广东省汕头市多校2024届高三上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份广东省汕头市多校2024届高三上学期期中考试数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知全集,能表示集合与关系的Venn图是( )
A.B.
C.D.
2．已知复数与复数都是纯虚数,则( )
A.B.C.D.
3．设,,,则有( )
A.B.C.D.
4．为了进一步学习贯彻党的二十大精神,推进科普宣传教育,激发学生的学习热情,营造良好的学习氛围,不断提高学生对科学,法律,健康等知识的了解,某学校组织全校班级开展“红色百年路•科普万里行”知识竞赛.现抽取10个班级的平均成绩:70,71,73,76,78,7881,85,89,90,据此估计该校各个班级平均成绩的第40百分位数为( )
A.77B.78C.76D.80
5．已知,点D在线段BC上(不包括端点),向量,的最小值为( )
A.B.C.D.
6．图1是一个水平放置且高为6的直三棱柱容器,现往内灌进一些水,设水深为.将容器底面的一边AB固定于地面上,再将容器倾斜,当倾斜到某一位置时,水面形状恰好为,如图2,则( )
A.3B.4C.D.6
7．已知函数的图象的一部分如图1,则图2中的函数图象所对应的函数解析式是( )
A.B.C.D.
8．设,若函数在递增,则的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．设A,B为两个互斥的事件,且,,则( )
A.B.
C.D.
10．已知圆,点P是直线上一动点,过点P作直线PA,PB分别与圆C相切于点A,B,则( )
A.圆C上恰有一个点到l的距离为B.直线AB恒过定点
C.的最小值是D.四边形ACBP面积的最小值为2
11．如图,在长方体中,,M,N分别为棱,的中点,则下列结论正确的是( )
A.平面
B.⊥平面CMN
C.异面直线CN和AB所成角的余弦值为
D.若P为线段上的动点,则点P到平面CMN的距离不是定值
12．对于函数,则下列结论正确的是( )
A.是的一个周期B.在上有3个零点
C.的最大值为D.在上是增函数
三、填空题
13．以下4幅散点图所对应样本相关系数,,,的大小关系为__________.
14．高中数学教材含必修类课本2册,选择性必修类课本3册,现从中选择3册,要求两类课本中各至少选一册,则不同的选法共有__________种.(用数字作答)
15．如图,在三棱锥中,,,,若,则直线SA与BC所成角的大小是__________.
16．三等分角是“古希腊三大几何问题”之一,目前尺规作图仍不能解决这个问题.古希腊数学家Pappus(约300~350前后)借助圆弧和双曲线给出了一种三等分角的方法:如图,以角的顶点C为圆心作圆交角的两边于A,B两点;取线段AB的三等分点O,D;以B为焦点,A,D为顶点作双曲线H.双曲线H与弧AB的交点记为E,连接CE,则.
①双曲线H的离心率为________;
②若,,CE交AB于点P,则________.
四、解答题
17．记为数列的前n项和,已知是公差为的等差数列.
（1）求的通项公式;
（2）设,证明:
18．如图,长方体中,,,若在CD上存在点E,使得平面.
（1）求DE的长;
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
19．某种疾病的历史资料显示,这种疾病的自然痊愈率为20%.为试验一种新药,在有关部门批准后,某医院把此药给10个病人服用,试验方案为:若这10个病人中至少有5人痊愈,则认为这种药有效,提高了治愈率;否则认为这种药无效.假设每个病人是否痊愈是相互独立的.
（1）如果新药有效,把治愈率提高到了80%,求经试验认定该药无效的概率p;(精确到0.001,参考数据:)
（2）根据（1）中p值的大小解释试验方案是否合理.
20．在凸四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点,且,,,.
（1）若,求余弦值;
（2）若,求边BC的长.
21．设椭圆的离心率为,上,下顶点分别为A,B,.过点,且斜率为k的直线l与x轴相交于点G,与椭圆相交于C,D两点.
（1）若,求k的值;
（2）是否存在实数k,使得直线AC平行于直线BD?证明你的结论.
22．已知函数,.
（1）若的图像在点处的切线过,求函数的单调区间;
（2）当时,曲线与曲线存在唯一的公切线,求实数a的值.
参考答案
1．答案：D
解析：因为,
又,
所以,
所以,,,
根据选项的Venn图可知选项D符合.
故选:D.
2．答案：D
解析：设,
则,,
由题意可得,解得,
所以.
故选:D.
3．答案：C
解析：,,,
因为在时单调递增,所以,即.
故选:C.
4．答案：A
解析：因共10个数据,则,故该组数据的第40百分位数为从小到大排列第4个数据与第5个数据的平均数,即.
故选:A
5．答案：C
解析：,点D在线段BC上(不包括端点),
故存在,使得,即,即,
因为向量,所以,,
可得,
,,由基本不等式得
,
当且仅当,即,时等号成立.
故选:C.
6．答案：B
解析：在图1中的几何体中,水的体积为,
在图2的几何体中,水的体积为,
因为,可得,解得.
故选:B.
7．答案：D
解析：由题意可知,图2中的图象是将图1中的图象纵坐标不变,横坐标先缩短,再向右平移个单位得到的.
所以对应的解析式为.
故选:D.
8．答案：B
解析：因为函数在递增,
所以在上恒成立,
则,即在上恒成立,
由函数单调递增得,
又,所以,所以,
所以即,解得,
所以a的取值范围是.
故选:B
9．答案：ACD
解析：因为A,B为两个互斥的事件,且,,
所以,即,故A正确,B错误;
因为A,B为两个互斥的事件,
所以
,
故C正确;
因为A,B为两个互斥的事件,所以,故D正确,
故选:ACD.
10．答案：BC
解析：圆心,半径,
对A,圆心到直线的距离为,
所以圆上的点到直线l距离得最小值为,
圆上的点到直线l距离得最大值为,
所以圆C上恰有两个点到l的距离为,A错误;
对B,设,由题意可知,A,B都在以PC为直径的圆上,
又,所以PC为直径的圆的方程为,
整理得,,
联立可得,
,即为直线AB的方程,
即
令,解得,所以直线AB恒过定点,B正确;
对C,因为直线AB恒过定点,
当定点与圆心的连线垂直于AB时,
圆心到直线AB的距离最大,则最小,
定点与圆心之间的距离为,
所以,C正确;
对D,四边形ACBP的面积为,
根据切线长公式可得,,
当最小时,最小,,
所以最小值为1,即四边形ACBP面积的最小值为1,D错误;
故选:BC.
11．答案：AD
解析：建立如图所示空间直角坐标系,则
,,,,,,,
,,
对于A,因为,,
所以,又平面,平面,
所以平面,故A正确;
对于B:,,,
设平面CMN的法向量为,则,即
令,则,.所以平面CMN的一个法向量为,因为与不平行,所以⊥平面CMN不成立,故B错误;
对于C:,,
设异面直线CN和AB所成的角为,则,故C错误;
对于D,设,
所以,
又平面CMN的一个法向量为所以点P到平面CMN的距离不是定值.故D正确.
故选:AD
12．答案：ABC
解析：对于A,因为,
所以是的一个周期,A正确;
对于B,当,时,,
即,即或,解得或或,
所以在上有个零点,故B正确;
对于C,由A可知,只需考虑求在上的最大值即可.
,
则,
令,求得或,
所以当或时,,此时,
则在,上单调递增,
当时,,此时,但不恒为0,
则在上单调递减,
则当时,函数取得最大值,
为,C正确;
对于D,由C可知,在上不是增函数,D错误.
故选:ABC
13．答案：
解析：根据散点图可知,图①③成正相关,图②④成负相关,所以,,,,
又图①②的散点图近似在一条直线上,所以图①②两变量的线性相关程度比较高,图③④的散点图比较分散,
故图③④两变量的线性相关程度比较低,即与比较大,与比较小,
所以.
故答案为:
14．答案：9
解析：第一类,只选取一册必修类课本的选法有种;
第二类,两册必修类课本都选的选法有种.
综上,满足条件的选法共有种.
故答案为:9
15．答案：
解析：根据题意可得,又,
所以可得
,
即可知,
设直线SA与BC所成的角为,
则,又,
所以.
故答案为:
16．答案：2,
解析：①由题可得,,所以,
所以双曲线H的离心率为;
②,因为,且,
所以,
又因为,所以,,
所以,
所以,
因为,解得,
所以,
故答案为:2;.
17．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）由是公差为的等差数列,
可得,即,
当时,,
两式相减可得,即,
当时,,适合上式,
所以数列的通项公式.
（2）由（1）知,
当时,,则,
所以,
因为,所以,
所以.
18．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）以D为原点,以DA,DC,为轴建立空间直角坐标系,如图所示:
设,则,,,,,
,,,
平面,
,即,解得,
.
（2）由（1）可知为平面的法向量,
,,
设平面的法向量为,则,即,
令可得,
,
平面与平面夹角的余弦值为.
19．答案：（1）
（2）试验方案合理
解析：（1）设通过试验痊愈的人数为变量X,则,
所以经试验认定该药无效的概率为:
.
（2）由题意,新药是有效的,由（1）得经试验认定该药无效的概率为,概率很小是小概率事件,故试验方案合理.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,所以,,设,
在中,由余弦定理得,
在中,由余弦定理得,
所以,解得,所以,
在中,由余弦定理得;
（2）在中,由正弦定理得,
所以,又为三角形的内角,所以,
所以,,且,
所以,又,
在中,
由余弦定理得,所以.
21．答案：（1）
（2）不存在实数k,使得直线AC平行于直线BD,证明见解析.
解析：（1）根据题意,,解得,
所以椭圆的方程为,
当时,直线l方程为,与x轴无交点,不符合题意;
当时,设直线l方程为,则,
设,,
由得,
,
所以,,
所以CD的中点横坐标为,EG的中点横坐标为,
又因,且四点共线,
取EG中点H,则,
所以,即,
所以H是CD的中点,即EG与CD的中点重合,
即,解得.
（2）不存在实数k,使直线AC平行于直线BD,证明如下:
由题意,,
则,,
若,则,
所以,化简得,
即,化简得,
由（2）得,
所以,故,整理得,无解,
所以不存在实数k,使直线AC平行于直线BD.
22．答案：（1）单调递增区间为,单调递减区间为
（2）
解析：（1）由得,又,
所以在处切线方程为,代入得
所以,
,
由得,由得,
所以单调递增区间为,单调递减区间为.
（2）设公切线与两曲线的切点为,,易知,
由,
,
所以,
由,故,所以,故,
所以,,
构造函数,问题等价于直线与曲线在时有且只有一个交点,
,当时,单调递增;当时,单调递减;
的最大值为,,当时,,.