四川省成都市2022-2023学年高一上学期期末数学试题

这是一份四川省成都市2022-2023学年高一上学期期末数学试题，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

本试卷分选择题和非选择题两部分.第I卷（选择题）1至2页，第II卷（非选择题）3至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接根据并集的定义求解即可.
【详解】因为集合，，
则.
故选：B.
2. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】解方程，然后根据充分性和必要性的定义求解即可.
【详解】或，
故“”是“”的充分不必要条件，
故选：A.
3. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用函数的奇偶性及幂函数的性质进行排除可得答案.
【详解】因，所以为偶函数，排除A,B选项；
易知当时，为增函数，且增加幅度较为缓和，所以D不正确.
故选：C.
4. 已知角的终边经过点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用三角函数的定义进行求解.
【详解】因为角的终边经过点，所以.
故选：D.
5. 方程的解所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定方程，构造函数并判断函数的单调性，再利用零点存在性定理判断作答.
【详解】令函数，则方程的解即为函数的零点，
而函数在R上单调递增，，，
因此函数的零点在区间内，
所以方程的解所在的区间为.
故选：C
6. 若函数在上是单调函数，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求二次函数的对称轴，根据对称轴和区间的关系可得答案.
【详解】因为的对称轴为，且其图象开口向上，
所以或，解得或，所以的取值范围是.
故选：B.
7. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用对数函数单调性及指数运算，再借助“媒介数”判断作答.
【详解】，，，而，即，
所以.
故选：D
8. 当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．现有某生物死亡若干年后，考古学家测算得其体内碳14含量衰减为原来的67.25%，则该生物死亡的年数大约为（参差数据：）
A. 3037B. 3056C. 3199D. 3211
【答案】A
【解析】
【分析】t年后碳14含量为，利用，即可求.
【详解】设生物死亡后，大约每经过5730年衰减为原来一半，
所以经过时间t年后碳14含量为，令，
则，即.
故选：A.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 若，则下列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用不等式的性质判断ABC，利用作差法判断D.
【详解】对于A：当时，，A成立；
对于B：当时，，B不成立；
对于C：当时，，即，C成立；
对于D：，，，
，即，D不成立.
故选：AC.
10. 若幂函数的图象经过点，则（ ）
A. B.
C. 函数的定义域为D. 函数的值域为
【答案】BD
【解析】
【分析】根据幂函数解析式求出,得出解析式,再分别求出定义域值域判断即可.
【详解】因为是幂函数,所以,解得,故B正确;
所以,又因的图象经过点,所以,所以,解得,故A错误;
因为,则其定义域,值域均为,故C错误,D正确.
故选:BD.
11. 已知函数的定义域为．若对任意，都有成立，且当时，均有，则（ ）
A. B.
C. 是奇函数D. 若，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用赋值法进行求解A,B，C选项可利用奇函数的定义判断，D选项先证明单调性再利用单调性求解不等式.
【详解】因为，令可得，即，A不正确；
令可得，令可得，B正确；
令可得，因为，所以，即是奇函数，C正确；
设，则，所以，因为当时，均有，所以，即，所以为增函数；若，则，解得，D正确.
故选：BCD.
12. 已知函数，，．则下列说法正确的是（ ）
A. 函数与函数互为反函数
B. 函数在区间内没有零点
C. 若a，b，c均为正实数，且满足，则
D. 若函数的图象与函数的图象和函数的图象在第一象限内交点的横坐标分别为，则
【答案】AD
【解析】
【分析】求函数的反函数，判断A，根据零点存在性定理判断B，取特殊值判断C，根据反函数的性质判断D.
【详解】函数的反函数为，
所以函数与函数互为反函数，A正确；
由已知，
因为当时，，
当时，，
所以函数在区间内至少有一个零点，B错误；
取，可得，，，
所以，，，故，C错误；
因为函数，互为反函数，
所以函数，的图象关于直线对称，
又函数图象关于直线对称，
又函数与函数的图象的交点为，
函数与函数的图象的交点为，且
所以点和点关于对称，
所以，故，
所以，D正确.
故选：AD.
第II卷（非选择题，共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．
13. 在半径为1的圆中，的圆心角所对的弧的长度为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用弧长计算公式求解作答.
【详解】在半径为1的圆中，的圆心角所对的弧的长度为.
故答案为：
14. 计算的值为______．
【答案】6
【解析】
【分析】利用对数运算进行求解.
【详解】.
故答案为：6.
15. 若“，”是假命题，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】求出给定命题的否定，再由所得命题为真命题，求解作答.
【详解】命题“，”的否定是：，，
依题意，命题“，”为真命题，
当时，成立，则，
当时，不等式恒成立，则，解得，
综上得：，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
16. 已知实数x，y满足，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用重要不等式转化变量即可求解.
【详解】因为时取等号，
则,得，
可得，，
即得最小值为,
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 设集合，．
（1）若，求；
（2）若，求实数取值范围．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）先化简集合，，再利用集合的运算求解；
（2）根据集合关系列出不等式，求出参数范围.
【小问1详解】
集合，集合，则或，故 或.
【小问2详解】
因为，所以，解得.
18. 已知为第三象限角，且．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正弦求出余弦，再求出正切值；
（2）先利用诱导公式化简目标式，再代入求解.
【小问1详解】
因为为第三象限角，且，所以；.
【小问2详解】
由（1）得，所以.
19. 已知关于x的不等式的解集为或．
（1）求a，b的值；
（2）若，解关于的不等式．
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据不等式的解集和方程的根的关系，列方程组求a，b的值；
（2）代入a，b的值，然后分与的大小关系讨论来解不等式.
【小问1详解】
关于x的不等式的解集为或
即方程的根为，
，
解得；
【小问2详解】
由（1）得关于的不等式，
即，
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
20. 已知是定义在上的奇函数，且．
（1）求函数的解析式；
（2）若，试用单调性的定义证明函数在上单调递减．
【答案】（1），；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）由已知结合，求出，再验证作答.
（2）由（1）的结论求出函数的解析式，再利用单调函数的定义推理论证作答.
【小问1详解】
因为是定义在上的奇函数，则，
而，解得，此时，
，即函数是奇函数，
所以，.
【小问2详解】
由（1）知，而，则，，
，
因为，则，有，即，因此，
所以函数在上单调递减.
21. 学校数学学习小组在假期社会实践活动中，对某公司的一种产品销售情况的调查发现：受不可抗力因素影响，该种产品在2022年8月份（价格浮动较大的一个月，以31天计）的最后7天无法进行销售，日销售单价（单位：千元/千克）与第天（，）的函数关系满足（k为正实数）．因公司数据保存不当，只能查到该产品的日销售量（单位：千克）与的如下数据：，，，已知第4天该产品的日销售收入为256千元（日销售收入日销售单价日销售量）．
（1）给出以下三种函数模型：①；②；③，请你根据上述数据，帮助这组同学从中选择最合适的一种函数模型来描述该产品在2022年8月份的日销售量与的关系，并求出该函数的解析式；
（2）在（1）的基础上，求出该公司在2022年8月份第1天到第12天中，该产品日销售收入（单位，千元）的最小值．
【答案】（1）；
（2）最小值为250千元.
【解析】
【分析】（1）由第4天该产品的日销售收入及求出k，再由销量的变化关系及函数模型选择函数的关系式，再代入计算作答.
（2）利用（1）的函数模型求出的表达式，再求出当时，的最小值作答.
【小问1详解】
当时，由，得，即，（，），
因为，，则，而，即日销售量数据有增有减，
显然，模型①②都是单调函数，不符合题意，选择模型③，
将，代入模型③得：，解得，
所以模型③的函数解析式为.
【小问2详解】
由（1）知，当时，， ，
因此
，当且仅当，即时取等号，
所以当时，该产品日销售收入最小，最小值为250千元.
【点睛】思路点睛：涉及实际应用问题，在理解题意基础上，找出分散的数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，恰当引入变量，将实际问题转化、抽象为数学问题作答.
22. 已知函数，．
（1）求函数在区间上的最大值；
（2）若函数，且函数的图象与函数的图象有3个不同的交点，求实数的取值范围．
【答案】（1）当时，；当时，.
（2）
【解析】
【分析】（1）先化简解析式，得到关于的复合函数，通过换元转化为一元二次函数求最值，由于对称轴不确定需进行分类讨论；
（2）化简，利用换元法，转化为二次函数根的分布问题求解.
【小问1详解】
令，，则
于是变为，对称轴为，
当，即时，在处取得最大值，即；
当，即时，在处取得最大值，即.
【小问2详解】
；
令，则，，
令，整理可得①.
，作出简图，如下，
当时，，显然不合题意；
当时，有两个根；
当时，有一个根；
因为函数的图象与函数的图象有3个不同的交点，
所以①式有两个根，且一根在区间内，另一根在区间内；
设，则有，解得，或，无解.
所以实数的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是根的分布问题，二次方程根的分布，通常是先作出简图，结合图象，从开口方向，对称轴位置，区间端点值的符号，判别式的符号来列出限制条件，求出参数范围.