专题4.7 定弦定角（隐圆压轴四）（题型专练）-2023-2024学年九年级数学上册期末复习《重难点题型》（人教版）

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解题技巧：构造隐圆
定弦定角解决问题的步骤：
（1）让动点动一下，观察另一个动点的运动轨迹，发现另一个动点的运动轨迹为一段弧。
（2）找不变的张角（这个时候一般是找出张角的补角），（这个补角一般为、）
（3）找张角所对的定弦，根据三点确定隐形圆，确定圆心位置
（4）计算隐形圆的半径
（5）圆心与所求线段上定点的距离可以求出来
（6）最小值等于圆心到定点之间的距离减去半径
【典例1】如图，已知矩形ABCD．
（1）如图①，请在矩形ABCD的内部或边上画出使∠APB＝45°的点P的轨迹；
（2）如图②，请在矩形ABCD的内部或边上画出使∠APB＝90°的点P的轨迹；
（3）如图③，请在矩形ABCD的内部或边上画出使∠APB＝120°的点P的轨迹．
【解答】解：（1）如图，作等腰直角三角形AOB，使∠AOB＝90°，以O为圆心，OA为半径画圆，
则即为所求；
（2）如图，以AB为直径作圆，则即为所求（不与A、B重合）；
（3）如图，作等腰△AOB，使∠AOB＝120°，以O为圆心，OA为半径画圆，则即为所求（不与A、B重合）；．
【变式1-1】（秋•潜山市期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点P在矩形的内部，连接PA，PB，PC，若∠PBC＝∠PAB，则PC的最小值是（ ）
A．6B．﹣3C．2﹣4D．4﹣4
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ABP+∠PBC＝90°，
∵∠PBC＝∠PAB，
∴∠PAB+∠PBA＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴点P在以AB为直径的圆上运动，设圆心为O，连接OC交⊙O于P，此时PC最小，
∵OC＝＝＝2，
∴PC的最小值为2﹣4，
故选：C．
【变式1-2】如图，正方形ABCD中，AB＝2，动点E从点A出发向点D运动，同时动点F从点D出发向点C运动，点E、F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF、BE相交于点P，则线段DP的最小值为 ﹣1 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图：
，
∵动点F，E的速度相同，
∴DF＝AE，
又∵正方形ABCD中，AB＝2，
∴AD＝AB，
在△ABE和△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF，
∴∠ABE＝∠DAF．
∵∠ABE+∠BEA＝90°，
∴∠FAD+∠BEA＝90°，
∴∠APB＝90°，
∵点P在运动中保持∠APB＝90°，
∴点P的路径是一段以AB为直径的弧，
设AB的中点为G，连接DG交弧于点P，此时DP的长度最小，
AG＝BG＝AB＝1．
在Rt△BCG中，DG＝＝＝，
∵PG＝AG＝1，
∴DP＝DG﹣PG＝﹣1
即线段DP的最小值为﹣1，
故答案为：﹣1．
【变式1-3】（广西模拟）如图，AC为边长为的菱形ABCD的对角线，∠ABC＝60°，点M，N分别从点B，C同时出发，以相同的速度沿BC，CA向终点C和A运动，连接AM和BN，求△APB面积的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CB＝CD＝AD，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝∠ABM＝60°，
∵点M，N分别从点B，C同时出发，以相同的速度沿BC，CA向终点C和A运动，
∴BM＝CN，
在△ABM和△BCN中，
，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM＝∠CBN，
∴∠ABP+∠CBN＝60°，
∴∠ABP+∠BAM＝60°，
∴∠APB＝180°﹣60°＝120°，
∴点P在弧AB上运动，
∴当＝时，△PAB的面积最大，最大值＝×2×1＝，
故选：D．
【变式1-4】（宜兴市期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，AB＝8，P为AC边上的一个动点，D为PB上的一个动点，连接AD，当∠CBP＝∠BAD时，线段CD的最小值是（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【解答】解：∵∠ABC＝90°，
∴∠ABP+∠CBP＝90°，
∵∠CBP＝∠BAD，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
∴∠ADB＝90°，
取AB的中点E，连接DE，CE，
∴DE＝AB＝4，
∴OC＝OB＝4，
∵CD≥CE﹣DE，
∴CD的最小值为4﹣4，
故选：D
【变式1-5】如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB＝4，∠AOC＝120°，P为⊙O上的动点，连接AP，取AP中点Q，连接CQ，则线段CQ的最大值为（ ）
A．3B．1+C．1+3D．1+
【答案】D
【解答】解：如图，连接OQ，作CH⊥AB于H．
∵AQ＝QP，
∴OQ⊥PA，
∴∠AQO＝90°，
∴点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，
当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大（也可以通过CQ≤QK+CK求解）
在Rt△OCH中，∵∠COH＝60°，OC＝2，
∴OH＝OC＝1，CH＝，
在Rt△CKH中，CK＝＝，
∴CQ的最大值为1+，
故选：D．
【典例2】如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝45°，AM∥BC，点P在射线AM上运动，连BP交△APC的外接圆于D，则AD的最小值为（ ）
A．1B．2C．D．4﹣3
【答案】A
【解答】解：连接CD，则∠PDC＝∠PAC＝∠ACB＝45°，∠BDC＝135°
∵BC＝4，
∴点D在以BC为弦的一段圆弧上运动，圆心角为90°，
设圆心为O，连接BO、CO、DO，
则△BCO为等腰直角三角形，
∴CO＝4，∠BCO＝45°，
∵∠ACB＝45°，
∴∠ACO＝90°，
∴AO＝＝＝5，
∴AD≥AO﹣DO＝5﹣4＝1（当且仅当D是AF与圆弧的交点时取等号），
∴线段AD的长的最小值为1，
故选：A．
【变式2-1】如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为 ．
【答案】2﹣2
【解答】解：连接AE，如图1，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝，
∴AB＝AC＝4，
∵AD为直径，
∴∠AED＝90°，
∴∠AEB＝90°，
∴点E在以AB为直径的⊙O上，
∵⊙O的半径为2，
∴当点O、E、C共线时，CE最小，如图2，
在Rt△AOC中，∵OA＝2，AC＝4，
∴OC＝＝2，
∴CE＝OC﹣OE＝2﹣2，
即线段CE长度的最小值为2﹣2．
故答案为2﹣2．
【变式2-1】如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，点E在AB上，＝，在矩形内找一点P，使得∠BPE＝60°，则线段PD的最小值为（ ）
A．2﹣2B．C．4D．2
【答案】A
【解答】解：如图，在BE的上方，作△OEB，使得OE＝OB，∠EOB＝120°，连接OD，过点O作OQ⊥BE于Q，OJ⊥AD于J．
∵∠BPE＝∠EOB，
∴点P的运动轨迹是以O为圆心，OE为半径的⊙O，
∴当点P落在线段OD上时，DP的值最小，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∵AB＝3，AE：EB＝1：2，
∴BE＝2，
∵OE＝OB，∠EOB＝120°，OQ⊥EB，
∴EQ＝BQ＝，∠EOQ＝∠BOQ＝60°，
∴OQ＝1，OE＝2，
∵OJ⊥AD，OQ⊥AB，
∴∠A＝∠AJO＝∠AQO＝90°，
∴四边形AQOJ是矩形，
∴AJ＝OQ＝1，
JO＝AQ＝2，
∵AD＝5，
∴DJ＝AD﹣AJ＝4，
∴OD＝＝＝2，
∴PD的最小值＝OD﹣OP＝2﹣2，
故选：A．
【变式2-2】（柳南区校级模拟）如图，在边长为的等边△ABC中，动点D，E分别在BC，AC边上，且保持AE＝CD，连接BE，AD，相交于点P，则CP的最小值为 ．
【答案】1
【解答】解：∵CD＝AE，
∴BD＝CE，
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
故∠BAD＝∠CBE，
∵∠APE＝∠ABE+∠BAD，∠APE＝∠BPD，∠ABE+∠CBE＝60°，
∴∠BPD＝∠APE＝∠ABC＝60°，
∴∠APB＝120°，
∴点P的运动轨迹是，∠AOB＝120°，连接CO，
∵OA＝OB，CA＝CB，OC＝OC，
∴△AOC≌△BOC（SSS），
∴∠OAC＝∠OBC，∠ACO＝∠BCO＝30°，
∵∠AOB+∠ACB＝180°，
∴∠OAC+∠OBC＝180°，
∴∠OAC＝∠OBC＝90°，
∴OC＝AC÷cs30°＝2，OA＝OC＝1，
∴OP＝1，
∵PC≥OC﹣OP，
∴PC≥1，
∴PC的最小值为1．
【变式2-3】【问题原型】如图①，在⊙O中，弦BC所对的圆心角∠BOC＝90°，点A在优弧BC上运动（点A不与点B、C重合），连结AB、AC．
（1）在点A运动过程中，∠A的度数是否发生变化？请通过计算说明理由．
（2）若BC＝2，求弦AC的最大值．
【问题拓展】如图②，在△ABC中，BC＝4，∠A＝60°．若M、N分别是AB、BC的中点，则线段MN的最大值为 ．
【答案】【问题原型】（1）∠A的度数不发生变化，理由见解析；（2）2；【问题拓展】．
【解答】解：【问题原型】（1）∠A的度数不发生变化，理由如下：
∵，∠BOC＝90°，
∴；
（2）当AC为⊙O的直径时，AC最大，
在Rt△BOC中，∠BOC＝90°，
根据勾股定理，得OB2+OC2＝BC2，
∵OB＝OC，
∴，
∴，
即AC的最大值为；
【问题拓展】如图，画△ABC的外接圆⊙O，连接OB，OC，ON，
则ON⊥BC，∠BON＝60°，BN＝BC＝2，
∴OB＝，
∵M、N分别是AB、BC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN＝AC，
∴AC为直径时，AC最大，此时AC＝2OB＝，
∴MN最大值为，
故答案为：．
【变式2-4】（灌南县校级月考）我们在学习圆的知识时，常常碰到题目中明明没有圆，但解决问题时要用到，这就是所谓的“隐圆”问题：
下面让我们一起尝试去解决：
（1）如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为 ．
（2）如图，在正方形ABCD中，动点E、F分别从D、C两点同时出发，以相同的速度在边DC、CB上移动，连接AE和DF交于点P，由于点E、F的移动，使得点P也随之运动．若AD＝2，则线段CP的最小值是 ．
（3）如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E、F分别为AD、DC边上的点，且EF＝2，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA+PG的最小值为多少？
【解答】解：（1）如图1中，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABP+∠PBC＝90°，
∵∠PAB＝∠PBC，
∴∠BAP+∠ABP＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，
在Rt△BCO中，∵∠OBC＝90°，BC＝4，OB＝3，
∴OC＝＝＝5，
∴PC＝OC﹣OP＝5﹣3＝2．
∴PC最小值为2．
故答案为2；
（2）如图2中，
∵动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在边DC，CB上移动，
∴DE＝CF，
在△ADE和△DCF中，
，
∴△ADE≌△DCF（SAS），
∴∠DAE＝∠CDF，
∵∠CDF+∠ADF＝∠ADC＝90°，
∴∠ADF+∠DAE＝90°，
∴∠APD＝90°，
取AD的中点O，连接OP，则OP＝AD＝×2＝1（不变），
根据两点之间线段最短得C、P、O三点共线时线段CP的值最小，
在Rt△COD中，根据勾股定理得，CO＝＝＝，
所以，CP＝CO﹣OP＝﹣1．
故答案为：﹣1；
（3）如图3中，
∵EF＝2，点G为EF的中点，
∴DG＝1，
∴G是以D为圆心，以1为半径的圆弧上的点，
作A关于BC的对称点A′，连接A′D，交BC于P，交以D为圆心，以1为半径的圆于G，
此时PA+PG的值最小，最小值为A′G的长；
∵AB＝2，AD＝3，
∴AA′＝4，
∴A′D＝5，
∴A′G＝A′D﹣DG＝5﹣1＝4，
∴PA+PG的最小值为4，
【变式2-5】（2022秋•定海区期中）如图，△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝45°，D为△ABC内一动点，⊙O为△ACD的外接圆，直线BD交⊙O于P点，交BC于E点，，则AD的最小值为 ．
【答案】1
【解答】解：∵＝，
∴∠ACB＝∠CDP．
∵∠ACB＝45°，
∴∠CDP＝45°，
∴∠BDC＝180°﹣45°＝135°，
∴点D在以BC为弦，∠BDC＝135°的圆弧上运动，
如图，设D点运动的圆弧圆心为M，取优弧BC上一点N，
连接MB，MC，NB，NC，AM，MD，
则∠BNC＝180°﹣∠BDC＝45°，
∴∠BMC＝90°，
∵BM＝CM，
∴△BMC为等腰直角三角形，
∴∠MCB＝45°，MC＝BC＝4，
∵∠ACB＝45°，
∴∠ACM＝90°，
∴AM＝＝＝5，
∴当A、D、M三点共线时，AD最小，
此时，AD＝AM﹣MD＝5﹣4＝1．
故答案为：1．
【典例3】如图，⊙O半径为6，弦AB＝6，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是（ ）
A．6B．9C．6D．9
【答案】B
【解答】解：连接OA、OB，作△ABC的外接圆⊙D，如图1，
∵OA＝OB＝6，AB＝6，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴∠APB＝∠AOB＝30°，
∵AC⊥AP，
∴∠C＝60°，
∵AB＝6，要使△ABC的最大面积，则点C到AB的距离最大，
∵∠ACB＝60°，点C在⊙D上，
∴∠ADB＝120°，
如图2，
当点C优弧AB的中点时，点C到AB的距离最大，此时△ABC为等边三角形，且面积为AB2＝9，
∴△ABC的最大面积为9．
故选：B．
【变式3-1】如图，⊙O的半径为1，弦AB＝1，点P为优弧上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：连接OA、OB，如图1，
∵OA＝OB＝1，AB＝1，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴∠APB＝∠AOB＝30°，
∵AC⊥AP，
∴∠C＝60°，
∵AB＝1，要使△ABC的面积最大，则点C到AB的距离最大，
∵∠ACB＝60°，点C在⊙D上，
∴∠ADB＝120°，
如图2，作△ABC的外接圆D，
当点C在优弧AB的中点时，点C到AB的距离最大，此时△ABC为等边三角形，且面积为AB2＝，
∴△ABC的最大面积为．
故选：D
【变式3-2】如图，在△ABC中，BC＝6，∠BAC＝45°，则△ABC面积的最大值为 ．
【答案】9+9
【解答】解：如图，作△ABC的外接圆⊙O，连接OB、OC，过点O作OH⊥BC于H，
则BH＝HC，
由圆周角定理得：∠BOC＝2∠A＝90°，
∴OB＝OC＝BC＝3，OH＝BC＝3，
当BC边上的高最大时，△ABC的面积最大，
由题意可知，BC边上的高的最大值为：3+3，
∴△ABC面积的最大值为：×6×（3+3）＝9+9，
故答案为：9+9．
【变式3-3】问题提出
（1）如图①，已知△ABC为边长为2的等边三角形，则△ABC的面积为 ；
问题探究
（2）如图②，在△ABC中，已知∠BAC＝120°，BC＝6，求△ABC的最大面积；
问题解决
（3）如图③，某校学生礼堂的平面示意为矩形ABCD，其宽AB＝20米，长BC＝24米，为了能够监控到礼堂内部情况，现需要在礼堂最尾端墙面CD上安装一台摄像头M进行观测，并且要求能观测到礼堂前端墙面AB区域，同时为了观测效果达到最佳，还需要从点M出发的观测角∠AMB＝45°，请你通过所学知识进行分析，在墙面CD区域上是否存在点M满足要求？若存在，求出MC的长度；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）9；（3）存在，MC的长度为8米或12米．
【解答】解：（1）作AD⊥BC于D，
∵△ABC是边长为2的等边三角形，
∴BD＝1，
∴AD＝＝，
∴△ABC的面积为×2×＝，
故答案为：；
（2）作△ABC的外接圆⊙O，
∵∠BAC＝120°，BC＝6，
∴点A在上运动，
当A'O⊥BC时，△ABC的面积最大，
∴∠BOA'＝60°，BH＝CH＝3，
∴OH＝3，OB＝6，
∴A'H＝OA'﹣OH＝6﹣3＝3，
∴△ABC的最大面积为×6×3＝9；
（3）存在，以AB为边，在矩形ABCD的内部作一个等腰直角三角形AOB，且∠AOB＝90°，
过O作HG⊥AB于H，交CD于G，
∵AB＝20米，
∴AH＝OH＝10米，OA＝10米，
∵BC＝24米，
∴OG＝14米，
∵10＞14，
∴以O为圆心，OA为半径的圆与CD相交，
∴⊙O上存在点M，满足∠AMB＝45°，此时满足条件的有两个点M，
过M1作M1F⊥AB于F，作EO⊥M1F于E，连接OF，
∴EF＝OH＝10米，OM1＝10米，
∴EM1＝14米，
∴OE＝＝2米，
∴CM1＝BF＝8米，
同理CM2＝BH+OE＝10+2＝12（米），
∴MC的长度为8米或12米．
【变式3-4】（1）如图1，线段AB的长为4，请你作出一个以AB为斜边且面积最大的直角三角形ABC．
（2）如图2，在四边形ABCD中，AD＝CD，∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，AB＝4，BC＝2，请你求出四边形ABCD的面积．
问题解决：
（3）小明爸爸所在的工厂需要裁取某种四边形的材料板，这种材料板的形状如图3所示，并且满足在四边形ABCD中，AD＝CD，∠ABC＝75°，∠ADC＝60°，DB＝4，你能求出这种四边形面积的最小值吗？如果能，请求出此时四边形ABCD面积的最小值；如果不能，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图1，
画法：以AB为直径画圆O，当点C位于半圆的中点时，直角△ABC的面积最大；
（2）如图2，连接AC，过C作CH⊥AB，交AB的延长线于H，
在Rt△BCH中，∵BC＝2，∠CBH＝180°﹣120°＝60°，
∴∠BCH＝30°，
∴BH＝BC＝1，HC＝＝，
∴AH＝AB+BH＝4+1＝5，
在Rt△ACH中，AC2＝AH2+CH2＝52+（）2＝28，
∴S△ABC＝AB•CH＝×4×＝2，
∵AD＝CD，∠ADC＝60°，
∴△ADC是等边三角形，
∴S△ADC＝AC2＝×28＝7，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝2+7＝9；
（3）能，
如图3，连接AC，
∵AD＝CD，∠ADC＝60°，
∴△ADC是等边三角形，
将△BDC绕点D顺时针旋转60°得△HDA，连接BH，
则BD＝DH＝4，∠HDB＝60°，
∴△HDB是等边三角形，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD
＝S△BDH﹣S△ABH，
∵BD＝4，是定值，
∴S△BDH是定值，
∴当△ABH的面积最大时，四边形ABCD的面积最小，
∵∠ABC＝75°，∠ADC＝60°，
∴∠BAD+∠BCD＝360°﹣75°﹣60°＝225°，
∴∠BAH＝360°﹣∠BAD﹣∠HAD＝360°﹣225°＝135°，
∵BH＝BD＝4，
∴点A在定圆⊙O（△ABH的外接圆）上运动，当O、A、D共线时，△ABH的面积最大，此时，OD⊥BH，
设OA交BH于K，则HK＝KB＝2，
∵AH＝AB，
∴∠AHB＝∠ABH＝22.5°，
在HK上取一点F，使FH＝AF，则△AKF是等腰直角三角形，
设AK＝FK＝x，则AF＝FH＝x，
∴2＝x+x，
∴x＝2﹣2，
∴△ABH面积的最大值＝×4×＝4﹣4，
∴四边形ABCD的面积的最小值＝×42﹣（4﹣4）＝4﹣4+4．
【变式3-5】已知直线AB交x轴于点A（a，0），交y轴下点B（0，b），且a、b满足|a+b|+（a+4）2＝0．
（1）如图，若点C在第一象限，且BE⊥AC于点E，BE延长线交x轴于点G，连OE，求证：EO平分∠AEG．
（2）如图，若点C在第一象限，且BE⊥AC丁点E，延长BE到D，使BD＝AC，连OC、OD、CD，试判断△COD的形状，并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：如图1中，取AB的中点K，连接KE，OK．
∵AC⊥BE，
∴∠AEB＝∠AOB＝90°，
∵AK＝KB，
∴KE＝KB＝KA＝KO，
∴A，B，E，O四点共圆，
∵|a+b|+（a+4）2＝0．
又∵|a+b|≥0，（a+4）2≥0，
∴a＝﹣4，b＝4，
∴A（﹣4，0），B（0，4），
∴OA＝OB＝4，
∴∠ABO＝45°，
∴∠AEO＝∠ABO＝45°，
∴∠AEO＝∠OEG＝45°，
∴OE平分∠AEG．
（2）解：结论：△COD是等腰直角三角形，∠COD＝90°．
理由：如图2中，
∵∠AEG＝90°，
∴∠EAG＝90°，
∵∠BOG＝90°，
∴∠EAG+∠AGE＝90°，∠OBG+∠OGB＝90°，
∴∠CAO＝∠DBO，
∴OA＝OB，AC＝BD，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴OC＝OD，
∠AOC＝∠BOD，
∴∠AOB＝∠COD＝90°，
∴△COD是等腰直角三角形．