+黑龙江省大庆市杜尔伯特县2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷（五四制）+

这是一份+黑龙江省大庆市杜尔伯特县2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷（五四制）+，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.二次函数y=x2−5x+1的图象与y轴的交点坐标是( )
A. (0,1)B. (0,−1)C. (1,0)D. (−1,0)
2.如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，AB是⊙O的直径，∠CAB=40°，则∠ADC的度数为( )
A. 40°
B. 50°
C. 60°
D. 80°
3.如图，点A，B，C都是正方形网格的格点，连接BA，CA，则∠BAC的正弦值为( )
A. 12
B. 55
C. 2 55
D. 2
4.如图所示，是一座建筑物的截面图，高BC=8m，坡面AB的坡度为1： 3，则斜坡AB的长度为( )
A. 16mB. 8 2mC. 8 3mD. 16 3m
5.关于二次函数y=2(x−1)2+3，下列说法正确的是( )
A. 图象的对称轴是直线x=−1
B. 图象与x轴有两个交点
C. 当x>1时，y的值随x值的增大而增大
D. 当x=1时，y取得最大值，且最大值为3
6.点P1(1,y1)、P2(3,y2)、P3(5,y3)均在二次函数y=−x2+2x+c的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是( )
A. y3>y2>y1B. y3>y1=y2C. y1>y2>y3D. y1=y2>y3
7.下列语句中：①过三点能作一个圆；②平分弦的直径垂直于弦；③长度相等的弧是等弧；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴；⑤相等的圆心角所对的弧度数相等．其中正确的个数是( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，下列结论中正确的是( )
A. sinA=bc
B. tanB=ba
C. csA=ac
D. tanA=ac
9.如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，O为△ABC的内心，若△ABO的面积为20，则△ACO的面积为( )
A. 20
B. 15
C. 18
D. 12
10.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，则下列结论：
①abc<0；②关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根是−1，3；③a+2b=c；④y最大值=43c.其中正确的有个．( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.已知：tan(α−30°)=1，则锐角∠α的度数为______．
12.已知二次函数y=kx2−4x−3的图象与坐标轴有三个公共点，则k的取值范围是______ ．
13.如图，已知⊙O的弦AB=8，半径OC⊥AB于D，DC=2，则⊙O的半径为______ ．
14.如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，AC为⊙O的直径，若∠C=60°，则△PAB的形状是______ ．
15.如图，点A是半圆上的一个三等分点，点B是AD的中点，P是直径CD上一动点，⊙O的半径是2，则PA+PB的最小值为______ ．
16.如图，已知二次函数y=−x2+bx+c的图象与x轴交于A(−3,0)、B(1,0)两点，与y轴交于点C.若在抛物线上存在一点P(与点C不重合)，使S△ABP：S△ABC=5：3，则点P的坐标为______ ．
17.如图，将扇形纸片AOB折叠，使点A与点O重合，折痕为CD.若∠AOB=120°，OA=6，则图中未重叠部分(即阴影部分)的面积为______ ．
18.已知：如图，二次函数y=−49x2+4的图象与y轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，点P在以A点为圆心，2个单位长度为半径的圆上，Q点是BP的中点，连接OQ，则OQ的最小值为______ ．
三、计算题：本大题共1小题，共5分。
19.在△ABC中，已知∠A=60°，∠B为锐角，且tanA，csB恰为一元二次方程2x2−3mx+3=0的两个实数根．求m的值并判断△ABC的形状．
四、解答题：本题共9小题，共61分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题4分)
计算：(−1)2023+2sin45°−cs30°+sin60°+tan260°．
21.(本小题5分)
如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O半径为4．
(1)求正六边形的边心距；
(2)求正六边形ABCDEF的面积．
22.(本小题6分)
如图，一座古塔座落在小山上(塔顶记作点A，其正下方水平面上的点记作点B)，小李站在附近的水平地面上，他想知道自己到古塔的水平距离，便利用无人机进行测量，但由于某些原因，无人机无法直接飞到塔顶进行测量，因此他先控制无人机从脚底(记为点C)出发向右上方(与地面成45°，点A，B，C，O在同一平面)的方向匀速飞行4秒到达空中O点处，再调整飞行方向，继续匀速飞行8秒到达塔顶，已知无人机的速度为5米/秒，∠AOC=75°，(求小李到古塔的水平距离即BC的长.(结果精确到1m，参考数据： 2≈1.41， 3≈1.73)
23.(本小题7分)
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题．
(1)写出方程ax2+bx+c=0的两个根：______；
(2)写出不等式ax2+bx+c<0的解集：______；
(3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围______；
(4)若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，直接写出k的取值范围：______．
24.(本小题7分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以点C为圆心，CA长为半径的圆交AB于点D．
(1)若∠B=25°，求AD的度数；
(2)若D是AB的中点，且AB=4，求阴影部分(弓形)的面积．
25.(本小题7分)
已知二次函数y=x2+bx+c的图象过点A(0,3)，B(1,0).(1)求这个二次函数的解析式；
(2)已知二次函数y=x2+bx+c与直线y=mx+n交于点B(1,0)，C(4,3)，请结合图象直接写出方程x2+bx+c=mx+n的解．
26.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0,4)，点B在x轴负半轴上，且tan∠ABO=23．
(1)求AB的长及∠BAO的正弦值．
(2)若点C在x轴正半轴上，且OC=3.点D是x轴上的动点，当∠CAD=∠ABC时，求点D坐标．
27.(本小题8分)
如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是AC中点，直线OD与⊙O相交于E，F两点，P是⊙O外一点，P在直线OD上，连接PA，PC，AF，且满足∠PCA=∠ABC．
(1)求证：PA是⊙O的切线；
(2)证明：EF2=4OD⋅OP；
(3)若BC=8，tan∠AFP=23，求DE的长．
28.(本小题9分)
已知抛物线G：y=mx2−2mx−8m(m≠0)．
(1)当y=0时，求x的值；
(2)点Q(a,b)是抛物线上一点，若m<0，且a≥0时b≤3，求m的值；
(3)当m=−1时，把抛物线G向下平移n(n>0)个单位长度得到新抛物线H，设抛物线H与x轴的一个交点的坐标为(x1,0)，且−1答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：二次函数y=x2−5x+1的图象与y轴相交，则x=0，
故y=1，则图象与y轴的交点坐标是：(0,1)．
故选：A．
直接利用x=0时，求出y的值进而得出答案．
此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特点，正确得出x=0是解题关键．
2.【答案】B
【解析】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠CAB=40°，
∠∠ABC=90°−∠CAB=50°，
∴∠ADC=∠ABC=50°，
故选：B．
由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ACD=90°，继而求得∠ABC的度数，然后由圆周角定理，求得∠ADC的度数．
此题考查了圆周角定理．注意直径对的圆周角是直角定理的应用是解此题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：连接CB，如图所示：
设小正方形边长为1，
∴AB= 22+42=2 5，AC= 32+42=5，CB= 22+12= 5，
∴AC2=AB2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，
在Rt△ABC中，sin∠BAC=CBAC= 55，
故选：B．
连接CB，设小正方形边长为1，求出AB= 22+42=2 5，AC= 32+42=5，CB= 22+12= 5，即可证明△ABC是直角三角形，问题随之得解．
本题考查网格中求三角函数值，三角函数定义，勾股定理及其逆定理，掌握三角函数值，三角函数定义是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：∵坡面AB的坡度为BCAC=8AC=1： 3，
∴AC=8 3m，
∴AB= AC2+BC2=16(m)．
故选：A．
由坡面AB的坡度为BCAC=8AC=1： 3，可得AC=8 3m，再根据勾股定理可得AB= AC2+BC2=16m．
本题考查解直角三角形的应用−坡度坡角问题，理解坡度的定义是解答本题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵二次函数y=2(x−1)2+3，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为(1,3)，对称轴为直线x=1，
∴当x>1时，y随x的增大而增大，当x=1时，y有最小值，最小值为3，抛物线与x轴没有交点，
故A，B，D错误，C正确，
故选：C．
根据二次函数解析式得出函数对称轴，顶点坐标，开口方向，然后由函数的性质即可解答．
本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的图象性质，熟悉性质是解题关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵y=−x2+2x+c，
∴抛物线对称轴为直线x=−2−2=1，抛物线开口向下，
∴x>1时，y随x增大而减小，
∴y1>y2>y3，
故选：C．
由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．
7.【答案】B
【解析】解：①经过不在同一条直线上的三点可以确定一个圆，故本小题错误；
②平分弦(非直径)的直径垂直于弦，故本小题错误；
③长度相等的弧不一定是等弧，故本小题错误；
④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，符合圆的性质，故本小题正确；
⑤相等的圆心角所对的弧度数相等，故本小题正确．
故选：B．
根据圆的认识、垂径定理及圆心角、弧、弦的关系对各小题进行逐一判断即可．
本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，熟知圆的性质及垂径定理是解答此题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：由锐角三角函数的定义可知，
sinA=ac，tanB=ba，csA=bc，tanA=ab，
故选：B．
根据锐角三角函数的定义进行判断即可．
本题考查锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义是正确判断的关键．
9.【答案】B
【解析】解：∵O为△ABC的内心，
∴点O到AB，AC的距离相等，
∴△AOB、△AOC面积的比=AB：AC=8：6=4：3．
∵△ABO的面积为20，
∴△ACO的面积为15．
故选：B．
由O为△ABC的内心可得，点O到AB，BC，AC的距离相等，则△AOB、△BOC、△AOC面积的比实际为AB，BC，AC三边的比．
此题主要考查了三角形的内切圆与内心、角平分线的性质，熟练掌握角的三角形的内心到三边的距离相等是解答本题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵抛物线的对称轴为直线x=−b2a=1，
∴b=−2a>0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c>0，∴abc<0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的一个交点坐标为(3,0)，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(−1,0)，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根是−1，3，所以②正确；
∵当x=−1时，y=0，
∴a−b+c=0，而b=−2a，
∴a+2a+c=0，即c=−3a，
∴a+2b−c=a−4a+3a=0，即a+2b=c，所以③正确；
∵当x=1时，函数有最大值y=a+b+c，
函数有最大值y=a−2a+c=−a+c=13c+c=43c，所以④正确；
故选：D．
利用抛物线开口方向得到a<0，利用抛物线的对称轴方程得到b=−2a>0，利用抛物线与y轴的交点在x轴上方得到c>0，则可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为(−1,0)，则根据抛物线与x轴的交点问题可对②进行判断；由于x=−1时，a−b+c=0，再利用b=−2a得到c=−3a，则可对③④进行判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，正确记忆相关知识点是解题关键．
11.【答案】75°
【解析】解：∵tan(α−30°)=1，
∴α−30°=45°，
∴锐角∠α的度数为75°．
故答案为：75°．
直接利用特殊角的三角函数值得出答案．
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
12.【答案】k>−43且k≠0
【解析】解：由题意可知：Δ=(−4)2−4×k×(−3)>0且k≠0，
解得：k>−43且k≠0，
故答案为：k>−43且k≠0．
根据Δ=(−4)2−4×k×(−3)>0，且k≠0解出k的范围即可求出答案．
本题考查二次函数与x轴的交点，解题的关键是正确列出Δ=(−4)2−4×k×(−3)≥0，本题属于基础题型．
13.【答案】5
【解析】解：设⊙O的半径为R，则OD=R−2，
∵OC⊥AB，
∴AD=BD=12AB=4，∠ODA=90°，
在Rt△AOD中，(R−2)2+42=R2，
解得R=5，
即⊙O的半径为5．
故答案为：5．
设⊙O的半径为R，则OD=R−2，先根据垂径定理得到AD=BD=4，再利用勾股定理得到(R−2)2+42=R2，然后解方程即可．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
14.【答案】等边三角形
【解析】解：如图，连接OB，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
由圆周角定理得：∠AOB=2∠C=120°，
∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，PA=PB，
∴∠P=360°−∠AOB−∠OAP−∠OBP=360°−120°−90°−90°=60°，
∴△PAB为等边三角形．
故答案为：等边三角形．
连接OB，根据正弦的定义求出AB，根据切线的性质得到OA⊥PA，OB⊥PB，PA=PB，然后利用四边形内角和定理即可得△PAB是等边三角形．
本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
15.【答案】2 2
【解析】解：作A关于MN的对称点Q，连接CQ，BQ，BQ交CD于P，此时AP+PB=QP+PB=QB，
根据两点之间线段最短，PA+PB的最小值为QB的长度，
连接OQ，OB，
∵点A是半圆上的一个三等分点，
∴∠ACD=30°．
∵B弧AD中点，
∴∠BOD=∠ACD=30°，
∴∠QOD=2∠QCD=2×30°=60°，
∴∠BOQ=30°+60°=90°．
∵⊙O的半径是2，
∴OB=OQ=2，
∴BQ= OB2+OQ2=2 2，即PA+PB的最小值为2 2．
故答案为：2 2．
首先作A关于CD的对称点Q，连接BQ，然后根据圆周角定理、圆的对称性质和勾股定理解答．
本题考查的是圆周角定理，轴对称−最短路线问题，解答此题的关键是找到点A的对称点，把题目的问题转化为两点之间线段最短解答．
16.【答案】(−4,−5)或(2,−5)
【解析】解：∵二次函数y=−x2+bx+c的图象与x轴交于A(−3,0)、B(1,0)两点，
∴抛物线的表达式为：y=−(x+3)(x−1)=−x2−2x+3，
令x=0，则y=3，
∴点C(0,3)，
∴S△ABC=12AB⋅OC=12×4×3=6，
∵S△ABP：S△ABC=5：3，
∴S△ABP=10，
∴12AB⋅|yP|=10，
∴|yP|=204=5，
∵y=−x2−2x+3=−(x+1)2+4，
∴抛物线的顶点为(−1,4)，
∴yP=−5，
把y=−5代入y=−x2−2x+3得−x2−2x+3=−5，
解得x=−4或x=2，
∴点P的坐标为(−4,−5)或(2,−5)．
故答案为：(−4,−5)或(2,−5)．
利用待定系数法求得二次函数的解析式，进而求得点C的坐标，利用三角形面积公式求得△ABC的面积，根据S△ABP：S△ABC=5：3，求得S△ABP=10，据此求得P点的纵坐标，代入解析式即可求得横坐标．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数的表达式，三角形面积的计算，求得点P的纵坐标是解题的关键．
17.【答案】9 3
【解析】解：连接OD，AD，过O作OE⊥AD于E，
∵扇形纸片AOB折叠，使点A与点O重合，折痕为CD，OA=6，
∴AD=OD=OA=6，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠AOD=60°，
∵OE⊥AD，
∴AE=DE=3，∠AEO=90°，
∴OE= 62−32=3 3，
∴S折叠=(60°π×62360∘−12×6×3 3)×2+12×6×3 3=12π−9 3，
∴S阴影=120°π×62360∘−(12π−9 3)=9 3，
故答案为：9 3．
根据折叠得到AD=OD，即可得到△AOD是等边三角形，即可求出折叠图形面积，利用总扇形面积减去折叠图形面积即可得到答案．
本题考查等边三角形的判定与性质，扇形面积公式，熟练运用扇形公式是解题的关键．
18.【答案】32
【解析】解：当x=0时，y=−49x2+4=4，
∴A(0,4)，
当y=0时，−49x2+4=0，
解得x1=3，x2=−3，
∴B(3,0)，
∴AB= 32+42=5，
连接AB，点C为AB的中点，连接OC、CQ，如图，则OC=12AB=52，
∵Q点为BP的中点，
∴CQ为△ABP的中位线，
∴CQ=12AP=1，
∵OQ≥OC−CQ(当且仅当O、C、Q共线时取等号)，
∴OC的最小值为OC−CQ=52−1=32．
故答案为：32．
先确定A(0,4)，再解方程−49x2+4=0得到B(3,0)，则利用勾股定理可计算出AB=5，连接AB，点C为AB的中点，连接OC、CQ，如图，根据直角三角形斜边上的中线性质OC=52，接着证明CQ为△ABP的中位线得到CQ=1，然后根据三角形三边的关系OQ≥OC−CQ(当且仅当O、C、Q共线时取等号)，从而得到OC的最小值为OC−CQ．
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
19.【答案】解：∵∠A=60°，∴tanA= 3．
把x= 3代入方程2x2−3mx+3=0得2( 3)2−3 3m+3=0，解得m= 3．
把m= 3代入方程2x2−3mx+3=0得2x2−3 3x+3=0，解得x1= 3，x2= 32．
∴csB= 32，即∠B=30度．
∴∠C=180°−∠A−∠B=90°，即△ABC是直角三角形．
【解析】先求出一元二次方程的解，再根据特殊角的三角函数值求出各角的度数，判断三角形的形状．
本题较复杂，涉及到一元二次方程的解法，特殊角的三角函数值，及等边三角形的性质需同学们熟练掌握．
20.【答案】解：(−1)2023+2sin45°−cs30°+sin60°+tan260°
=−1+2× 22− 32+ 32+( 3)2
=−1+ 2+3
=2+ 2．
【解析】根据有理数的乘方法则、特殊角的三角函数值计算．
本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
21.【答案】解：(1)连接OC、OD，过点O作OH⊥CD于H，则∠OHC=∠OHD=90°，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠COD=60°，
∴∠COH=30°，△COD为等边三角形，
∴OHOC=cs∠COH=cs30°，CD=OC=4，
∴圆心O到CD的距离OH=4×cs30°=2 3，
即正六边形的边心距为2 3；
(2)正六边形ABCDEF的面积=6S△COD=12×4×2 3×6=24 3．
【解析】(1)连接OC、OD，过点O作OH⊥CD于H，证明△COD等边三角形，利用三角函数即可求解；
(2)根据正六边形ABCDEF的面积=6S△COD即可求解．
本题考查了正六边形和圆，等边三角形的判定与性质，三角函数，掌握正六边形的性质是解题的关键．
22.【答案】解：过点O作OD⊥BC，交BC的延长线于点D，过点O作OE⊥AB，垂足为E，

由题意得：AO=8×5=40(米)，OC=4×5=20(米)，OE=BD，OE/​/BD，
∴∠EOC=∠OCD=45°，
∵∠AOC=75°，
∴∠AOE=∠AOC−∠EOC=30°，
在Rt△OCD中，CD=OC⋅cs45°=20× 22=10 2(米)，
在Rt△AOE中，OE=AO⋅cs30°=40× 32=20 3(米)，
∴OE=BD=20 3(米)，
∴BC=BD−CD=20 3−10 2≈21(米)，
∴小李到古塔的水平距离即BC的长约为21米．
【解析】过点O作OD⊥BC，交BC的延长线于点D，过点O作OE⊥AB，垂足为E，根据题意可得：AO=40米，OC=20米，OE=BD，OE/​/BD，从而可得∠EOC=∠OCD=45°，进而可得∠AOE=30°，然后在Rt△OCD中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，再在Rt△AOE中，利用锐角三角函数的定义求出OE的长，从而求出BD的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23.【答案】1和3 x<1或x>3 x>2 k<2
【解析】解：(1)由图象可知，图象与x轴交于(1,0)和(3,0)点，
则方程ax2+bx+c=0的两个根为x=1和x=3，
故答案为：1和3；
(2)由图象可知当x<1或x>3时，不等式ax2+bx+c<0；
故答案为：x<1或x>3；
(3)由图象可知，y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的对称轴为直线x=2，开口向下，
即当x>2时，y随x的增大而减小；
故答案为：x>2．
(4)由图象可知，二次函数y=ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，则k必须小于y=ax2+bx+c(a≠0)的最大值，
故答案为：k<2．
(1)根据图象可知x=1和3是方程的两根；
(2)找出函数值小于0时x的取值范围即可；
(3)首先找出对称轴，然后根据图象写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；
(4)若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，则k必须小于y=ax2+bx+c(a≠0)的最大值，据此求出k的取值范围．
本题主要考查了二次函数与不等式以及抛物线与x轴的交点的知识，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及图象的特点，此题难度不大．
24.【答案】(1)解：连接CD，如图，

∵∠ACB=90°，∠B=25°，
∴∠BAC=90°−25°=65°，
∵CA=CD，
∴∠CDA=∠CAD=65°，
∴∠ACD=180°−65°−65°=50°，
∴∠ACD度数为50°；
(2)解：过点C作CH⊥AB于点H，

∵D是AB的中点，∠ACB=90°，
∴CD=AD=BD=12AB=2，
∵CD=CA，
∴△ACD为等边三角形，
∴∠ADC=60°，CH=CD⋅sin60°= 3，
∴阴影部分的面积=S扇形ACD−S△ACD=60π×22360−12×2× 3=23π− 3．
【解析】(1)连接CD，如图，利用互余计算出∠BAC=65°，然后计算出∠ACD的度数，则根据圆心角定理得到∠ACD的度数；
(2)利用斜边上的中线性质得到CD=AD=BD=12AB=2，再判断△ACD为等边三角形，则∠ACD=60°，利用扇形的面积公式，根据阴影部分的面积=S扇形ACD−S△ACD进行计算．
本题考查了扇形面积的计算、圆心角定理、互余、等边三角形等知识点：求不规则图形的面积，转化用规则的图形面积进行求解；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；利用角的正弦值求边长，解题的关键是将不规则图形面积转为规则图形面积求解．
25.【答案】解：(1)把点A(0,3)，B(1,0)代入y=x2+bx+c得：
c=31+b+c=0，
解得b=−4c=3，
∴二次函数的解析式为y=x2−4x+3；
(2)∵二次函数y=x2+bx+c与直线y=mx+n交于点B(1,0)，C(4,3)，
∴方程x2+bx+c=mx+n的解为x=1或x=4．
【解析】(1)把A，B坐标代入解析式求出b，c即可；
(2)根据二次函数y=x2+bx+c与直线y=mx+n交点的横坐标即为方程x2+bx+c=mx+n的解可得结论．
本题考查抛物线与x轴的交点，待定系数法求函数解析式，关键是利用数形结合的思想解答．
26.【答案】解：(1)∵点A(0,4)，
∴OA=4，
在Rt△OAB中，tan∠ABO=OAOB=23，
∴OB=32×OA=6，
由勾股定理得：AB= OA2+OB2=2 13，
∴sin∠BAO=OBAB=62 13=3 1313，
(2)过点C作CE⊥AD于E，如图所示：

设点D的坐标为(t,0)，则OD=t，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：AD= 16+t2，
∵点C在x轴正半轴上，且OC=3，
∴在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC= OA2+OC2=5，
在Rt△AOB中，sin∠ABO=OAAB=42 13=2 13，
即sin∠ABC=2 13，
∵∠CAD=∠ABC，
在Rt△ACE中，AC=5，sin∠CAD=CEAC=2 13，
∴CE=10 13，
又∵OD=t，OC=3，
∴CD=|t−3|，
由三角形的面积公式得：S△ACD=12AD⋅CE=12CD⋅OA，
∴12× 16+t2×10 13=12×|t−3|×4，
整理得：27t2−312t+68=0，
解得：t1=29，t2=343，
∴点D的坐标为(29,0)或(343,0)．
【解析】(1)先由点A(0,4)，得OA=4，在Rt△OAB中由tan∠ABO=23，可求出OB；再由勾股定理求出AB，进而可得∠BAO的正弦值；
(2)过点C作CE⊥AD于E，设点D的坐标为(t,0)，则OD=t，由勾股定理得AD= 16+t2，AC=5，在Rt△AOB中求出sin∠ABC=2 13，则sin∠CAD=CEAC=2 13，由此得CE=10 13，然后由三角形的面积公式得S△ACD=12AD⋅CE=12CD⋅OA，得12× 16+t2×10 13=12×|t−3|×4，解此方程求出t的值即可得出点D的坐标．
此题主要考查了解直角三角形，点的坐标，熟练掌握锐角三角函数的定义，灵活运用三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键．
27.【答案】解：(1)证明：∵D是弦AC中点，
∴OD⊥AC，
∴PD是AC的中垂线，
∴PA=PC，
∴∠PAC=∠PCA．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°．
又∵∠PCA=∠ABC，
∴∠PCA+∠CAB=90°，
∴∠CAB+∠PAC=90°，即AB⊥PA，
∴PA是⊙O的切线；
(2)证明：由(1)知∠ODA=∠OAP=90°，
∴Rt△AOD∽Rt△POA，
∴AOPO=DOAO，
∴OA2=OP⋅OD．
又OA=12EF，
∴14EF2=OP⋅OD，即EF2=4OP⋅OD．
(3)∵tan∠AFP=23，
在Rt△ADF中，设AD=2a，则DF=3a．
∵O是AB中点，OD/​/BC，
∴OD=12BC=4，
∴AO=OF=3a−4．
∵OD2+AD2=AO2，即42+(2a)2=(3a−4)2，解得a=245，
∴DE=OE−OD=3a−8=325．
【解析】此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出Rt△AOD∽Rt△POA是解本题的关键．
(1)先判断出PA=PC，得出∠PAC=∠PCA，再判断出∠ACB=90°，得出∠CAB+∠CBA=90°，再判断出∠PCA+∠CAB=90°，得出∠CAB+∠PAC=90°，即可得出结论；
(2)先判断出Rt△AOD∽Rt△POA，得出OA2=OP⋅OD，进而得出14EF2=OP⋅OD，即可得出结论；
(3)在Rt△ADF中，设AD=2a，得出DF=3a.OD=12BC=4，AO=OF=3a−4，最后用勾股定理得出OD2+AD2=AO2，即可得出结论．
28.【答案】解：(1)由题意得，mx2−2mx−8m=m(x2−2x−8)=0，
又m≠0，
∴x2−2x−8=0．
∴(x−4)(x+2)=0．
∴x=4或x=−2．
(2)由题意，y=mx2−2mx−8m=m(x2−2x−8)=m(x−1)2−9m．
∵m<0，
∴当x=1时，函数y=m(x−1)2−9m有最大值为−9m．
又此时点Q(a,b)是抛物线上一点，a≥0时，都有b≤3，
∴−9m=3．
∴m=−13．
(3)由题意，当m=−1时，抛物线G为y=−(x−1)2+9．
∴把抛物线G向下平移n(n>0)个单位长度得到新抛物线H为y=−(x−1)2+9−n．
∵抛物线H与x轴的一个交点的坐标为(x1,0)，且−1又若当x1=−1时，y=5−n=0，
∴n=5．
∵开口向下，
∴n>5．
又抛物线H与x轴有交点，
∴9−n≥0．
∴n≤9．
∴5【解析】(1)依据题意，由mx2−2mx−8m=m(x2−2x−8)=0，结合m≠0，解方程即可得解；
(2)依据题意，y=mx2−2mx−8m=m(x2−2x−8)=m(x−1)2−9m，又m<0，从而当x=1时，函数y=m(x−1)2−9m有最大值为−9m，又此时点Q(a,b)是抛物线上一点，a≥0时，都有b≤3，进而−9m=3，故可以得解；
(3)依据题意，当m=−1时，抛物线G为y=−(x−1)2+9，从而表示出H为y=−(x−1)2+9−n，抛物线H与x轴的一个交点的坐标为(x1,0)，且−15，又抛物线H与x轴有交点，故9−n≥0，进而可以得解．
本题主要考查二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并理解是关键．