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    河南省安阳市内黄县城关镇第一初级中学2023-2024学年九年级上学期期中考试数学试题(含解析)

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    这是一份河南省安阳市内黄县城关镇第一初级中学2023-2024学年九年级上学期期中考试数学试题(含解析),共20页。试卷主要包含了1-24等内容,欢迎下载使用。

    九年级数学(RJ)
    测试范围:21.1-24.4
    一、选择题(每小题3分,共30分)
    1.下列函数中,是二次函数的是( )
    A.B.C.D.
    2.下列图标中,是中心对称图形的是( )
    A.B.C.D.
    3.把抛物线y=x2向左平移2个单位得到的抛物线是( )
    A.y=(x+2)2B.y=(x﹣2)2C.y=x2+2D.y=x2﹣2
    4.如图,点,,在上,,则的度数是( )
    A.28°B.54°C.18°D.36°
    5.用配方法解方程时,原方程应变形为( )
    A.B.C.D.
    6.若抛物线,当时,y随x增大而增大,则a的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    7.一元二次方程根的情况是( )
    A.没有实数根B.有两个不相等的实数根
    C.有两个相等的实数根D.不能确定
    8.如图,中,,,将绕点逆时针旋转得到,使点的对应点'恰好落在边上,则的度数是( )

    A.B.C.D.
    9.向上抛出的小球离地面的高度是其运动时间的二次函数,小明相隔秒依次抛出两个小球,假设两个小球出手时离地面高度相同,在各自抛出后秒时达到相同的离地面最大高度.若第一个小球抛出后秒时在空中与第二个小球离地面高度相同,则的值是( )
    A.B.C.D.
    10.在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,CE=2BE,EF=2,连按AF,将线段AF绕着点A顺时针旋转90°得到AP,则线段PE的最小值为( )
    A.B.C.4D.
    二、填空题(每小题3分,共15分)
    11.点关于原点对称点的坐标是 .
    12.正六边形的中心角等于 度.
    13.关于的一元二次方程有一个根是,则的值是 .
    14.如图,是圆的直径,点是延长线上的一点,点在圆上,且,,半径为3,图中阴影部分的面积为 .

    15.如图,,,,,点D为的中点,点E在的延长线上,将绕点D顺时针旋转度得到,当是直角三角形时,的长为 .

    三、解答题(共8题,共75分)
    16.解方程:
    (1);
    (2).
    17.已知二次函数的图象经过、、

    (1)求二次函数的解析式;
    (2)画出该二次函数的图象;
    (3)若,请写出的取值范围______.
    18.如图,如图所示,AB是⊙O的一条弦,OD⊥AB,垂足为C,交⊙O于点D,点E在⊙O上.
    (1)若∠AOD=62°,求的度数;
    (2)若OC=6,OA=10,求的长.
    19.已知关于的一元二次方程.
    (1)求证:方程总有两个实数根;
    (2)若该方程有一实数根大于3,求的取值范围.
    20.如图,在中,,且点A的坐标是.

    (1)将先向右平移4个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到,画出,并写出点的坐标;
    (2)将绕点按逆时针方向旋转,得到,画出,并写出点的坐标;
    (3)在(2)的条件下,求扫过的面积.
    21.如图,、是上的两点,过作的垂线交于,交于,交的切线于.
    (1)求证:;
    (2)当,时,求及的长.
    22.如图,抛物线交x轴于、B两点,交y轴于,点P在抛物线上,横坐标设为m.

    (1)求抛物线的解析式;
    (2)当点P在x轴上方时,直接写出m的取值范围;
    (3)若抛物线在点P右侧部分(含点P)的最高点的纵坐标为,求m的值.
    23.九年级一班同学在数学老师的指导下,以“等腰三角形的旋转”为主题,开展数学探究活动.
    (1)操作探究:如图1,为等腰三角形,,将绕点O旋转,得到,连接,F是AE的中点,连接,则 °,与的数量关系是 ;
    (2)迁移探究:如图2,(1)中的其他条件不变,当绕点O逆时针旋转,点D正好落在的角平分线上,得到,求出此时的度数及与的数量关系;
    (3)拓展应用:如图3,在等腰三角形中,,.将绕点O旋转,得到,连接,F是的中点,连接.当时,请直接写出的长.
    答案与解析
    1.C
    【分析】函数解析式中只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的函数是二次函数,根据定义解答.
    【详解】A、中含有分式,故不是二次函数;
    B、=2x-1,不符合定义,故不是二次函数;
    C、符合定义,故是二次函数;
    D、中a不确定不等于0,故不是二次函数;
    故选:C.
    【点睛】此题考查二次函数的定义,熟记定义是解题的关键.
    2.B
    【分析】根据中心对称图形的概念求解.
    【详解】A、不是中心对称图形,故此选项不符合题意;
    B、是中心对称图形,故此选项符合题意;
    C、不是中心对称图形,故此选项不符合题意;
    D、不是中心对称图形,故此选项不符合题意;
    故选:B.
    【点睛】本题考查中心对称图形的概念:在同一平面内,如果把一个图形绕某一点旋转180度,旋转后的图形能和原图形完全重合,那么这个图形就叫做中心对称图形.
    3.A
    【分析】根据平移规律“左加右减”可得平移后的抛物线解析式.
    【详解】解:把抛物线y=x2向左平移2个单位得到的抛物线是:y=(x+2)2,
    故选A.
    【点睛】本题考查了二次函数图象的平移,熟练掌握平移规律是解题关键.
    4.D
    【分析】直接利用圆周角定理求解.
    【详解】∠ABC=∠AOC=×72°=36°.故选:D.
    【点睛】本题考查圆周角定理,解题的关键是知道在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.
    5.D
    【分析】本题主要考查配方法,熟练掌握配方法是解题的关键;因此此题可根据配方法的关键点“等式两边加上一次项系数一半的平方”进行求解即可.
    【详解】解:

    故选D.
    6.A
    【分析】先根据函数的解析式判断出函数的顶点坐标,再根据当时,y随x的增大而增大可得出关于a的不等式,求出a的取值范围即可.
    【详解】解:∵抛物线的顶点坐标为,当时,y随x的增大而增大,
    ∴,
    解得.
    故选:A.
    【点睛】本题考查的是二次函数的性质,熟知二次函数的增减性是解答此题的关键.
    7.A
    【分析】根据方程的根的判别式,即可得出该方程没有实数根.
    【详解】解:在方程中,

    方程没有实数根.
    故选:A.
    【点睛】本题考查了根的判别式,解题的关键是找出.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,根据根的判别式的符号确定方程根的情况是关键.
    8.D
    【分析】本题主要考查了旋转的性质,等腰三角形的性质,三角形内角和定理的应用;根据旋转可得,,得,即可得到的度数.
    【详解】解:将绕点逆时针旋转得到,使点的对应点恰好落在边上,
    ∴,,


    ∴,
    ∴ ,
    故选:D.
    9.A
    【分析】设各自抛出后秒时到达相同的最大离地高度为h,则小球的高度,根据题意列出方程即可解决问题.
    【详解】解:设各自抛出后1.2秒时到达相同的最大离地高度为h,
    则小球的高度,
    由题意,
    解得.
    故第一个小球抛出后秒时在空中与第二个小球的离地高度相同.
    故选:A.
    【点睛】本题考查二次函数的应用,解题的关键是构建二次函数,学会把问题转化为我们学过的知识,利用方程的思想解决问题.
    10.B
    【分析】连接AE,过点A作AG⊥AE,截取AG=AE,连接PG,GE,通过SAS证明△AEF≌△AGP,得PG=EF=2,再利用勾股定理求出GE的长,在△GPE中,利用三边关系即可得出答案.
    【详解】解:连接AE,过点A作AG⊥AE,截取AG=AE,连接PG,GE,
    ∵将线段AF绕着点A顺时针旋转90°得到AP,
    ∴AF=AP,∠PAF=90°,
    ∴∠FAE+∠PAE=∠PAE+∠PAG=90°,
    ∴∠FAE=∠PAG,
    在△AEF和△AGP中,
    ∴△AEF≌△AGP(SAS),
    ∴PG=EF=2,
    ∵BC=3,CE=2BE,
    ∴BE=1,
    在Rt△ABE中,由勾股定理得:

    ∵AG=AE,∠GAE=90°,
    ∴,
    在△GPE中,PE>GE-PG,
    ∴PE的最小值为GE-PG=,
    故选:B.
    【点睛】本题主要考查了旋转的性质,全等三角形的判定与性质,三角形的三边关系等知识,作辅助线构造出全等三角形是解题的关键.
    11.
    【分析】根据两点关于原点对称,则两点的横、纵坐标都是互为相反数解答.
    【详解】解:点(3,-1)关于原点的对称点的坐标是(-3,1).
    故答案为:(-3,1).
    【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标,两点关于原点对称,则两点的横、纵坐标都是互为相反数.
    12.60°
    【分析】根据正n边形中心角的公式直接求解即可.
    【详解】解:正六边形的圆心角等于一个周角,即为,正六边形有6个中心角,所以每个中心角=
    故答案为:60°
    【点睛】本题考查正六边形,解答本题的关键是掌握正六边形的性质,熟悉正六边形的中心角的概念
    13.1
    【分析】把方程的根代入原方程得到,解得k的值,再根据一元二次方程成立满足的条件进行取舍即可.
    【详解】∵方程是一元二次方程,
    ∴k+2≠0,即k≠-2;
    又0是该方程的一个根,
    ∴,
    解得,,,
    由于k≠-2,
    所以,k=1.
    故答案为:1.
    【点睛】本题考查了一元二次方程的解.解此类题时,要擅于观察已知的是哪些条件,从而有针对性的选择解题方法.同时要注意一元二次方程成立必须满足的条件,这是容易忽略的地方.
    14.
    【分析】连接,根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出,求出,根据勾股定理求出,再分别求出和扇形的面积即可.
    【详解】解:连接,

    ,,







    由勾股定理得:,
    阴影部分的面积
    故答案为:.
    【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,三角形内角和定理,直角三角形的性质,扇形的面积计算等知识点,能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键.
    15.或
    【分析】本题考查了勾股定理,全等三角形的性质,旋转的性质.根据勾股定理可求出,先根据全等三角形的性质和旋转的性质,得到,从而得到.再分情况讨论:①当时;②当时,利用勾股定理分别求解,即可得到答案.利用分类讨论的思想解决问题是解题关键.
    【详解】解:,,,
    由勾股定理得:,


    绕点D顺时针旋转得到,

    点D为的中点,

    ①当时,




    ②当时,

    在中,,
    在中,,
    综上可知,的长为5或.
    故答案为:5或.
    16.(1),
    (2),
    【分析】本题考查了一元二次方程的求解,掌握一元二次方程的求解方法:公式法,配方法,因式分解法,直接开方法是关键.
    (1)方程利用因式分解法求出解即可;
    (2)方程利用公式法求出解即可.
    【详解】(1)解:,
    因式分解得:,
    解得:,;
    (2),
    整理得:,
    ,,,


    ,.
    17.(1);
    (2)见解析
    (3)或
    【分析】(1)设抛物线的解析式为,把C点的坐标代入即可求得a的值;
    (2)用五点法画出函数图象,
    (3)根据图象即可求得x的取值.
    【详解】(1)解:设抛物线的解析式为,
    把C点的坐标代入得,,
    解得.
    故抛物线的解析式为;
    (2)解:∵,
    ∴二次函数的顶点坐标为,
    描点、连线,如图所示:

    (3)解:由图象可得,当或时,.
    故答案为:或.
    【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点,关键是用待定系数法求函数解析式.
    18.(1)∠DEB=31°;
    (2)AB=16.
    【分析】(1)先根据垂径定理得到,然后利用圆周角定理得到∠DEB=∠AOD;
    (2)根据垂径定理得到AC=BC,然后利用勾股定理计算出AC即可.
    【详解】(1)解:∵OD⊥AB,
    ∴,
    ∴∠DEB=∠AOD=×62°=31°;
    (2)解:∵OD⊥AB,
    ∴AC=BC,
    ∵OC=6,OA=10,
    ∴在Rt△OAC中,AC==8,
    ∴AB=2AC=16.
    【点睛】本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.也考查了垂径定理和勾股定理.
    19.(1)见解析
    (2)a>4
    【分析】(1)先计算根的判别式得到Δ=(a-2)2≥0,然后根据根的判别式的意义得到结论;
    (2)利用公式法解方程得到x1=1,x2=a-1,根据题意得a-1>3,然后解不等式即可.
    【详解】(1)证明:∵Δ=(-a)2-4(a-1)
    =a2-4a+4
    =(a-2)2≥0,
    ∴此方程总有两个实数根;
    (2)解:x2-ax+a-1=0,
    x=,
    ∴x1=1,x2=a-1,
    ∵方程有一实数根大于3,
    ∴a-1>3,
    解得a>4,
    即a的取值范围为a>4.
    【点睛】本题考查了根的判别式:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2-4ac有如下关系:当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根;当Δ=0时,方程有两个相等的实数根;当Δ<0时,方程无实数根.
    20.(1)见解析,
    (2)见解析,
    (3)扫过的面积
    【分析】(1)作出点O、A、B平移后的对应点、、,然后顺次连接,即可得出,根据作出的图形写出点的坐标即可;
    (2)作出点A、B绕点按逆时针方向旋转的对应点、,然后顺次连接,即可得出,根据作出的图形写出点的坐标即可;
    (3)根据扫过的面积求出结果即可.
    【详解】(1)解:如图,为所求作的三角形,.
    (2)解:如图,为所求作的三角形,.

    (3)解:∵,
    ∴扫过的面积.
    【点睛】本题主要考查了平移和旋转作图,图形扫过的面积,解题的关键是作出对应点平移和旋转后的点.
    21.(1)见解析
    (2),
    【分析】(1)要证明,只要证明即可,根据题目中的条件可以得到,结论得以证明;
    (2)根据(1)中的结论和勾股定理可以求得及的长.
    【详解】(1)证明:∵,,
    ∴,,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∴;
    (2)解:∵,,,,
    ∴设,
    则,
    解得:,
    ∴,,
    ∵,
    ∴,
    ∴.
    【点睛】本题考查了圆的切线,等腰三角形的性质,勾股定理等知识点,熟练掌握切线的性质,等腰三角形中“等角对等边”的性质,利用勾股定理解三角形是解题的关键.
    22.(1)
    (2)
    (3)或
    【分析】(1)用待定系数法求出抛物线的解析式即可;
    (2)求出点B的坐标,根据图象写出m的取值范围即可;
    (3)先求出抛物线的对称轴为直线,顶点坐标为,得出二次函数有最大值4,分两种情况讨论,当点在对称轴的左侧或对称轴上,即时,当点在对称轴的右侧,即时,分别求出m的值即可.
    【详解】(1)解:把,代入抛物线得:

    解得:,
    ∴抛物线解析式为.
    (2)解:把代入得:,
    解得:,,
    ∴点B的坐标为,
    ∴当点P在x轴上方时,m的取值范围是.
    (3)解:∵,
    ∴抛物线的对称轴为直线,顶点坐标为,
    ∵,
    ∴二次函数有最大值4,
    当点在对称轴的左侧或对称轴上,即时,抛物线在点P右侧部分图象的最高点为抛物线的顶点,
    ∴,
    解得:;
    当点在对称轴的右侧,即时,抛物线在点P右侧部分图象的最高点就是点P,
    ∴,
    解得:,(舍去);
    综上分析可知,或.
    【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用,求抛物线的解析式,抛物线的图象和性质,求抛物线的最值,解题的关键是理解题意,数形结合,注意分类讨论.
    23.(1)90,
    (2);
    (3)或2
    【分析】(1)证明为等边三角形,根据旋转的性质得,求出,根据等腰三角形的性质可得,,即可得,;
    (2)根据旋转的性质得,由平分得,可得,,即可得,根据等腰直角三角形的性质可得;
    (3)分以下两种情况进行讨论:①当点E在右边时,②当点E在左边时,利用等腰三角形的性质即可解决问题.
    【详解】(1)∵为等腰三角形,,
    ∴为等边三角形,
    ∵将绕点O旋转,得到,
    ∴,
    ∴为等边三角形,,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∵,F是的中点,
    ∴,
    ∴,
    故答案为:90,;
    (2)由旋转的性质,可知,
    ∵为等边三角形,平分为等边三角形,
    ∴,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∴是等腰直角三角形,,
    ∵F是的中点,
    ∴,
    ∴是等腰直角三角形,
    ∴;
    (3)分以下两种情况进行讨论:
    ①如图1.当点E在右边时,
    ∵,
    ∴为等腰直角三角形,
    ∴.
    ∵,
    ∴,
    由旋转的性质,得,
    ∴为等边三角形,
    ∵F是的中点,
    ∴平分,
    ∴,
    ∴,
    ∴;
    ②如图2,当点E在左边时,
    同理,可得,
    ∴.
    综上所述,的长为或2.
    【点睛】此题是几何变换综合题,主要考查了旋转的性质,等边三角形的性质,等腰直角三角形的性质,利用分类讨论思想是解本题的关键.
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