，找到边长之间的关系，其中构造出全等三角形是解答本题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
如图，将绕点A顺时针旋转，得到，
，
∴，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
16．-4
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可以求得两根之积或两根之和，根据（x1-2）（x2-2）=x1x2-2（x1+x2）+4代入数值计算即可．
【详解】解：由于x1+x2=3，x1x2=-2，
∴（x1-2）（x2-2）=x1x2-2（x1+x2）+4=-2-2×3+4=-4．
故答案为：-4．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是根据根与系数的关系根与系数的关系求出两根之积或两根之和.
17．20或70
【分析】由切线性质得出∠OCP=90°，根据圆周角定理和等腰三角形的性质以及三角形的外角性质求得∠CAB或∠CBA的度数即可解答．
【详解】解：如图1，连接OC，
∵PC是⊙O的切线，
∴OC⊥PC，即∠OCP=90°，
∵∠CPO=50°，
∴∠POC=90°－50°=40°，
∵OA=OC，
∴∠CAB=∠OCA，
∴∠POC=2∠CAB，
∴∠CAB=20°，
如图2，∠CBA=20°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB=90°－∠CBA=70°，
综上，∠CAB=20°或70°．
故答案为：20或70
【点睛】本题考查圆周角定理、切线的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质、直角三角形的两锐角互余，熟练掌握切线性质和等腰三角形的性质是解答的关键．
18．
【分析】B是A关于OC的对称点，连接BD则就是AP+PD的最小值．根据已知条件可以知道∠ABD=30°，由于AB是直径，所以∠ADB=90°，解直角三角形求出BD，利用弧长公式求出的长即可．
【详解】解：如图，连接BD，AD，PB．
根据已知得B是A关于OC的对称点，
∴BD就是AP+PD的最小值，
∵，而弧AC的度数是90°的弧，
∴的度数是60°，
∴∠ABD=30°，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
而AB=2，
∴BD=，
∵=，
∴AP+PD的最小值是，
∴阴影部分的周长的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查轴对称最短问题，弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19．(1)，；
(2)，．
【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解的方法解方程是解本题的关键；
（1）先把方程化为，再化为两个一次方程，再解一次方程即可；
（2）先移项把方程化为，再化为两个一次方程，再解一次方程即可；
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，，
解得：，；
（2）
∴，
∴，
∴，，
解得：，．
20．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根，代数式求值．熟练掌握一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根，整体代入求值是解题的关键．
（1）由题意得，然后作答即可；
（2）由题意得，，整理得，，根据，计算求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴此方程有两个不相等的实数根；
（2）解：由题意得，，整理得，，
∴，
∴的值为．
21．(1)
(2)黑球有12只，白球有18个
(3)30只
【分析】（1）根据利用频率估计概率，由于摸到白球的频率稳定在左右，由此可估计摸到白球的概率为；
（2）根据（1）可得摸到白球的概率是，再用1减去白球的概率，即可得出黑球的概率；
（3）用总的个数乘以摸到黑球的概率，即可得出答案．
【详解】（1）解：根据摸到白球的频率稳定在左右，
所以摸到白球的频率将会接近；
故答案为：；
（2）由（1）可得：
白球有（个），黑球有（个），
答：黑球有12只，白球有18个；
（3）设加入白球个，
根据题意得：，
解得：，
经检验是原方程的解，
答：加入的白球数量为30只．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
22．（1）是，见解析；（2）．
【分析】（1）当时，求得点，再解得点M关于原点对称的点，判断点是否在抛物线上，即可解题；
（2）利用配方法解得点C的坐标，继而解得点C关于原点对称的点，再根据题意代入抛物线中，得到关于的一元一次方程，解方程即可
【详解】解：（1）当时，
点M关于原点对称的点，
当时，
在抛物线上，
抛物线是回归抛物线；
（2）
由题意得，点C关于原点对称的点也在抛物线上，
．
【点睛】本题考查抛物线的性质、抛物线的顶点、中心对称、判断点是否在抛物线上、求二次函数解析式等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
23．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】对于（1），连接，得，根据直角三角形的性质得，得，再根据切线的性质得，进而得出，可得答案；
对于（2），根据求出解即可；
对于（3），先证明平分，由三线合一得性质可证，再根据勾股定理求出，进而得出的长．
【详解】（1）连接，
∵是直角三角形的外接圆，
∴．
在中，M为的中点，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵为的切线，
∴，
∴
即．
∵为的半径，
∴与相切；
（2）∵，，
∴为等边三角形，
∴．
∵，
∴，
∴．
根据勾股定理，得
∴；
（3）如图，，，
∴等边三角形中，平分，
∴．
在中，，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，扇形的面积，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质等，构造辅助线是解题的关键．
24．(1)
(2)
(3)，
【分析】（1）由题意，对称轴为，求解参数b，解析式确定参数n；
（2）由两解析式构建方程，求解交点的横坐标，进而确定交点坐标；
（3）作轴，交于点N，设，则，得，于是，得解．
【详解】（1）解：∵，
∴，即；
当时，，即；
（2）解：由题意，得，
解得，（舍去）或，于是，
∴点M的坐标．
（3）解：作轴，交于点N，
设，则，
∴．
∴
当时，S有最大值，即，
此时，．
【点睛】本题考查运用函数性质确定待定参数，运用方程求图象交点，二次函数极值；掌握二次函数的性质、基本的数形结合能力是解题的关键．
25．(1)45；垂直；平行；
(2)作图见解析，；
(3)90°或270°
【分析】（1）根据题意画出图形，由等腰直角三角形的性质和即可求出旋转角α的度数，再利用角度之间的关系求出，即可得到AD与BC的位置关系，再根据平行线的判定即可求出AE与BC的位置关系；
（2）利用全等三角形的判定得出，从而得出，再根据角之间的关系得出，从而得出的度数；
（3）由题意可知，点D在以点A为圆心，AD长为半径的圆周上运动，在中，当AB以为底边，点D到AB的距离最大时，的面积最大，即时的面积最大，从而求出旋转角的度数．
【详解】（1）解：如图所示，
∵为等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，，，
∴
∴旋转角，
∵，，
∴，
∴，
∴AD与BC的位置关系是垂直，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图所示
∵，，
∴，
∵与为等腰直角三角形，
∴，，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：如图3、图4所示
∵绕点A按逆时针方向旋转，
∴点D在以点A为圆心，AD长为半径的圆周上运动，
∴当AB以为底边，点D到AB的距离最大时，的面积最大，
∴当时的面积最大，
∴旋转角或时的面积最大．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角的判定与性质，熟练掌握旋转的性质以及全等的判定，根据题意画出相应图形是解答此题的关键
1．（本题3分）有两个事件，事件A：367人中至少有2人生日相同；事件B：抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为偶数．下列说法正确的是（ ）
A．事件A、B都是随机事件
B．事件A、B都是必然事件
C．事件A是随机事件，事件B是必然事件
D．事件A是必然事件，事件B是随机事件
2．（本题3分）将一元二次方程通过配方转换成的形式（，为常数），则的值为（ ）
A．3B．5C．D．
3．（本题3分）已知和关于原点对称，则的值为（ ）
A．7或B．或C．5或1D．1或
4．（本题3分）为积极推进“互联网+享受教育”课堂生态重构，加强对学校教育信息化的建设的投入，已知2021年计划投入1000万元，预计到2023年需投入1440万元，设投入经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．1000（1+x）2＝1440
B．1000（1+2x）＝1440
C．1000+1000x+1000x2＝1440
D．1000（x2+1）＝1440
5．（本题3分）有一题目：“已知；点为的外心，，求．”嘉嘉的解答为：画以及它的外接圆，连接，，如图．由，得．而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，还应有另一个不同的值．”，下列判断正确的是（ ）
A．淇淇说的对，且的另一个值是115°
B．淇淇说的不对，就得65°
C．嘉嘉求的结果不对，应得50°
D．两人都不对，应有3个不同值
6．（本题3分）在抛物线上有、和三点，若抛物线与y轴的交点在正半轴上，则、和的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
7．（本题3分）如图，将绕点逆时针旋转一定角度，得到．若，，且，的度数为（ ）
A．B．C．D．
8．（本题3分）阅览室有十本名著，小红和小燕都想借阅，于是她们通过摸球游戏决定谁先看，游戏规则：在不透明的口袋中分别放入2个白色和1个黄色的乒乓球，它们除颜色外其余都相同，先由小红从中任意摸出1个乒乓球记下颜色后放回并摇匀，再由小燕从口袋中摸出1个乒乓球，记下颜色．若二人摸到乒乓球的颜色相同，则小红先看，否则小燕先看．则小燕先看的概率是（ ）
A．B．C．D．
9．（本题3分）如图，AB是⊙O的弦，且AB＝6，点C是弧AB中点，点D是优弧AB上的一点，∠ADC＝30°，则圆心O到弦AB的距离等于（ ）
A．B．C．D．
10．（本题3分）如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，抛物线与x轴的一个交点在和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程没有实数根．其中正确的结论个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
11．（本题3分）如果关于的一元二次方程的根的判别式的值为，那么 ．
12．（本题3分）将抛物线向下平移m个单位后，它的顶点恰好落在x轴上，那么 ．
13．（本题3分）如图所示，已知AB是⊙O的直径，如果∠BAC=30°，D是AC上任意一点，那么∠D的度数是 .
14．（本题3分）如图，一个可以自由转动的圆形转盘，转盘按1：2：3：4的比例分成A，B，C，D四个扇形区域，指针的位置固定，任意转动转盘1次，则停止后指针恰好落在B区域的概率为 ．
15．（本题3分）如图， 中，，，点M，N在底边上，若，，那么线段与之间的数量关系为 ．
16．（本题3分）已知、是方程的两个实根，则 ．
17．（本题3分）点P为⊙O外一点，直线PO与⊙O的两个公共点为A、B，过点P作⊙O的切线，点C为切点，连接AC．若∠CPO=50°，则∠CAB为 °．
18．（本题3分）如图所示，AB为⊙O的直径，AB=2，OC是⊙O的半径，OC⊥AB，点D在弧AC上， 点P是O C上一动点，则阴影部分周长的最小值为 ．
19．（本题8分）解方程∶
(1)
(2)
20．（本题8分）关于x的一元二次方程．
(1)求证：此方程有两个不相等的实数根；
(2)若方程有一个根是2，试求的值．
21．（本题8分）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共30只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据：
(1)请估计：当n很大时，摸到白球的概率将会接近 ．（精确到）
(2)试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？
(3)如果再加入若干个白球后，摸到白球的概率为，求加入的白球数量．
22．（本题10分）在平面直角坐标系中，如果抛物线上存在一点A，使点A关于坐标原点O的对称点也在这条抛物线上，那么我们把这条抛物线叫做回归地物线，点A叫做这条抛物线的回归点．
（1）已知点M在抛物线上，且点M的横坐标为2，试判断抛物线是否为回归抛物线，并说明理由；
（2）已知点C为回归抛物线的顶点，如果点C是这条抛物线的回归点，求这条抛物线的表达式；
23．（本题10分）如图，是直角三角形的外接圆，直径，过点作的切线，与延长线交于点，为的中点，连接，，且与相交于点．
(1)求证：与相切；
(2)当时，求弦和弧所夹图形的面积；
(3)在（2）的条件下，在弧上取一点，使，连接交弦于点，求的长度是多少？
24．（本题10分）小明将小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，如图建立直角坐标系，小球能达到的最高点的坐标．
(1)请求出b和n的值；
(2)小球在斜坡上的落点为M，求点M的坐标；
(3)点P是小球从起点到落点抛物线上的动点，连接，当点P的坐标为何值时？的面积最大，最大面积是多少？
25．（本题12分）把两个等腰直角和按如图1所示的位置摆放，将绕点A按逆时针方向旋转，如图2，连接BD，EC，设旋转角．
(1)当时，旋转角______度，AD与BC的位置关系是______，AE与BC的位置关系是______；
(2)当点D在线段BE上时，请画出图形并求的度数；
(3)当旋转角α是多少时，的面积最大？（直接写出答案，不用推理和证明）．
评卷人
得分
一、单选题（共30分）
评卷人
得分
二、填空题（共24分）
评卷人
得分
三、证明题（共66分）
摸球的次数
摸到白球次数
摸到白球频率
参考答案：
1．D
【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．首先判断两个事件是必然事件、随机事件，然后找到正确的答案．
【详解】解：事件A、一年有365天，所以367人中必有2人的生日相同，是必然事件；
事件B、抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为1、2、3、4、5、6共6种情况，点数为偶数是随机事件．
故选：D．
【点睛】该题考查的是对必然事件的概念的理解；解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题．用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
2．C
【分析】本题考查配方法解一元二次方程，先将常数项移到等号右边，再利用完全平方公式配方，求出n，p的值，即可求解．
【详解】解：，
移项，得，
整理，得，
配方，得，
即，
，，
，
故选C．
3．C
【分析】本题考查的是关于原点对称的两个点的坐标关系，利用横纵坐标都互为相反数建立方程，，再把，的值代入进行计算即可．
【详解】解：∵点和关于原点对称，
∴，，
∴，
当，时，，
当，时，
故选：C．
4．A
【分析】如果设投入经费的年平均增长率为x，根据2021年投入1000万元，得出2022年投入1000（1+x）万元，2023年投入1000（1+x）2万元，预计到2023年需投入1440万元可得出方程．
【详解】解：设投入经费的年平均增长率为x，根据2021年投入1000万元，得出2022年投入1000（1+x）万元，2023年投入1000（1+x）2万元，
根据题意得1000（1+x）2=1440．
故选：A．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．
5．A
【分析】直接利用圆内接四边形的性质结合圆周角定理得出答案．
【详解】解：如图所示：
∵∠BOC=130°，
∴∠A=65°，
∠A还应有另一个不同的值∠A′与∠A互补．
故∠A′＝180°−65°＝115°．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了三角形的外接圆，正确分类讨论是解题关键．
6．B
【分析】根据抛物线与y轴的交点在正半轴上，求出的的符号，再求出对称轴，结合抛物线的开口方向和对称性，进行判断即可．
【详解】解：∵抛物线与y轴的交点在正半轴上，
∴，
∴，
即抛物线的开口向下，
∵抛物线的解析式是，
∴对称轴是直线，
∴当时，y随x的增大而减小，
∴点关于直线x＝1的对称点的坐标是
∵图象过点、和，
又∵，
∴，
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的图象函数性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．
7．D
【分析】根据旋转的性质得出，，根据三角形内角和定理可得，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，设交于点，
绕点逆时针旋转得到，
，，
，
，
，
，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
8．C
【分析】此题考查列举法求概率，根据题意列树状图表示出所有可能的结果数及所求的结果数，根据概率公式计算即可，正确理解列树状图法或列表法求概率是解题的关键．
【详解】解：画树状图如下，
共有9种等可能的结果，其中二人摸到乒乓球的颜色相同的有5种，
∴P（小红先看），P（小燕先看）
故选：C．
9．C
【分析】连接OA，AC，OC，OC交AB于E，先根据垂径定理求出AE=3，然后证明三角形OAC是等边三角形，从而可以得到∠OAE=30°，再利用三线合一定理求解即可.
【详解】解：如图所示，连接OA，AC，OC，OC交AB于E，
∵C是弧AB的中点，AB=6，
∴OC⊥AB，AE=BE=3，
∵∠ADC=30°，
∴∠AOC=2∠ADC=60°，
又∵OA=OC，
∴△OAC是等边三角形，
∵OC⊥AB,
∴，,
∴
∴
∴圆心O到弦AB的距离为，
故选C.
【点睛】本题主要考查了圆周角与圆心角的关系，等边三角形的性质与判定，勾股定理，垂径定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
10．D
【分析】根据图象开口向下，对称轴为直线可得抛物线与x轴另一交点坐标在
之间，从而判断①；由对称轴为直线可得b与a的关系，将代入函数解析式根据图象可判断②；由有两个相等实数根可得，从而判断③．由函数最大值为可判断④．
【详解】解：∵抛物线顶点坐标为，
∴抛物线对称轴为直线，
∵图象与x轴的一个交点在和之间，
∴图象与x轴另一交点在之间，
∴时，，
即，
故①正确，符合题意．
∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，
∴时，，
故②正确，符合题意．
∵抛物线顶点坐标为，
∴有两个相等实数根，
∴，
∴，
故③正确，符合题意．
∵的最大函数值为，
∴没有实数根，
故④正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
11．/0.75
【分析】先根据根的判别式得出关于m的一元一次方程，再解方程即可．
【详解】解：由题意得：，
解得
故答案为：．
【点睛】本题主要考查根的判别式和解一元一次方程，熟练运用根的判别式列出方程是关键．
12．2
【分析】将抛物线解析式改为顶点式，即可求出平移后的解析式，进而可求出平移后的顶点坐标，最后根据它的顶点恰好落在x轴上，即顶点的纵坐标为0，可求出答案．
【详解】解：∵，
∴该抛物线向下平移m个单位后的解析式为，
∴此时顶点坐标为．
∵此时它的顶点恰好落在x轴上，
∴，
解得：．
故答案为：2．
【点睛】本题考查二次函数图象的平移，二次函数的图象和性质．掌握二次函数图象的平移规律“上加下减，左加右减”是解题关键．
13．120°
【分析】由AB为半圆的直径，根据圆周角定理可得直径所对的圆周角为直角，可得∠ACB为直角，在三角形ABC中，∠BAC与∠B互余，由∠BAC的度数求出∠B的度数，再根据圆内接四边形的对角互补，进而由∠B的度数即可求出∠D的度数．
【详解】∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°,又∠BAC=30°，
∴∠B=60°，
又四边形ABCD为圆的内接四边形，
∴∠B+∠D=180°，
则∠D=180°−∠B=120°.
故答案为120°.
【点睛】本题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质，解题的关键是熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形的性质.
14．0.2
【分析】首先确定在图中B区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向B区域的概率．
【详解】解：∵一个圆形转盘按1：2：3：4的比例分成A、B、C、D四个扇形区域，
∴圆被等分成10份，其中B区域占2份，
∴落在B区域的概率＝＝0.2；
故答案为：0.2．
【点睛】此题考查利用概率公式计算，正确理解圆形份数及B区域所占份数与圆形份数之间的关系是解题的关键．
15．
【分析】本题考查了三角形全等的性质、含角的直角三角形、等腰三角形的性质、三角形内角和定理的应用，先根据已知条件求出各个角度，然后构造全等三角形，找到边长之间的关系，其中构造出全等三角形是解答本题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
如图，将绕点A顺时针旋转，得到，
，
∴，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
16．-4
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可以求得两根之积或两根之和，根据（x1-2）（x2-2）=x1x2-2（x1+x2）+4代入数值计算即可．
【详解】解：由于x1+x2=3，x1x2=-2，
∴（x1-2）（x2-2）=x1x2-2（x1+x2）+4=-2-2×3+4=-4．
故答案为：-4．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是根据根与系数的关系根与系数的关系求出两根之积或两根之和.
17．20或70
【分析】由切线性质得出∠OCP=90°，根据圆周角定理和等腰三角形的性质以及三角形的外角性质求得∠CAB或∠CBA的度数即可解答．
【详解】解：如图1，连接OC，
∵PC是⊙O的切线，
∴OC⊥PC，即∠OCP=90°，
∵∠CPO=50°，
∴∠POC=90°－50°=40°，
∵OA=OC，
∴∠CAB=∠OCA，
∴∠POC=2∠CAB，
∴∠CAB=20°，
如图2，∠CBA=20°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB=90°－∠CBA=70°，
综上，∠CAB=20°或70°．
故答案为：20或70
【点睛】本题考查圆周角定理、切线的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质、直角三角形的两锐角互余，熟练掌握切线性质和等腰三角形的性质是解答的关键．
18．
【分析】B是A关于OC的对称点，连接BD则就是AP+PD的最小值．根据已知条件可以知道∠ABD=30°，由于AB是直径，所以∠ADB=90°，解直角三角形求出BD，利用弧长公式求出的长即可．
【详解】解：如图，连接BD，AD，PB．
根据已知得B是A关于OC的对称点，
∴BD就是AP+PD的最小值，
∵，而弧AC的度数是90°的弧，
∴的度数是60°，
∴∠ABD=30°，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
而AB=2，
∴BD=，
∵=，
∴AP+PD的最小值是，
∴阴影部分的周长的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查轴对称最短问题，弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19．(1)，；
(2)，．
【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解的方法解方程是解本题的关键；
（1）先把方程化为，再化为两个一次方程，再解一次方程即可；
（2）先移项把方程化为，再化为两个一次方程，再解一次方程即可；
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，，
解得：，；
（2）
∴，
∴，
∴，，
解得：，．
20．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根，代数式求值．熟练掌握一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根，整体代入求值是解题的关键．
（1）由题意得，然后作答即可；
（2）由题意得，，整理得，，根据，计算求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴此方程有两个不相等的实数根；
（2）解：由题意得，，整理得，，
∴，
∴的值为．
21．(1)
(2)黑球有12只，白球有18个
(3)30只
【分析】（1）根据利用频率估计概率，由于摸到白球的频率稳定在左右，由此可估计摸到白球的概率为；
（2）根据（1）可得摸到白球的概率是，再用1减去白球的概率，即可得出黑球的概率；
（3）用总的个数乘以摸到黑球的概率，即可得出答案．
【详解】（1）解：根据摸到白球的频率稳定在左右，
所以摸到白球的频率将会接近；
故答案为：；
（2）由（1）可得：
白球有（个），黑球有（个），
答：黑球有12只，白球有18个；
（3）设加入白球个，
根据题意得：，
解得：，
经检验是原方程的解，
答：加入的白球数量为30只．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
22．（1）是，见解析；（2）．
【分析】（1）当时，求得点，再解得点M关于原点对称的点，判断点是否在抛物线上，即可解题；
（2）利用配方法解得点C的坐标，继而解得点C关于原点对称的点，再根据题意代入抛物线中，得到关于的一元一次方程，解方程即可
【详解】解：（1）当时，
点M关于原点对称的点，
当时，
在抛物线上，
抛物线是回归抛物线；
（2）
由题意得，点C关于原点对称的点也在抛物线上，
．
【点睛】本题考查抛物线的性质、抛物线的顶点、中心对称、判断点是否在抛物线上、求二次函数解析式等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
23．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】对于（1），连接，得，根据直角三角形的性质得，得，再根据切线的性质得，进而得出，可得答案；
对于（2），根据求出解即可；
对于（3），先证明平分，由三线合一得性质可证，再根据勾股定理求出，进而得出的长．
【详解】（1）连接，
∵是直角三角形的外接圆，
∴．
在中，M为的中点，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵为的切线，
∴，
∴
即．
∵为的半径，
∴与相切；
（2）∵，，
∴为等边三角形，
∴．
∵，
∴，
∴．
根据勾股定理，得
∴；
（3）如图，，，
∴等边三角形中，平分，
∴．
在中，，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，扇形的面积，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质等，构造辅助线是解题的关键．
24．(1)
(2)
(3)，
【分析】（1）由题意，对称轴为，求解参数b，解析式确定参数n；
（2）由两解析式构建方程，求解交点的横坐标，进而确定交点坐标；
（3）作轴，交于点N，设，则，得，于是，得解．
【详解】（1）解：∵，
∴，即；
当时，，即；
（2）解：由题意，得，
解得，（舍去）或，于是，
∴点M的坐标．
（3）解：作轴，交于点N，
设，则，
∴．
∴
当时，S有最大值，即，
此时，．
【点睛】本题考查运用函数性质确定待定参数，运用方程求图象交点，二次函数极值；掌握二次函数的性质、基本的数形结合能力是解题的关键．
25．(1)45；垂直；平行；
(2)作图见解析，；
(3)90°或270°
【分析】（1）根据题意画出图形，由等腰直角三角形的性质和即可求出旋转角α的度数，再利用角度之间的关系求出，即可得到AD与BC的位置关系，再根据平行线的判定即可求出AE与BC的位置关系；
（2）利用全等三角形的判定得出，从而得出，再根据角之间的关系得出，从而得出的度数；
（3）由题意可知，点D在以点A为圆心，AD长为半径的圆周上运动，在中，当AB以为底边，点D到AB的距离最大时，的面积最大，即时的面积最大，从而求出旋转角的度数．
【详解】（1）解：如图所示，
∵为等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，，，
∴
∴旋转角，
∵，，
∴，
∴，
∴AD与BC的位置关系是垂直，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图所示
∵，，
∴，
∵与为等腰直角三角形，
∴，，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：如图3、图4所示
∵绕点A按逆时针方向旋转，
∴点D在以点A为圆心，AD长为半径的圆周上运动，
∴当AB以为底边，点D到AB的距离最大时，的面积最大，
∴当时的面积最大，
∴旋转角或时的面积最大．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角的判定与性质，熟练掌握旋转的性质以及全等的判定，根据题意画出相应图形是解答此题的关键
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