河南省安阳市滑县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含解析）

九年级期末调研试卷（A）数学2024.1（自测范围：至下册85页 满分：120分 自测时间：100分钟）注意事项：1．本试卷分试题卷和答题卡两部分．考生应把答案直接涂写在答题卡上，答在试题卷上的答案无效．2．答题前，考生务必将答题卡上本人姓名、考场、考号等信息填写完整或把条形码粘贴在指定位置上．一、选择题（每小题3分，共30分）1．下面几对图形中，相似的是（    ）A． B． C． D．2．若，相似比为，则与对应的高线之比为（    ）A． B． C． D．3．反比例函数y=在每个象限内的函数值y随x的增大而增大，则m的取值范围是（　　）A．m＜0 B．m＞0 C．m＞﹣1 D．m＜﹣14．如图，等边三角形OAB，点B在x轴正半轴上，，若反比例函数图象的一支经过点A，则k的值是（    ）A． B． C． D．5．如图，在中，点，分别在，边上，与不平行，那么下列条件中，不能判断的是（    ）A． B． C． D．6．如图，四边形ABCD为平行四边形，E、F为CD边的两个三等分点，连接AF、BE交于点G，则S△EFG：S△ABG=（　　）A．1：3 B．3：1 C．1：9 D．9：17．在平面直角坐标系中，点是线段上一点，以原点为位似中心把放大到原来的两倍，则点的对应点的坐标为（    ）A． B．或 C． D．或8．如图，在 正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C均在网格交点上，⊙O是的外接圆，则的值是（    ）   A． B． C． D．9．如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼顶A 处看乙楼楼顶B处仰角为30°，则甲楼高度为（  ）A．11米 B．（36﹣15）米 C．15米 D．（36﹣10）米10．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A点，D点分别在x轴、y轴上，对角线BD∥x轴，反比例函数的图象经过矩形对角线的交点E，若点A(2，0)，D(0，4)，则k的值为（   ）A．16 B．20 C．32 D．40二、填空题（每题3分，共15分）11．请写出一个过点（1，1），且与x轴无交点的函数表达式 ．12．如图，与△是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 ．13．反比例函数中，当时，则的取值范围 ．14．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要体现，在计算tan 15°时，如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB到点D，使BD=AB，连接AD，得∠D=15°， 所以tan 15°==．类比这种方法，计算的值为 ．15．如果三角形有一边上的中线长等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．若是“好玩三角形”，且，则 ．三、解答题（共75分）16．（1）（2）已知锐角，关于的一元二次方程有相等实数根，求的值．17．如图，一次函数y＝x－6的图象与反比例函数（m为常数，且）的图象交于，N点．(1)求反比例函数解析式及N点坐标．(2)求线段MN的长度．18．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D．(1)在BC边上求作点E，使△ACE∽△BCD；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）的条件下，连接DE，若AB＝6，DE＝2，求DC的长．19．如图，为了测得某建筑物的高度，在C处用高为1米的测角仪，测得该建筑物顶端A的仰角为45°，再向建筑物方向前进40米，又测得该建筑物顶端A的仰角为60°．求该建筑物的高度．（结果保留根号）20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝mx+5（m≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，n）和B（4，1）两点，过点A作y轴的垂线，垂足为M．(1)求一次函数和反比例函数的表达式．(2)求△OAM的面积S．(3)在y轴上求一点P，使PA+PB的值最小，并求出此时点P的坐标．21．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，CF⊥AF，且CF=CE（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若sin∠BAC=，求的值．22．已知：根据图中数据完成填空，再按要求答题：    如图1： 如图2： 如图3： ①观察上述等式，猜想：如图4，在中，，都有 ；②如图4，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想；③已知：，且，求．23．【问题呈现】如图，是矩形的边上的一点，于点，，，，证明，并计算点到直线的距离（结果保留根号）．(1)结合图①，完成解答过程．(2)【拓展探究】在图①的基础上，延长线段交边于点，如图②，求的长．(3)如图③，，是矩形的边，上的点，连接，将矩形沿翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为点．若，，求的长． 参考答案与解析1．C【分析】本题主要考查的是相似图形的判断，掌握相似图形的概念及特征是解决此题的关键；根据形状相同对应角相等、对应边成比例的图形为相似图形，对各组图形逐一进行分析，即可得到结果；【详解】根据题意得：C选项的两个图象，形状相同、对应角相等、对应边成比例，为相似图形，故选：C．2．B【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形对应边上的高线之比等于相似比是解题的关键．【详解】解：∵，相似比为，∴与对应的高线之比为，故选B．3．D【详解】∵在每个象限内的函数值y随x的增大而增大，∴m＋1＜0，∴m＜－1．4．D【分析】过点A作AC⊥x轴于点C，则可根据勾股定理和三角形的面积求出OC和OA的长度，即可得出点A的坐标，将点A坐标代入反比例函数表达式即可求出k．【详解】过点A作AC⊥x轴于点C，∵三角形AOB为等边三角形，∴∠AOB=60°，设点A（a，b），则CO=a，AO=AB=OB=2a，根据勾股定理可得∶AC=b=，∵，∴，，解得：a=2，∴b=，即点A(2， )，把点A(2， )代入得，k=，故选：D．【点睛】本题主要考查了反比例函数得图像和性质，等边三角形的性质，熟练的掌握反比例函数的性质和等边三角形的性质是解题的关键．5．C【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，理解并掌握相似三角形的判定条件是解题关键．（1）三组对应边的比相等的两个三角形相似；（2）两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（3）有两组角对应相等的两个三角形相似．结合选项进行判断即可．【详解】解：A.因为，，所以，故该选项正确，不符合题意；B. 因为，，所以，故该选项正确，不符合题意；C. 由条件，不能证明，故该选项不正确，符合题意；D. 因为，，所以，故该选项正确，不符合题意．故选：C．6．C【详解】【分析】先证明△EFG∽△BAG，然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解决问题.【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB，CD∥AB，∵DE=EF=FC，∴EF：AB=1：3，∵CD∥AB，∴△EFG∽△BAG，∴，故选C．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握和灵活运用平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键.7．B【分析】本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标是原坐标乘以或．【详解】解：以原点为位似中心把放大到原来的两倍，的坐标为或，故选：B．8．B【分析】作直径BD，连接CD，根据勾股定理求出BD，根据圆周角定理得到∠BAC=∠BDC，根据余弦的定义解答即可．【详解】解：如图，作直径BD，连接CD， 由勾股定理得， 在Rt△BDC中，cos∠BDC= 由圆周角定理得，∠BAC=∠BDC， ∴cos∠BAC=cos∠BDC= 故选：B．【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握勾股定理的应用，圆周角定理、余弦的定义是解题的关键．9．D【分析】分析题意可得：过点A作AE⊥BD，交BD于点E；可构造Rt△ABE，利用已知条件可求BE；而乙楼高AC＝ED＝BD﹣BE．【详解】解：过点A作AE⊥BD，交BD于点E，在Rt△ABE中，AE＝30米，∠BAE＝30°，∴BE＝30×tan30°＝10（米），∴AC＝ED＝BD﹣BE＝（36﹣10）（米）．∴甲楼高为（36﹣10）米．故选D．【点睛】此题主要考查三角函数的应用，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值.10．B【分析】根据平行于x轴的直线上任意两点纵坐标相同，可设B（x，4）利用矩形的性质得出E为BD中点，∠DAB=90°，根据线段中点坐标公式得出E（x，4）.由勾股定理得出AD2+AB2=BD2，列出方程22+42+（x-2）2+42=x2，求出x，得到E点坐标，代入，利用待定系数法求出k.【详解】解：∵BD//x轴，D（0，4），∴B、D两点纵坐标相同，都为4，∴可设B（x，4）.∵矩形ABCD的对角线的交点为E，.∴E为BD中点，∠DAB=90°.∴E（x，4）∵∠DAB=90°，∴AD2+AB2=BD2，∵A（2，0），D（0，4），B（x，4），∴22+42+（x-2）2+42=x2，解得x=10，∴E（5，4）.又∵反比例函数（k>0，x>0）的图象经过点E，∴k=5×4=20；故选B.【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征，线段中点坐标公式等知识，求出E点坐标是解题的关键.11．答案不唯一，如：【详解】试题分析：首先与x轴无交点，则考虑反比例函数和开口向上且顶点在一、二象限的二次函数．然后设出解析式，把（1,1）带入即可求得解析式.考点：确定函数解析式.12．（9，0）【分析】根据位似中心的概念解答即可．【详解】解：连接和并延长相交于点D，则点D即为位似中心，作图如下：点D的坐标为（9，0），即位似中心的坐标为（9，0），故答案为：（9，0）．【点睛】本题考查的是位似变换的概念，解题的关键是掌握各对应点所在直线的交点即为位似中心．13．或【分析】本题主要考查了反比例函数的图像与性质，理解并掌握反比例函数的图像与性质是解题关键．根据反比例函数解析式可知该反比例函数图像在第二、四象限，且在每一象限内随的增大而增大，据此即可获得答案．【详解】解：如下图，  反比例函数中，，∴该反比例函数图像在第二、四象限，且在每一象限内随的增大而增大，∴当时，则的取值范围或．故答案为：或．14．【分析】在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=45°，可知AC=BC，延长CB到点D，使BD=AB，得∠D=22.5°，根据勾股定理求出AB=，可求CD= ，利用定义求tan 22.5°，取倒数即可．【详解】解：在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=45°，∴AC=BC，延长CB到点D，使BD=AB，得∠D=22.5°，根据勾股定理AB=，CD=BC+BD=AC+AB=，tan 22.5°=，．故答案为：．【点睛】本题考查类比方法求三角函数值，勾股定理，掌握三角函数的定义，勾股定理的应用，以及构图取半角的方法是解题关键．15．或【分析】分两种情况分析：①E在AB上时，；②当E在AC上时，.【详解】①如图1中，在中，，是的中线，设，则，，∴．②如图2中，在中，，是的中线，设，则，，∴．，故答案为或．【点睛】考核知识点：解直角三角形，分类讨论是关键．16．（1）（2）【分析】本题考查了特殊角的三角函数值和根的判别式，正确进行二次根式的运算和解一元二次方程是关键．（1）首先代入特殊角的三角函数值，然后进行二次根式的运算即可；（2）由方程有两个相等的实数根可得，解方程即可．【详解】（1）解：原式（2）解：由题意得，解得：，．17．(1)；(2)【分析】（1）待定系数法把M点坐标代入y＝x－6中，求得，再代入反比例函数解析式计算即可得出反比例函数关系式，再联立方程组求得点N坐标；（2）直接用勾股定理求得MN的长；【详解】（1）把代入y＝x－6中，得a＝1．∴．把点代入中，得m＝－5，∴反比例函数的解析式为．联立两函数，解得或，∴点N坐标为．（2）如图，过点M作PM∥y轴，交x轴平行线NP于点P．∵点，，∴PM＝4，PN＝4．在Rt△PMN中，．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解析式，勾股定理等知识，正确求出函数解析式是解题的关键．18．(1)见解析(2)【分析】（1）作AE⊥BC于点E，根据两个角对应相等可判定两个三角形相似；（2）由AC＝AB＝6，AE⊥BC ，得E是BC的中点，再证, ，再根据△ACE∽△BCD即可求解．【详解】（1）解：如图，作AE⊥BC于点E，∵BD⊥AC，AE⊥BC∴又∵∴△ACE∽△BCD∴E点即为所作．（2）如图所示，连接DE，∵AC＝AB＝6，AE⊥BC ，∴E是BC的中点又∵BD⊥AC，DE＝2，∴, ∵△ACE∽△BCD∴，即，解得：即DC的长为．【点睛】本题考查作图与相似变换．解题的关键是掌握等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质．19．该建筑物的高度为米．【分析】设米，根据等腰三角形的性质求出，利用正切的定义用x表示出，根据题意列方程，解方程得到答案．【详解】解：设米，在中，，∴，在中，，则，由题意得，，即，解得，，∴，答：该建筑物的高度为米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．20．(1)y＝﹣x+5，y＝(2)△OAM的面积S为2(3)作图见解析，点P的坐标为（0，）【分析】（1）根据A（1，n）和B（4，1）两点，代入一次函数和反比例函数解析式求出k和m的值即可得答案．（2）根据反比例函数求得A（1，4），即可得到△OAM的面积S．（3）作点A关于y轴的对称点N，则N（-1，4）．连接BN交y轴于点P，点P即为所求．根据待定系数法求得直线NB的解析式，即可得到点P的坐标．【详解】（1）解：将B（4，1）代入y＝得：．∴k＝4．∴y＝．将B（4，1）代入y＝mx+5得：1＝4m+5，∴m＝﹣1．∴y＝﹣x+5．（2）解：在y＝中，令x＝1，解得y＝4．∴A（1，4）．∴S＝×1×4＝2．（3）解：作点A关于y轴的对称点N，则N（﹣1，4）．连接BN交y轴于点P，点P即为所求．设直线BN的关系式为y＝kx+b，由，得，∴y＝﹣x+．∴点P的坐标为（0，）．【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数与反比例函数解析式以及作对称点问题，根据已知得出对称点是解决问题的关键．21．（1）见解析  （2）【分析】（1）首先连接OC，由CD⊥AB，CF⊥AF，CF=CE，即可判定AC平分∠BAF，由圆周角定理即可得∠BOC=2∠BAC，则可证得∠BOC=∠BAF，即可判定OC∥AF，即可证得CF是⊙O的切线．（2）由垂径定理可得CE=DE，即可得S△CBD=2S△CEB，由△ABC∽△CBE，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，易求得△CBE与△ABC的面积比，从而可求得的值．【详解】（1）证明：连接OC．∵CE⊥AB，CF⊥AF，CE=CF，∴AC平分∠BAF，即∠BAF=2∠BAC．∵∠BOC=2∠BAC，∴∠BOC=∠BAF．∴OC∥AF．∴CF⊥OC．∴CF是⊙O的切线．（2）解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴CE=ED，∠ACB=∠BEC=90°．∴S△CBD=2S△CEB，∠BAC=∠BCE．∴△ABC∽△CBE．∴．∴．22．1，1，1①1②见解析③【分析】根据正弦函数的定义，计算即可得出结果；①由上计算可想到在中，，都有；②在中，，利用锐角三角函数的定义得出，，则，根据勾股定理得到，从而证明；③利用关系式，结合已知条件，进行求解．【详解】由图可知：故答案为：1，1，1．①观察上述等式，可猜想：故答案为：1．②在中，∵，∴∵∴∴③∵，∴【点睛】本题侧重考查互余两角三角函数值，掌握三角函数的定义是解题的关键．23．(1)证明见解析，点到直线的距离为，(2)(3)【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，相似三角形的性质与判定，勾股定理等等：（1）利用矩形的性质得到，，则由勾股定理得到，再证明，．即可证明，则，即，即可求出；（2）证明，得，即，求出，则；（3）如图③，作于，设，则，由折叠的性质可得，进而推出，则，勾股定理得，解得，，，近而得到，在中，可由勾股定理得到．【详解】（1）解：四边形是矩形，，，，，，，．，，即，∴，点到直线的距离为（2）解：四边形是矩形，，，，，，，，得，即，，；（3）解：如图③，作于，设，则，将矩形沿翻折，使点的对称点与点重合，，，，，，在中，根据勾股定理得，，，，，，，在中，，．