2022届高三二轮练习卷 数学（一）平面向量 学生版

这是一份2022届高三二轮练习卷 数学（一）平面向量 学生版，共18页。试卷主要包含了与平面向量有关的简单计算等内容，欢迎下载使用。

1．与平面向量有关的简单计算
1．已知平面向量，，若，则_________．
2．已知平面向量，，若，则实数的值为（ ）
A．10B．8C．5D．3
3．如图，A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，且平面ABC中的小方格均为单位正方形，，，则（ ）
A．1B．C．2D．
4．已知为平面上的动点，，为平面上两个定点，且，则动点的轨迹方程为_______．
5．已知，，，则向量与向量的夹角为______．
6．已知向量和的夹角为150°，且，，则在上的投影为___________．
7．如图，在中，为中线上一点，且，过点的直线与边，分别交于点，．
（1）用向量，表示；
（2）设向量，，求的值．
2．向量的线性运算
1．已知四边形的对角线交于点O，E为的中点，若，则（ ）
A．B．C．D．1
2．如图，等腰梯形中，，点为线段上靠近的三等分点，点为线段的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
3．如图，在中，，，若，
则（ ）
A．B．C．D．
4．（多选）已知，，，点M满足且，则（ ）
A．B．
C．D．
3．与向量有关的范围、最值问题
1．已知平面向量，的夹角为120°，且，，则的值为______，的最小值为______．
2．如图，在中，，点在线段上移动（不含端点），若，则___________，的最小值为___________．
3．（多选）已知两个向量和满足，，和的夹角为，若向量与向量的夹角为钝角，则实数可能的取值为（ ）
A．B．C．D．
4．点M在边长为2的正三角形内（包括边界），满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别交AB，AC两边于与M，N（三角形顶点不重合）两点，且，，则2x+y的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6．已知、、是平面向量，是单位向量．若，，则的最大值为_______．
7．已知圆O的方程为，P是圆上一点，过P作圆O的两条切线，切点分别为A、B，则的取值范围为____________．
8．已知圆的半径为3，，为该圆的两条切线，为切点，则的最小值为___________．
4．与其他知识综合
1．已知数列的首项为1，又，其中点O在直线l外，其余三点A，B，C均在l上，那么数列的通项公式是（ ）
A．B．C．D．
2．四边形为梯形，且，，，点是四边形内及其边界上的点．若，则点的轨迹的长度是（ ）
A．B．C．D．
答案与解析
1．与平面向量有关的简单计算
1．【答案】
【解析】因为，则，可得，故，
因此，
故答案为．
2．【答案】A
【解析】因为，，所以．
因为，所以，解得，
故选A．
3．【答案】B
【解析】因为，
所以
，
故选B．
4．【答案】
【解析】设，则，，
因为，所以，化简得，
所以动点的轨迹方程为，
故答案为．
5．【答案】
【解析】设向量与向量的夹角为，
∵，∴，
又∵，∴，
∵，∴，∴，∴，
∵，∴．
故答案为．
6．【答案】或
【解析】由，得，
因为向量和的夹角为150°，且，
所以，得，
，所以或，
当时，在上的投影为，
当时，在上的投影为，
综上，在上的投影为或，
故答案为或．
7．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）∵为中线上一点，且，
∴．
（2）∵，，，
∴，
又，，三点共线，∴，解得，
故的值为．
2．向量的线性运算
1．【答案】A
【解析】由已知得，，
故，
又B，O，D共线，故，所以，故选A．
2．【答案】B
【解析】由题可得
，
故选B．
3．【答案】D
【解析】
，
所以，，故选D．
4．【答案】AC
【解析】，三点共线且为中点，
，，
，
三点共线且为上靠近A的三等分点，
，，
，
，
，，A正确，B错误；
，
C正确；
，D不正确，
故选AC．
3．与向量有关的范围、最值问题
1．【答案】，
【解析】因为平面向量，的夹角为120°，且，，
所以，
，
所以当时，的最小值为，
故答案为，．
2．【答案】2，
【解析】因为在中，，
所以，
即．
因为点在线段上移动（不含端点），所以设．
所以，对比可得．
代入，得；
代入可得，
根据二次函数性质知当时，，
故答案为．
3．【答案】AD
【解析】因为，，和的夹角为，
所以，
因为向量与向量的夹角为钝角，
所以，且不能共线，
所以，解得，
当向量与向量共线时，有，即，解得，
所以实数的取值范围，
所以实数可能的取值为A，D，故选AD．
4．【答案】B
【解析】因为点M是正三角形内的一点（包括边界），所以，
由
，
故选B．
5．【答案】A
【解析】因为是△ABC的重心，所以，
又，，所以，
因为三点共线，所以，即，
显然，，
所以，
当且仅当，即，时，等号成立，
所以的最小值是，故选A．
6．【答案】
【解析】因为，则，即，
因为，即，
作，，，，则，
，则，
固定点，则为的中点，则点在以线段为直径的圆上，
点在以点为圆心，为半径的圆上，如下图所示：
，
设，则，
因为，，
故
，
当时，等号成立，即的最大值为，
故答案为．
7．【答案】
【解析】如图，
设PA与PB的夹角为2α，则，
∴．
P是圆上一点，
，
，
，
令，则在上递减，
所以当时，，此时P的坐标为，
当时，，此时P的坐标为，
∴的范围为，故答案为．
8．【答案】
【解析】如图所示，
设（），，
则，，，
，
当且仅当，即时等号成立，
∴的最小值是，故答案为．
4．与其他知识综合
1．【答案】C
【解析】因为，所以，
又因为点O在直线l外，三点A，B，C均在l上，
故，即，所以，
即数列是以为首项，以2为公比的等比数列，
故，则，故选C．
2．【答案】B
【解析】
，
即．
设向量与的夹角为，则，
因为，所以，
由向量投影定义得，向量在向量上的投影为2，
即动点在过点且垂直于的直线上．
在中，，，，
由余弦定理得，所以；
则，所以．
因为是四边形内及其边界上的点，所以点的轨迹为线段，
所以点的轨迹的长度为，故选B．