2024年长沙市中考数学一轮模拟卷（一）

这是一份2024年长沙市中考数学一轮模拟卷（一），共24页。试卷主要包含了注意卷面整洁，如图，，，，则的度数是，不等式组的解集在数轴上表示为等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．注意卷面整洁
一、单选题
1．实数-2022是2022的（ ）
A．绝对值B．相反数C．倒数D．以上都不正确
2．下列运算正确的是( )
A．B．
C．D．
3．下列图形中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．“多少事，从来急；天地转，光阴迫．一万年太久，只争朝夕．”伟人毛泽东通过这首《满江红·和郭沫若同志》告诉我们青年学生：要珍惜每分每秒；努力工作，努力学习．一天时间为86400秒，用科学记数法表示这一数字是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，，，，则的度数是（ ）

A．10°B．15°C．20°D．25°
6．不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
7．某射击队拟选一名队员参加比赛，在五轮预选赛中，甲，乙，丙，丁四名队员射击成绩的平均数和方差如表所示．根据表中数据，要从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名成绩好又发挥稳定的同学参赛，应该选择( )
A．甲B．乙C．丙D．丁
8．如图，在中，AB为直径，CD为弦，若，则的度数是（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
9．如图，从山下乘缆车上山，缆绳与水平方向成32°的夹角，已知缆车速度为每分钟50米，从山脚下A到山顶B需16分钟，则山的高度为（ ）
A．800•sin32°B．C．800•tan32°D．
10．已知点A（，6），B（m，），C（，）在反比例函数的图象上，若，则下列大小关系正确的是( )
A．B．C．D．
二、填空题
11．若函数在实数范围内有意义，则自变量x的取值范围是 ．
12．如果关于x的方程有两个相等的实数根，那么 ．
13．一个不诱明口袋里装有8个小球，其中黑球6个，白球2个，除颜色外均相同，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是黑球的概率是 ．
14．若一个多边形的内角和比它的外角和多，则这个多边形的边数是 ．
15．如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转得到，使点落在边上，连接，则的度数为 °．

16．如图，在墙上绘制了几个相同的抛物线型图案.已知抛物线上B、C两点的高度相同，到墙边的距离分别为米，米.若该墙的长度为米，则最多可以连续绘制 个这样的抛物线型图案.
三、解答题
17．解不等式和方程组
（1）解方程组：
（2）求不等式组 的解集，并把解集在数轴上表示出来.
18．如图，D是上一点，，交于点E，.交点F.
（1）直接写出图中与构成的同旁内角.
（2）找出图中与相等的角，并说明理由.
19．北京冬奥会的开幕式惊艳了世界，在这背后离不开志愿者们的默默奉献，这些志愿者很多来自高校，在志愿者招募之时，甲、乙两所大学就积极组织了志愿者选拔活动，对报名的志愿者进行现场测试，现从两所大学参加测试的志愿者中分别随机抽取了20名志愿者的测试成绩进行整理和分析（成绩得分用x表示，满分100分，共分成五组：A．0≤x<80，B．80≤x<85，C．85≤x<90，D．90≤x<95，E．95≤x≤100），下面给出了部分信息：
a．甲校20名志愿者的成绩在D组的数据是：90，91，91，92；
b．乙校20名志愿者的成绩是：82，89，80，85，88，89，87，96，96，99，96，92，91，93，96，97，98，92，94，100．
c．甲校抽取志愿者成绩的扇形统计图如图所示：
d．甲、乙两校抽取的志愿者成绩的平均数、中位数、众数、方差如下表所示：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)由上表填空：a=________，b=________，=________°．
(2)你认为哪个学校的志愿者测试成绩较好？请说明理由（写出一条即可）．
(3)若甲校有200名志愿者，乙校有300名志愿者参加了此次侧试，估计甲乙两校此次参加测试的志愿者中，成绩在90分以上（不包括90分）的志愿者共有多少人？
20．如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，若E在AD上．
求证：（1）BE⊥CE；
（2）BC＝AB+CD．

21．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的8×8网格中，已知格点三角形ABC(顶点为网格线的交点)．
(1)将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB1C1(点B，C的对应点分别为点B1，C1)，画出△AB1C1；
(2)将△ABC平移，使得点A与点C1重合，得到△A2B2C2(点A，B，C的对应点分别为点A2，B2，C2，画出△A2B2C2)并说明平移过程；
(3)填空：sin∠B1C1B2=_______．
22．2022女足亚洲杯决赛中，中国女足时隔16年再次夺得亚洲杯冠军，向世界展示了中国精神和中国力量．某体育专卖店售卖各类体育用品，其中足球的进价为80元/个．经市场调查发现，在一段时间内，月销售量（个）与销售单价（元）（）之间满足一次函数关系，当销售单价为100元时，月销售量为160个；当销售单价为110元时，月销售量为140个．
(1)求月销售量（个）与销售单价（元）之间的函数关系式；
(2)当销售单价定为90元时，该专卖店销售该足球的月利润为多少元？
23．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相交于点D，E，F，⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF的平分线交EF于点G，交⊙O于点H，连接BD，FH．
（1）试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）当AB＝BE＝1时，求⊙O的面积；
（3）在（2）的条件下，求HG的长．
24．抛物线 y＝ax2−4ax＋3a 交x轴于点B、C两点，交y轴于点A，点D为抛物线的顶点，连接AB、AC，已知△ABC的面积为3
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为抛物线对称轴右侧一点，点P的横坐标为m，过点P作PQ//AC交y轴于点Q，AQ的长度为d，求d与m的函数关系式；
(3)在（2）的条件下，当d＝4时，作DN⊥y轴于点N，点G为抛物线上一点，AG交线段PD于点M，连接MN，若△AMN是以MN为底的等腰三角形，求点G的坐标．
参考答案：
1．B
【分析】根据相反数的定义：如果两个数符号不同，数字相同，那么这两个数互为相反数，0的相反数是0，进行求解即可．
【详解】解：由题意得：-2022是2022的相反数，
故选B．
【点睛】本题主要考查了相反数，熟知相反数的定义是解题的关键．
2．C
【分析】根据合并同类项，完全平方公式，积的乘方，同底数幂的除法运算规则，对各选项进行判断即可．
【详解】解：A中，错误，故不符合题意；
B中，错误，故不符合题意；
C中，正确，故符合题意；
D中，错误，故不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了合并同类项，完全平方公式，积的乘方，同底数幂的除法运算．解题的关键在于正确的计算．
3．D
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
4．B
【分析】对于一个绝对值较大的数，用科学记数法写成的形式，其中，n是比原整数位数少1的数．
【详解】解：．
故选：B．
【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．B
【分析】根据平行线的性质求出关于∠DOE，然后根据外角的性质求解．
【详解】解：∵AB∥CD，∠A＝45°，
∴∠A＝∠DOE＝45°，
∵∠DOE＝∠C+∠E，
又∵，
∴∠E＝∠DOE-∠C＝15°．
故选：B
【点睛】本题比较简单，考查的是平行线的性质及三角形内角与外角的关系．掌握两直线平行，内错角相等；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题关键．
6．A
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：解不等式x﹣2≥﹣3，得：x≥﹣2，
解不等式8﹣2x＞4，得：x＜2，
则不等式组的解集为﹣2≤x＜2，
故选：A．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
7．C
【分析】由题意知，要选择平均数大且方差小的成绩，比较四名队员的平均数与方差，进而可得答案．
【详解】解：∵，
∴丙、丁的成绩更好；
∵，
∴甲、丙的成绩更稳定；
∴丙的成绩好又发挥稳定；
故选：C．
【点睛】本题考查了运用平均数与方差作决策．解题的关键在于熟练掌握平均数与方差的意义．
8．D
【分析】根据同弧或等弧所对的圆周角相等，可得∠B＝∠ACD，再根据圆周角的推论推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．可得∠ADB＝90°，由∠BAD＝90°−∠B代入计算即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴∠B＝∠ACD＝20°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°−∠B＝90°−20°＝70°．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理进行求解是解决本题的关键．
9．A
【分析】根据题意可得，，，米，再根据三角函数的定义，即可求解．
【详解】解：根据题意可得，，，米，
根据三角函数的定义可得：
∴（米）
故选：A
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，找到直角三角形并熟悉三角函数的定义是解题的关键．
10．C
【分析】将代入，求得反比例函数解析式，进而根据反比例函数的性质对函数值的大小进行比较即可．
【详解】解：将代入得，
解得，
∵，
∴当时，随着的增大而增大，
当时，，
∵，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质．解题的关键在于熟练掌握反比例函数的图象与性质．
11．
【分析】利用二次根式有意义的条件得到x-2≥0，然后解不等式即可．
【详解】根据题意得x-2≥0，
所以x≥2．
故答案为：x≥2．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，解题的关键是掌握二次根式有意义的范围：二次根式的被开方数是非负数．
12．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值．
【详解】解：关于的方程有两个相等的实数根，
，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
13．
【分析】利用概率公式直接计算概率即可；
【详解】解：一共有8个球，即摸出一个球的结果一共有8种，
黑球有6个，即摸出一个球是黑球的结果有6种，
∴摸出的小球是黑球的概率=6÷8=，
故答案为：；
【点睛】本题考查了概率的计算，掌握概率=所求事件的结果数÷总的结果数是解题关键．
14．5
【分析】根据多边形的内角和公式以及外角和为建立一个关于边数的方程，解方程即可．
【详解】设多边形边数为n，
根据题意有，
解得 ，
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查多边形内角和与外角和，掌握多边形内角和公式和外角和为是解题的关键．
15．25
【分析】首先根据三角形内角和定理求出，然后利用了旋转的性质、等腰三角形的性质即可求解．
【详解】解：在中，，，
∴，
又将绕点A逆时针旋转得到，使点落在边上，
∴，，，
∴，
∴．
故答案为：25．
【点睛】此题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
16．5
【分析】由函数的图象知，点的纵坐标相同，其横坐标分别为和，求出函数的对称轴为，进而求得的长，即可求解．
【详解】解：以点为原点，建立如下坐标系，
由函数的图象知，点的纵坐标相同，其横坐标分别为和，
故函数的对称轴为，
设第一个图案与轴交点为，则，
则，故最多可以连续绘制个这样的抛物线型图案，
故答案为：5．
【点睛】本题考查的是二次函数的应用，通过建立适当的坐标系，确定函数的对称轴是解题的关键．
17．（1）；（2）1＜x≤4，见解析.
【分析】（1）利用加减消元法解二元一次方程组即可；
（2）根据一元一次不等式的性质求不等式组的解集，并再数轴上表示出来即可；
【详解】解： ①×3，得：＝15 ③
③-②得x＝4 ④
将④代入①解得y=1
方程组的解为：
（2） 解：＜，解得＞1
，解得≤4
∴不等式组的解集为1＜x≤4
【点睛】本题考查解二元一次方程组和解一元一次不等式组，熟练掌握解二元一次方程组和解一元一次不等式组是解题关键.
18．（1）∠BAC的同旁内角有：∠AFD，∠AED，∠C，∠B；（2）∠BAC相等的角有：∠BFD，∠DEC，∠FDE.
【分析】（1）根据同旁内角的概念解答即可；
（2）根据平行线的性质找到相等的角即可.
【详解】解：（1）由图知∠BAC的同旁内角有：∠AFD，∠AED，∠C，∠B；
（2）∵DE∥AB，
∴∠BAC=∠DEC，∠BFD=∠FDE，
∵DF∥AC，
∴∠BAC=∠BFD，
∴∠BAC=∠DEC=∠BFD=∠FDE．
【点睛】本题是对平行线性质的考查，熟练掌握同旁内角的定义及平行线的性质是解决本题的关键.
19．(1)91.5，96，126；
(2)乙校的志愿者测试成绩较好，理由见解析；
(3)估计成绩在90分以上的志愿者共有315人．
【分析】（1）求出甲校D组的占比，进而求出C组的占比，求出C组的人数，根据中位数的意义，可得a，从乙校成绩中找出出现次数最多的数即为众数b，求出A、B、C三组人数的比例乘以即可得的值；
（2）依据表格中平均数、中位数、众数、方差等比较做出判断即可；
（3）利用样本估计总体的方法即可求解．
【详解】（1）解：甲校D组所占的百分比：，
甲校C组所占的百分比为：，
C组的人数为（名），
另外A组B组的人数均为（名），
甲校中位数是第10和第11名志愿者成绩的平均数，
即D组后两位志愿者成绩的平均数，
甲校的中位数，
乙校的志愿者成绩中出现最多的成绩是96，因此众数是96，即．
，
故答案为：91.5，96，126；
（2）乙校志愿者测试成绩较好．理由如下：
甲、乙两校的平均数虽然相同，但是乙校的中位数、众数均比甲校的大，
甲校的方差为36.6，乙校的方差是29.8，
，
乙校的成绩较为稳定，
乙校志愿者测试成绩较好；
（3）根据题意得：甲校20名志愿者成绩在90分以上的人数为：，
乙校20名志愿者成绩在90分以上的人数为13，
（人），
答：估计此次参加测试的志愿者中，成绩在90分以上的志愿者有315人．
【点睛】本题考查了扇形统计图、统计表的意义和表示数据的特征，理解平均数、中位数、众数、方差的意义是正确解答的前提，样本估计总体是统计中常用的方法．
20．（1）证明见解析；（2）证明见解析
【分析】（1）先根据同旁内角互补得到∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，再利用角平分线性质即可解答,
（2）在BC上取点F，使BF＝BA，连接EF,证明△ABE≌△FBE（SAS），△CDE≌△CFE（AAS）即可解题.
【详解】证明：如图所示：

（1）∵BE、CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
又∵AB∥CD，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，
∴∠2+∠3＝90°，
∴∠BEC＝90°，
∴BE⊥CE．
（2）在BC上取点F，使BF＝BA，连接EF．
在△ABE和△FBE中，
，
∴△ABE≌△FBE（SAS），
∴∠A＝∠5．
∵AB∥CD，
∴∠A+∠D＝180°，
∴∠5+∠D＝180，
∵∠5+∠6＝180°，
∴∠6＝∠D，
在△CDE和△CFE中，
，
∴△CDE≌△CFE（AAS），
∴CF＝CD．
∵BC＝BF+CF，
∴BC＝AB+CD，
【点睛】本题考查了平行线的性质,全等三角形的判定和性质,（1）中利用平行线的性质是解题关键,（2）中作辅助线证明三角形全等是解题关键.
21．（1）见解析；（2）见解析；（3）．
【分析】(1)根据旋转的性质画图即可；
(2)根据平移的性质画图，根据平移变化描述过程即可；
(3) 过点B2作B2D⊥B1C1于点D，求出B2D 、B2C1即可．
【详解】解：(1)△AB1C1如图(1)所示．
(2)△A2B2C2如图(1)所示．
平移过程：将△ABC先向上平移1个单位长度，再向右平移4个单位长度或先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度．
(3)
如图(2)，过点B2作B2D⊥B1C1于点D．
由题意可得，B1B2=1，B2C1=，B1C1=，
∵=×1×1=××B2D，
∴B2D=，
∴sin∠B1C1B2=．
故答案为：
【点睛】本题考查了网格内的图形变换和解直角三角形，解题关键是熟练运用相关性质画图，构造直角三角形求三角函数值．
22．(1)
(2)销售单价定为90元时，该专卖店销售该足球的月利润为1800元．
【分析】（1）设月销售量（个）与销售单价（元）之间的函数关系式为，根据“当销售单价为100元时，月销售量为160个；当销售单价为110元时，月销售量为140个”可得方程组，解之即可求得结论；
（2）根据“销售利润=每件销售利润×销售数量”据此即可求解．
【详解】（1）解：设月销售量（个）与销售单价（元）之间的函数关系式为，
由题意，得：，
解得：，
∴月销售量（个）与销售单价（元）之间的函数关系式为，
（2）由题意得：
当销售单价定为90元时，
专卖店销售该足球的月利润为：（元），
答：销售单价定为90元时，该专卖店销售该足球的月利润为1800元．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键正确解读题意，找准各数量之间的关系，求得月销售量（个）与销售单价（元）之间的函数关系式．
23．（1）BD与⊙O相切，见解析；（2）π；（3）
【分析】（1）连接OB，证得∠DBO＝90°，即可得到BD与⊙O相切；
（2）由等腰直角三角形的性质得到CF＝BF，由于DF垂直平分AC，得到AF＝CF＝AB+BF＝1+BF＝BF，根据勾股定理得到EF的长，根据圆的面积公式即可得到结论；
（3）根据等腰直角三角形和角平分线的定义即可得到结论．
【详解】解：（1）BD与⊙O相切，
理由：如图1，连接OB，
∵OB＝OF，
∴∠OBF＝∠OFB，
∵∠ABC＝90°，AD＝CD，
∴BD＝CD，∠EBF＝90°，
∴∠C＝∠DBC，EF为直径，
∴点O在EF上，
∵∠C＝∠BFE，
∴∠DBC＝∠OBF，
∵∠CBO+∠OBF＝90°，
∴∠DBC+∠CBO＝90°，
∴∠DBO＝90°，
∴BD与⊙O相切；
（2）如图2，连接CF，HE，

∵∠CDE＝90°，∠ABC＝90°，
∴∠DEC＝∠A，
∵∠CED＝∠FEB，
∴∠FEB＝∠A．
∵AB＝BE，∠ABC＝∠CBF＝90°，
∴△ABC≌△EBF（ASA），
∵BC＝BF，
∴CF＝BF，
∵DF垂直平分AC，
∴AF＝CF＝AB+BF＝1+BF＝BF，
∴BF＝+1，
∴EF＝
∵∠CBF＝90°，
∴EF是⊙O的直径，
∴⊙O的面积＝（EF）2•π＝π＝π；
（3）如图3，连接AE
∵AB＝BE，∠ABE＝90°，
∴∠AEB＝45°，
∵EA＝EC，
∴∠C＝22.5°，
∴∠H＝∠BEG＝∠CED＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∵BH平分∠CBF，
∴∠EBG＝∠HBF＝45°，
∴∠BGE＝∠BFH＝67.5°，
∴BG＝BE＝1，BH＝BF＝1+，
∴HG＝BH﹣BG＝．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，切线的判定，圆周角定理，勾股定理，线段的垂直平分线的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握这些定理，能根据定理正确作辅助线和推理是解决本题的关键．
24．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）y=ax2-4ax+3a交x轴于点B、C两点，交y轴于点A，则点B、C的坐标分别为：（1，0）、（3，0），点A（0，3a），△ABC的面积=AB×OA=×2×3a=3，即可求解；
（2）PQ平行线于AC直线，其表达式设为：y=-x+b，设点P（m，m2-4m+3）（m＞2），将点P的坐标代入上式，即可求解；
（3）d=4时，点P（4，3），设点，直线PD的函数表达式为：y=2x-5①，直线AG的函数表达式为：②，联立①②并解得：，故点，AN=AM，即2，即可求解．
【详解】（1）解：交x轴于B、C两点，
令y=0，则
解得，
∴点B、C的坐标分别为：、，
交交y轴于点A，
令x=0，则y=3a，
∴点，
∵的面积，解得：，
∴抛物线的表达式为：；
（2）如图，设直线AC的解析式为：y=kx+b，
∵点，点
代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为；
∵
∴设的表达式设为：，
∵ ，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
∵点P为抛物线对称轴右侧一点，点P的横坐标为m，
∴设点，
将点P的坐标代入并解得：，
∴，
∵A（0，3），
∴OA=3，
∴；
（3）当时，则，
解得：或（舍去），
∴点，
如图，
∵
∴点，
∵DN⊥y轴于点N，
∵点
设直线PD的解析式为
把点（4，3），（2，-1）代入得
解得，
∴直线的函数表达式为：①，
设点，
设直线的函数表达式为：
把A（0，3），代入得，
解得
∴直线的函数表达式为： ②，
联立①②并解得：，
故点，
点、点，
∵，
∴，解得：或4，
∴点或．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、等腰三角形的性质．
题号
一
二
三
总分
得分
甲
乙
丙
丁
平均数/环
96
95
97
97
方 差
0.4
2
0.4
2
学校
平均数
中位数
众数
方差
甲
92
a
95
36.6
乙
92
92.5
b
29.8