新高考数学二轮复习考点突破学案1.6《函数与导数》培优点（2份打包，原卷版+教师版）

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法则1
若函数f(x)和g(x)满足下列条件：
(1)eq \(lim,\s\d4(x→a)) f(x)＝0及eq \(lim,\s\d4(x→a)) g(x)＝0;
(2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0;
(3)eq \(lim,\s\d4(x→a)) eq \f(f′x,g′x)＝k，那么eq \(lim,\s\d4(x→a)) eq \f(fx,gx)＝eq \(lim,\s\d4(x→a)) eq \f(f′x,g′x)＝k.
法则2
若函数f(x)和g(x)满足下列条件：
(1)eq \(lim,\s\d4(x→a)) f(x)＝∞及eq \(lim,\s\d4(x→a)) g(x)＝∞；
(2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0;
(3)eq \(lim,\s\d4(x→a)) eq \f(f′x,g′x)＝k，那么eq \(lim,\s\d4(x→a)) eq \f(fx,gx)＝eq \(lim,\s\d4(x→a)) eq \f(f′x,g′x)＝k.
1.将上面公式中的x→a，x→∞换成x→＋∞，x→﹣∞，x→a＋，x→a﹣洛必达法则也成立.
2.洛必达法则可处理eq \f(0,0)，eq \f(∞,∞)，0·∞，1∞，∞0，00，∞﹣∞型求最值问题.
考点一 利用洛必达法则求eq \f(0,0)型最值
例1 已知函数f(x)＝x2ln x﹣a(x2﹣1)，a∈R.若当x≥1时，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围.
规律方法 对函数不等式恒成立求参数取值范围时，采用分类讨论、假设反证法.若采取参数与分离变量的方法，在求分离后函数的最值(值域)时会有些麻烦，如最值、极值在无意义点处，或趋于无穷，此时，利用洛必达法则即可求解.洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止.
跟踪演练1 已知函数f(x)＝ex﹣1﹣x﹣ax2，当x≥0时，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围.
考点二 利用洛必达法则求eq \f(∞,∞)型最值
例2 已知函数f(x)＝ax﹣a﹣xln x.若当x∈(0,1)时，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围.
规律方法 对于不常见的类型0·∞，1∞，∞0，00，∞﹣∞等，利用洛必达法则求极限，一般先通过转换，化成eq \f(0,0)，eq \f(∞,∞)型求极限.
跟踪演练2 已知函数f(x)＝2ax3＋x.若x∈(1，＋∞)时，恒有f(x)>x3﹣a，求a的取值范围.
专题强化练
1.已知函数f(x)＝ax2﹣xcs x＋sin x.
(1)若a＝1，讨论f(x)的单调性；
(2)当x>0时，f(x)2.已知函数f(x)＝eq \f(aln x,x＋1)＋eq \f(b,x)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x＋2y﹣3＝0.
(1)求a，b的值；
(2)如果当x>0，且x≠1时，f(x)>eq \f(ln x,x－1)＋eq \f(k,x)，求k的取值范围.
培优点2 对数平均不等式、切线不等式
在高考压轴题中，经常考查与导数有关的不等式问题，这些问题可以用常规方法求解，也可以转变成对数平均不等式、切线不等式进行求解，起到事半功倍的效果.
考点一 对数平均不等式
例1 若a＞0，b＞0，a≠b，求证：eq \r(ab)＜eq \f(a－b,ln a－ln b)＜eq \f(a＋b,2).
规律方法 该类问题的特征是双变量，将双变量问题转变为单变量问题处理，即将eq \f(a,b)看成一个新对象(整体)，从而进行降维打击.
跟踪演练1 已知函数f(x)＝eq \f(1,x)﹣x＋aln x.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，
证明：eq \f(fx1－fx2,x1－x2)＜a﹣2.
考点二 以泰勒公式为背景的切线不等式
泰勒公式：将函数展开为一个多项式与一个余项的和.
f(x)＝f(x0)＋f′(x0)(x﹣x0)＋eq \f(f″x0,2！)(x﹣x0)2＋…＋eq \f(f nx0,n！)(x﹣x0)n＋Rn(x)，
其中余项Rn(x)＝eq \f(f n＋1ξ,n＋1！)(x﹣x0)n＋1(ξ在x0与x之间)，当x0＝0时为麦克劳林公式.
其中ex与ln(1＋x)的麦克劳林公式为ex＝1＋x＋eq \f(1,2)x2＋eq \f(1,6)x3＋(x3)，
ln(1＋x)＝x﹣eq \f(1,2)x2＋eq \f(1,3)x3＋(x3)，
从中截取片段就构成了常见的不等式：ex≥1＋x或ex≥1＋x＋eq \f(x2,2)(x≥0)，
ln(1＋x)≤x(x≥0)或ln x≤x﹣1(x>0)，ln(1＋x)≥x﹣eq \f(x2,2)(x≥0)，
例2 设函数f(x)＝aexln x＋eq \f(bex－1,x)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝e(x﹣1)＋2.
(1)求a，b；
(2)证明：f(x)>1.
规律方法 指数的放缩.形如：
ex﹣1≥x﹣1＋1⇒ex≥ex， SKIPIF 1 < 0 ≥e·eq \f(x,n)⇒ex≥eq \f(en,nn)xn.
对数的放缩.形如：eln x≥1＋ln x⇒ln x≤x﹣1⇒ln(1＋x)≤x，
lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,x)))lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,1＋x)))))<﹣eq \f(1,1＋x)⇒ln(1＋x)﹣ln x>eq \f(1,1＋x)，ln eq \f(x,e)≤eq \f(x,e)﹣1⇒x≥eln x.
跟踪演练2 已知函数f(x)＝eq \f(1,2)ax2﹣(2a＋1)x＋2ln x(a∈R).
(1)当a＞0时，求函数f(x)的单调递增区间；
(2)当a＝0时，证明：f(x)<2ex﹣x﹣4.
专题强化练
1.已知函数f(x)＝x＋b(1＋ln x)(b∈R).
(1)求f(x)的单调区间；
(2)设g(x)＝f(x)﹣eq \f(1,2)sin x，若存在0①b<0；
②x1x2<4b2.
2.已知函数f(x)＝x(ln x＋a)，a∈R.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)当a＝1时，求证：f(x)≤xex﹣1在(0，＋∞)上恒成立.
培优点3 隐零点问题
导函数的零点在很多时候是无法直接求解出来的，我们称之为“隐零点”，既能确定其存在，但又无法用显性的代数进行表达.这类问题的解题思路是对函数的零点设而不求，通过整体代换和过渡，再结合题目条件解决问题.
考点一 不含参函数的隐零点问题
例1 已知函数f(x)＝acs x＋bex(a，b∈R)，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝﹣x.
(1)求实数a，b的值；
(2)当x∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，＋∞))时，f(x)≤c(c∈Z)恒成立，求c的最小值.
规律方法 已知不含参函数f(x)，导函数方程f′(x)＝0的根存在，却无法求出，利用零点存在定理，判断零点存在，设方程f′(x)＝0的根为x0，则①有关系式f′(x0)＝0成立，②注意确定x0的合适范围.
跟踪演练1 已知函数f(x)＝e·ex﹣eq \f(2,x)＋1，g(x)＝eq \f(ln x,x)＋2.
(1)求函数g(x)的极值；
(2)当x>0时，证明：f(x)≥g(x).
考点二 含参函数的隐零点问题
例2 已知函数f(x)＝ln x﹣kx(k∈R)，g(x)＝x(ex﹣2)，若g(x)﹣f(x)≥1恒成立，求k的取值范围.
规律方法 已知含参函数f(x，a)，其中a为参数，导函数方程f′(x，a)＝0的根存在，却无法求出，设方程f′(x)＝0的根为x0，则①有关系式f′(x0)＝0成立，该关系式给出了x0，a的关系；②注意确定x0的合适范围，往往和a的范围有关.
跟踪演练2 已知函数f(x)＝2exsin x﹣ax(e是自然对数的底数).若0专题强化练
1.已知函数f(x)＝﹣ex＋sin x＋x，x∈[0，π].
证明：(1)函数f(x)有唯一的极大值点；
(2)f(x)<π.
2.已知函数f(x)＝aln x﹣eq \f(1,x)，a∈R.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若关于x的不等式f(x)≤x﹣eq \f(2,e)在(0，＋∞)上恒成立，求a的取值范围.
培优点4 极值点偏移问题
极值点偏移是指函数在极值点左右的增减速度不一样，导致函数图象不具有对称性，极值点偏移问题常常出现在高考数学的压轴题中，这类题往往对思维要求较高，过程较为烦琐，计算量较大，解决极值点偏移问题，有对称化构造函数法和比值代换法，二者各有千秋，独具特色.
考点一 对称化构造函数
例1 已知函数f(x)＝eq \f(ex,x)﹣ln x＋x﹣a.
(1)若f(x)≥0，求a的取值范围；
(2)证明：若f(x)有两个零点x1，x2，则x1x2<1.
规律方法 对称化构造法构造辅助函数：对结论x1＋x2>2x0型，构造函数F(x)＝f(x)﹣f(2x0﹣x)；对结论x1x2>xeq \\al(2,0)型，方法一是构造函数F(x)＝f(x)﹣f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,0),x)))，通过研究F(x)的单调性获得不等式；方法二是两边取对数，转化成ln x1＋ln x2>2ln x0，再把ln x1，ln x2看成两变量即可.
跟踪演练1 已知函数f(x)＝eq \f(2,x)＋ln x.
(1)求f(x)的极值和单调区间；
(2)若函数g(x)＝f(x)﹣a(a>2)的两个零点为x1，x2，证明：x1＋x2>4.
考点二 比值代换
例2 已知函数f(x)＝xln x﹣ax2＋x(a∈R).若f(x)有两个零点x1，x2，且x2>2x1，证明：x1x2>eq \f(8,e2).
规律方法 比值代换法是指通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换t＝eq \f(x1,x2)化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明.
跟踪演练2 已知f(x)＝x2﹣2aln x，a∈R.若y＝f(x)有两个零点x1，x2(x1(1)求实数a的取值范围；
(2)若x0是y＝f(x)的极值点，求证：x1＋3x2>4x0.
专题强化练
1.已知a是实数，函数f(x)＝aln x﹣x.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)有两个相异的零点x1，x2且x1>x2>0，求证：x1x2>e2.
2.已知函数f(x)＝x(1﹣ln x).
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)设a，b为两个不相等的正数，且bln a﹣aln b＝a﹣b，证明：2