2024届安徽省卓越县中联盟高三上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2024届安徽省卓越县中联盟高三上学期期中考试数学试题含答案，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若集合有7个真子集，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据集合有7个真子集，由集合中包含3个元素求解.
【详解】解：因为集合有7个真子集，
所以集合中包含3个元素，
所以，
解得.
故选：A
2．已知复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据复数的运算法则，准确计算，即可求解.
【详解】根据复数的运算法则，复数，
所以.
故选：D.
3．函数在上的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，由函数的解析式先判断在上的奇偶性，再利用特殊点求出的值，用排除法可得答案.
【详解】因为，所以函数在区间上为奇函数，排除A，C；
当时，，排除D，故B项正确.
故选：B.
4．已知向量，，且，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据向量共线的坐标表示，得到，化简求得，即可求解.
【详解】由，可得，所以，
因为，所以，所以，解得，
所以.
故选：B.
5．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A．B．C．0D．
【答案】C
【分析】根据终边上的点可求得：，，再结合三角函数诱导公式从而求解.
【详解】因为：（为坐标原点），
所以:由三角函数的定义，得，，
所以：.故C项正确.
故选：C.
6．已知函数（）的部分图象如图所示，若函数的图象关于原点对称，则的最小值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求得，然后根据的奇偶性列方程，求得，进而求得的最小值.
【详解】由图可知，则，而，所以，
，.
由图可知，解得，
故，则.
因为的图象关于原点对称，所以为奇函数，
则，，即，，
故的最小值为.
故选：D
7．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】构造函数，利用其单调性比较a，b，再利用作差法比较b，c.
【详解】设，，则，
可知在上单调递增，，即，，所以.
因为，所以.综上，.
故选：C
8．已知在中，，分别为边，上的点，，，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，，设，，得到，且，结合，得到，化简得到，结合基本不等式，即可求解.
【详解】设，，则，，
设，，其中，，
则，，
因为，
所以，
即，
因为，，所以，即，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，
所以.
故选：A.
二、多选题
9．如图为2017年至2023年每年1—7月中国中央处理部件进出口数量统计图，则下列说法正确的是（ ）
A．2017年至2023年每年1—7月中央处理部件进口数量的中位数为583
B．2017年至2023年每年1—7月中央处理部件出口数量的40%分位数为2050
C．2017年至2023年每年1—7月中央处理部件出口数量的平均数超过2152
D．2017年至2023年每年1—7月中央处理部件进口数量的极差小于出口数量的极差
【答案】AC
【分析】计算中位数得到A正确，计算40%分位数为2083，B错误，计算平均值得到C正确，计算极差得到D错误，得到答案.
【详解】对选项A：中央处理部件进口数量从小到大排列为：
343，393，432，583，725，738，869，其中位数为583，正确；
对选项B：，所以中央处理部件出口数量的40%分位数为2083，错误；
对选项C：中央处理部件出口数量的平均数为
，正确；
对选项D：中央处理部件进口数量的极差为，
出口数量的极差为，
中央处理部件进口数量的极差大于出口数量的极差，错误；
故选：AC
10．在平面直角坐标系中，已知，分别为曲线（且）的左、右焦点，则下列说法正确的是（ ）
A．若为双曲线，且它的一条渐近线方程为，则的焦距为
B．若，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则的面积为
C．若为椭圆，且与双曲线有相同的焦点，则的值为
D．若，为曲线上一点，则的取值范围是
【答案】BC
【分析】根据双曲线渐近线方程即可判断选项AB，利用椭圆和双曲线方程中的关系即可判断选项C，根据椭圆定义，化简求解即可判断选项D.
【详解】设曲线的半焦距为.
对于A，若为双曲线，则，
所以，解得，则，
双曲线的焦距为，所以A错误；
对于B，的一条渐近线方程为，，
所以点到渐近线的距离，
又，则，
所以，所以B正确；
对于C，因为椭圆与双曲线有相同的焦点，
所以，解得，故C正确；
对于D，设，，则，
，
又，
所以当时，，
当或时，，
所以的取值范围是，故D错误.
故选：BC
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，在上单调递增
B．当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增
C．当时，函数与的图象有两个不同的公共点
D．当时，若不等式在时恒成立，则的取值范围是
【答案】ABD
【分析】对A，B选项，利用导数可判断单调性；对C，令，易判断仅在时取等号，可判断；对D，原不等式恒成立等价于在时恒成立，只需即可，构造函数求出最大值可判断.
【详解】对于A，由题意得，当时，，则在上单调递增，故A正确；
对于B，当时，令，得，则当时，，在区间上单调递减，
当时，，在区间上单调递增，故B正确；
对于C，当时，，令，
利用导数易证不等式恒成立，且仅在处取等号，可得，即，且仅在时取等号，故C错误；
对于D，当时，不等式在时恒成立等价于在时恒成立，
即在时恒成立，
令，，则，
当时，，在区间上单调递增，当时，，在区间上单调递减，故，
故，即实数的取值范围是，故D正确.
故选：ABD.
12．已知函数，当时，，，则下列说法正确的是（ ）
A．可能取B．
C．若，则D．
【答案】BCD
【分析】根据两角和的正弦公式化简求出的解析式及的取值范围，再根据题中条件逐一判断即可.
【详解】对于A：由题意，得，因为当时，，所以，即，又，所以，，从而可得，故A错误；
对于B：由题意，得，，又由A的分析可知，所以，，所以，故B正确；
对于C：当时，整理得所以，又，对上式整理得，所以，故C正确；
对于D：因为，且，所以随着的增大而增大，所以随着的增大而增大，又，所以，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题
13．已知为的边上的高，，，，则 .
【答案】
【分析】先求得，然后根据列方程，化简求得的值.
【详解】因为，所以由得，解得.
故答案为：
14．若，，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】由题知可将式子构造为：，然后利用基本不等式从而求解.
【详解】因为，所以，
于是，
当且仅当，即时取等号，所以.
故答案为：.
15．已知的内角，，所对的边分别为，，，若，，且，则 .
【答案】
【分析】利用正弦定理、诱导公式、和角公式、差角公式、二倍角公式分析运算即可得解.
【详解】解：由题意，，
则由正弦定理可得，
∵，∴，∴，
又∵，则，
∴，
∴.又由，
可得：，则，
∴，即，则，
∴，即，由解得：，
∴由解得：，.
∴由正弦定理可得：，解得：，，
∴.
故答案为：
16．已知函数，若存在，使得，则实数的最小值为 .
【答案】
【分析】对函数同构，利用中等号成立条件，将问题转化为有实根，构造函数，求出函数的单调性和极值即可求解的最小值.
【详解】令，则，由得，
由得，所以函数在上单调递增，
由得，所以函数在上单调递减，所以，
所以，当且仅当时，等号成立，
可知，
当且仅当时等号成立，原条件等价于方程有实根，
令，则，由得，
由得，所以函数在上单调递增，
由得，所以函数在上单调递减，
所以，所以的最小值为.
故答案为：
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：
一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；
二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理.
四、解答题
17．已知函数.
(1)若的图象上一个最高点到相邻最低点的距离为，求的单调递增区间；
(2)若，且在区间上单调，求的值.
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）先根据图象上一个最高点到相邻最低点的距离为求出周期，进而求出，最后根据函数解析式求出单调递增区间即可；
（2）由得到对称中心，再得到的表达式，根据在区间上单调求出的取值范围，最终得到的值，最后代入求值即可.
【详解】（1）设的最小正周期为，由已知得，
解得，所以，所以，
由，解得，
故的单调递增区间是.
（2）由，知函数的图象关于点对称，
所以，得.
当时，，
又在区间上单调，所以，解得，
当时，，满足条件，所以，
则
18．已知的内角，，所对的边分别为，，，且.

(1)求角；
(2)如图，，分别为边，上的点，且，，求四边形的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合余弦定理化简可得，进而得到，进而求解即可；
（2）设，由余弦定理列出方程可得，进而求得，进而结合面积公式求解即可.
【详解】（1）因为，
由余弦定理得，
整理得，，
再由余弦定理可得，即.
因为，所以.
（2）设，由余弦定理得，
即，整理得，
因为，所以，
故四边形的面积为
.
19．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若没有零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求得，得到和，结合导数的几何意义，即可求解；
（2）根据题意，转化为方程无实根，即直线与曲线没有公共点，令，利用导数求得函数的单调性与极值，进而求得实数的取值范围.
【详解】（1）解：当时，可得，则，
所以，即切线的斜率为，
又由，
所以，曲线在点处的切线方程为，即.
（2）解：因为没有零点，所以方程无实根，
当时，方程不成立，所以，故方程无实根，
即直线与曲线没有公共点，
令，则.
令，得或；令，得或，
所以在区间，上单调递减，在区间，上单调递增，
所以当时，取得极小值；
当时，取得极大值，
因为，且当从左侧趋向于时，趋向于，
当从右侧趋向于时，趋向于，
所以实数的取值范围是.
20．已知数列的前项和为，，且.
(1)求的通项公式；
(2)设，为数列的前项和，求证：当时，.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据与的关系结合累乘法即可得解；
（2）分，，和四种情况讨论，进而可得出结论.
【详解】（1）∵，∴，
∴，
∴，即，
∴，∴，
当时，上式也成立，
∴；
（2）由条件知，
则当或时，，
当或时，，
注意到当时，，
∴当时，，；
当时，，
显然成立；
当时，，
从而当时，；
当（且）时，，.
综上可知，当时，.
21．如图1，是边长为6的等边三角形，点，分别在线段，上，，，沿将折起到的位置，使得，如图2.
图1 图2
(1)求证：平面平面；
(2)若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求.
【答案】(1)证明见解析
(2)4
【分析】（1）由余弦定理求出，根据勾股定理的逆定理可判断以及，在证明平面，即可证明平面平面；
（2）建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，设出点坐标，从而得到直线的方向向量，结合已知条件中的直线与平面所成角的正弦值为，列出方程求解即可.
【详解】（1）证明：在中，，，，
由余弦定理得，
因为，所以，
在中，，，，
所以，所以
又因为、平面，且，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面.
（2）由（1）可知，，两两互相垂直，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，.
所以，，
设平面的一个法向量为，
则，取，得，
设，则，所以，
因为直线与平面所成角的正弦值为，
设直线与平面的所成角为，
则，即，
解得：，即.
22．已知函数有两个不同的极值点，.
(1)求的取值范围；
(2)若，且，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）依题意知方程有两个不同的实数根，，即方程有两个不同的实数根，，即直线与函数的图象有两个不同的交点，利用导数说明的单调性，即可求出的最大值，从而求出参数的取值范围；
（2）方法一：由（1）可知，，则待证不等式等价于，即，令，则问题等价于在时恒成立，令，，利用导数说明函数的单调性，即可证明；
方法二：由（1）可得，且，设，利用导数说明在上的单调性，即可证明，从而得证.
【详解】（1）函数定义域为，
则.
由题意知方程有两个不同的实数根，，即方程有两个不同的实数根，，
也即直线与函数的图象有两个不同的交点，
因为，所以当时，，当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，所以.
又因为，当时，，当时，，当趋向于时，趋向于0，
所以的取值范围为.
（2）方法一：因为有两个不同的极值点，，
由（1）可知，是方程的两个实数根，所以，，
所以不等式等价于，即.
因为，所以待证不等式等价于.
由，，作差得，即，
所以待证不等式等价于
令，则，又因为，所以，
则不等式，即在时恒成立.
令，，则，
因为，可得当时，，所以在上单调递增，
又，所以在时，，
所以在时恒成立，即在，且时恒成立，
所以.
方法二：由（1）可知在上单调递增，在上单调递减，，是方程的两个实根，
所以，且.
设，
则，
当时，，，所以，
所以在上单调递增，所以当时，，即.
因为，所以，所以，
因为，，所以，即，
又因为，所以，整理得.
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．