安徽省马鞍山市2023-2024学年高二上学期期中调研考试数学试卷(含答案)

这是一份安徽省马鞍山市2023-2024学年高二上学期期中调研考试数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．直线的方向向量为( )
A.B.C.D.
2．等差数列中，若，则的值为( )
A.36B.24C.18D.9
3．与直线关于y轴对称的直线方程是( )
A.B.C.D.
4．经过原点和点且圆心在直线上的圆的方程为( )
A.B.
C.D.
5．设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递减数列”是“存在正整数，当时，”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
6．已知点，点Q在的圆周上运动，点M满足，则点M的运动轨迹围成图形的面积为( )
A.πB.C.D.
7．等比数列中，，，则( )
A.B.C.5D.1
8．过点作圆的两条切线，设切点分别为A，B，则的面积为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知直线，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，则直线l的倾斜角可以是( )
A.B.C.D.
10．设，分别是等差数列和等比数列的前项和，下列说法正确的是( )
A.若，，则使的最大正整数n的值为15
B.若（c为常数），则必有
C.，，必为等差数列
D.，，必为等比数列
11．已知等比数列公比为q，前项和为，前项积为，若，，则( )
A.B.当且仅当时，取得最小值
C.D.的正整数n的最大值为11
12．已知圆，圆( )
A.若，则圆C与圆M相交且交线长为
B.若，则圆C与圆M有两条公切线且它们的交点为
C.若圆C与圆M恰有4条公切线，则
D.若圆M恰好平分圆C的周长，则
三、填空题
13．若是公差不为0的等差数列，，，成等比数列，，为的前项和，则的值为_________.
14．平面直角坐标系中，过直线与的交点，且在y轴上截距为1的直线l的方程为_________.（写成一般式）
15．如图，第一个正六边形的面积是1，取正六边形各边的中点，，，，，，作第二个正六边形，然后取正六边形各边的中点，，，，，，作第三个正六边形，依此方法一直继续下去，则前n个正六边形的面积之和为_________.
16．已知实数a，b，c成等差数列，在平面直角坐标系中，点，O是坐标原点，直线.若直线垂直于直线l，垂足为M，则线段的最小值为_________.
四、解答题
17．已知直线，.
（1）若，求实数a的值；
（2）若，求，之间的距离.
18．已知等差数列，前项和为，又，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
19．已知数列的首项，且满足.
（1）求证：数列等比数列；
（2）设，求数列的前项和.
20．如图，等腰梯形中，，，，间的距离为4，以线段的中点为坐标原点O，建立如图所示的平面直角坐标系，记经过A，B，C，D四点的圆为圆M.
（1）求圆M的标准方程；
（2）若点E是线段的中点，P是圆M上一动点，满足，求动点P横坐标的取值范围.
21．平面直角坐标系中，直线，圆，圆C与圆M关于直线l对称，P是直线l上的动点.
（1）求圆C的标准方程；
（2）过点P引圆C的两条切线，切点分别为A，B，设线段的中点是Q，是否存在定点H，使得为定值，若存在，求出该定点H的坐标；若不存在，请说明理由.
22．记首项为1的递增数列为“W-数列”.
（1）已知正项等比数列，前项和为，且满足：.求证：数列为“W -数列”；
（2）设数列为“W -数列”，前项和为，且满足.（注：）
①求数列的通项公式；
②数列满足，数列是否存在最大项？若存在，请求出最大项的值，若不存在，请说明理由.（参考数据：,）
参考答案
1．答案：A
解析：由题意得直线的斜率为-3，
所以直线的一个方向向量为，
又，所以也是直线的一个方向向量.
故选：A.
2．答案：B
解析：令的公差为d，则，即，
则.
故选：B.
3．答案：B
解析：令，则，可得直线与y轴的交点为，
令，则，可得直线与x轴的交点为，
此时关于y轴的对称点为，
所以与直线关于y轴对称的直线经过两点，，
其直线的方程为，化为，故选B.
4．答案：D
解析：由题设，令圆心为，又圆经过原点和点，
所以，整理可得，故圆心为，
所以半径平方，则圆的方程为.
故选：D.
5．答案：C
解析：令公差为d且的无穷等差数列，且，
若为递减数列，则，结合一次函数性质，
不论为何值，存在正整数，当时，充分性成立；
若存在正整数，当时，由于，即不为常数列，
故单调递减，即，所以为递减数列，必要性成立；
所以“为递减数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件.
故选：C.
6．答案：A
解析：设，，
由得M是线段中点，，
又Q在圆上，，即，
点轨迹是半径为1的圆，面积为，
故选：A.
7．答案：C
解析：设公比为q，显然，则由题意得，两式相除得，
所以，
故选：C.
8．答案：A
解析：由题设，圆的标准方程为，圆心为，半径，
所以，如下图示，切点分别为A，B，则，
所以，，又，
所以，
所以.
故选：A.
9．答案：ABC
解析：因为直线可化为，
所以直线l过定点，
又，，所以，，
故直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，
结合图象，可知直线的倾斜角范围为，故ABC正确，D错误.
故选：ABC.
10．答案：BCD
解析：令的公差为d，则，
所以，故，且，
使，则，
而，即，故，
所以使的最大正整数n的值为30，A错；
令的公比为q且，则（公比不能为1），
所以，即，B对；
根据等差、等比数列片段和的性质知：，，必为等差数列，，，必为等比数列，C、D对.
故选：BCD.
11．答案：AC
解析：对于A，因为，所以，因为，解得，故A正确；
对于B，注意到，故，时，，，时，，所以当或时，取得最小值，故B错误；
对于C，，
，
所以，故C正确；
对于D，，，因为，
所以，即，
所以，即，所以，正整数n的最大值为12，故D错误，
故选：AC.
12．答案：AD
解析：A：时圆，则，半径，
而圆中，半径，所以，
故，即两圆相交，此时相交弦方程为，
所以到的距离为，故相交弦长为，对；
B：时圆，则，半径，
同A分析知：，故两圆相交，错；
C：若圆C与圆M恰有4条公切线，则两圆相离，则，
而圆，即，
所以，错；
D：若圆M恰好平分圆C的周长，则相交弦所在直线必过，
两圆方程相减得相交弦方程为，将点代入可得，对.
故选：AD.
13．答案：
解析：设等差数列公差为d，，，成等比数列，由，
则，即，
由，得，所以，
则有，得，
所以.
故答案为：.
14．答案：
解析：由题设，令直线l的方程为，且直线过，
所以，故直线l的方程为.
故答案为：.
15．答案：
解析：由题设知：后一个正六边形与前一个正六边形的边长比值为，故它们面积比为，
所以前n个正六边形的面积是首项为1，公比为的等比数列，
所以前n个正六边形的面积之和.
故答案为：.
16．答案：
解析：由题设，则，即，
令，即直线恒过定点，又，
所以M在以为直径的圆上，且圆心，半径为，
要求的最小值，即求到该圆上点距离的最小值，而，
所以.
故答案为：.
17．答案：（1）或
（2）
解析：（1）由，则，即，
所以，可得或.
（2）由，则，可得，故或，
当，则，，此时满足平行，且，之间的距离为；
当，则，，此时两线重合，舍；
综上，时，之间的距离为.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）设等差数列的公差为d，首项为，
因为，所以，
所以，由，解得，
又，所以.
（2），
设，的前n项和为，得，
，得，
当时，，即，所以，，
当时，得，所以，
则
，
综上所述：.
19．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）因为，，所以，
所以，所以，
即，
因为，，，
所以是以为首项，为公比的等比数列.
（2）法一：
易知是以为首项，为公比的等比数列，
所以；
法二：由（1），所以，
所以
所以.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）如图，因为，，间的距离为4，
所以，，，，经过A，B，C，D四点的圆即经过A，B，C三点的圆，
法一：中垂线方程即，中点为，，
所以的中垂线方程为，即，
联立，得圆心坐标，
，
所以圆M的标准方程为；
法二：设圆M的一般方程为，
代入，，，解得，
所以圆M的标准方程为；
法三：以为直径的圆方程为，
直线，
设圆M的方程为，
代入，解得，
所以圆M的标准方程为.
（2），设圆M上一点，
，，
因为，所以，
即，
由对应方程为圆，
所以P点在圆上及其外部，
，
解得，，
所以两圆交点恰为，，
结合图形，当圆M上一点纵坐标为时，横坐标为，
所以点P横坐标的取值范围是.
21．答案：（1）
（2）存在；
解析：（1）圆M化成标准方程为，圆心，半径为2，
设圆心，圆C与圆M关于直线l对称，
直线的斜率为，
所以，解得，
所以，圆C的方程为.
（2）因为P是直线l上的动点，设，
，分别与圆C切于A，B两点，所以，，
所以A，B在以为直径的圆N上，
圆N的方程，
即,
为圆C与圆N的公共弦，由，
作差得方程为,
即,
令得，设，
所以直线过定点，
又Q是中点，所以，则有Q点是在以为直径的圆上，
所以存在点H是的中点，使得为定值，坐标为.
22．答案：（1）证明见解析
（2）①；②存在；最大项为
解析：（1）设正项等比数列的公比为，
因为，则，两式相减得，
即,
因为，所以，
中，当时，有，即，解得，
因此数列为“W -数列”；
（2）①因为
所以，又为“W -数列”，所以，且，所以各项为正，
当，①，②，
①一②得：，即，
所以③，
从而④，
④-③得：，即，
由于为“W -数列”，必有，所以，，
又由③知，即，即得或（舍）,
所以，故,
所以是以1为首项，公差是1的等差数列，所以；
②，所以，
令，得，
所以当时，，即.