湖南省邵阳市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

湖南省邵阳市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列实数中，最小的数是（    ）A． B． C． D．2．剪纸艺术是我国民间传统文化之一，在下列剪纸作品中，不是轴对称图形的是（    ）A． B． C． D．3．2023年8月29日华为公司上市的华为Mate60手机搭载的是自主研发的麒麟900处理器，这款处理器是华为首款采用制程技术的手机芯片，．其中数据用科学记数法表示为，则n的值为（    ）A．8 B． C．9 D．4．如图，直线，分别与直线交于点，，把一块含角的三角尺按如图所示的位置摆放．若，则的度数是（    ）  A． B． C． D．5．下列运算正确的是（    ）A． B．C． D．6．如图是某公司月份生产量增长率（相对月生产量增长率于上月的增长率）统计图，仔细观察图形，下列说法正确的是（    ）A．月份生产量有增有减B．1月份的生产量最大C．月份开始生产量下降，后来生产量回升D．这七个月中，生产量增长率从6月份开始回升7．已知二次函数（，其中，），则该函数的大致图像是（    ）A． B． C． D．8．如图，如果，则下列各式错误的是（    ）A． B． C． D．9．若关于的一元二次方程无实数根，则反比例函数的图像所在的象限是（    ）A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限10．如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，若点A的坐标为，则点B的坐标为（    ）  A． B． C． D．二、填空题11．分解因式： ．12．如图，在四边形中，，，连接，相交于点．请增加一个条件，使得四边形是矩形，增加的条件为 ．（填一个即可）13．已知方程的根是，则的值是 ．14．若一组数据，，，…，的平均数为4，方差为2，则，，，…，的方差为 ．15．如图，点A在反比例函数（k为常数，，）的图象上，轴于点B，若的面积是4，则 ．16．如图，是平面镜，光线从A点出发经上点O反射后照射到B点，若入射角为，反射角为（反射角等于入射角），于点C，于点D，且，，，则的值为 ．17．已知关于的分式方程有增根，则的值为 ．18．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：点P是线段上一点，若满足，则称点P是的黄金分割点．如图所示的五角星中，，且C，D两点都是AB的黄金分割点，若，则的长是 ．三、解答题19．计算：．20．先化简：，再从中选取一个合适的数代入求值．21．如图，点为内任意一点，连接，，，点，，分别为，，的中点，连接，，．(1)求证：；(2)当，，时，求的面积．22．2023年9月，为了更好地落实“双减”政策，增强课后服务的时效性，某中学定于每周二、周四下午进行兴趣社团课“走班制”，开设了5类兴趣社团课（每位学生均只选其一）：A．音乐；B．体育；C．美术；D．信息技术；E．演讲．为了了解该校学生的参与情况，现随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．      根据图中信息，解答下列问题：(1)此次调查的学生人数为________人，并补全条形统计图；(2)求“C”类兴趣社团课所对应扇形的圆心角的度数；(3)该校现有学生人，请你估算该校参加“D”类兴趣社团课的学生有多少人？23．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚为起点，沿途修建，两段长度相等的观光索道，最终到达山顶处，中途设计了一段与平行的观光平台．索道与的夹角为，与水平线夹角为，点的垂直高度为，，垂足为点．（图中所有点都在同一平面内，点，，在同一水平线上．）(1)求索道的长（结果精确到）；(2)求山顶点到水平地面的距离的长（结果精确到）．（参考数据：，，，）24．某商场同时采购了A，B两种品牌的运动装，第一次采购A品牌运动装10件，B品牌运动装30件，采购费用为8600元；第二次只采购了B品牌运动装50件，采购费用为11000元．(1)求A，B两种品牌运动装的采购单价分别为多少元每件？(2)商家通过一段时间的营销后发现，B品牌运动装的销售明显比A品牌好，商家决定采购一批运动装，要求：①采购B品牌运动装的数量是A品牌运动装的2倍多10件，且A品牌的采购数量不低于18件；②采购两种品牌运动装的总费用不超过15000元，请问该商家有哪几种采购方案？25．【动手操作】将一张矩形纸片按下图操作：步骤一：如图①，将矩形纸片对折，使与重合，展平纸片，得到折痕．步骤二：如图②，是上一动点，沿折叠纸片，使点落在上点处，的对应点为，连接，．请完成：（1）试猜想的形状，并予以证明；【类比操作】步骤三：如图③，将矩形纸片对折，使与重合，展平纸片，得到折痕，沿折叠纸片，使点落在上点处，的对应点为，连接，，并延长交于点．（2）请说明：．26．在平面直角坐标系中，把与轴交点相同的二次函数图像称为“共根抛物线”．如图，抛物线：的顶点为，交轴于点，（点在点左侧），交轴于点．抛物线与是“共根抛物线”，其顶点为．(1)若抛物线经过点，求抛物线对应的函数关系式；(2)当的周长最小时，求的面积；(3)设点是抛物线上的一个动点，且位于其对称轴的左侧，若与相似，求其“共根抛物线”的顶点的坐标．参考答案：1．D【分析】本题主要考查了实数，解题的关键是掌握实数的大小比较的方法．根据“正实数大于零，负实数小于零，正实数大于负实数”，即可求解．【详解】解：，最小的数是，故选：D．2．C【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，进行逐一判断即可．本题主要考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形的定义．【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；C、是轴对称图形，故此选项符合题意；D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；故选:C．3．D【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．【详解】故选：D4．B【分析】此题主要考查了平行线的性质，解本题的关键是熟记平行线的性质：“两直线平行，同位角相等”．依据，即可得到，再根据，即可得出答案．【详解】解：，，，，故选：B．  5．C【分析】本题考查整式的计算，积的乘方，同底数幂相乘，完全平方公式．根据题干逐一对选项进行求解即可得到本题答案．【详解】解：∵不是同类项无法进行计算，故A选项不正确；∵，故B选项不正确；∵，故C选项正确；∵，故D选项不正确，故选：C．6．D【分析】本题主要考查了折线统计图，根据折线图可知前5个月的增长率下降，后2个月的增长率上升，且增长率都是大于0，所以产量一直是增加的，但是具体的生产量无法判断．【详解】解：．月份生产量增长率都是大于0，所以1~7月份生产量都是增加的，原说法错误，故本选项不符合题意；．1月份的生产量最大，无法判断，原说法错误，故本选项不符合题意；．月份生产量一直都在增加，原说法错误，故本选项不符合题意；．这七个月中，生产量增长率从6月份开始回升，该说法正确，故本选项符合题意；故选：D．7．D【分析】本题考查二次函数的图像，根据与y轴交点在y轴正半轴上，根据开口及判断对称轴即可得到答案．【详解】解：∵，∴与y轴交点在y轴正半轴上，排除A，C，∵B，D开口向下，∴，∵，∴对称轴在y轴右边，故选：D．8．A【分析】本题考查了平行线分线段定理，根据平行线分线段定理进行判断即可，掌握平行线分线段定理是解题的关键．【详解】解：∵，∴，，，故正确；∵，∴，故错误；∵，∴，故正确；∵，∴，故正确；故选：．9．B【分析】本题考查的是反比例函数的性质，根的判别式，熟知反比例函数的性质是解题的关键．先根据关于的一元二次方程无实数根，求出的取值范围，再判断出的符号进而可得出结论．【详解】解：关于的一元二次方程无实数根，，解得：，，反比例函数的图像所在的象限是第一、三象限，故选：B．10．A【分析】本题主要考查了图形与坐标，全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质，过点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，则可证明，从而可得点B的坐标．【详解】解：过点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，如图∶  ∵A点的坐标为∴，，∵轴，轴，∴，∴，，∴，∵是等腰直角三角形，∴，在和中，，∴，∴，，∴点B的坐标为．故选：A．11．【分析】先提取公因式，再利用平方差公式．【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查了整式的因式分解，掌握提公因式法和公式法是解决本题的关键．12．或（答案不唯一）【分析】本题主要考查了矩形的判定，由，得出四边形是平行四边形，再由矩形的判定即可得出答案，熟练掌握矩形的判定是解此题的关键．【详解】解：在四边形中，，，四边形是平行四边形，当或时，四边形是矩形，故答案为：或（答案不唯一）．13．1【分析】本题考查解一元二次方程，利用因式分解法解方程，求出后相加即可．【详解】解：，，即，或，解得，，，故答案为：1．14．2【分析】此题考查了方差，解题时注意：数据都加上一个数(或减去一个数) 时，方差不变，即数据的波动情况不变． 利用各数据都加上一个数（或减去一个数）时方差不变，即可求出数据的方差．【详解】数据，，，…，的方差为2，又数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，，，，…，的方差是2．故答案为：2．15．【分析】主要考查了反比例函数中k的几何意义，过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即，根据反比例函数k的几何意义求解即可．【详解】解：∵的面积为4，∴．又因为图象在第二象限，∴，∴．故答案为：．16．【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、正切等知识点，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．先根据平行线的判定与性质可得，，从而可得，再根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质可得的长，然后根据正切的定义即可得．【详解】解：如图，由题意得：，又，，，同理可得：，，，，，，，，，解得：，，故答案为：．17．【分析】本题考查了分式方程的增根，熟练掌握分式方程有增根的意义是解题的关键．首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到，据此求出的值，代入整式方程求出的值即可．【详解】解：，去分母得：，由分式方程有增根，得到，即，将代入整式方程得：，解得：，故答案为：．18．【分析】本题主要考查了黄金分割点，在C，D两点中任意选一个黄金分割点，选C为黄金分割点时，根据黄金分割点的定义得出，设，则，列出关于x的一元二次方程求解x，进而即可求出．【详解】解：根据题意得：∵C点是的黄金分割点， ∴,即，∵，∴设，则，∴，整理得：，解得：,∴，（舍去）．∴.故答案为：．19．【分析】本题考查了实数的运算，熟知指数幂的运算法则、开立方的运算法则、绝对值的性质、特殊角的三角函数值是解答此题的关键．根据指数幂的运算法则、开立方的运算法则、绝对值的性质、特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．【详解】解：原式20．，，【分析】本题主要考查的是分式的化简求值，分式有意义的条件，先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取分式有意义的a的值代入进行计算即可．【详解】解：原式∵且∴且，∴只能取，∴原式．21．(1)证明见解析；(2)的面积是．【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，解题的关键是熟记三角形的中位线定理．（1）根据三角形的中位线定理：“三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半”，即可求解；（2）先根据题意求出的面积，再根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”即可求解．【详解】（1）证明：点，，分别为，，的中点，，，，，；（2）解：，，，又，，，．22．(1)；补全条形统计图见解析(2)(3)【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，根据样本估算整体，读懂条形统计图和扇形统计图的信息是解题的关键．（1）根据B类的人数除以占比得出总人数，然后求得D类别的人数，补全统计图；（2）将类别的人数除以总人数，再乘以即可求解；（3）利用样本估计总体的方法计算即可．【详解】（1）解：（人）参加“D”类兴趣社团课的学生有：（人）补全条形统计图  （2）“C”类兴趣社团课所对应扇形的圆心角的度数为：（3）该校参加“D”类兴趣社团课的学生有：（人）23．(1)索道；(2)山顶点到水平地面的距离．【分析】本题考查解直角三角形解决实际应用题，解题的关键是熟练掌握三角函数的概念．（1）根据的余弦直接求解即可得到答案；（2）过点作，垂足为点，根据，两段长度相等及与水平线夹角为，求出到的距离即可得到答案；【详解】（1）在中，索道；（2）过点作，垂足为点在中，山顶点到水平地面的距离．24．(1)A种品牌运动装的采购单价为200元每件，B种品牌运动装的采购单价为220元每件；(2)该商家共有3种采购方案，方案1：A种品牌运动装采购18件，B种品牌运动装采购46件；方案2：A种品牌运动装采购19件，B种品牌运动装采购48件；方案3：A种品牌运动装采购20件，B种品牌运动装采购50件．【分析】此题主要考查了一元一次不等式的应用和二元一次方程组的应用，正确得出等量关系是解题关键．（1）设A种品牌运动装的采购单价为x元每件，B种品牌运动装的采购单价为y元每件，根据题意列出二元一次方程组求解即可；（2）设A种品牌运动装采购m件，则B种品牌运动装采购件，根据题意列出一元一次不等式组求解即可．【详解】（1）设A种品牌运动装的采购单价为x元每件，B种品牌运动装的采购单价为y元每件．根据题意，得解得答：A种品牌运动装的采购单价为200元每件，B种品牌运动装的采购单价为220元每件．（2）设A种品牌运动装采购m件，则B种品牌运动装采购件．根据题意，得解得又∵m为整数，．∴该商家共有3种采购方案，方案1：A种品牌运动装采购18件，B种品牌运动装采购46件；方案2：A种品牌运动装采购19件，B种品牌运动装采购48件；方案3：A种品牌运动装采购20件，B种品牌运动装采购50件．25．（1）为等边三角形，理由见解析；（2）说明见解析．【分析】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用这些性质并作出相应的辅助线．（1）由为矩形纸片对折的折痕，可得，根据是折叠而成，可得，即可求解；（2）作的中线，是的中点，可证明，从而得到，由是折叠而成，可推出，，最后根据角的和差即可求解．【详解】解：（1）为等边三角形，理由：为矩形纸片对折的折痕，，，，是折叠而成，，，为等边三角形；（2）作的中线，是的中点，点与点是对应点．，，，，为矩形纸片对折的折痕，，，又，，，是折叠而成，，．，，，．，．又，，，．26．(1)抛物线对应的函数关系式为；(2)；(3)点的坐标为或．【分析】本题是二次函数的综合题，关键是根据待定系数法求解析式，二次函数图像上点的坐标特征，以及相似三角形的性质解答．（1）根据抛物线：求出点，的坐标，由抛物线与是“共根抛物线”，可设出抛物线的解析式，最后把点代入即可求解；（2）连接交对称轴直线于点，连接，交轴于点，此时的周长最小，先求出直线的解析式，从而求出点的坐标，再求出直线的解析式，进而求出点点坐标，然后根据线段的和差求出，最后根据即可求解；（3）由题意得，为等腰直角三角形，顶点，分两种情况：①当时，②当时，即可求解．【详解】（1）解：在抛物线：中，令，则，解得：或，即点，点，根据题意，设抛物线的函数关系式为：，将点代入得：，解得：，抛物线的函数关系式为：；（2）连接交对称轴直线于点，连接，交轴于点，此时的周长最小．设直线的解析式为，将点，点代入得，，解得：，直线的解析式为，当时，点的坐标为，直线的解析式为：，将点，点，代入得：，解得：直线的解析式为，点坐标为，，（3）由题意得，，为等腰直角三角形，抛物线，顶点，由题意可知不可能为直角，①当时，如下图，或，则，设，，，，解得：（舍去），，当时，，，②当时，如下图，或，过点作，垂足为点，则，由①可知，，，综上所述：点的坐标为或．