2024届天津市北辰区南仓中学高三上学期教学质量过程性检测与诊断数学试题含答案

这是一份2024届天津市北辰区南仓中学高三上学期教学质量过程性检测与诊断数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知全集，集合，，则（ ）.
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用补集和并集的定义可求得结果.
【详解】因为全集，集合，，则，
因此，.
故选：C.
2．设，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】分别解不等式和 ，然后判断能否从推出，再判断能否从推出，最后根据定义选出正确答案.
【详解】
，显然能从推出，不能从推出，也就是说能从推出，但不能从推出，所以是的必要不充分条件，故本题选B.
【点睛】本题考查了必要不充分条件的判断，正确求解不等式的解集，根据定义进行判断是解题的关键.
3．函数的大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】求出函数的定义域，分析函数的奇偶性以及该函数在区间上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.
【详解】函数的定义域为，
且，，所以，函数为偶函数，
排除BC选项；
当时，，则，排除D选项.
故选：A.
【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；
（2）从函数的值域，判断图象的上下位置．
（3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
（4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
（5）函数的特征点，排除不合要求的图象.
4．某人口大县举行“《只争朝夕,决战决胜脱贫攻坚》扶贫知识政策答题比赛”,分初赛和复赛两个阶段进行,规定：初赛成绩小于等于90分的会被淘汰,某校有1000名学生参加了初赛,所有学生的成绩均在区间（30,150]内,其频率分布直方图如图所示,则会被淘汰的人数为（ ）
A．350B．450C．480D．300
【答案】A
【分析】由频率分布直方图得初赛成绩小于等于90分的频率为0.35,由此能求出能会被淘汰的人数.
【详解】由频率分布直方图得：
初赛成绩小于等于90分的频率为：（0.0025+0.0075+0.0075）×20＝0.35,
∴会被淘汰的人数为1000×0.35＝350.
故选：A.
【点睛】本小题主要考查频率分布直方图等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
5．设，，，则a，b，c的大小关系为
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用指数函数和对数函数的单调性进行求解.
【详解】因为，，，
所以的大小关系为：，
故选A.
【点睛】该题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小的问题，在比较大小的过程中，注意利用对数函数和指数函数的单调性，再者就是对中介值的应用.
6．已知抛物线的焦点与双曲线（，）的一个焦点重合，且点到双曲线的渐近线的距离为4，则双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由抛物线，求得，得到，再由焦点到渐近线的距离为，求得，进而得到，即可求得双曲线的标准方程，得到答案.
【详解】由题意，抛物线可化为，可得焦点坐标为，
即双曲线的焦点坐标为，即，
又由双曲线的一条渐近线的方程为，即，
所以焦点到的距离为，
所以，又由，
所以双曲线的方程为.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了双曲线与抛物线的标准方程及简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线和抛物线的几何性质，合理运算时解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
7．已知圆锥的顶点和底面圆周都在球O的球面上，圆锥的母线长为3，侧面展开图的面积为，则球O的表面积等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由圆锥侧面面积求得圆锥的底面半径，作出圆锥的轴截面，其外接圆是球的大圆，由图形求得球半径，从而可得球表面积．
【详解】设底面半径为，圆锥母线为，所以，所以，
如图，是圆锥轴截面，外接圆是球的大圆，是圆锥底面的圆心，
设球半径为，则，，所以，
如图1，，即，
解得，不符合题意，
当为如图2时，即，
解得，所以球表面积为．
故选：A．
【点睛】方法点睛：本题考查求球的表面积，解题关键是求得球的半径．在球圆锥或圆柱、圆台问题中可以作出圆柱（圆锥，圆台）的轴截面，轴截面的外接圆为球的大圆，由此建立了球半径与圆柱（圆锥圆台）的量之间的关系．
8．设函数，给出下列结论：
①的最小正周期为；
②在单调递减；
③的图象关于直线对称；
④把函数图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象．
其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个
C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据二倍角的正弦公式、辅助角公式化简函数的解析式，然后运用余弦型函数的性质逐一判断即可.
【详解】.
A：因为的最小正周期为，所以本结论正确；
B：当时，，显然不是的子集，所以本结论不正确；
C：因为，所以函数的图象关于直线对称，因此本结论正确；
D：函数的图象上所有点向右平移个单位长度，
得到的图象，因此本结论正确，共有3个结论正确，
故选：C
9．已知函数f（x）满足f（x）＝f（3x），当x∈[1，3），f（x）＝lnx，若在区间[1，9）内，函数g（x）＝f（x）﹣ax有三个不同零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据题意得到画出函数图像，计算直线与函数相切和过点时的斜率，根据图像得到答案.
【详解】函数f（x）满足f（x）＝f（3x），当x∈[1，3），f（x）＝lnx
故，
画出函数图像，如图所示：
当直线与相切时：
，设切点为则
此时
当直线经过点时：
综上所述：
故选：
【点睛】本题考查了函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.
二、填空题
10．为虚数单位，复数，则 ．
【答案】
【分析】根据复数的除法运算法则进行求解即可.
【详解】.
故答案为：.
11．的展开式中的系数为 (用数字作答)
【答案】40
【分析】根据二项展开式的通项公式可得，令，即可得解.
【详解】，
令，所以，
其系数为，
故答案为：40
12．已知过点的直线l与直线垂直，l与圆相交于A，B两点，则 ．
【答案】
【分析】先由直线的垂直关系求得直线l的方程，再利用几何法求得弦长得答案．
【详解】因为过点的直线l与直线垂直，所以直线l的斜率为，所以直线l的方程为：，
把圆的方程化为标准方程得：，
∴圆心坐标为，半径，
∴圆心到直线的距离，
则，
故答案为：.
【点睛】方法点睛：本题主要考查了直线与圆的位置关系，相交时的弦长问题，属于基础题；把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和圆的半径，根据题意画出图形，利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离，由求出的与半径，根据垂径定理与勾股定理求出的一半，即可得到的长．
13．2021年是中国共产党成立100周年.现有A，B两队参加建党100周年知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢1分，答错得0分；A队中每人答对的概率均为，B队中3人答对的概率分别为，，，且各答题人答题正确与否互不影响，设A队总得分为随机变量X，则X的数学期望为 .若事件M表示“A队共得2分”，事件N表示“B队共得1分”，则 .
【答案】
【分析】先由题中条件，得到服从二项分布，由二项分布的期望公式，即可得出期望；
利用次独立重复试验的概率计算公式求出，利用相互独立事件概率乘法公式求出，由此相互独立事件概率乘法公式能求出．
【详解】由题意，可得，，所有的数学期望为
因为事件表示“队得2分”，事件表示“队得1分”，
所以，
，
．
故答案为：；
14．已知都为正实数，且，则的最小值为 ．
【答案】9
【分析】将通分整理代入所求式子，配凑基本不等式形式求解即可
【详解】则 且，则=，当且仅当等号成立
故答案为9
【点睛】本题考查基本不等式求最值，将条件灵活变形是关键，是中档题
15．已知平行四边形的面积为，，为线段的中点.则 ；若为线段上的一点，且，则的最小值为 .
【答案】
【分析】由平行四边形的面积为，可得，再由数量的定义可求出的值；
由已知得，然后根据三点共线即可得，从而得出，得，然后利用基本不等式即可求出的最小值.
【详解】解：因为平行四边形的面积为，
所以，得，
所以，
如图，连接，则,
所以
因为三点共线，
所以，得，
所以，
所以
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为，
故答案为：；
【点睛】此题考查了向量加法、数乘的几何意义，三角形的面积公式，向量数量积的运算，基本不等式的应用，考查了计算能力，属于中档题.
三、解答题
16．在中，内角、、的对边分别为，，，．
（1）求角的大小；
（2）若，．求：
（ⅰ）边长；
（ⅱ）的值．
【答案】（1）； （2）（ⅰ）；（ii）．
【解析】（1）利用正弦定理化简已知条件，求得的值，由此求得角的大小.
（2）（ⅰ）已知两边和夹角，用余弦定理求得边；
（ⅱ）由两角差的正弦公式求得的值.
【详解】解：（1）由已知及正弦定理得
，，
，
（2）（ⅰ）因为，，
由余弦定理得，
（ⅱ）由，因为为锐角，所以
，，
【点睛】本题考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形，还考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式以及两角差的正弦公式.
17．如图，三棱柱中，平面，M是的中点，N是的中点．
(1)求证：∥平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）取中点为，连接，易证四边形为平行四边形，则可得，再由线面平行的判定定理即可得证；
（2）由题意建立空间直角坐标系，则可得，平面的法向量，再由直线与平面所成角的正弦值求出答案；
（3）由题意易知，可求出平面的法向量，由平面与平面夹角的余弦值即可求出答案.
【详解】（1）如图所示：取中点为，连接，
在中，分别为中点，
所以为的中位线，
所以,且，
又，为中点，
所以,
所以四边形为平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面；
（2）如图所示：建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的法向量为，
则，取，则，，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为；
（3）由题意知，
设平面的法向量为，
则，取，则，，
则，
平面与平面夹角的余弦值.
18．已知椭圆的离心率为，、分别为椭圆E的左、右焦点，M为E上任意一点，的最大值为1，椭圆右顶点为A.
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若过A的直线l交椭圆于另一点B，过B作x轴的垂线交椭圆于C（C异于B点），连接交y轴于点P.如果时，求直线l的方程.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或.
【解析】（Ⅰ）根据面积的最大值可求，结合离心率可求，从而得到椭圆的方程.
（Ⅱ）设直线，联立直线方程和椭圆方程，消元后利用韦达定理可求的坐标，由直线的方程后可得的坐标，根据可得关于的方程，从而可求的值.
【详解】解：（Ⅰ）当为椭圆的短轴端点时，取得最大值即，
又因为，，
解得：，，，所以椭圆方程为.
（Ⅱ），根据题意，直线l斜率存在且不为0，
设直线，，联立，
得，
，即，
由题意得：，
又直线，故，
，
即解得（舍），故，
直线或.
【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线的位置关系，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有或，最后利用韦达定理把关系式转化为某一个变量的方程，解此方程即可.
19．已知数列的前项和为，满足，数列满足，且．
（1）证明数列为等差数列，并求数列和的通项公式；
（2）若，求数列的前2n项和；
（3）若，数列的前项和为，对任意的，都有，求实数的取值范围．
【答案】（1）证明见解析，，；（2）；（3）．
【分析】（1）由两边同时除以，即可得到数列为首项1，公差的等差数列，从而求出的通项公式，再根据得到数列为首项，公比的等比数列，即可求出的通项公式；
（2）由（1）可得，再利用裂项相消法求和即可；
（3）首先利用错位相减法求出，参变分离可得恒成立，再利用作差法求出的最小值，即可求出参数的取值范围；
【详解】解：（1）由两边同时除以，
得，
从而数列为首项1，公差的等差数列，所以，
数列的通项公式为．
当时，，所以．
当时，，
两式相减得，又，所以，
从而数列为首项，公比的等比数列，
从而数列的通项公式为，
（2）因为，
所以，
．
（3）由（1）得，
，
，
两式相减得，
所以，
由（1）得，
因为对，都有，
即恒成立，
所以恒成立，
记，所以，
因为，
从而数列为递增数列，
所以当时，取最小值，
于是．
20．已知函数，.（、）
(1)当，时，求曲线在处的切线方程；
(2)当时，若对任意的，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）借助导数切线的几何意义，结合直线方程的点斜式即可得；
（2）若对任意的，恒成立等价于在上恒成立，构造函数求出在上的最大值即可得.
【详解】（1）当，时，，
令，则，，，
则有，即，
故切线方程为；
（2）当时，对任意的，，
等价于对任意的，，
即在上恒成立，
令，，
则，
令，则，
当时，，故在上单调递增，
当时，，故在上单调递减，
则，
故.