精品解析：辽宁省五校联考2023-2024学年高二上学期1月期末数学试题

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命题学校：鞍山市第一中学
命题人：孙宁 校对人：王华
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. ，，，为坐标原点，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设点C坐标，由向量数乘运算的坐标表示，得点C的坐标.
【详解】设点C坐标为，因为，，
所以，，又因为，
所以，，，所以C坐标为.
故选：A.
2. 直线,若直线的一个法向量为,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】若直线的一个法向量为则直线的斜率再结合直线方程得斜率相等运算即可.
【详解】直线的一个法向量为,直线的斜率
直线,解得
故选:B.
3. 已知书架上有4本不同的数学书，3本不同的化学书，从中任取3本书.若数学书，化学书每种都取出至少一本，则不同的取法种数为（ ）
A. 60B. 180C. 30D. 90
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，分为1本数学书，2本化学书和2本数学书，1本化学书，两类情况，结合排列组合，即可求解.
【详解】由书架上有4本不同的数学书，3本不同的化学书，
从中任取3本书，若数学书，化学书每种都取出至少一本，
可分为两类：若1本数学书，2本化学书，有种；
若2本数学书，1本化学书，有种，
所以不同的取法种数共有种.
故选：C.
4. 为双曲线上一点，，则的最小值为（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设点是双曲线上任意一点，得到，求得，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】设点是双曲线上任意一点，则，即，
则，
因为或，所以，当时，可得，
所以的最小值为.
故选：D.
5. 是平面内的一条直线，是平面的一条斜线，且在平面内的射影为.若与的夹角为，与的夹角为，则与平面所成角的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】不妨设直线相交于点，在直线上取异于的点，过作⊥于点，过做⊥于点，连接，明确已知角与所求角余弦值的关系，即可得到结果.
【详解】不妨设直线相交于点，
在直线上取异于的点，过作⊥于点，
过做⊥于点，连接，
由题意知：，，，
且是直线与平面所成角，
∵，，
∴，又，，
∴平面，平面，∴，
∴在Rt中，，
在Rt中，，
∴，
由题意可知，
∴在Rt中，，即，
又，∴.
∴与平面所成角的大小为.
故选：C.
6. ，则（ ）
A. 31B. 1023C. 1024D. 32
【答案】B
【解析】
【分析】根据二项展开式的通项，可得的，结合赋值法，即可求解.
【详解】由二项式的展开式的通项为，
所以，当时，可得为正数，当时，可得为负数，
令，可得，
令，可得，
所以
.
故选：B.
7. 已知双曲线（，），点是直线上任意一点，若圆与双曲线的右支没有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由直线与渐近线的距离得到圆心到直线的距离为，再根据圆与双曲线C的右支没有公共点，由求解.
【详解】双曲线的一条渐近线方程为，
因为点是直线上任意一点，
又直线与直线的距离为：
，
即圆心到直线的距离为：,
因为圆与双曲线C的右支没有公共点，
所以，即，又,
所以双曲线的离心率的取值范围为.
故选：B.
8. 正四面体棱长为6，，且，以为球心且半径为1的球面上有两点，，，则的最小值为（ ）
A. 24B. 25C. 48D. 50
【答案】D
【解析】
【分析】先由,再由，推出，，,再由向量的数量积的计算公式得到，结合基本不等式，即可求解结果.
【详解】因为正四面体的棱长为，
所以，
同理可得,,
又因为以A为球心且半径为1的球面上有两点M，N，,
所以，
由，则
因为，所以
当且仅当取等号，
此时，
所以
故的最小值为.
故选：D
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知直线，下列说法正确的是（ ）
A. 恒过定点
B. 当时，在轴上的截距为2
C. 当时，的倾斜角为
D. 圆与相切时，
【答案】AC
【解析】
【分析】A选项，直线变形后得到，得到方程组，求出定点坐标；B选项，令时，，得到B错误；C选项，直线的斜率为，进而得到直线的倾斜角；D选项，由点到直线距离公式得到方程，求出.
【详解】A选项，变形为，
令，解得，故恒过定点，A正确；
B选项，当时，，令时，，
当时，在轴上的截距为，B错误；
C选项，当时，，
直线的斜率为，故倾斜角为，C正确；
D选项，由题意得，解得，
圆与相切时，，D错误.
故选：AC
10. 现分配甲、乙、丙三名临床医学检验专家到四家医院进行核酸检测指导，每名专家只能选择一家医院，且允许多人选择同一家医院，则（ ）
A. 所有可能的安排方法有64种
B. 若三名专家选择两所医院，每所医院至少去一人，则不同的安排方法有6种
C. 若三名专家选择三所医院，每所医院去一人，则不同的安排方法有24种
D. 若三名专家选择三所医院，每所医院去一人，但是甲不去A医院，则不同的安排方法有18种
【答案】ACD
【解析】
【分析】A选项，根据分步计数原理计算出答案；B选项，先从4所医院选择2所，再安排三名专家，利用分步计数原理计算出答案；C选项，先从4所医院选择3所，再进行全排列得到C正确；D选项，再C选项的基础上，计算出每所医院去一人，甲去A医院的安排方法，从而计算出答案.
【详解】A选项，甲、乙、丙三人均有4种选择，故所有可能的安排方法有种，A正确；
B选项，先从4所医院选择2所，有种选择，
再将三名专家分到两所医院，有种选择，
则不同的安排方法有种，B错误；
C选项，先从4所医院选择3所，有种选择，
再将三名专家和三所医院进行全排列，有种选择，
则不同的安排方法有种，C正确；
D选项，由C选项可知，三名专家选择三所医院，每所医院去一人，共24种选择，
若甲去A医院，从所医院中选两所，和剩余两名专家进行全排列，共有种选择，
故不同的安排方法有种，D正确.
故选：ACD
11. 已知正方体的棱长为1，则（ ）
A. 与平面所成角的正弦值为
B. 平面内一点，则
C. 异面直线与的距离为
D. 为正方体内任意一点，，，，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，结合空间向量的夹角公式和空间距离公式，逐项判定，即可求解.
【详解】以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，可得，
对于A中，由，设平面的法向量为，
则，取，可得，所以，
又由，设与平面所成角，则，
即与平面所成角的正弦值为，所以A错误；
对于B中，在正方体中，可得平面，
因为平面，所以，即在直线上的射影为，
所以，所以B正确；
对于C中，由，设平面的法向量为，
则，取，可得，所以，
因为，且平面，平面，所以平面，
所以异面直线与的距离，即为直线到平面的距离，
又由，可得，所以C正确；
对于D中，设点，其中，可得，
且，
则，，，则，所以D正确.
故选：BCD.
【点睛】
12. 已知椭圆上有不同两点，，，则（ ）
A. 若过原点，则
B. ，的最小值为
C. 若，则的最大值为9
D. ，，异于点，若线段的垂直平分线与轴相交于点，则直线的斜率为
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用椭圆的对称性判断A，利用椭圆的定义判断B，利用特殊位置法排除C，利用点在椭圆上与两点距离公式推得，再利用点差法求得的垂直平分线方程，进而求得点与直线的斜率，从而判断D.
【详解】因为椭圆，所以，则是其右焦点，
对于A，设椭圆的左焦点为，
因为过原点，所以由椭圆对称性易知四边形是平行四边形，
则，故A正确；
对于B，因为，则，
又，
所以，
当在线段与椭圆的交点位置时，等号成立，故B正确；
对于C，当轴，点为椭圆的右顶点时，满足，此时，
但，故C错误；
对于D，因为在椭圆上，所以，，
所以，
同理：，而由，可知，
所以由，得，则，
故可设的中点坐标为，
又在椭圆上，所以，，
两式相减，得，
所以.
所以直线的斜率为，则直线的方程为，
令，得，即，
所以直线的斜率，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点睛：本题选项D解决的关键是求得，进而得到，再利用点差法得到的垂直平分线方程，从而得解.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. ，，，，则点A到平面的距离为________.
【答案】
【解析】
【分析】求出平面BCD的法向量，由空间向量知识可得答案.
【详解】由题，，
设平面BCD的法向量为，则，
取，则，又，则点A到平面的距离为.
故答案为：
14. 已知点和抛物线，则过点A且与抛物线相切的直线的方程为_____________.
【答案】或
【解析】
【分析】分直线斜率不存在和斜率存在两种情况，结合根的判别式得到方程，求出答案.
【详解】当过的直线斜率不存在时，方程为，与相切，满足要求，
当过的直线斜率存在时，设切线方程为，联立得，
，
令，解得，
故，即.
故答案为：或
15. 已知椭圆的左、右焦点分别为,，直线与交于两点,.若△的面积是△面积的3倍,则___________.
【答案】##0.5
【解析】
【分析】根据三角形的面积比得再结合的坐标,得然后代入直线方程运算即可.
【详解】设直线与轴交于点,
则△的面积,△的面积
又
由椭圆,得,,
直线上,
故答案为:.
16. 已知是平行六面体，，，，，为直线上一点，若，则_________.
【答案】
【解析】
【分析】设，即，然后利用已知长度和夹角的一组基向量表示，然后求数量积，解出，然后得到的长.
【详解】设，即，
则，
因为且，
所以，
即，
即，
所以，所以.
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知在（）的展开式中，第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比值为2.
（1）求的值；
（2）求展开式中含的项.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由二项式定理的展开式通项和二项式系数得出.
（2）写出通项，令的指数为4，求出结果即可.
【小问1详解】
由题知：，解得.
【小问2详解】
，，，
令，得，所以展开式中含有的项为：
18. 如图，在正四棱柱中，，点在上，且，为中点.
（1）求直线和直线所成角的余弦值；
（2）求到直线的距离.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分别以向量，，的方向为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系，设直线和直线所成角为，由即可求得.
（2）求出的单位方向向量，再由到直线的距离公式即可求出结果.
【小问1详解】
（1）正四棱柱中，，，，以为坐标原点，分别以向量，，的方向为轴、轴、轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，
∵，，，∴，，，，
，
∴直线和直线所成角的余弦值为.
【小问2详解】
，，
所以的单位方向向量
∴到直线的距离为
19. 圆与轴的交点分别为，且与和都相切.
（1）求圆的方程；
（2）圆上是否存在点满足？若存在，求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）不存在，理由见解析
【解析】
【分析】（1）求得中垂线为，设，根据题意，列出方程，求得，进而求得圆的标准方程；
（2）假设存在满足题意，设，根据题意，列出方程组，结合，即可得到答案.
【小问1详解】
解：由，，可得中垂线为，
可得设，因为圆都与和都相切，
可得，所以或，解得，
所以圆心坐标，可得，即圆的半径，
所以圆的方程为.
【小问2详解】
解：假设存在满足题意，
设，，，
可得，
因为，
联立方程组，解得，
又因为是圆上一点，可得，
所以此方程组无解，所以点不存在.
20. 已知平面直角坐标系中，动点到的距离比到轴的距离大1.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过且斜率为的直线与轨迹交于，两点，，.
①求的值；
②若，，且满足直线和直线的斜率之和恒为0，求的值.
【答案】（1）和.
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）设，根据距离公式得到，分和讨论即可；
（2）①设直线的方程，联立抛物线方程得到韦达定理式，计算向量数量积，代入韦达定理式化简即可；
②计算的表达式，再将韦达定理式代入即可.
【小问1详解】
设，则，
当时，，∴；
当时，，∴，∴；
可以检验，上述方程就是点的轨迹方程.
∴的方程为和.
【小问2详解】
①直线的方程为：，
设，，易知直线与无交点，
联立得，，恒成立，
∴，，∴，
∴，
②，即，
∴
∴，∴，∴.
【点睛】
关键点睛：本题第二问的关键是采用设线法，再将其联立抛物线方程得到韦达定理式，再计算的值即可.
21. 如图，在四棱锥中，平面，，为中点，且，，，，.
（1）求二面角的余弦值；
（2）若在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设为中点，证得平面，得到，，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解；
（2）设，得到，得到，在求得平面的法向量，结合向量的距离的公式，即可求解.
【小问1详解】
解：设为中点，连接，因为，所以，
又因为，所以四边形为平行四边形，
因为，所以四边形为矩形，所以，
又因为平面，且平面，所以，，
以为坐标原点，分别以所在的直线为轴轴轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，
可得，，，，
则，，，，
设平面的一个法向量为，则，
取，可得，所以，
设平面的一个法向量为，则，
取，可得，所以，
设二面角为，且由图知为锐角，
所以.
【小问2详解】
解：设，且，
由，，可得，
所以，
所以，
化简得，解得或，
因为，可得，所以，，
则，，
设平面的一个法向量为，则，
取，可得，所以，
所以，所以点到平面的距离为.
【点睛】
22. 已知双曲线的对称轴为坐标轴，以坐标原点为对称中心，且过点，.
（1）求双曲线的方程；
（2），，为双曲线上不同三点，，求的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）待定系数法进行求解双曲线的方程；
（2）直线斜率为0时不合要求，设，，，直线的方程为，联立双曲线方程，得到两根之和，两根之积，表达出，代入双曲线方程，得到，表达出点到直线的距离和，求出的面积.
【小问1详解】
设双曲线的方程为，
则，解得，
所以双曲线的方程为：.
【小问2详解】
设，，，
因为，所以，
解得，则，
若直线斜率为0，由双曲线的对称性可知，此时在轴上，
所以，不可能在双曲线上，舍去，
设直线的方程为：，联立得，，
且，∴，
∴，，
∴，
∴，
代入双曲线方程得：，
化简得，又，故，
点到直线的距离为，
，
设的面积为，
则.、
【点睛】圆锥曲线求三角形或四边形的面积，通常设出直线方程，与圆锥曲线结合，得到两根之和，两根之积，再结合弦长公式和点到直线距离公式，表达出三角形或四边形的面积，若求解面积的最值或取值范围，则需要利用基本不等式或函数单调性进行求解.