第15练 导数的应用-备战2024年高考数学一轮复习高分突破（新高考通用）

第15练 导数的应用一、课本变式练1.（人A选择性必修二P92练习T1变式）函数的定义域为开区间,导函数在内的图像如图所示,则函数在开区间内有极小值点（       ）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】A【解析】由导函数在区间内的图象可知,函数在内的图象与轴有四个公共点,在从左到右第一个点处导数左正右负,在从左到右第二个点处导数左负右正,在从左到右第三个点处导数左正右正,在从左到右第四个点处导数左正右负,所以函数在开区间内的极小值点有个,故选A.2.（人A选择性必修二P89练习T3变式）偶函数为函数的导函数,的图象如图所示,则函数的图象可能为（       ）A． B．C． D．【答案】B【解析】由图象可知,的图象从左往右,是增减增,由此排除AD选项,由图象可知,当时,增长越来越快,由此排除C选项.故选B3. （人A选择性必修二P97习题5.3T12变式）已知函数,若恒成立,则正数a的取值范围是_______；【答案】 【解析】,当时,原不等式恒成立；当时,,由 得,当且仅当等号成立,所以．4. （人A选择性必修二P97习题5.3T13变式）已知函数在与时,都取得极值．(1)求,的值；(2)若,求的单调增区间和极值．【解析】 (1),由条件可知和,即,解得：,, 所以,检验：经检验与时,都取得极值,满足条件,所以,；(2),解得：,所以由表可知,函数的单调递增区间是和,单调递减区间是,函数的极大值是,函数的极小值是.二、考点分类练(一)导数与函数的单调性5.（2022届陕西省西安市周至县高三下学期三模）若对任意的,且,都有成立,则实数m的最小值是（       ）A．1 B． C． D．【答案】D【解析】由,且,可得,则等价于,即,所以,故,令,则,因为,所以在上为单调递减函数,又由,解得,所以,所以实数的最小值为.故选D.6.（2022届河北省省级联测高三考试）若函数在上存在单调递减区间,则m的取值范围是_________．【答案】【解析】,则原向题等价于在上有解,即在上有解,即在上有解,因为,且在上单调递减,所以当时,,所以.7．（2022届四川省成都市高三第三次诊断考试）已知函数,其中．(1)求函数的单调区间；(2)设函数．当,时,证明：．【解析】 (1)由题可得．①若,当时,；当或时,．②若,恒有．③若,当时；当或时,．综上,当时,函数的单调递减区间为,单调递增区间为,；当时,函数的单调递增区间为；当时,函数的单调递减区间为,单调递增区间为,．(2)由题可得．由题意,则需证明对任意,,不等式成立．由恒成立,只需证明对任意,不等式成立,①当时,∵,,∴不等式成立．②当时,设．∴．设．∴．∵当时,恒成立,函数在上单调递增,∴．∴当时,恒成立,函数在上单调递减,∴．即不等式成立．综上,当,时,不等式成立,即成立． (二)导数与函数的极值、最值8.（2022届新疆高三下学期第三次检测）若函数在处有极值10,则（       ）A．6 B． C．或15 D．6或【答案】B【解析】,又 时 有极值10,解得 或当 时,此时 在 处无极值,不符合题意经检验, 时满足题意,故选B9.（2022届广东省高三三模）已知,e是自然对数的底,若,则的取值可以是（       ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】CD【解析】设,则在R上单调递增,因为,则,设,则,即,所以,设,,当,当,则在单调递减,在单调递增,,即,所以,即,故的取值可以是3和4.故选CD.10．设a为实数,函数f(x)＝－2x＋2a,x∈R．(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当a＞ln2－1且x＞0时,－2ax＋1．【解析】 (1)由f(x)＝－2x＋2a(x∈R)知＝－2．令＝0,得x＝ln2．当x＜ln2时,＜0,故函数f(x)在区间(－∞,ln2)上单调递减；当x＞ln2时,＞0,故函数f(x)在区间(ln2,＋∞)上单调递增．∴f(x)的单调递减区间是(－∞,ln2),单调递增区间是(ln2,＋∞),f(x)极小值为f(ln2)＝－2ln2＋2a＝2－2ln2＋2a,无极大值；(2)要证当a＞ln2－1且x＞0时,－2ax＋1,即证当a＞ln2－1且x＞0时,＋2ax－1＞0．设g(x)＝＋2ax－1(x＞0)．则＝－2x＋2a,由(1)知＝2－2ln2＋2a．又a＞ln2－1,则＞0．于是对∀x∈R,都有＞0,∴g(x)在R上单调递增．于是对∀x＞0,都有g(x)＞g(0)＝0．即＋2ax－1＞0,故－2ax＋1．(三)导数与函数的零点、方程实根11．（2022届华大联考高三3月教学质量测评）已知函数若,,,且仅有1个零点,则实数m的取值范围为（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为R,有,即,即与同号,所以在R上单调递增,即在上单调递增,则,故；因为在处的切线方程为,即,又,所以与没有公共点,若函数仅有一个零点,所以函数与图象仅有一个交点,则与有且仅有1个公共点,且为,所以在处的切线的斜率k大于等于1,而,得,即,解得,综上,的取值范围为.故选C.12.（2022届山东省泰安市高三二模）已知函数,,则下列结论正确的是（       ）A．对任意的,存在,使得B．若是的极值点,则在上单调递减C．函数的最大值为D．若有两个零点,则【答案】BD【解析】由题意知：,,当时,,单增,无最大值,故C错误；当时,在上,单增；在上,单减；故,当,即时,无零点,故A错误；若是的极值点,则,,故在单减,B正确；若有两个零点,则,且,解得,又时,,时,,此时有两个零点,D正确.故选BD.13.（2022届河南省重点高中“顶尖计划”高三第四次考试）已知函数,,若关于x的方程在区间上恰有四个不同的实数根,则实数的取值范围是______.【答案】【解析】问题即在区间上恰有四个不同的实数根.设,,则时,,函数单调递增,时,,函数单调递减.当时,；当时,；当时,且.如示意图：     由图可知,当时,函数有2个零点,于是问题关于t的的方程即在上有2个不等实根.设的两个零点为,易知.于是,.14．（2022届河南省洛阳市高三第三次统考）已知函数,（其中为自然对数的底数）.(1)判断函数的零点的个数,并说明理由；(2)当时,恒成立,求整数的最大值.【解析】 (1)函数有且只有一个零点.理由如下: 因为当时,,所以,在上递增.所以函数至多有一个零点, 又时,；时,所以函数有且只有一个零点.(2)当时,,即,令,所以, 当时,,设,在(0,1]上单调递增,且,所以存在,使得,即, 当时,；当时,.所以函数在上单调递减,在上单调递增. ∴,又在上单调递减,又,所以, 所以整数的最大值是.(四)导数与不等式15．（2022届江西省赣州市高三二模）已知,,,则,,的大小关系为（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】令,则,当时,,单调递增；当时,,单调递减；当时,取得极大值,则,,故．故选D16.（2022届云南省高三第二次统一检测）已知e是自然对数的底数．若,使,则实数m的取值范围为__________．【答案】【解析】当时,,显然成立,符合题意；当时,由,,可得,即,,令,,在上单增,又,故,即,即,,即使成立,令,则,当时,单增,当时,单减,故,故；综上：.17．（2022届东北三省四市教研联合体高三模拟）已知函数．(1)求函数在点处的切线方程；(2)如果当时,不等式恒成立,求实数k的取值范围．【解析】 (1)因为,所以,所以,,即切点为,切线的斜率,所以切线方程为,即；(2)因为对恒成立,即对恒成立,即对恒成立,令,,则令,,则,所以在上单调递增,所以,即在上恒成立,所以在上单调递增,所以,所以,即；三、最新模拟练18．（2022届甘肃省平凉市高三第二次模拟）已知函数的导函数的图象如图所示,则的极值点的个数为（       ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】因为在左、右两边的导数值均为负数,所以0不是极值点,故由图可知只有2个极值点.故选C19．（2022届四川省凉山州高三第三次诊断）函数,若在上有最小值,则实数a的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意,函数,可得,若时,当时,可得,在上单调递减,此时函数在没有最小值,不符合题意；当时,令,即,即与的交点,画出函数与的图象,如图所示,结合图象,可得存在,使得,当时,,单调递减；当时,,单调递增,此时函数在上有最小值,符合题意,综上可得,实数a的取值范围是.故选A.20．（2022届广西南宁市高三第二次适应性测试）已知函数,,则函数的最大值是（       ）A． B． C．-1 D．【答案】B【解析】依题意函数,,则函数在上递增,在上递减．因此在上,．故选B．21．（2022届广西桂林、崇左、贺州市高三3月联合调研）函数的导函数为,对,都有成立,若,则不等式的解集是（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵,都有成立,∴,令,则于是有 ,所以在上单调递增,∵,∴,∵不等式,∴,即不等式的解集是.故选B．22．（2022届东北三省四市教研联合体高三模拟）使函数在上存在零点的实数a的值可以是(       )A．－1 B．0 C． D．e【答案】D【解析】,令,,则函数在上存在零点等价于y=a于y=g(x)的图像有交点．,令,,则,故h(x)在上单调递增,∵,,∴存在唯一的,使得,即,即,,∴当时,,,单调递减,当时,,,单调递增,∴,又时,,故,,∴a≥1．故选D．23．（多选）（2022届山东省德州市高考二模）若函数存在两个极值点,则（       ）A．函数至少有一个零点 B．或C． D．【答案】ACD【解析】对于A, , 是 的一个零点,故A正确对于B, 存在两个极值点 , 有两个不相等的实数根,即 有两个变号零点 ,即 ,又, ,解得综上, ,故B错误对于C,由B选项可得, , , ,故C正确对于D,将 代入上式令有 在 上单调递增, ,故D正确故选ACD24．（2022届江西省重点中学盟校高三第二次联考）已知函数,且恒成立,则实数的最小值为___________.【答案】【解析】由题,,故恒成立即,即恒成立,令则,令有,故当时,单调递增；当时,单调递减,故,故,即实数的最小值为25．（2022届辽宁省县级重点高中协作体高三下学期4月联考）若关于x的不等式恒成立,则实数a的取值范围为___________.【答案】[1,+∞）【解析】,其中,分离参数为,令,定义域为有.令,,则,所以在上单调递增,又,,故存在,使得,可得函数f（x）的递增区间为（0,m）,递减区间为 ,有,可得：,故实数a的取值范围为[1,+∞）26．（2022届浙江省绍兴市高三下学期4月适应性考试）已知a,,若,,是函数的零点,且,,则的最小值是__________．【答案】【解析】即,可转化为两函数图象的交点①若,此时,由对称性可知,不合题意②若,此时,由题意得对于方程故解得故令,故在上单调递减,在上单调递增故的最小值为故答案为：27．（2022届山东省德州市二模）已知函数,．(1)当时,求图象在(,f())处的切线方程；(2)当时,求的极值；(3)若,为函数的导数,恒成立,求a的取值范围．【解析】 (1)当时,,,故,,所以,即；(2)因为,令,当时,恒成立,所以单调递增,且,则在(－∞,0)上,)在(－∞,0)上单调递减；则在(0,+∞)上),)在(0,+∞)上单调递增；且,所以,函数的极小值为1－a,无极大值．(3)已知,,由,即在恒成立,即在恒成立．设,,,设,,由可得,,所以,则在上单调递减,可得,所以,在上单调递减,,则a的取值范围是．28．（2022届山东省临沂市高三二模）已知函数．(1)若存在,使≤成立,求a的取值范围；(2)若,存在,,且当时,,求证：．【解析】 (1)由,得,,即,令,,则,设,,则,在上单调递增,,在上,,单调递增,,取值范围是；(2)不妨设,,(*),,令,故,故函数在上单调递增．,从而,由(*)得,,下面证明：,令,则.即证明：,则只要证明,设,在恒成立,在单调递减,故,,．四、高考真题练29. （2021新高考卷Ⅰ）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）设,为两个不相等的正数,且,证明：．【解】（1）解：由函数的解析式可得,,,单调递增,,,单调递减,则在单调递增,在单调递减．（2）证明：由,得,即,由（1）在单调递增,在单调递减,所以,且,令,,则,为 的两根,其中．不妨令,,则,先证,即证,即证,令,则,故函数单调递增,（1）．,,得证．同理,要证,即证,令,,则,令,,,单调递增,,,,单调递减,又,,且（e）,故,,（1）（1）,恒成立,得证,则．30. （2021新高考卷Ⅱ）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）从下面两个条件中选一个,证明：有一个零点①；②．【解析】(1)由函数的解析式可得：,当时,若,则单调递减,若,则单调递增；当时,若,则单调递增,若,则单调递减,若,则单调递增；当时,在上单调递增；当时,若,则单调递增,若,则单调递减,若,则单调递增；(2)若选择条件①：由于,故,则,而,而函数在区间上单调递增,故函数在区间上有一个零点.,由于,,故,结合函数的单调性可知函数在区间上没有零点.综上可得,题中的结论成立.若选择条件②：由于,故,则,当时,,,而函数在区间上单调递增,故函数在区间上有一个零点.当时,构造函数,则,当时,单调递减,当时,单调递增,注意到,故恒成立,从而有：,此时：,当时,,取,则,即：,而函数在区间上单调递增,故函数在区间上有一个零点.,由于,,故,结合函数的单调性可知函数在区间上没有零点.综上可得,题中的结论成立.31．(2021全国卷 = 2 \* ROMAN II)已知且,函数．(1)当时,求的单调区间；(2)若曲线与直线有且仅有两个交点,求a的取值范围．【解析】（1）当时,,令得,当时,,当时,,∴函数在上单调递增；上单调递减；（2）,设函数,则,令,得,在内,单调递增；在上,单调递减；,又,当趋近于时,趋近于0,所以曲线与直线有且仅有两个交点,即曲线与直线有两个交点的充分必要条件是,这即是,所以的取值范围是．32．(2021年全国卷 = 1 \* ROMAN I)设函数,已知是函数的极值点．(1)求a；(2)设函数．证明:．【解析】（1）由,,又是函数的极值点,所以,解得；（2）由（1）得,,且,当时,要证,,,即证,化简得；同理,当时,要证,,,即证,化简得；令,再令,则,,令,,当时,,单减,假设能取到,则,故；当时,,单增,假设能取到,则,故；综上所述,在恒成立33.（2020新高考山东卷）.已知函数．（1）当时,求曲线y=f（x）在点（1,f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若f（x）≥1,求a的取值范围．【解析】（1）,,.,∴切点坐标为(1,1+e),∴函数f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为,即,切线与坐标轴交点坐标分别为,∴所求三角形面积为;（2）解法一：,,且.设,则∴g(x)在上单调递增,即在上单调递增,当时,,∴,∴成立.当时, ,,,∴存在唯一,使得,且当时,当时,,,因此>1,∴∴恒成立；当时, ∴不是恒成立.综上所述,实数a的取值范围是[1,+∞).解法二：等价于,令,上述不等式等价于,显然为单调增函数,∴又等价于,即,令,则在上h’(x)>0,h(x)单调递增；在(1,+∞)上h’(x)<0,h(x)单调递减,∴,,∴a的取值范围是[1,+∞).五、综合提升练34. 已知不等式对恒成立,则实数a的最小值为（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为,所以,即,构造函数,,所以,令,解得：,令,解得：,故在上单调递减,在上单调递增,当时,与1的大小不定,但当实数a最小时,只需考虑其为负数的情况,此时因为当时,单调递减,故,两边取对数得：,,令,则,令得：,令得：,所以在单调递增,在单调递减,所以,故a的最小值是．当时,,从四个选项均为负,考虑,此时有,两边取对数得：,所以令,则,当时,恒成立,所以在上单调递增,无最大值,此时无解,综上：故a的最小值是．故选C35.（多选）（2022届湖北省部分重点中学高三4月联考）已知为常数,函数有两个极值点,则（       ）A． B． C． D．【答案】AC【解析】,令, 由题意可得有两个实数解； 所以函数有且只有两个零点； .① 当时,单调递增, 因此至多有一个零点, 不符合题意, 应舍去；②当时, 令, 解得,因为当 时, , 函数单调递增;当时,   , 函数单调递减,所以是函数的极大值点, 则>0 , 即>0 ,解得,故选项A正确；因为,所以,又因为,所以,所以,所以,所以,故选项C正确；又,所以,==,令,则,当,,单调递增,而,所以,故选项D错误；当时（符合,此时仍有两个极值点）,此时,解得,所以,故正负不确定,因此选项B错误；综上所述,AC为正确答案；故选AC.36.（2022届山东省潍坊市高三下学期核心素养测评）设函数（a,）在区间上总存在零点,则的最小值为________．【答案】【解析】在区间上总存在零点,即,即在直线上,表示点到原点的距离的平方,的最小值为原点到直线的距离的平方,即,构造函数,,所以在区间递减；在区间递增.所以.所以的最小值为.37. （2022届四川省宜宾市高三下学期第三次诊断）已知函数．(1)求在上的最值；(2)若关于x的不等式恒成立,求k的取值范围．【解析】 (1)由求导得：,令,有在上单调递减,且,当时,,即,则在上单调递增,所以,无最小值.(2)依题意,,且,令,,有,,令,,当时,由,得,则在上单调递增,又,则当时,,,不合题意,当时,在二次函数中,,当,即时,图象对称轴,图象与x轴正半轴有两个公共点,即有两个零点,且,,,不妨设,则时,,有,在上单调递增,当时,,,不合题意,当,即时,,有,则在上单调递减,当时,,,则,当时,,,则,综上得,当时,恒成立,所以k的取值范围是.单调递增极大值单调递减极小值单调递增单调递增极大值单调递减极小值单调递增