2024届四川省绵阳市三台中学校高三上学期第四次月考数学（理）试题含答案

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本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）组成，共4页；答题卡共6页.满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1. 答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B铅笔将考号准确填涂在“考号”栏目内.
2. 选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.
3. 考试结束后将答题卡收回.
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解不等式求出集合M，根据集合的交集运算，即可得答案.
详解】解，得：，所以，
，所以.
故选：B.
2. 在复平面内，复数对应的点位于
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】通过复数的运算求出复数的代数形式，然后再进行判断即可．
【详解】由题意得，
所以复数在复平面内对应的点为，在第四象限．
故选D．
【点睛】解题的关键是将复数化为代数形式，然后再根据复数的几何意义进行判断，属于基础题．
3. 设Sn是等差数列{an}前n项和，若＝，则等于（ ）
A. 1B. －1C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用等差数列的求和公式计算即可.
【详解】＝＝＝1.
故选：A.
4. 已知向量，不共线，向量，，且，则（ ）
A. －3B. 3C. －6D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】设，从而得到，得到方程，求出的值.
【详解】设，则，
故．
故选：D
5. 南山中学某学习小组有名男同学，名女同学，现从该学习小组选出名同学参加数学知识比赛，则选出的名同学中男女生均有的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先计算出基本事件总数，依题意选出的名同学中男女生均有，分为两种情况：①1名男同学，2名女同学；②2名男同学，1名女同学，计算出所有可能情况，再根据古典概型的概率公式计算可得；
【详解】解：从有名男同学，名女同学，现从该学习小组选出名同学参加数学知识比赛，则有；
依题意选出的名同学中男女生均有，分为两种情况：①1名男同学，2名女同学，有（种）；②2名男同学，1名女同学，（种）；
故概率为
故选：
【点睛】本题考查简单的组合问题，古典概型的概率问题，属于基础题.
6. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将已知等式平方后相加，结合同角的三角函数关系以及两角和的正弦公式，即可求得答案.
【详解】由题意得，，
两式相加得，得，
故选：C
7. 在2022年某省普通高中学业水平考试（合格考）中，对全省所有考生的数学成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为分以上为优秀，则下列说法中不正确的是（ ）
A. 该省考生数学成绩的中位数为75分
B. 若要全省的合格考通过率达到，则合格分数线约为44分
C. 从全体考生中随机抽取1000人，则其中得优秀考试约有100人
D. 若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，可得考试数学成绩的平均分约为70.5.
【答案】A
【解析】
【分析】根据频率分布直方图计算中位数、平均分，由不合格率为4%求得合格线，利用优秀率估算抽取的1000人中的优秀从数，从而判断各选项．
【详解】由频率分布直方图知中位数在上，设其为，则，
解得，A错；
要全省的合格考通过率达到，设合格分数线为，则，，B正确；
由频率分布直方图优秀的频率为，因此人数为，C正确；
由频率分布直方图得平均分为，考试数学成绩的平均分约为70.5,D正确．
故选：A.
8. 在上随机取一个数，则事件“直线与圆有公共点”发生的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据直线与圆有公共点，求出的范围，再根据几何概型的概率公式计算即可.
【详解】若直线，即与圆有公共点，
则圆心到直线距离，故解得或，
由几何概型的概率公式，得事件“直线与圆有公共点”发生的概率为.
故选：A.
9. 已知函数的最小正周期为，且时，函数取最小值，若函数在上单调递减，则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由周期求得，再由最小值求得函数解析式，然后由单调性可得的范围，从而得最大值．
【详解】由题意，，，又，∴，
，时，，
又在上单调递减，所以，，即，的最大值是．
故选：D．
10. 点是以为焦点的的椭圆上一点，过焦点作外角平分线的垂线，垂足为，则点的轨迹是（ ）
A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线
【答案】A
【解析】
【分析】是以，为焦点的椭圆上一点，过焦点作外角平分线的垂线，垂足为，延长交延长线于，可证得，且是的中点，由此可求得的长度是定值，即可求点的轨迹的几何特征．
【详解】解：由题意，是以，为焦点的椭圆上一点，过焦点作外角平分线的垂线，垂足为，延长交延长线于，得，
由椭圆的定义知，故有，
连接，知是三角形的中位线
，即点到原点的距离是定值，由此知点的轨迹是圆
故选：．
【点睛】本题在椭圆中求动点的轨迹，着重考查了椭圆的定义、等腰三角形的判定和三角形中位线定理等知识，属于中档题．
11. 已知直线与抛物线相交于A、B两点，F为C的焦点，若,则k=
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】将y=k(x+2)代入y2=8x,得
k2x2+(4k2-8)x+4k2=0.
设交点的横坐标分别为xA,xB,
则xA+xB=-4,①
xA·xB=4.
又|FA|=xA+2,|FB|=xB+2,
|FA|=2|FB|,
∴2xB+4=xA+2.
∴xA=2xB+2.②
∴将②代入①得xB=-2,
xA=-4+2=-2.
故xA·xB==4.
解之得k2=.
而k>0,∴k=,满足Δ>0.故选D.
12. 已知函数，其中、，为自然对数的底数，若，是的导函数，函数在区间内有两个零点，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由可得，作出函数函数与的图象在上有两个交点，数形结合可得出实数的取值范围.
【详解】因为，则，可得，
所以，，则，
由可得，
因函数在区间内有两个零点，
所以，函数与的图象在上有两个交点，
作出与的函数图象，如图所示：
若直线经过点，则，
若直线经过点，则，
结合图形可知，实数的取值范围是.
故选：A．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案直接填答题卷的横线上.
13. 若一组数据的方差为10，则另一组数据的方差为______．
【答案】40
【解析】
【分析】由题意先设出两组数据的平均数，然后根据已知方差、方差公式运算即可得解.
【详解】由题意设的平均数为，则的平均数为，
由题意的方差为，
从而的方差为.
故答案为：40.
14. 若二项式的展开式中第项是常数项，则展开式中各项系数的和为__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的第五项，令的指数为0，求出的值，令，可得展开式中各项系数的和．
【详解】解：展开式的第项为
二项式的展开式中第5项是常数项，
，
二项式为
令，可得展开式中各项系数的和
故答案为：．
【点睛】本题考查展开式的特殊项，正确运用二项展开式是关键，属于基础题．
15. 在平面直角坐标系中， A,B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点，若以 AB 为直径的圆 C 与直线 相切，则圆 C 面积的最小值为___ ．
【答案】
【解析】
【详解】由题意，圆心到原点距离与到直线的距离相等，所以面积最小时，圆心在原点到直线的垂线中点上，
则，则，．
点睛：本题考查直线和圆的位置关系．本题中，由分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆，则半径就是圆心到原点的距离，所以圆心到原点的距离与到直线的距离相等，得到解答情况．
16. 过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为E，延长FE交抛物线于点P，O为坐标原点，若，则双曲线的离心率为_________．
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：因为，所以，因为，所以为的中点，，又因为为的中点，所以，所以，因为抛物线的方程为，所以抛物线的焦点坐标为，即抛物线和双曲线的右焦点相同，过点作的垂线，过点作，则为抛物线的准线，所以，所以点的横坐标为，设,在中，，即，解得.
考点：双曲线的简单的几何性质.
【方法点晴】本题主要考查了双曲线的标准方程、以及谁去下的简单的几何性质的应用，同时考查了双曲线的定义及性质，着重考查了学生推理与运算能力、数形结合思想、转化与化归思想的应用，属于中档试题，本题的解答中，根据题意得到抛物线和双曲线的右焦点相同，得出点的横坐标为，再根据在中，得出是解答的关键.
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17. 设数列的前n项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前2n项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据求得.
（2）根据分组求和法求得正确答案.
【小问1详解】
依题意，，
当时，，
当时，，
所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，也符合.
所以.
【小问2详解】
由（1）得，所以
.
18. 某水果种植户对某种水果进行网上销售，为了合理定价，现将该水果按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
（1）已知销量与单价之间存在线性相关关系求y关于x的线性回归方程；
（2）若在表格中的6种单价中任选3种单价作进一步分析，求销量恰在区间[110，118]内的单价种数ξ的分布列和期望．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：=，．
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）由已知表格中数据求得与，则可求得线性回归方程；
（2）求出ξ的所有可能取值为0，1，2，3，求出概率，可得分布列与期望．
【详解】解：（1），
=112．
=═，．
∴y关于x的线性回归方程为；
（2）6种单价中销售量在[110，118]内的单价种数有3种．
∴销量恰在区间[110，118]内的单价种数ξ的取值为0，1，2，3，
P（ξ=0）=，
P（ξ=1）=，
P（ξ=2）=，
P（ξ=3）=．
∴ξ的分布列为：
期望为E（ξ）=．
【点睛】本题考查线性回归方程的求法，考查离散型随机变量的期望，考查计算能力，求
离散型随机变量的分布列与均值的方法：
（1）理解离散型随机变量的意义，写出的所有可能取值；
（2）求取每个值的概率；
（3）写出的分布列；
（4）根据均值的定义求
19. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知且.
（1）求证：；
（2）求的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理和余弦定理可把题设中的边角关系化简为，结合诱导公式及可证.
（2）根据及，结合诱导公式和二倍角余弦公式将化为，先求出角A的范围，然后利用余弦函数和二次函数的性质求解即可.
【小问1详解】
因为 ，
由正弦定理得，，由余弦定理得，
所以，又，所以.
又，，所以或，
所以或，
又，所以，所以，得证.
【小问2详解】
由（1）知，所以，
又，所以
，
因为，所以，所以，
因为函数在单调递增，
所以，
所以的取值范围为.
20. 椭圆有两个顶点过其焦点的直线与椭圆交于两点，并与轴交于点，直线与交于点．
（1）当时，求直线的方程；
（2）当点异于两点时，证明：为定值．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】（1）先由题意求出椭圆方程，直线不与两坐标轴垂直，设的方程为，然后将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去，利用根与系数的关系，再由弦长公式列方程可求出的值，从而可得直线方程；
（2）表示直线，的方程，联立方程组可得而代入化简可得，而，则可得的结果
【详解】（1）由题意，椭圆方程为
易得直线不与两坐标轴垂直，
故可设的方程为，设，
由消去整理得，判别式
由韦达定理得，①
故，解得，
即直线的方程为．
（2）证明：直线的斜率为，故其方程为，
直线的斜率为，故其方程为，
由两式相除得
即
由（1）知，
故
解得．易得，
故，
所以为定值1
21. 已知函数．
（1）若，求在上的单调区间；
（2）若函数在区间上存在两个极值点，求a的取值范围．
【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为
（2）
【解析】
【分析】（1）对函数求导得到，再根据导数与函数单调性间的关系即可求出结果；
（2）对函数求导得，令，将问题转化为在内有两个交点，再应用导数研究的单调性并确定其区间最值及边界值，进而可得的范围.
【小问1详解】
因为，
所以，
又因为，，则，
所以，当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增,
所以在上的单调递减区间为，单调递增区间为．
【小问2详解】
由（1）知，当，函数在上单调递减，
此时在上不存在极值点，不符合题意，所以，
设，，所以，
当时，当时，，
所以在上单调递增，
所以当时，，
所以当时，，所以在上单调递减，
故在上不存在极值点，不符合题意；
当时，令，解得，令，解得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的最小值为，
若函数在上存在两个极值点，则，即
解得．
综上，a的取值范围为．
选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22. 已知曲线的参数方程分别为（为参数），（为参数）．
（1）将的参数方程化为普通方程；
（2）以坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系．若射线与曲线分别交于两点（异于极点），点，求的面积．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用消参法与完全平方公式求得的普通方程，利用得到的普通方程；
（2）分别求得的极坐标方程，联立射线，从而得到，，进而利用三角形面积公式即可得解.
【小问1详解】
因为曲线的参数方程为（t为参数），
则，，
两式相减，得的普通方程为：；
曲线的参数方程为（为参数），
所以的普通方程为：.
【小问2详解】
因为，
所以曲线的极坐标方程为，即，
联立，得，
所以射线与曲线交于A，
而的普通方程，可化为，
所以曲线的极坐标方程为，即，
联立，得，
所以射线与曲线交于B，
又点，所以，
则．
[选修4-5：不等式选讲]
23. 已知函数，其中.
（1）若函数的图像关于直线对称，且，求不等式的解集.
（2）若函数的最小值为，求的最小值及相应的和的值.
【答案】（1）；（2）的最小值为2，相应的
【解析】
【分析】先根据对称性求出，对分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果；根据绝对值三角不等式即可求出，可得，再根据基本不等式即可求出.
【详解】函数的图象关于直线对称，，
，
当时，，解得，
当时，，此时不等式无解，
当时，，解得，
综上所述不等式的解集为．
，
又的最小值为2，，
，当且仅当时取等号，
故的最小值为2，其相应的．
【点睛】绝对值不等式的常见解法：
①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；单价x（元）
7
8
9
11
12
13
销量y（kg）
120
118
112
110
108
104
ξ
0
1
2
3
P