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新高考数学二轮复习专项突破五统计与概率解答题课件
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这是一份新高考数学二轮复习专项突破五统计与概率解答题课件，共59页。PPT课件主要包含了必备知识•精要梳理，注意是σ2不是σ，关键能力•学案突破，精典对练•得高分，数学思想•扩思路，X的分布列为，利润ξ1的分布列为，利润ξ2的分布列为，甲型号减排器，乙型号减排器等内容，欢迎下载使用。
1.离散型随机变量的方差公式
名师点析方差和标准差都是描述一组数据离散程度大小的量.
2.期望与方差的性质(1)离散型随机变量期望的性质①E(aX+b)=aE(X)+b;②若X~B(n,p),则E(X)=np;③若X服从两点分布,则E(X)=p.(2)离散型随机变量方差的性质①D(aX+b)=a2D(X);②若X~B(n,p),则D(X)=np(1-p);③若X服从两点分布,则D(X)=p(1-p).
3.正态分布正态分布完全由参数μ和σ确定,因此正态分布常记作N(μ,σ2).如果随机变量X服从正态分布,则记为X~N(μ,σ2).满足正态分布的三个基本概率值是:(1)P(μ-σ
(1)请你通过计算,说明该方案是否需要调整;(2)为提高学生考试达标率,该校决定加强训练.以女生为例,假设所有女生经训练后,投掷距离的增加值相同.问:女生投掷实心球的距离至少增加多少,可使达标率不低于99%.(结果精确到0.001)
(2)设女生投掷实心球的距离至少增加x米,此时ξ2'~N(6.2+x,0.16).当X~N(6.516,0.16)时,此时6.2+x=6.516,得x=0.316,且P(X≤6.832)≈0.785,所以P(X>6.832)=1-0.785=0.215.因为点(6.832,0)关于X=6.516的对称点恰好为(6.2,0),此时女生达标率为1-0.2153≈1-0.01=0.99,达标率刚好为99%,所以使达标率不低于99%,投掷实心球的距离至少增加0.316米.
规律方法利用3σ原则求概率问题时,要注意把给出的区间(或范围)与正态分布的μ,σ进行对比,确定它们属于[μ-σ,μ+σ],[μ-2σ,μ+2σ],[μ-3σ,μ+3σ]中的哪一个.
为了缓解日益拥堵的交通状况,不少城市实施车牌竞价策略,以控制车辆数量.某地车牌竞价的基本规则是:①“盲拍”,即所有参与竞拍的人都是网络报价,每个人不知晓其他人的报价,也不知道参与当期竞拍的总人数;②竞价时间截止后,系统根据当期车牌配额,按照竞拍人的出价从高到低分配名额.某人拟参加2023年12月份的车牌竞拍,他为了预测最低成交价,根据竞拍网站的公告,统计了最近5个月参与竞拍的人数(见下表).
(1)由收集数据的散点图发现,可用线性回归模型拟合竞拍人数y(单位:万人)与月份编号t之间的相关关系.请用最小二乘法求y关于t的经验回归方程 ,并预测2023年12月份参与竞拍的人数.(2)某市场调研机构对200位拟参加2023年12月份车牌竞拍人员的报价进行了一个抽样调查,得到如下的一份频数表.
①求这200位竞拍人员报价X的平均值 和样本方差s2(同一区间的报价可用该价格区间的中点值代替);②假设所有参与竞价人员的报价X可视为服从正态分布N(μ,σ2),且μ与σ2可分别由①中所求的样本平均数 及s2估值.若2023年12月份实际发放车牌数量为3 174,请你合理预测(需说明理由)竞拍的最低成交价.(结果精确到0.1)
函数与方程思想某届女排世界杯共有12支参赛队伍,本次比赛启用了新的排球用球,已知这种球的质量指标ξ(单位:g)服从正态分布N(270,52).比赛赛制采取单循环方式,即每支球队进行11场比赛(采取5局3胜制),最后积分最高的队伍取得最后冠军.积分规则如下:比赛中以3∶0或3∶1取胜的球队积3分,负队积0分;而在比赛中以3∶2取胜的球队积2分,负队积1分.已知第10轮A队对抗B队,设每局比赛A队取胜的概率为p(0
点评在求f(p)的最大值点p0时,因为其是关于变量p的函数,故利用导数研究函数单调性,从而得最大值点.体现了函数与方程思想的运用.
(1)以表中抽检的样本估计全市该商品的等级,现从全市上市的该商品中随机抽取10个,若取到k个A级品的可能性最大,求k的值;
(2)一连锁超市采购商每年采购A级该商品,前20年该商品在此超市的实际销量统计如下表.
今年A级该商品的采购价为0.8万元/吨,超市以1.6万元/吨的价格卖出,由于商品不易储存,卖不完当垃圾处理.超市计划今年购进17吨或18吨该商品,你认为应该购进17吨还是18吨?请说明理由.
(2)超市购进17吨该商品时,利润为ξ1,卖出的吨数为X1,X1的可能取值为15,16,17,ξ1的可能取值为10.4,12,13.6,
超市购进18吨该商品时,利润为ξ2,卖出的吨数为X2,X2的可能取值为15,16,17,18,ξ2的可能取值为9.6,11.2,12.8,14.4,
规律方法利用期望与方差进行决策的思想方法随机变量的期望的意义在于描述随机变量的平均程度,而方差则描述了随机变量稳定与波动或者集中与分散的状况.品种的优劣、设备的性能、采购的数量、预报的准确与否等很多指标都与这两个特征量有关.
(2023·山东泰安一模)某公司为活跃气氛提升士气,年终拟通过抓阄兑奖的方式对所有员工进行额外奖励.规定:将4个标有面值的阄放入1个袋中,每位员工在看不到阄的情况下一次性随机摸出2个阄,面值之和为该员工获得的奖励金额.(1)若袋中所装的4个阄中有1个所标的面值为800元,其余3个均为200元,求:①员工所获得的奖励为1 000元的概率;②员工所获得的奖励额的分布列及数学期望.
(2)公司对奖励额的预算是人均1 000元,并规定袋中的4个阄只能由标有面值200元和800元的两种阄或标有面值400元和600元的两种阄组成.为了使员工得到的奖励总额尽可能符合公司的预算且每位员工所获得的奖励额相对均衡,请对袋中的4个阄的面值给出一个合适的设计,并说明理由.
(2)根据公司预算,每个员工的平均奖励额为1 000元,所以先寻找期望为1 000元的可能方案.对于面值由800元和200元组成的情况,如果选择(200,200,200,800)的方案,因为1 000元是面值之和的最大值,所以期望不可能为1 000元,如果选择(800,800,800,200)的方案,因为1 000元是面值之和的最小值,所以期望不可能为1 000元,因此可能的方案是(800,800,200,200),记为方案1,对于面值600元和400元的情况,同理排除(600,600,600,400)和(400,400,400,600)的方案,所以可能的方案是(400,400,600,600),记为方案2.对于方案1,设员工所获得的奖励额为X1,X1可取400,1 000,1 600,
由于两种方案的奖励额都符合预算要求,但方案2的方差比方案1小,所以应选择方案2.
分类讨论思想某商店为了吸引顾客,设计了两种摸球活动奖励方案.先制作一个不透明的盒子,里面放有形状、大小完全相同的4个白球和2个红球.方案一:不放回地从盒子中逐个摸球,消费金额每满300元摸一次,最终根据顾客摸到的红球个数发放奖金,如表格所示.
方案二:可放回地从盒子中逐个摸球,消费金额每满200元摸一次,每摸到一个红球奖励15元.(1)若顾客甲消费的金额为600元,且选择了方案一,求甲获得奖金数为30元的概率;(2)若顾客乙消费的金额为800元,但他可以在摸出第一个球后,根据所摸出球的颜色,再决定执行方案一或方案二继续摸球.请从奖金数期望最大的角度为顾客乙制定第一次摸球后的方案选择,并说明理由.
因此选择方案二.综上,乙第一次摸出的球为红球时,选择方案一;乙第一次摸出的球为白球时,选择方案二.
点评第(2)问中,第一次摸出的可能是红球,也可能是白球,需要分类讨论;根据第一次摸出的球,还需要分别讨论方案一、方案二并计算各自的期望,选出最优方案.对分类讨论思想考查比较全面.
[例3] 某工厂为了检测一批新生产的零件是否合格,随机抽测100个零件的长度d(单位:mm).该样本数据分组如下:[57,58),[58,59),[59,60),[60,61),[61,62),[62,63].得到频率分布直方图如图所示.经检测,样本中d大于61的零件有13个,长度分别为61.1,61.1,61.2,61.2,61.3,61.5,61.6,61.6,61.8,61.9,62.1,62.2,62.6.
(2)由(1)可知从该工厂生产的新零件中随机选取1件,长度d在(59,61]的概率P=2×0.35=0.7,且随机变量ξ服从二项分布ξ~B(3,0.7),
所以随机变量ξ的分布列为
E(ξ)=0×0.027+1×0.189+2×0.441+3×0.343=2.1.
规律方法此类问题要根据题意及给出的统计图表提炼解题需要的信息,再转化为常见的概率统计题,利用特殊分布、期望、方差等公式求解.
某地一生态农业公司建立了一个大型猕猴桃种植基地,该地区雨量充沛,阳光与温度条件也对果树的成长十分有利,但干旱或雨量过大也会造成损失.公司管理人员统计了往年猕猴桃生长期的30个周降雨量t(单位:mm)的数据(周降雨量为一周内降雨量的总和),如下:5,0,0,8,5,5,0,5,0,10,10,10,10,15,10,10,24,22,24,20,30,37,32,35,30,43,56,64,91,103.另外,猕猴桃果树发生灾害与周降雨量的关系如下表所示.
根据上述信息,解答如下问题.(1)根据所给的数据,写出周降雨量的中位数和众数.(2)以收集数据的频率作为概率.①估计该地区在今年发生重灾害、轻灾害以及无灾害的概率.②若无灾害影响,每亩果树获利6 000元;若受轻灾害影响,则每亩损失5 400元;若受重灾害影响,则每亩损失10 800元.为保护猕猴桃产业的发展,该地区农业部门有如下三种防控方案:
方案1:防控到轻灾害,每亩防控费用400元.方案2:防控到重灾害,每亩防控费用1 080元.方案3:不采取防控措施.如从获利角度考虑,哪种方案比较好?说明理由.
解 (1)根据所给数据,可得中位数为12.5,众数为10.(2)①根据所给数据,可得该地区周降雨量t(单位:mm)的概率:
②方案1:设每亩的获利为X1(元),则X1的可能取值为600,-10 800,则X1的分布列为
方案2:设每亩的获利为X2(元),则X2的可能取值为6 000元,于是P(X2=6 000)=1,E(X2)=6 000,净利润为6 000-1 080=4 920(元).方案3:设每亩的获利为X3(元),则X3的可能取值为6 000,-5 400,-10 800,则X3的分布列为
数形结合思想为降低工厂废气排放量,某厂生产甲、乙两种不同型号的减排器,现分别从甲、乙两种减排器中各抽取100件进行性能质量评估检测,综合得分情况的频率分布直方图如图所示.
(1)若从这100件甲型号减排器中按等级分层抽样的方法抽取10件,再从这10件产品中随机抽取4件,求至少有2件一级品的概率.(2)将频率分布直方图中的频率近似地看作概率,用样本估计总体,则:①若从乙型号减排器中随机抽取3件,求二级品数ξ的分布列及数学期望E(ξ);②从长期来看,投资哪种型号的减排器平均利润率较大?
解 (1)由已知及频率分布直方图中的信息知,甲型号减排器中的一级品的概率为0.08×5+0.04×5=0.6.用分层抽样的方法抽取10件,则抽取一级品为10×0.6=6(件),则至少有2件
1.离散型随机变量的方差公式
名师点析方差和标准差都是描述一组数据离散程度大小的量.
2.期望与方差的性质(1)离散型随机变量期望的性质①E(aX+b)=aE(X)+b;②若X~B(n,p),则E(X)=np;③若X服从两点分布,则E(X)=p.(2)离散型随机变量方差的性质①D(aX+b)=a2D(X);②若X~B(n,p),则D(X)=np(1-p);③若X服从两点分布,则D(X)=p(1-p).
3.正态分布正态分布完全由参数μ和σ确定,因此正态分布常记作N(μ,σ2).如果随机变量X服从正态分布,则记为X~N(μ,σ2).满足正态分布的三个基本概率值是:(1)P(μ-σ
(1)请你通过计算,说明该方案是否需要调整;(2)为提高学生考试达标率,该校决定加强训练.以女生为例,假设所有女生经训练后,投掷距离的增加值相同.问:女生投掷实心球的距离至少增加多少,可使达标率不低于99%.(结果精确到0.001)
(2)设女生投掷实心球的距离至少增加x米,此时ξ2'~N(6.2+x,0.16).当X~N(6.516,0.16)时,此时6.2+x=6.516,得x=0.316,且P(X≤6.832)≈0.785,所以P(X>6.832)=1-0.785=0.215.因为点(6.832,0)关于X=6.516的对称点恰好为(6.2,0),此时女生达标率为1-0.2153≈1-0.01=0.99,达标率刚好为99%,所以使达标率不低于99%,投掷实心球的距离至少增加0.316米.
规律方法利用3σ原则求概率问题时,要注意把给出的区间(或范围)与正态分布的μ,σ进行对比,确定它们属于[μ-σ,μ+σ],[μ-2σ,μ+2σ],[μ-3σ,μ+3σ]中的哪一个.
为了缓解日益拥堵的交通状况,不少城市实施车牌竞价策略,以控制车辆数量.某地车牌竞价的基本规则是:①“盲拍”,即所有参与竞拍的人都是网络报价,每个人不知晓其他人的报价,也不知道参与当期竞拍的总人数;②竞价时间截止后,系统根据当期车牌配额,按照竞拍人的出价从高到低分配名额.某人拟参加2023年12月份的车牌竞拍,他为了预测最低成交价,根据竞拍网站的公告,统计了最近5个月参与竞拍的人数(见下表).
(1)由收集数据的散点图发现,可用线性回归模型拟合竞拍人数y(单位:万人)与月份编号t之间的相关关系.请用最小二乘法求y关于t的经验回归方程 ,并预测2023年12月份参与竞拍的人数.(2)某市场调研机构对200位拟参加2023年12月份车牌竞拍人员的报价进行了一个抽样调查,得到如下的一份频数表.
①求这200位竞拍人员报价X的平均值 和样本方差s2(同一区间的报价可用该价格区间的中点值代替);②假设所有参与竞价人员的报价X可视为服从正态分布N(μ,σ2),且μ与σ2可分别由①中所求的样本平均数 及s2估值.若2023年12月份实际发放车牌数量为3 174,请你合理预测(需说明理由)竞拍的最低成交价.(结果精确到0.1)
函数与方程思想某届女排世界杯共有12支参赛队伍,本次比赛启用了新的排球用球,已知这种球的质量指标ξ(单位:g)服从正态分布N(270,52).比赛赛制采取单循环方式,即每支球队进行11场比赛(采取5局3胜制),最后积分最高的队伍取得最后冠军.积分规则如下:比赛中以3∶0或3∶1取胜的球队积3分,负队积0分;而在比赛中以3∶2取胜的球队积2分,负队积1分.已知第10轮A队对抗B队,设每局比赛A队取胜的概率为p(0
点评在求f(p)的最大值点p0时,因为其是关于变量p的函数,故利用导数研究函数单调性,从而得最大值点.体现了函数与方程思想的运用.
(1)以表中抽检的样本估计全市该商品的等级,现从全市上市的该商品中随机抽取10个,若取到k个A级品的可能性最大,求k的值;
(2)一连锁超市采购商每年采购A级该商品,前20年该商品在此超市的实际销量统计如下表.
今年A级该商品的采购价为0.8万元/吨,超市以1.6万元/吨的价格卖出,由于商品不易储存,卖不完当垃圾处理.超市计划今年购进17吨或18吨该商品,你认为应该购进17吨还是18吨?请说明理由.
(2)超市购进17吨该商品时,利润为ξ1,卖出的吨数为X1,X1的可能取值为15,16,17,ξ1的可能取值为10.4,12,13.6,
超市购进18吨该商品时,利润为ξ2,卖出的吨数为X2,X2的可能取值为15,16,17,18,ξ2的可能取值为9.6,11.2,12.8,14.4,
规律方法利用期望与方差进行决策的思想方法随机变量的期望的意义在于描述随机变量的平均程度,而方差则描述了随机变量稳定与波动或者集中与分散的状况.品种的优劣、设备的性能、采购的数量、预报的准确与否等很多指标都与这两个特征量有关.
(2023·山东泰安一模)某公司为活跃气氛提升士气,年终拟通过抓阄兑奖的方式对所有员工进行额外奖励.规定:将4个标有面值的阄放入1个袋中,每位员工在看不到阄的情况下一次性随机摸出2个阄,面值之和为该员工获得的奖励金额.(1)若袋中所装的4个阄中有1个所标的面值为800元,其余3个均为200元,求:①员工所获得的奖励为1 000元的概率;②员工所获得的奖励额的分布列及数学期望.
(2)公司对奖励额的预算是人均1 000元,并规定袋中的4个阄只能由标有面值200元和800元的两种阄或标有面值400元和600元的两种阄组成.为了使员工得到的奖励总额尽可能符合公司的预算且每位员工所获得的奖励额相对均衡,请对袋中的4个阄的面值给出一个合适的设计,并说明理由.
(2)根据公司预算,每个员工的平均奖励额为1 000元,所以先寻找期望为1 000元的可能方案.对于面值由800元和200元组成的情况,如果选择(200,200,200,800)的方案,因为1 000元是面值之和的最大值,所以期望不可能为1 000元,如果选择(800,800,800,200)的方案,因为1 000元是面值之和的最小值,所以期望不可能为1 000元,因此可能的方案是(800,800,200,200),记为方案1,对于面值600元和400元的情况,同理排除(600,600,600,400)和(400,400,400,600)的方案,所以可能的方案是(400,400,600,600),记为方案2.对于方案1,设员工所获得的奖励额为X1,X1可取400,1 000,1 600,
由于两种方案的奖励额都符合预算要求,但方案2的方差比方案1小,所以应选择方案2.
分类讨论思想某商店为了吸引顾客,设计了两种摸球活动奖励方案.先制作一个不透明的盒子,里面放有形状、大小完全相同的4个白球和2个红球.方案一:不放回地从盒子中逐个摸球,消费金额每满300元摸一次,最终根据顾客摸到的红球个数发放奖金,如表格所示.
方案二:可放回地从盒子中逐个摸球,消费金额每满200元摸一次,每摸到一个红球奖励15元.(1)若顾客甲消费的金额为600元,且选择了方案一,求甲获得奖金数为30元的概率;(2)若顾客乙消费的金额为800元,但他可以在摸出第一个球后,根据所摸出球的颜色,再决定执行方案一或方案二继续摸球.请从奖金数期望最大的角度为顾客乙制定第一次摸球后的方案选择,并说明理由.
因此选择方案二.综上,乙第一次摸出的球为红球时,选择方案一;乙第一次摸出的球为白球时,选择方案二.
点评第(2)问中,第一次摸出的可能是红球,也可能是白球,需要分类讨论;根据第一次摸出的球,还需要分别讨论方案一、方案二并计算各自的期望,选出最优方案.对分类讨论思想考查比较全面.
[例3] 某工厂为了检测一批新生产的零件是否合格,随机抽测100个零件的长度d(单位:mm).该样本数据分组如下:[57,58),[58,59),[59,60),[60,61),[61,62),[62,63].得到频率分布直方图如图所示.经检测,样本中d大于61的零件有13个,长度分别为61.1,61.1,61.2,61.2,61.3,61.5,61.6,61.6,61.8,61.9,62.1,62.2,62.6.
(2)由(1)可知从该工厂生产的新零件中随机选取1件,长度d在(59,61]的概率P=2×0.35=0.7,且随机变量ξ服从二项分布ξ~B(3,0.7),
所以随机变量ξ的分布列为
E(ξ)=0×0.027+1×0.189+2×0.441+3×0.343=2.1.
规律方法此类问题要根据题意及给出的统计图表提炼解题需要的信息,再转化为常见的概率统计题,利用特殊分布、期望、方差等公式求解.
某地一生态农业公司建立了一个大型猕猴桃种植基地,该地区雨量充沛,阳光与温度条件也对果树的成长十分有利,但干旱或雨量过大也会造成损失.公司管理人员统计了往年猕猴桃生长期的30个周降雨量t(单位:mm)的数据(周降雨量为一周内降雨量的总和),如下:5,0,0,8,5,5,0,5,0,10,10,10,10,15,10,10,24,22,24,20,30,37,32,35,30,43,56,64,91,103.另外,猕猴桃果树发生灾害与周降雨量的关系如下表所示.
根据上述信息,解答如下问题.(1)根据所给的数据,写出周降雨量的中位数和众数.(2)以收集数据的频率作为概率.①估计该地区在今年发生重灾害、轻灾害以及无灾害的概率.②若无灾害影响,每亩果树获利6 000元;若受轻灾害影响,则每亩损失5 400元;若受重灾害影响,则每亩损失10 800元.为保护猕猴桃产业的发展,该地区农业部门有如下三种防控方案:
方案1:防控到轻灾害,每亩防控费用400元.方案2:防控到重灾害,每亩防控费用1 080元.方案3:不采取防控措施.如从获利角度考虑,哪种方案比较好?说明理由.
解 (1)根据所给数据,可得中位数为12.5,众数为10.(2)①根据所给数据,可得该地区周降雨量t(单位:mm)的概率:
②方案1:设每亩的获利为X1(元),则X1的可能取值为600,-10 800,则X1的分布列为
方案2:设每亩的获利为X2(元),则X2的可能取值为6 000元,于是P(X2=6 000)=1,E(X2)=6 000,净利润为6 000-1 080=4 920(元).方案3:设每亩的获利为X3(元),则X3的可能取值为6 000,-5 400,-10 800,则X3的分布列为
数形结合思想为降低工厂废气排放量,某厂生产甲、乙两种不同型号的减排器,现分别从甲、乙两种减排器中各抽取100件进行性能质量评估检测,综合得分情况的频率分布直方图如图所示.
(1)若从这100件甲型号减排器中按等级分层抽样的方法抽取10件,再从这10件产品中随机抽取4件,求至少有2件一级品的概率.(2)将频率分布直方图中的频率近似地看作概率,用样本估计总体,则:①若从乙型号减排器中随机抽取3件,求二级品数ξ的分布列及数学期望E(ξ);②从长期来看,投资哪种型号的减排器平均利润率较大?
解 (1)由已知及频率分布直方图中的信息知,甲型号减排器中的一级品的概率为0.08×5+0.04×5=0.6.用分层抽样的方法抽取10件,则抽取一级品为10×0.6=6(件),则至少有2件
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