江苏省南通中学2022-2023学年高一下学期第一次月考数学试卷(含答案)

江苏省南通中学2022-2023学年高一下学期第一次月考数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．的值为( )A. B. C. D.2．已知两个向量,,若,则x的值为( )A. B. C. D.3．若角的终边所在直线过点,则的值为( )A.-2 B.2 C. D.4．已知的面积为,,,则( )A. B. C. D.5．小明同学为了估算位于哈尔滨的索菲亚教堂的高度,在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB,高为m,在它们之间的地面上的点M（B,M,D三点共线）处测得楼顶A,教堂顶C的仰角分别是15°和60°,在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°,则小明估算索菲亚教堂的高度为( )A.20m B.30m C. D.6．在中,若,,则一定是( )A.等边三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.无法确定7．若,则( )A. B.C. D.8．在中,已知,,,P为线段AB上的一点,且,则的最小值为( )A. B. C. D.二、多项选择题9．已知向量、、是平面内的非零向量,则下列说法正确的是( )A.若,则 B.若,则C.向量在上的投影向量为 D.10．的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列说法正确的是( )A.若,则B.若,则是钝角三角形C.若,,则符合条件的有两个D.若,则角B的大小为11．正方形ABCD的边长为2,E是BC中点,如图,点P是以AB为直径的半圆上任意一点,,则( )A.最大值为 B.最大值为1C.的最大值为2 D.最大值是12．在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,则下列四个选项中哪些值可以作为三角形的面积( )A. B. C. D.三、填空题13．已知平面内两向量,,若,则的值为___________.14．在中,角A,B,C所对边分别为a,b,c,,,,则_________________.15．设为锐角,若,则的值为______________.四、双空题16．中,角A,B,C对边分别为a,b,c,点P是所在平面内的动点,满足.射线BP与边AC交于点D.若,,则角B的值为_______________,面积的最小值为_______________.五、解答题17．已知,,其中,是夹角为的单位向量.(1)求;(2)求与夹角的余弦值.18．已知,为锐角,,.（1）求的值;（2）求的值.19．设函数.(1)当时,求函数的最小值并求出对应的x;(2)在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,且,求周长的取值范围.20．在斜三角形ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足.(1)求角A的大小;(2)若,且BC上的中线AD长为,求斜三角形ABC的面积.21．如图,游客从某旅游景区的景点A处下上至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为.在甲出发后,乙从A乘缆车到B,在B处停留后,再从B匀速步行到C,假设缆车匀速直线运动的速度为,山路AC长为,经测量,.（1）求索道AB的长;（2）问：乙出发多少后,乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过,乙步行的速度应控制在什么范围内？22．如图,A､B是单位圆上的相异两定点（O为圆心）,且（为锐角）.点C为单位圆上的动点,线段AC交线段OB于点M.(1)求（结果用表示）;(2)若①求的取值范围：②设,记,求函数的值域.参考答案1．答案：C解析：由题意可得：.故选：C.2．答案：A解析：若,则,解得.故选：A.3．答案：D解析：因为角的终边所在直线过点,根据三角函数的定义知,,所以.故选：D.4．答案：D解析：因为,,的面积为,解得：,,故选：D.5．答案：D解析：,由题意知：,,所以,在中, ,在中,由正弦定理得,所以,在中, .故选：D.6．答案：A解析：由 ,根据余弦定理,故,所以,所以,,所以,所以,因为,所以,即,所以,因为,所以,所以,从而.所以三角形为等边三角形,故选：A.7．答案：C解析：[方法一]：直接法由已知得：,即：,即：所以故选：C.[方法二]：特殊值排除法解法一:设则,取,排除A,B;再取则,取,排除D;选C.[方法三]：三角恒等变换所以即,即故选：C.8．答案：D解析：中设,,,,即,,,,,,,,,根据直角三角形可得,,,,,以AC所在的直线为x轴,以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系可得,,,P为直线AB上的一点,则存在实数使得,设,,则,,,,,则,,故所求的最小值为,故选：D.9．答案：AC解析：对于A选项,由可得,整理可得,又因为、为非零向量,所以,,A对;对于B选项,由可得,因为、、是平面内的非零向量,则或,B错;对于C选项,向量在上的投影向量为,C对;对于D选项,设,,所以,是与共线的向量,是与共线的向量,但、不一定共线,则、不一定相等,D错.故选：AC.10．答案：ABD解析：A选项,在三角形中,大角对大边,所以,由正弦定理得,所以,所以A选项正确.B选项,由正弦定理得,所以,C为钝角,所以B选项正确.C选项,由余弦定理得,有唯一解,C选项错误.D选项,由正弦定理得,,,D选项正确.故选：ABD.11．答案：BD解析：如图,以A为坐标原点,AB,AD分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,又正方形ABCD的边长为2,所以,,,则,,又点P是以AB为直径的半圆上任意一点,即点P在半圆上,设,则又因为,所以由,得到,即,且对于选项A,因为,其中且,知最大值为,所以选项A错误;对于选项B,因为且,所以最大值为1,当时取到,所以选项B正确;对于选项C,因为,所以,其中,所以的最大值为,所以选项C错误;选项D,因为,其中且,所以最大值是,所以选项D正确;故选：BD.12．答案：AB解析：因为,,所以,即,因为,两式平方相加可得,由基本不等式可得,所以,所以,所以,即,当且仅当时等号成立.故选：AB.13．答案：解析：由于,所以,.故答案为：.14．答案：2解析：由余弦定理得到,即,故由正弦定理可得:.故答案为：2.15．答案：解析：为锐角,,..故答案为：.16．答案：;解析：表示方向的单位向量,表示方向的单位向量,根据向量加法的几何意义可知P在三角形ABC的角平分线上,即BD是三角形ABC的角平分线,由得,则B为锐角,所以.依题意,根据三角形的面积公式有,整理得,所以,当且仅当时等号成立.所以三角形ABC面积的最小值为.故答案为：;17．答案：(1)(2)解析：（1）.（2）,,.18．答案：（1）;（2）.解析：（1）（2）因为,为锐角,所以,,又,所以,,又,所以因为,所以.19．答案：(1),;(2)解析：（1）因为,即,因为,所以,由的图像与性质知,当,即时,函数取到最小值为,即当时,函数的最小值为,此时.（2）因为,由（1）得到,即,又因为,所以得到,即,又,由余弦定理,得到,又由基本不等式知,,当且仅当取等号,所以,得到,又因为,所以,所以周长L的取值范围为.20．答案：(1)(2)解析：（1）因为,所以由正弦定理可得：,即,所以,又,所以,所以.（2）因为AD为BC上的中线,所以,即,所以,即,所以①,由余弦定理可得：,所以②①-②得：,所以.21．答案：（1）（2）（3）（单位：m/min）解析：（1）在中,因为,,所以,,从而.由正弦定理,得.（2）假设乙出发后,甲、乙两游客距离为d,此时,甲行走了,乙距离A处,所以由余弦定理得,由于,即,故当时,甲、乙两游客距离最短.（3）由正弦定理,得.乙从B出发时,甲已走了,还需走才能到达C.设乙步行的速度为,由题意得,解得,所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过,乙步行的速度应控制在（单位：）范围内.22．答案：(1)(2)①;②解析：（1）（2）①.设.由题意得,则,,,所以因为,则所以,则;（2）设,则,所以,由得,即,整理得,所以,所以.即,.,,令,,则,即在上单调递增,则所以函数值域是.